【中考】2017数学汇编专题19-等腰三角形含解析

专题19：等腰三角形

一、选择题

1、6.（3分）（2017•包头）若等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,

则该等腰三角形的底边长为（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是笔腰三角形的底边，

然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形.

【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10-2-2=6（cm）,2+2

<6,不符合三角形的三边关系；

若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10-2）=2=4（cm）,此时三角形的三

边长分别为2cm,4cm,4cm,符合三角形的三边关系；

故选A.

【点评】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系：

三角形任意两边之和大于第三边.

2、9.（3分）（2017•广东）如图，四边形ABCD内接于DA=DC,ZCBE=50°,

则NDAC的大小为（）

A.130°B.100°C.65°D.50°

【分析】先根据补角的性质求出NABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出

NADC的度数，由等腰三角形的性质求得NDAC的度数.

【解答】解：YNCBE=500,

・•.ZABC=180°-ZCBE=180°-50°=130°,

,/四边形ABCD为OO的内接四边形，

.*.ZD=I800-ZABC=180°-130°=50°,

VDA=DC,

・•・NDAC」800-ND.。,

2

故选C.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质，即在同圆或等

圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

3、14.（3分）（2017•毕节市）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,

CD上，且NEAF=45。，将4ABE绕点A顺时针旋转90。，使点E落在点E处，

则下列判断不正确的是（）

A.ZiAEE，是等腰直角三角形B,AF垂直平分EE

C.AETC^AAFDD.ZkAETt是等腰三角形

【分析】由旋转的性质得到AE，=AE,ZEzAE=90°,于是得到AAEE，是等腰直角

三角形，故A正确；由旋转的性质得到/E，AD=NBAE,由正方形的性质得到N

DAB=90°,推出NE，AF=NEAF,于是得到AF垂直平分EE,故B正确；根据

余角的性质得到NFE，E=NDAF,于是得到△E，ECs/\AFD,故C正确；由于

不一定等于NDAE，,于是得到AAET不一定是等腰三角形,

故D错误.

【解答】解：,・•将4ABE绕点A顺时针旋转90。，使点E落在点E，处,

・・・AE'=AE,NE'AE=90。，

•••△AEE，是等腰直角三角形，故A正确；

・・,将4ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E处,

・・・NE，AD=NBAE,

•・•四边形ABCD是正方形，

.\ZDAB=90°,

*.*ZEAF=45°,

/.ZBAE+ZDAF=45°,

・・・"ADiNPAD=45。，

.*.ZE'AF=ZEAF,

VAE^AE,

.•・AF垂直平分EE,故B正确；

VAFXE'E,ZADF=90°,

・•・NFEE+NAFD=NAFD+NDAF,

，NFE，E=NDAF,

AAE'EC^AAFD,故C正确；

VAD1ET,但NE'AD不一定等于NDAE',

•••△AET不一定是等腰三角形，故D错误；

故选D.

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角

三角形的判定，线段垂直平分线的判定，正确的识别图形是解题的关键.

4、10.（3分）（2017•黄石）如图，己知凸五边形ABCDE的边长均相等，且N

DBE=NABE+NCBD,AC=L贝ijBD必定满足（）

A.BD<2B.BD=2

C.BD>2D.以上情况均有可能

【分析】先根据等腰三角形的底角相等，得出NAED+NCDE=180。，判定AE〃

CD,再根据一个角是60。的等腰三角形是等边三角形，得出4ABC是等边三角

形.

【解答】证明：TAE=AB,

AZABE=ZAEB,同理NCBD=NCDB

VZABC=2ZDBE,

・•・ZABE+ZCBD=ZDBE,

VZABE=ZAEB,ZCBD=ZCDB,

NAEB+NCDB=NDBE,

.•.ZAED+ZCDE=180°,

AAE/7CD,

VAE=CD,

・•・四边形AEDC为平行四边形.

，DE=AC=AB=BC.

•••△ABC是等边三角形，

ABC=CD=1,

在4BCD中，VBD<BC+CD,

ABD<2.

故选A.

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形的底角相等，以及等边三

角形的判定定理.解题时注意，同旁内角互补，两直线平行.

5、6.（3分）（2017•荆州）如图，在ZkABC中,AB=AC,ZA=30°,AB的垂直

平分线1交AC于点D,则ZCBD的度数为（）

A.30°B.45°C.50°D.75°

【分析】根据三角形的内角和定理，求出NC,再根据线段垂直平分线的性质，

推得NA=NABD=30。，由外角的性质求出NBDC的度数，从而得出NCBD=45。.

