2025年北师大版高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知不同直线和不同平面给出下列命题：①②③异面④其中错误的命题有（）个A.1B.2C.3D.42、设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题①②③④其中正确的命题是Ａ．①④Ｂ．②③Ｃ．①③Ｄ．②④3、若集合且则集合B可能是()A.B.C.D.4、已知平面上三点A，B，C满足则△ABC的形状是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形5、已知向量a鈫�=(1,鈭�2)b鈫�=(x,4)

且a鈫�//b鈫�

则|a鈫�+b鈫�|

的值是(

)

A.2

B.5

C.83

D.53

6、对某小区100

户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为(

)

A.2.252.5

B.2.252.02

C.22.5

D.2.52.25

7、某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A

处测得正前方河流的两岸BC

的俯角分别为75鈭�30鈭�

此时无人机的高是60

米，则河流的宽度BC

等于(

)

A.2403

米B.180(2鈭�1)

米C.120(3鈭�1)

米D.30(3+1)

米评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x2+4x，那么当x＜0时，f（x）=____．9、计算sin（-120°）cos1290°=____．10、下左程序运行后输出的结果为_________________________.11、【题文】设集合A=｛2,3｝，B=｛2,3,4｝,C=｛3,4,5｝则12、函数y=2sin（2x+），x∈[-]的值域是______．13、用辗转相除法求840与1764的最大公约数为______．评卷人得分三、证明题(共5题，共10分)14、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．15、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．16、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．17、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．18、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．评卷人得分四、解答题(共1题，共2分)19、【题文】请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设．

（1）若广告商要求包装盒侧面积最大，试问应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

评卷人得分五、计算题(共3题，共18分)20、在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则=____．21、如果菱形有一个角是45°，且边长是2，那么这个菱形两条对角线的乘积等于____．22、计算：（2）﹣（﹣2016）0﹣（）+（）﹣2．评卷人得分六、综合题(共3题，共24分)23、已知平面区域上；坐标x，y满足|x|+|y|≤1

（1）画出满足条件的区域L0；并求出面积S；

（2）对区域L0作一个内切圆M1，然后在M1内作一个内接与此圆与L0相同形状的图形L1，在L1内继续作圆M2；经过无数次后，求所有圆的面积的和．

（提示公式：）24、（2011•青浦区二模）如图，已知边长为3的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是____．25、（1）如图；在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点；

求证：MB=MC．

（2）如图；在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（4，2）．

①画出△OAB向下平移3个单位后的△O1A1B1；

②画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求点A旋转到点A2所经过的路线长（结果保留π）．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】试题分析：①正确；②当时不成立，故②错误；③异面，故③错误；④有可能故④错误考点：直线与平面（平行）垂直的判定和性质定理，平面与平面（平行）垂直的判定和性质定理【解析】【答案】C2、C【分析】【解析】

因为命题1中，符合平行平面的传递性，因此成立命题2中，两个平面垂直，一条直线平行与其中一个平面，有可能与另一个平面斜交，因此错误命题3中，一条直线垂直于一个平面，同时还平行与另一个平面，则这两个平面垂直，成立命题4中，可能m在平面内，错误。选C【解析】【答案】C3、A【分析】【分析】因为集合A表示的为大于等于零的实数集合，而则根据子集的定义可知，只要集合B的元素都是属于集合A的，则满足题意。选项A中，1,2都在非负数范围内，成立，选项B中，当x<1不满足条件，选项C中，-1,0，不属于集合A中的运算，故不成立。选项D中，负数不满足，故错误，选A.4、A【分析】【解答】设AC的中点为D，则因为所以即中线BD也为高线，所以△ABC是等腰三角形。

【分析】熟练掌握向量加法的平行四边形法则，并对平行四边形法则的变形灵活应用。5、B【分析】解：隆脽a鈫�//b鈫�隆脿鈭�2x鈭�4=0

解得x=鈭�2

．

隆脿b鈫�=(鈭�2,4)

．

隆脿a鈫�+b鈫�=(鈭�1,2)

．

则|a鈫�+b鈫�|=(鈭�1)2+22=5

．

故选：B

．

利用向量共线定理；模的计算公式即可得出．

本题考查了向量的坐标运算、向量共线定理、模的计算公式，属于基础题．【解析】B

6、B【分析】解：由频率分布直方图可知，数据在[2,2.5]

之间的面积最大，此时众数集中在[2,2.5]

内，用区间[2,2.5][2,2.5]的中点值来表示；隆脿

众数为2.25

．

第一组的频率为0.08隆脕0.5=0.04

对应的频数为0.04隆脕100=4

第二组的频率为0.16隆脕0.5=0.08

对应的频数为0.08隆脕100=8

第三组的频率为0.30隆脕0.5=0.15

对应的频数为0.15隆脕100=15

第四组的频率为0.44隆脕0.5=0.22

对应的频数为0.22隆脕100=22

第五组的频率为0.50隆脕0.5=0.25

对应的频数为0.25隆脕100=25

前四组的频数之和为4+8+15+22=49

隆脿

中位数为第5

组的第一个数据以及第5

组的第二个数据的平均数；对照选项，中位数是2.02

比较适合；

故选：B

．

根据频率分布直方图；结合众数和中位数的定义进行求解即可．

本题考查频率分布直方图、利用频率分布直方图进行总体估计：求中位数以及众数的定义，比较基础．【解析】B

7、C【分析】解：如图

由图可知，隆脧DAB=15鈭�

隆脽tan15鈭�=tan(45鈭�鈭�30鈭�)=2鈭�3

．

在Rt鈻�ADB

中；又AD=60

隆脿DB=AD?tan15鈭�=60隆脕(2鈭�3)=120鈭�603

．

在Rt鈻�ADC

中，隆脧DAC=60鈭�AD=60

隆脿DC=AD?tan60鈭�=603

．

隆脿BC=DC鈭�DB=603鈭�(120鈭�603)=120(3鈭�1)(m)

