2024年沪教版高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪教版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、一列数：7，72，73，74，，72011．其中末位数字是3的有（）A.503个B.502个C.1004个D.256个2、M={0；1，2}，N={0，3，4}，则M∩N=（）

A.{0}

B.{1；2}

C.{3；4}

D.∅

3、【题文】已知函数y＝－x2－2（a－1）x＋5在区间[－1，＋∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A.a≥2B.a≤2C.a≥－2D.a≤－24、【题文】在正四棱锥S-ABCD中，侧面与底面所成的角为则它的外接球半径R与内切球半径之比为（）A.5B.C.10D.5、若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0（a＞0）的公共弦的长为则a等于（）A.1B.C.D.2评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)6、已知数列{an}满足a1=1，an=（n≥2）．

（1）求a2，a3；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）设{an}的前n项和Sn，证明：Sn＞2-．7、定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数）；使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为f（x）的一个承托函数．现有如下命题：

①对给定的函数f（x）；其承托函数可能不存在，也可能无数个；

②g（x）=2x为函数f（x）=2x的一个承托函数；

③若函数g（x）=x-a为函数f（x）=ax2的承托函数，则a的取值范围是

④定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；

其中正确命题的序号是____．8、已知集合A=[1，4），B=（-∞，2a-1），若A⊆B，则a的取值范围是____．9、【题文】函数的定义域为____。10、【题文】若是平面内的三点，设平面的法向量则_______________。11、A={x|3＜x≤7}，B={x|4＜x≤10}，则A∪B=______．12、设f：A→B是从A到B的一个映射，其中A=B={（x，y）|x∈R，y∈R}，f：（x，y）→（x+y，xy），则A中（1，-2）的象是______，B中（1，-2）的原象是______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)13、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．14、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．15、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．16、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．17、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．18、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．19、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、解答题(共4题，共16分)20、已知函数f（x）=3sin（x-）；x∈R．

（1）用五点作图法画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；

（2）求此函数的对称中心和对称轴．

21、【题文】已知函数f(x)＝在区间[－1；1]上是增函数．

(1)求实数a的值组成的集合A；

(2)设x1、x2是关于x的方程f(x)＝的两个相异实根，若对任意a∈A及t∈[－1，1]，不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|恒成立，求实数m的取值范围．22、已知向量a鈫�=(鈭�3,1)b鈫�=(1,鈭�2)m鈫�=a鈫�+k鈫�(k隆脢R)

．

(1)

若m鈫�

与向量2a鈫�鈭�b鈫�

垂直；求实数k

的值；

(2)

若向量c鈫�=(1,鈭�1)

且m鈫�

与向量kb鈫�+c鈫�

平行，求实数k

的值．23、(

文)

已知cos娄脕=鈭�45

且娄脕

为第三象限角，求sin娄脕tan娄脕

的值．评卷人得分五、综合题(共2题，共10分)24、已知抛物线Y=x2-（m2+4）x-2m2-12

（1）证明：不论m取什么实数；抛物线必与x有两个交点。

（2）m为何值时；x轴截抛物线的弦长L为12？

（3）m取什么实数，弦长最小，最小值是多少？25、设L是坐标平面第二；四象限内坐标轴的夹角平分线．

（1）在L上求一点C，使它和两点A（-4，-2）、B（5，3-2）的距离相等；

（2）求∠BAC的度数；

（3）求（1）中△ABC的外接圆半径R及以AB为弦的弓形ABC的面积．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】【分析】计算出前几个数的个位数字，发现末位上的数字以7，9，3，1每四个一循环，从而可求出2011个数共有502个整循环，由此可得出答案．【解析】【解答】解：由题意可知：

