2024-2025学年福建省福州市高二上册期中联考数学检测试题2（含解析）

2024-2025学年福建省福州市高二上学期期中联考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知两直线与直线平行，则（）A． B．6 C． D．2．在空间坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．3．过点的直线与圆交于A，B两点，当弦AB最短时，直线的方程为（）A． B． C． D．4．已知椭圆的焦距为6，则的值是（）A．5 B．32 C．5或77 D．32或505．若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（）A． B． C． D．6．已知实数，满足，则的取值范围为（）A． B．C． D．7．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（

）

A． B． C． D．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法中，正确的有（）A．点斜式可以表示任何直线B．直线在轴上的截距为C．直线关于点对称的直线方程是D．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是10．已知圆和圆，则（）A．若两圆相交，则B．直线可能是两圆的公切线C．两圆公共弦长的最大值为D．两圆公共弦所在的直线方程可以是11．已知正方体棱长为，为平面内一点，为中点.下列论述正确的是（）A．若，则B．若，则到直线的距离为C．若，则有且仅有一个点，使得平面D．若，则平面与底面所成角正弦值的取值范围为三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量，分别是平面、的法向量，若，则.13．平面内点满足，其中、，且，则的面积为.14．在直角坐标平面内，、，是、两点的直线距离，定义：叫做、两点的“城市街区距离”.已知是圆上一点，是直线上一点，则、两点的直线距离最小值是，、两点的“城市街区距离”最小值是.四、解答题（本大题共5小题）15．在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是.(1)求点的坐标；(2)判断的形状.16．在平行六面体中，在上且，为的中点，，，，，记，，，(1)用，，表示；(2)求异面直线与所成角的余弦值.17．如图，某海面上有，，三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，，三点.

(1)求圆的方程；(2)若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？18．如图，四边形与均为菱形，，，.

(1)求证：平面；(2)为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值；(3)设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度.19．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，是椭圆上任一点，的面积的最大值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)四边形顶点在椭圆上，且对角线、过原点，设，，①若，求证：直线和直线的斜率之和为定值；②若，求四边形周长的取值范围.

答案1．【正确答案】A【详解】解：，直线的斜率，直线，易知时与不平行，即，故直线的斜率，两直线与直线平行，，即，解得.故选：A.2．【正确答案】A【详解】根据空间直角坐标系的特征，可得点关于轴对称的点坐标是.故选：A.3．【正确答案】A【详解】当最短时，直线，所以，又，所以，所以直线的方程为，即..故选：A.4．【正确答案】D【详解】根据椭圆方程可知当焦点在轴上时，可得，解得；当焦点在轴上时，可得，解得；综上可知，的值是32或50.故选：D5．【正确答案】C【详解】易知直线恒过点，所以可得直线一定过关于直线的对称点；设对称点坐标为，可得，解得，即直线一定过定点.故选：C6．【正确答案】B【详解】表示圆心为，半径为2的圆，表示过点和点直线的斜率，如图所示：直角中，，，,故，同理可得.所以.故选：B.7．【正确答案】B【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.【详解】因为，为的中点，则，由圆锥的几何性质可知平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，又因为，所以，点到平面的距离为.故选：B.8．【正确答案】D【详解】因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，又，所以，，，所以，所以椭圆的离心率为.故选：D.9．【正确答案】BC【详解】对于A选项，点斜式不表示倾斜角为的直线，A错；对于B选项，在直线的方程中，令，可得，所以，直线在轴上的截距为，B对；对于C选项，直线关于点对称的直线方程为，其中，则，可得，因为，解得，所以，直线关于点对称的直线方程是，C对；对于D选项，若所过直线过原点，该直线的斜率为，此时，所求直线方程为，若所求直线不过原点，设所求直线方程为，则，解得，此时，所求直线方程为，综上所述，过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是或，D错.故选：BC.10．【正确答案】ABC【详解】圆的圆心为原点，半径为，圆的圆心为，半径为，对于A选项，因为，若两圆相交，则，即，因为，解得，A对；对于B选项，原点到直线的距离为，则直线与圆相切，若直线与圆相切，则，即当时，直线是两圆的公切线，B对；对于C选项，将两圆方程作差可得，当直线过原点时，即时，即当时，两圆的相交弦的弦长取最大值，且此时两圆的相交弦为圆的一条直径，C对；对于D选项，若两圆的相交弦方程为，则有，因为，解得，不合乎题意，D错.故选：ABC.11．【正确答案】ABD【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、，对于A选项，，则，，所以，，故，A对；对于B选项，若，则为线段的中点，即点，，，所以，点到直线的距离为，B对；对于C选项，，其中，则，，因为平面，则，即，，解得，因此，不存在点，使得平面，C错；对于D选项，若，其中，，，设平面的法向量为m=x,y,z，则，取，可得，且，易知平面的一个法向量为，设平面与底面所成角为，所以，，则，D对.故选：ABD.12．【正确答案】【详解】因为向量，分别是平面、的法向量，且，则，则，解得，，故.故答案为.13．【正确答案】【详解】设，，，则，由余弦定理可得，所以，可得，所以，，因为，则，故.故答案为.14．【正确答案】【详解】圆的圆心为原点，半径为，所以，、两点的直线距离最小值为原点到直线的距离减去半径，故、两点的直线距离最小值为，不妨设点、，则，则、两点的“城市街区距离”为，令，则关于的函数在连续，则该函数在上递减，在上单调递增，所以，，为锐角，且，所以，当时，、两点的“城市街区距离”取最小值.故；.15．【正确答案】(1)(2)直角三角形【详解】（1）设，因为边的高线所在直线方程是，所以，又，所以①，又点在直线上，所以②，由①②解得，所以点的坐标为；（2）设，因为点在上，所以，因为边上的中线所在直线方程是，所以，解得，所以，所以，，所以，所以，又，，所以是直角三角形.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）易知；（2）根据题意可知，且;所以可得；又易知；所以，因此异面直线与所成角的余弦值为.17．【正确答案】(1)(2)该船没有触礁的危险【详解】（1）根据题意可知，易知圆的圆心在线段的垂直平分线上，可设圆心，又可得，解得，所以半径，因此圆的方程为.（2）由在岛的北偏西方向距岛千米处，可得；由行驶方向为北偏东可知行驶直线所在直线斜率为，因此行驶直线方程为，圆心到直线的距离为，即行驶直线与暗礁区域圆相离，因此该船没有触礁的危险.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）因为四边形为菱形，则，设，连接，则为的中点，因为，则，因为，、平面，故平面.（2）连接，因为四边形为菱形，则，又因为，则为等边三角形，因为为的中点，则，又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为，四边形为菱形，且，则是边长为的等边三角形，所以，，，，同理可得，所以，A3,0,0、、、、、，则，，设平面的法向量为m=x则，取，可得，因为为上的动点，设，其中，且，，所以，，设直线与平面所成角为，则，当时，取最大值，且最大值为，因此，与平面所成角正弦值的最大值为.（3）因为为的中点，则，设点，则，，因为，即，即，化简可得，故动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在四边形内的部分，即圆心角为的圆弧，故所求轨迹的长度为.19．【正确答案】(1)(2)①见解析；②【详解】（1）由题意知：当点是椭圆的上、下顶点时，的面积取最大值，即，再根据离心率为，可得：，由，解得：，故椭圆的标准方程为：．（2）①如图所示：当