【解答】解：・・・AB=AC,ZA=30°,

/.ZABC=ZACB=75°,

VAB的垂直平分线交AC于D,

AAD=BD,

.e.ZA=ZABD=30°,

AZBDC=60°,

/.ZCBD=180°-75°-60°=45°.

故选B.

【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角

形外角的性质求得求得NBDC=60。是解答本题的关键.本题的解法很多，用底角

750・30。更简单些.

6、10.（3分）（2017•包头）已知下列命题:

①若且＞1,则a＞b；

b

②若a+b=0,贝ij|a|二b|；

③等边三角形的三个内角都相等；

④底角相等的两个等腰三角形全等.

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判

定、相反数逐个判断即可.

【解答】解：•・•当bVO时，如果亘＞1,那么aVb,・••①错误；

b

,若a+b=O,则|a|二b|正确,但是若|a|二|b|,则a+b=O错误，，②错误；

•・,等边三角形的三个内角都相等，正确，逆命题也正确，，③正确;

・・,底角相等的两个等腰三角形不一定全等，，④错误;

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个,

故选A.

【点评】本题考查了不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性

质和判定、相反数、命题与定理等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键.

7、9.（3分）（2017•聊城）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB

的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB,那

么使4ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论.

【解答】解：如图所示，使4ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3,

故选B.

【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题

的关键.

8、11.（3分）（2017•聊城）如图，将AABC绕点C顺时针旋转，使点B落在

AB边上点B，处，此时，点A的对应点A〃恰好落在BC边的延长线上，下列结论

错误的（）

B\

BcA

A.NBCB^NACA'B.ZACB=2ZB

C.NB'CA=NB'ACD.B'C平分NBB'A'

【分析】根据旋转的性质得到NBCB，=NACA，，故A正确，根据等腰三角形的

性质得到NB二NBBC,根据三角形的外角的性质得到NACB，=2NB,等量代换

得到NACB=2NB,故B正确；等量代换得到NABC=NBB，C,于是得到B'C

平分NBB7V,故D正确.

【解答】解：根据旋转的性质得，NBCB，和NACA，都是旋转角，则NBCB，=N

ACAS故A正确，

VCB=CB1,

/.ZB=ZBB,C,

又：NA'CB'二NB+NBB'C,

.•.ZArCB'=2ZB,

XVZACB=ZA'CBr,

・・・NACB=2NB,故B正确：

•・・NABC=NB,

・・・NABC=NBBC

，B，C平分NBB'A）故D正确；

故选C.

A

B,/\

BCA

【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确的

识别图形是解题的关键.

9、19.（3分）（2017•泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD

上一点，且BC=EC,CF_LBE交AB于点F,P是EB延长线上一点，下列结论:

①BE平分/CBF；②CF平分NDCB；③BOFB；④PF=PC,

其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性

质分别判断得出答案.

【解答】证明：・・・BC=EC,

JZCEB=ZCBE,

・・•四边形ABCD是平行四边形，

...DC〃AB,

AZCEB=ZEBF,

.*.ZCBE=ZEBF,

，①BE平分NCBF,正确；

VBC=EC,CF±BE,

・・・NECF=NBCF,

・••②CF平分NDCB,正确；

VDC/ZAB,

.e.ZDCF=ZCFB,

VZECF=ZBCF,

JZCFB=ZBCF,

ABF=BC,

・••③正确；

VFB=BC,CF±BE,

・・・B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC,

・,.PF=PC,故④正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三

角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键.

10>10.（3分）（2017•威海）如图，在口ABCD中，NDAB的平分线交CD于

点E,交BC的延长线于点G,NABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线

于点H,AG与BH交于点O,连接BE,下列结论错误的是（）

A.BO=OHB.DF=CEC.DH=CGD.AB=AE

【分析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质一一判断即可.

【解答】解：・・•四边形ABCD是平行四边形,

.•.AH//BG,AD=BC,

AZH=ZHBG,

VZHBG=ZHBA,

AZH=ZHBA,

AH=AB,同理可证BG=AB,

・・・AH=BG,VAD=BC,

・・.DH;CG,故③正确，

VAII=AD,ZOAII=ZOAB,

AOH=OB,故①正确，

VDF/7AB,

ZDFH=ZABH,

VZH=ZABH,

AZH=ZDFH,

ADF=DH,同理可证EC二CG,

VDH-CG,

・・・DF=CE,故②正确，

无法证明AE=AB,

故选D.