71=7个位数字为7；

72=49个位数字为9；

73=343个位数字为3；

74=2401个位数字为1；

75=16807个位数字为7；

76=117649；个位数字为9；

77=823543；个位数字为3．

所以可知每4个数为一个循环；即2011=502×4+3，共有503个末位数字是3．

故选A．2、A【分析】

∵M={0；1，2}，N={0，3，4}；

∴M∩N={0}．

故选A

【解析】【答案】两集合的交集为两集合的公共元素组成的集合；故找出集合M和N的公共元素0，即可得到两集合的交集．

3、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A4、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D5、A【分析】解：由已知x2+y2+2ay-6=0的半径为圆心坐标为（0，-a）

圆x2+y2=4的半径为2；圆心坐标为（0，0）

∵圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0（a＞0）的公共弦的长为

则圆心（0；0）到公共弦的距离为1

圆心（0；-a）到公共弦的距离为1+a

由图可知6+a2-（a+1）2=（）2；解之得a=1．

故选A

根据已知中两圆的方程；画出草图，进而根据半径；半弦长、弦心距构成直角三角形，满足勾股定理可得a值．

本小题考查圆与圆的位置关系，圆的弦长公式，其中根据已知分析出圆心（0，-a）到公共弦的距离为1+a，是解答的关键．【解析】【答案】A二、填空题(共7题，共14分)6、略

【分析】

（1）

（2）an=（n≥2）．

∴=

令cn=则cn=2cn-1+1，cn+1=2（cn-1+1）；

又c1+1==2，所以数列{cn+1}是以2为首项；2为公比的等比数列；

所以cn+1=2n，cn=2n-1；

∴an=

（3）an=＞所以Sn＞a1+a2++an=

令Tn=①

则=②

①-②得==

Tn=2-．

所以Sn＞2-．

【解析】【答案】（1）a1=1，再an=（n≥2）中令n=2求a2，令n=3求a3．

（2）由an=（n≥2），两边取倒数，得出=令cn=构造得出数列{cn+1}是以2为首项；2为公比的等比数列；

通过数列{cn+1}的通项公式求an．

（3）由（2）an=直接求Sn不易求．将每项进行缩小，an=＞利用错位相消法将右边相加；化简后，即可证明．

7、略

【分析】

对于①；若f（x）=sinx；

则g（x）=B（B＜-1）；就是它的一个承托函数，且有无数个；

再如y=tanx；y=lgx就没有承托函数，故命题①正确；

对于②，∵当x=时，g（）=3，f（）=2=

∴f（x）＜g（x）；

∴g（x）=2x不是f（x）=2x的一个承托函数；故错误；

对于③，∵函数g（x）=x-a为函数f（x）=ax2的承托函数；

∴ax2≥x-a对一切实数x都成立；

∴

解得a．故正确；

对于④；如f（x）=2x+3存在一个承托函数y=2x+1，故错误；

故答案为：①③．

【解析】【答案】对于①，若取f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1），都满足，且有无数个，正确；对于②，当x=时，②错；对于③，由函数g（x）=x-a为函数f（x）=ax2的承托函数，知ax2≥x-a对一切实数x都成立；由此能求出a的范围．对于④，如取f（x）=2x+3，即可看出其不符合，故错．

8、略

【分析】

∵A=[1；4），B=（-∞，2a-1），若A⊆B

∴2a-1≥4

∴a≥

故答案为：．

【解析】【答案】根据两个集合的关系；判断出两个集合的端点的大小，列出不等式求出a的范围．

9、略

【分析】【解析】

试题分析：由题意∴故函数的定义域为

考点：本题考查了定义域的求法。

点评：求函数的定义域的准则一般有：①分式中分母不为零；②偶次根式中，被开方式非负；③对于中，．【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】依题意可得，由可得。