．

隆脿

河流的宽度BC

等于120(3鈭�1)m

．

故选：C

．

由题意画出图形，由两角差的正切求出15鈭�

的正切值；然后通过求解两个直角三角形得到DC

和DB

的长度，作差后可得答案．

本题给出实际应用问题，求河流在BC

两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．【解析】C

二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】

【解析】

设x＜0；则-x＞0；

∵当x＞0时，f（x）=x2+4x，∴f（-x）=x2-4x；

∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-x2+4x；

故答案为：-x2+4x．

【解析】【答案】先设x＜0，则-x＞0，代入f（x）=x2+4x并进行化简；再利用f（x）=-f（-x）进行求解．

9、略

【分析】

∵sin（-120°）cos1290°

=sin（-120°）cos（4×360°-150°）

=sin（-120°）cos（-150°）

=-×（-）

=．

故答案为：

【解析】【答案】利用诱导公式与终边相同角的公式即可求得sin（-120°）cos1290°的值．

10、略

【分析】试题分析：镶嵌的判断语句因为x=5>0所以执行y=y+3.即运算完了的y=-17.接着输出x-y=22;y-x=-22.故填22;-22.熟悉判断语句的知识点.考点：含镶嵌的判断语句应用.【解析】【答案】22;-22.11、略

【分析】【解析】因为集合A=｛2,3｝，B=｛2,3,4｝,C=｛3,4,5｝，所以【解析】【答案】12、略

【分析】解：∵x∈[-]，∴2x+∈[0，]．

∴当2x+=时，2sin（2x+）取得最大值2×1=2；

当2x+=时，2sin（2x+）取得最小值2×（-）=-．

故答案为[-2]．

求出2x+的范围；结合正弦函数的图象与性质得出范围．

本题考查了正弦函数的图象，属于基础题．【解析】[-2]13、略

【分析】解：用辗转相除法求840与1764的最大公约数．

1764=840×2+84；

840=84×10+0

∴840与1764的最大公约数是84．

故答案为：84

用辗转相除法求840与1764的最大公约数；写出1764=840×2+84，840=84×10+0，得到两个数字的最大公约数．

本题考查辗转相除法和更相减损术，这是算法案例中的一种题目，本题解题的关键是解题时需要有耐心，认真计算，不要在数字运算上出错，本题是一个基础题【解析】84三、证明题(共5题，共10分)14、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．15、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．16、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．17、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．18、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．四、解答题(共1题，共2分)19、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）先设包装盒的高为底面边长为写出与的关系式，并注明的取值范围，再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积关于的函数解析式；最后求出何时它取得最大值即可；

（2）利用体积公式表示出包装盒容积关于的函数解析式；利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．

设包装盒的高为底面边长为

由已知得

（1）∵2分。

∴当时，取得最大值3分。

（2）根据题意有5分。

∴

由得，(舍)或

∴当时当时7分。

∴当时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为

即包装盒的高与底面边长的比值为10分．

考点：1．函数的应用问题；2．函数的最值与导数；3．二次函数的图像与性质．【解析】【答案】（1）当时，取得最大值；（2）当时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为．五、计算题(共3题，共18分)20、略

【分析】【分析】作BE∥AC，从而得到平行四边形ACEB，根据平行四边形的性质及中位线定理可求得DE的长，根据勾股定理的逆定理可得到△DBE为直角三角形，根据面积公式可求得梯形的高，因为△AOB和△COD的面积之和等于梯形的面积从而不难求解．【解析】【解答】解：作BE∥AC；

∵AB∥CE；∴CE=AB；

∵梯形中位线为6.5；

∴AB+CD=13；

∴DE=CE+CD=AB+CD=13；

∵BE=AC=5；BD=12，由勾股定理的逆定理；

得△BDE为直角三角形；即∠EBD=∠COD=90°；

设S△EBD=S

则S2：S=DO2：DB2

S1：S=OB2：BD2

∴=

∵S=12×5×=30

∴=．

故本题答案为：．21、略

【分析】【分析】利用三角函数先求出菱形的高，再根据菱形的面积等于底乘以相应高求出面积，然后根据菱形面积的两种求法可知两条对角线的乘积就等于面积的2倍．【解析】【解答】解：根据题意，菱形的高=2sin45°=；

∴菱形的面积=2×=2；

∵菱形的面积=×两对角线的乘积；

∴两对角线的乘积=4．

故答案为4．22、解：==【分析】【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．六、综合题(共3题，共24分)23、略

【分析】【分析】（1）根据绝对值的性质去掉绝对值号，作出|x|+|y|≤