【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

11、9.（4分）（2017•淄博）如图，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的

一条直角边完全重合，若BC=4,则图中阴影部分的面积是（）

+

A.27tB.2+2冗C.4+JCD.2+4兀

【分析】如图，连接CD,OD,根据已知条件得到OB=2,/B=45。，根据三角

形和扇形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：如图，连接CD,OD,

VBC=4,

/.OB=2,

VZB=45°,

，ZCOD=90°,

2

・••图中阴影部分的面积二SABOD+S朗形COD二工x2X2+9°■天义，=2+兀,

2360

故选A.

A

【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅

助线是解题的关键.

—（x>0）

12.10.（3分）（2017•达州）已知函数尸々X的图象如图所示，点P

x

是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A,B两点，连接OA、

OB.下列结论：

①若点Mi（xi,yi）,M2（X2,yz）在图象上，且xiVx2V0,则yiVy2；

②当点P坐标为（0,-3）时，AAOB是等腰三角形；

③无论点P在什么位置，始终有S4AOB=7.5,AP=4BP；

④当点P移动到使NAOB=90。时，点A的坐标为（2%，-我）.

其中正确的结论个数为（）

v

A.1B.2C.3D.4

【分析】①错误.因为XiVx2V0,函数y随X是增大而减小，所以yi>y2；

②正确.求出A、B两点坐标即可解决问题;

③正确.设P(0,m),则B(3,m),A(-丝，m),可得PB=-2,PA=-丝,

IDIDIDID

推出PA=4PB,SAOB=SAOPB+SAOPA=^.+1^=7.5；

22

④正确.设P(0,m),则B(—,m),A(--1^-,m),推出PB=--»PA=--,

IDIDIDID

OP=-m,由△OPBs^APO，可得OP2=PB・PA,列出方程即可解决问题；

【解答】解：①错误.・・・xiVx2V0,函数y随x是增大而减小，

.*.yi>y2»故①错误.

②正确.VP(0,-3),

AB(-1,-3),A(4,-3),

AB=5,6\=在2+4A5,

；・AB=AO,

••.△AOB是等腰三角形，故②正确.

③正确.设P(0,m),则B(S,m),A(-—,m),

mm

APB=-XPA=-H,

mm

・・.PA=4PB,

SAOB=SAOPB+SAOPA=—+A2^7.5,故③正确.

22

④正确.设P(0,m)»则B(―,m),A(-A2.,m),

mm

/.PB=--,PA=-OP=-m,

mm

VZAOB=90°,ZOPB=ZOPA=90°,

.•.ZBOP+ZAOP=90°,ZAOP+ZOPA=90°,

AZBOP=ZOAP,

AAOPB^AAPO,

.OP二PB

AP-OP，

AOP2=PB*PA,

・m2__3./12）

min

m4=36,

Vm<0,

m=-V6»

AA（2泥，-泥），故④正确.

・•・②③④正确，

故选C.

【点评】本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定、两点间距离公式、相

似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

13、13.（3分）（2017•海南）己知AABC的三边长分别为4、4、6,在4ABC

所在平面内画一条直线，将AABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三

角形，则这样的直线最多可画（）条.

A.3B.4C.5D.6

【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边得出符合题意的图形即可.

【解答】解：如图所示:

当AC=CD,AB=BG,AF=CF,AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形.

故选B.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利

用图形分类讨论得出是解题关键.

14、11.（3分）（2017•天津）如图，在aABC中，AB=AC,AD、CE^AABC

的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是

（）

A.BCB.CEC.ADD.AC

【分析】如图连接PC,只要证明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+PC

2CE,推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度.

【解答】解：如图连接PC,

VAB=AC,BD=CD,

・・・AD_LBC,

・•・PB=PC,

・・・PB+PE=PC+PE,

;PE+PC2CE,

，P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，

故选B.

【点评】本题考查轴对称■最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的

性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

15>10.（3分）（2017•杭州）如图，在4ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC

边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD二x,tanZACB=y,则

（）

A.x-y2=3B.2x-y2=9C.3x-y2=15D.4x-y2=21

【分析】过A作AQ_LBC于Q,过E作EM_LBC于M,连接DE,根据线段垂

直平分线求出DE=BD=x,根据等腰三角形求出BD=DC=6,求出CM=DM=3,

解直角三角形求出EM=3y,AQ=6y,在Rt^DEM中，根据勾股定理求出即可.