从而可得

所以【解析】【答案】11、略

【分析】解：A={x|3＜x≤7}；B={x|4＜x≤10}，则A∪B={x|3＜x≤10}．

故答案为：{x|3＜x≤10}．

直接利用并集的运算法则化简求解即可．

本题考查并集的运算法则的应用，是基础题．【解析】{x|3＜x≤10}12、略

【分析】解：由R到R的映射f：（x；y）→（x+y，xy）；

x=1；y=-2，则x+y=-1，xy=-2，∴A中（1，-2）的象是（-1，-2）；

设（1；-2）的原象是（x，y）

则x+y=1；xy=-2

解得：x=2；y=-1，或x=-1，y=2

故（1；-2）的原象是（2，-1）和（-1，2）

故答案为：（-1；-2）；（2，-1）和（-1，2）．

根据对应法则和象；原象的坐标；即可得出结论．

本题考查的知识点是映射的概念，其中根据对应法则和象的坐标，构造方程组是解答本题的关键．【解析】（-1，-2）；（2，-1）和（-1，2）三、证明题(共7题，共14分)13、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．14、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．15、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．16、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．17、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．18、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．19、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、解答题(共4题，共16分)20、略

【分析】

（1）根据题意列出表格得：

。xπ2π3sin（）3-3

（2）函数f（x）=3sin（x-）；

所以令

解得

所以函数的对称中心坐标

令

解得：

∴函数g（x）的对称轴方程为：．

【解析】【答案】（1）利用描点法画函数图象，第一步列表，令函数解析式中的角分别为0，π，2π，求出x的值，且代入函数解析式求出对应的函数值y的值，找出函数图象上五点坐标，在平面直角坐标系中描出五个点，用平滑的曲线画出函数图象即可；

（2）借助正弦函数的对称中心与对称轴；求出函数的对称中心；对称轴方程．

21、略

【分析】【解析】(1)f′(x)＝

因为f(x)在[－1；1]上是增函数，所以当x∈[－1，1]时；

f′(x)≥0恒成立；

令φ(x)＝x2－ax－2，即x2－ax－2≤0恒成立．解得－1≤a≤1.

所以A＝{a|－1≤a≤1}．

(2)由f(x)＝得x2－ax－2＝0.

设x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，所以x1＋x2＝a，x1x2＝－2.从而|x1－x2|＝因为a∈[－1，1]，所以≤3，即|x1－x2|max＝3；

不等式对任意a∈A及t∈[－1；1]不等式恒成立；

即m2＋tm－2≥0恒成立．

设g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋m2－2，则

解得m≥2或m≤－2.故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)【解析】【答案】（1）A＝{a|－1≤a≤1}（2）(－∞，－2]∪[2，＋∞)22、略

【分析】

(1)

由m鈫�

与向量2a鈫�鈭�b鈫�

垂直，可得m鈫�?(2a鈫�鈭�b鈫�)=0

解得k

．

(2)

利用向量共线定理即可得出．

本题考查了向量垂直与数量积的共线、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】解：(1)m鈫�=a鈫�+kb鈫�=(鈭�3+k,1鈭�2k)2a鈫�鈭�b鈫�=(鈭�7,4)

．

隆脽m鈫�

与向量2a鈫�鈭�b鈫�

垂直，隆脿m鈫�?(2a鈫�鈭�b鈫�)=鈭�7(鈭�3+k)+4(1鈭�2k)=0

解得k=53

．

(2)kb鈫�+c鈫�=(k+1,鈭�2k鈭�1)隆脽m鈫�

与向量kb鈫�+c鈫�

平行；

隆脿(鈭�2k鈭�1)(鈭�3+k)鈭�(1鈭�2k)(k+1)=0

解得k=鈭�13

．23、略

【分析】

由cos娄脕

的值及娄脕

为第三象限角；利用同角三角函数间的基本关系求出sin娄脕

与tan娄脕

的值即可．

此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．【解析】解：隆脽cos娄脕=鈭�45

且娄脕

为第三象限角；

隆脿sin娄脕=鈭�1鈭�cos2娄脕=鈭�35

则tan娄脕=sin娄脕cos伪=34

．五、综合题(共2题，共10分)24、略

【分析】【分析】（1）因为△=（m2+4）2-4×1×（-2m2-12），配方后得到△=（m2+8）2，而m2+8＞0；得到△＞0，即可得到结论；

（2）令y=0，则x2-（m2+4）x-2m2-12，解方程得到x1=m2+6，x2=-2，于是L=x1-x2=m2+6-（-2）=m2+8，令L=