过A作AQ_LBC于Q,过E作EM_LBC于M,连接DE,

TBE的垂直平分线交BC于D,BD=x,

BD=DE=x,

VAB=AC,BC=12,tanZACB=y,

・•.耨詈y,BQ=CQ=6,

...AQ=6y,

VAQ±BC,EM±BC,

，AQ〃EM,

YE为AC中点,

.\CM=QM=1CQ=3,

EM=3y,

ADM=12-3-x=9-x,

在Rt^EDM中，由勾股定理得：x2=(3y)2+(9-x)2,

即2x-y2=9,

故选B.

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直

角三角形等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键.

16、7.(3分)(2017•丽水)如图，在口ABCD中,连结AC,ZABC=ZCAD=45°,

AB=2,贝I」BC的长是()

A.V2B.2C.2V2D.4

【分析】证出4ACD是等腰直角三角形，由勾股定理求出AD,即可得出BC的

长.

【解答】解：,・•四边形ABCD是平行四边形，

ACD=AB=2,BC=AD,ZD=ZABC=ZCAD=45°,

AAC=CD=2,ZACD=90°,

即aACD是等腰直角三角形，

BC=AD=J22+2i2^"^；

故选：C.

【点评】本题考杳了平行四功形的性质、勾股定理、等腰百角三角形的判定与性

质；熟练掌握平行四边形的性质，证明aACD是等腰直角三角形是解决问题的

关键.

17、11.（4分）（2017•宁波）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E

在边AB上，BE=4,过点E作EF〃BC,分别交BD,CD于G,F两点.若M,

N分别是DG,CE的中点，则MN的长为（）

【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△EMFg^CMD,则EM二CM,利

用勾股定理得：BD=*7记=6&，EC=展25，可得4EBG是等腰直

角三角形，分别求EM=CM的长，利用勾股定理的逆定理可得aEMC是等腰直

角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得MN的长.

【解答】解：连接FM、EM、CM,

・・•四边形ABCD为正方形,

/.ZABC=ZBCD=ZADC=90°,BC=CD,

VEF//BC,

AZGFD=ZBCD=90°,EF=BC,

AEF=BC=DC,

•・•ZBDC=^ZADC=45°,

2

•••△GFD是等腰直角三角形，

•・・M是DG的中点，

AFM=DM=MG,FM_LDG,

JZGFM=ZCDM=45°,

AEM=CM,

过M作MH_LCD于H,

由勾股定理得：BD=^/62+62=6V2»

EC=^422=2VT3»

VZEBG=45°,

••・△EBG是等腰直角三角形，

AEG=BE=4,

・・・BG=4&,

ADM=V2

AMH=DH=1,

ACH=6-1=5,

・•・CM=EM=^12+5a=V26,

VCE2=EM2+CM2,

・・・ZEMC=90°,

・・・N是EC的中点,

2

故选C.

【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形

的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理的逆定理，属于基础题，

本题的关键是证明4EMC是直角三角形.

18、6.（3分）（2017•遵义）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果Nl=30。,

则N2的度数为（）

【分析】先根据平行线的性质，可得N4的度数，再根据三角形外角性质，即可

得到N2的度数.

【解答】解：・・・Nl=30。，

JZ3=90°-30°=60°,

・・,直尺的对边平行，

・•.Z4=Z3=60°,

又・.・N4=N2+N5,Z5=45°,

/.Z2=60°-45°=15°,

故选：D.

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意:

两直线平行，同位角相等.

19、8.（4分）（2017•台州）如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B

为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E,则卜列结论一定正确的是（）

A.AE=ECB.AE=BEC.ZEBC=ZBACD.ZEBC=ZABE

【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：VAB=AC,

AZABC=ZACB,

•・•以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E,

.\BE=BC,

.•.ZACB=ZBEC,

・•・ZBEC=ZABC=ZACB,

・・・NA=NEBC,

故选c.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角

也相等，难度不大.

二、填空题

12.（4分）（2017•丽水）等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是

100。.

【分析】根据100。角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相

等解答.

【解答】解：VI00°>90°,

・・・100。的角是顶角,

故答案为：100。.

【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，先判断出100。的角是顶角

是解题的关键.

2、15.（3分）（2017•邵阳）如图所示的正六边形ABCDEF,连结FD,则NFDC

的大小为90°.

【分析】首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：•・•在正六边形ABCDEF中，ZE=ZEDC=120°f

VEF=DE,

・・・ZEDF=ZEFD=30°,

.•・NFDC=90。，

故答案为：90°

【点评】此题考查了正多边形和圆.等腰三角形的性质，此题难度不大，注意数

形结合思想的应用.

3、14.（3分）（2017•白银）如图，4ABC内接于。O,若NOAB=32。，则NC二

58°.

【分析】由题意可知aOAB是等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出NAOB,

再利用圆周角定理确定NC.

【解答】解：如图，连接OB,

VOA=OB,

••.△AOB是等腰三角形，

AZOAB=ZOBA,

・・・ZOAB=32°,

.e.ZOAB=ZOAB=32°,

.,.ZAOB=116°,

・•・ZC=58°.

故答案为58.

【点评】本题是利用圆周角定理解题的典型题目，题目难度不大，正确添加辅助

线是解题关键，在解决和圆有关的题目时往往要添加圆的半径.

4、15.（3分）（2017•株洲）如图，已知AM为。O的直径,直线BC经过点M,

且AB=AC,NBAM;NCAM,线段AB和AC分别交。0于点D、E,ZBMD=40°,

则ZEOM=80°.

【分析】连接EM,根据等腰三角形的性质得到AM±BC,进而求出NAMD=70。,

于是得到结论.

【解答】解：连接EM,

VAB=AC,ZBAM=ZCAM,

AAMIBC,

•••AM为。O的直径,

.•.ZADM=ZAEM=90°,

/.ZAME=ZAMD=90°-ZBMD=50°

.•・ZEAM=40°,

.e.ZEOM=2ZEAM=80°,

故答案为：80°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解

题的关键.

5、13.（3分）（2017•武汉）如图，在。ABCD中，ZD=100°,NDAB的平分线

AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则NEBC的度数为30。.

【分析】由平行四边形的性质得出NABOND=100。，AB〃CD,得出/

BAD=180°-ZD=80°,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出/

ABE=70°,即可得出NEBC的度数.

【解答】解：,・•四边形ABCD是平行四边形，

.•.ZABC=ZD=100°,AB//CD,

AZBAD=180°-ZD=80°,

〈AE平分NDAB,

.•.ZBAE=80°4-2=40°,

VAE=AB,

/.ZABE=(180°-40°)4-2=70°,

・•・ZEBC=ZABC-ZABE=30°；

故答案为：30°.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形和内角

和定理等知识；关键是掌握平行四边形对边平行，对角相等.

6、20.（4分）（2017•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，口ABCO的顶点

A,B的坐标分别是A（3,0）,B（0,2）.动点P在直线y二-1x上运动，以点P

为圆心，PB长为半径的。P随点P运动，当OP与uABCO的边相切时，P点的

坐标为（0,0）或（2,1）或（3-泥，空匹）.

3——2

【分析】设P（X,2x）,OP的半径为「，由题意BCJ_y轴，直线OP的解析式

2

y=lx,直线OC的解析式为v=-2x,可知OPLOC,分分四种情形讨论即可.

23

【解答】解：①当。P与BC相切时，;动点P在直线y=&c上，

2

・・・P与O重合，此时圆心P到BC的距离为OB,

・・・p（0,0）.

②如图1中，当。P与OC相切时，则OP=BP,ZXOPB是等腰三角形，作PE_L

y轴于E,则EB=EO,易知P的纵坐标为1,可得P（~1,1）.

③如图2中，当。P与OA相切时，则点P到点B的距离与点P到x轴的距离相

等，可得Jx2+(,x-2),

解得x=3+加或3-泥，

Vx=3+V5>OA,

・・・P不会与0A相切，

・・・x=3+逐不合题意，

・・・p(3-泥，型匹).

2

④如图3中，当。P与AB相切时，设线段AB与直线0P的交点为G,此时PB二PG,

图3

VOP±AB,

・・・/BGP二NPBG=900不成立，

・,・此种情形，不存在P.

综上所述，满足条件的P的坐标为（0,0）或（2,1）或（3-巡，空匹）.

32

【点评】本题考查切线的性质、一次函数的应用、勾股定理、等腰三角形的性质

等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题,

属于中考填空题中的压轴题.

7、16.（3分）（2017•贵港）如图，点P在等边AABC的内部，且PC=6,PA=8,

PB=10,将线段PC绕点C顺时针旋转60。得到P'C,连接AP,则sin/PAP的值

【分析】连接PP,如图，先利用旋转的性质得CP=CP，=6,ZPCPr=60°,则可判

定aCPP，为等边三角形得到PP，=PC=6,再证明△PCBgaPCA得到PB=P，A=10,

接着利用勾股定理的逆定理证明aAPP为直角三角形，NAPP』90。，然后根据正

弦的定义求解.

【解答】解：连接PPI如图，

・・•线段PC绕点C顺时针旋转60。得到PC,

・・.CP=CP'=6,NPCP'=60。，

•••△CPP为等边三角形,

・・・PP'=PC=6,

VAABC为等边三角形，

・・・CB=CA,ZACB=60°,

・・・NPCB=NPCA,

在apcB和APCA中

'POP'c

<NPCB=NP，CA，

CB=CA

.,.△PCB^APZCA,

，PB=P，A=10,

V62+82=102,

APP^+AP^P/A2,

•••△APP为直角三角形，ZAPPf=90o,

/.sin/PAP，=PP'

PzA105

故答案为旦

5

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转

中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形

的性质和勾股定理的逆定理.

8、17.（4分）（2017•安顺）如图所示，正方形ABCD的边长为6,ZXABE是等

边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和

最小，则这个最小值为6

【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD,交AC于P点.此时PD+PE

的最小值二BE,而BE是等边4ABE的边，BE=AB,由正方形ABCD的边长为

6,可求出AB的长，从而得出结果.

【解答】解：设BE与AC交于点P,连接BD,

•・,点B与D关于AC对称，

APD=PB,

•••PD+PE=PB+PE=BE最小.

即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度;

・・•正方形ABCD的边长为6,

AAB=6.

又•••△ABE是等边三角形,

ABE=AB=6.

故所求最小值为6.

故答案为：6.

【点评】此题主要考查轴对称--最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问

题.

9、18.（4分）（2017•安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线1：y=x+2交x轴

于点A,交y轴于点Ai,点A2,A3,…在直线1上，点Bi,B2,B3,…在x轴

的正半轴上，若△AQBi,AA2B1B2,△A3B2B3,…，依次均为等腰直角三角形,

直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn」Bn顶点Bn的横坐标为

2n，1-2.

♦y

A/

.p<N\?

/oBiB2B3X

【分析】先求出Bl、B2、B3…的坐标，探究规律后,即可根据规律解决问题.

【解答】解：由题意得OA=OA『2,

/.OBI=OAI=2,

BIB2=BIA2=4,B2A3=BZB3=8,

ABI(2,0),Ba(6,0),Bj(14,0)

2=22-2,6=23-2,14=24-2,...

・・・Bn的横坐标为2馆-2.

故答案为2nf,-2.

八y

A/

菱(RI\»

/。&B2B3X

【点评】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关

键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型

10、16.（5分）（2017•六盘水）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的

顶点E、F分别在边BC和CD上，则NAEB=75度.

【分析】只要证明△ABEg^ADF,可得NBAE二NDAF=（90°-60°）4-2=15°,

即可解决问题.

【解答】解：・・•四边形ABCD是正方形,

AAB=AD,ZB=ZD=ZBAD=90°,

在RtAABE和RtAADF中,

[AB=AD,

lAE=AF，

/.△ABE^AADF,

.*.ZBAE=ZDAF=(90°-60°)4-2=15°,

/.ZAEB=75°,

故答案为75.

【点评】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确

寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

11、16.（5分）（2017•绍兴）如图，ZAOB=45°,点M,N在边OA上，OM=x,

ON=x+4,点P是边OB上的点，若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好

有三个，贝|Jx的值是_x=0或x=4爽・4或4VxV4包.

【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，

①如图1,当M与0重合时，即x=0时，点P恰好有三个；

②如图2,构建腰长为4的等腰直角△OMC,和半径为4的。M,发现M在点

D的位置时，满足条件；

③如图3,根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半

径画弧，与0B的交点就是满足条件的点P,再以MN为底边的等腰三角形，通

过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只

要满足以MN为腰的三角形有两个即可.

【解答】解：分三种情况：

①如图1,当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；

②如图2,以M为圆心，以4为半径画圆，当。M与0B相切时，设切点为C,

OM与0A交于D,

A

图2

AMC±OB,

・・♦ZAOB=45°,

AAMCO是等腰直角三角形，

AMC=OC=4,

・・・OM=4&,

当M与D重合时，即x=OM-DM=4加-4时，同理可知：点P恰好有三个；

③如图3,取OM=4,以M为圆心，以OM为半径画圆，

则。M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4,即以NPMN为顶角，MN为

腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线0B相离,

说明此时以NPNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是

以NM为底边的符合条件的点P；

点M沿OA运动，到Mi时，发现。Mi与直线OB有一个交点：

・••当4VxV4加时，圆M在移动过程中，则会与0B除了。外有两个交点，满

足点P恰好有三个；

综上所述，若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：

x=0或x=4V2-4或4<x<4-72.

故答案为：x=0或x=4V^-4或4<x<4加.

A

图3

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，有难度，本题通过数形结合的思想解决

问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法.

12、17.（3分）（2017•齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段

把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另夕I、一个三角形和原

三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线如图，线段CD

是4ABC的“和谐分割线”，AACD为等腰三角形，Z\CBD和4ABC相似，Z

A=46°,则NACB的度数为113。或92。.

【分析】由4ACD是等腰三角形，ZADOZBCD,推出NADONA,即AC

WCD,分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可.

【解答】解：VABCD^ABAC,

.•.ZBCD=ZA=46°,

•••△ACD是等腰三角形，VZADOZBCD,

AZADOZA,即ACHCD,

①当AC=AD时，ZACD=ZADC=-^(180°-46°)=67°,

2

.•.ZACB=67O+46°=113°,

②当DA=DC时，ZACD=ZA=46°,

・•・ZACB=46°+46°=92°,

故答案为113°或92°.

【点评】本题考查相似三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题

型.

13、19.（3分）（2017•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形

OA1A2的直角边OAi在y轴的正半轴上，且OAi=AIA2=1,以OA2为直角边作

第二个等腰直角三角形OA2A3,以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形

OA3A4,…，依此规律,得到等腰直角三角形OA2017A2018,则点A2017的坐标为

（0,（爽）2016）或（。.

【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OAi=l,OA2=V2,OA3=（V2）2,…,

OA2oi7=（V2）2016»再利用Ai、A2、A3、…，每8个一循环，再回到y轴的正

半轴的特点可得到点A2017在y轴的正半轴上，即可确定点A2017的坐标.

【解答】解：•・•等腰直角三角形OA1A2的直角边OAi在y轴的正半轴上，且

OAI=AIA2=1,以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3,以OA3为直角

边作第三个等腰直角三角形OA3A4,…，

/•OAi=l,OA2=V2»OA3=(V2)...»OA2oi7=(A/2)20,6

VAixA2、A3、…，每8个一循环，再回到y轴的正半轴,

20174-8=252...1,

・••点A2017在第一象限，

VOA2017=（V2）2。叱

・••点A2017的坐标为（0,（V2）2016）即（0,21008）.

故答案为（0,（V2）236）或（0,2,008）.

【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角

形的两底角都等于45。；斜边等于直角边的加倍.也考查了直角坐标系中各象限

内点的坐标特征.

14、20.（3分）（2017•绥化）在等腰aABC中，AD_LBC交直线BC于点D,

若AD=A.BC,贝IJZ\ABC的顶角的度数为30。或150。或90。.

2

【分析】分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30。角所对的直

角边等于斜边的一半判断出/ACD=30。，然后分AD在4ABC内部和外部两种

情况求解即可.

【解答】解：①BC为腰，

・・・AD_LBC于点D,AD=A.BC,

2

ZACD=30°,

如图LAD在aABC内部时，顶角NC=30。，

如图2,AD在aABC外部时，顶角NACB=180°-30°=150。,

②BC为底，如图3,

•・・AD_LBC于点D,AD=-1.BC,

2

AAD=BD=CD,

，NB=NBAD,ZC=ZCAD,

，NBAD+NCAD=LX180O=90°,

2

，顶角NBAC=90。，

综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30。或150。或90°.

故答案为：30。或150。或90。.

【点评】本题考查了含30。交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨

论是解题的关键.

15、21.（3分）（2017•绥化）如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中

点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角

n个小三角形的面积为

【分析】记原来三角形的面积为s,第一个小三角形的面积为si,第二个小三角

形的面积为S2,…，求出SI,S2,S3,探究规律后即可解决问题.

【解答】解：记原来三角形的面积为S,第一个小三角形的面积为SI,第二个小

三角形的面积为S2,…,

.・Sic=-l^S=—1

422

S2=—•§,

4

442

S3二士ts,

26

♦・Sn=-1■•s=>-1*2*2=--——,

22n22n22211-1

故答案为

22kl

【点评】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积等知识，解题的关键是循

环从特殊到一般的探究方法，寻找规律，利用规律即可解决问题.

16、12.（3分）（201分黄冈）如图,在正方形ABCD的外侧,作等边AADE,

则NBED的度数是一45。.

【分析】根据正方形的性质，可得AR与AD的关系，/RAD的度数，根据等

边三角形的性质，可得AE与AD的关系，NAED的度数，根据等腰三角形的性

质，可得NAEB与NABE的关系，根据三角形的内角和，可得NAEB的度数，

根据角的和差，可得答案.

【解答】解：•・•四边形ABCD是正方形,

AAB=AD,ZBAD=90°.

・・•等边三角形ADE,

・・・AD二AE,ZDAE=ZAED=60°.

ZBAE=ZBAD+ZDAE=90°+60°=150°,

AB=AE,

ZAEB=ZABE=（180°-ZBAE）4-2=15°,

ZBED=ZDAE-ZAEB=60°-15°=45°,

故答案为：45。.

【点评】本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质，先求出NBAE的度数,

再求出NAEB,最后求出答案.

17、16.（4分）（2017•怀化）如图，在菱形ABCD中，ZABC=120°,AB=10cm,

点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角

形，则P,A（P,A两点不重合）两点间的最短距离为10立・10cm.

【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底.②若以边PB为底.③若以边PC

为底.分别求出PD的最小值，即可判断.

【解答】解：连接BD,在菱形ABCD中，

VZABC=120°,AB=BC=AD=CD=10,

JZA=ZC=60°,

•,.△ABD,ABCD都是等边三角形，

①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意,

此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点

P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；

②若以边PB为底，NPCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC

相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足APBC是等腰三角形，当

点P在AC上时，AP最小，最小值为10晶-10；

③若以边PC为底，/PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC

上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小,

显然不满足题意，故此种情况不存在；

综上所述，PD的最小值为10>巧-1。（cm）；

故答案为：10^-10.

【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等

知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

18、16.（3分）（2017•连云港）如图，己知等边三角形OAB与反比例函数

x

（k>0,x>0）的图象交于A、B两点，将AOAB沿直线OB翻折，得到△OCB,

点A的对应点为点C,线段CB交x轴于点D,则毁的值为返工.（已知

DC-2~

sin15。=近返）

4

【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据反比例函数的对称性可知：直线OM：

y=x,求出NBOF=15。，根据15。的正弦列式可以表示BF的长，证明△BDFs4

CDN,可得结论.

【解答】解：如图，过O作OM_LAB于M,

VAAOB是等边三角形，

AAM=BM,ZAOM=ZBOM=30°,

・・・A、B关于直线0M对称，

•••A、B两点在反比例函数y二四（k>0,x>0）的图象上，且反比例函数关于直

x

线y=x对称，

，直线OM的解析式为：y=x,

.•.ZBOD=45°-30°=15°,

过B作BF_Lx轴于F,过C作CN_Lx轴于N,

sinZBOD=sin15。二匹近迹，

0B4

VZBOC=60°,ZBOD=15°,

ZCON=45°,

•••△CNO是等腰直角三角形，

.\CN=ON,

设CN=x,则OC二小，

.'.OB=V2x»

.BF-V6-V2

一酝~r-，

...BF二（《T）x,

2

•・・BFJ_x轴，CN_Lx轴，

，BF〃CN,

••.△BDFs/XCDN,

.BD二%2二好1

・*CD^CNx2

故答案为：正L.

2

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、等边三角形的性质、等

腰直角三角形的性质和判定、三角函数、三角形相似的性质和判定、翻折的性质，

明确反比例函数关于直线y=x对称是关键,在数学题中常设等腰直角三角形的直

角边为未知数x,根据等腰直角三角形斜边是直角边的加倍表示斜边的长，从而

解决问题.

19、18.（3分）（2017•苏力卜）如图，在矩形ABCD中，将/ABC绕点A按逆

时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B'C交CD边于点G.连接BB\CC,.若

AD=7,CG=4,AB^BG则马二恒（结果保留根号）.

BB，一5一

【分析】先连接AC,AG,AC,构造直角三角形以及相似三角形，根据AABB，

^△ACC,可得至池，设AB=AB'=x,贝IJAG=扬，DG=x