2020版高考理科数学各类题型归纳训练

2020年高考理科数学《二项式定理》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一二项式定理展开的特殊项

例在二项式12—的展开式中，含/的项的系数是（）

A.-10B.10

C.-5D.5

【答案】B

【解析】对于2=。；（疗］—9=（一1），0次。-3，，对于10-3x4,.“=2,则公

的项的系数是C；（-1）2=10

【易错点】公式记错，计算错误。

【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，知道什么是系数，会求每一

项的系数.

题型二求参数的值

例若二项式卜+击）的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式

x6的系数为.（用数字作答）

【答案】9

【解析】根据已知条件可得：£：=dn〃=3+6=9,所以'+」产］的展开式

<）

的通项为却=C1产，由令9-,=6nr=2,所以所求系数为

加=9

【易错点】分数指数幕的计算

【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，并用其公式求参数的值.

题型三展开项的系数和

例已知+=4+〃［（1_/）+%（1_1）2+…+4］0（1_11°,则q等于（）

A.-180B.180C.45D.-45

【答案】B

【解析】由于(1+到°=[2-(1-刈°,又[2—(1—刈。的展开式的通项公式为：

必=(一/品.*，(1一步，在展开式中4是(1-尤)8的系数,

所以应取r=8,

，4=(一/党.22=180.

【易错点】对二项式的整体理解

【思维点拨】本题主要对二项式定理展开式的综合考查，学会构建模型

题型四二项式定理中的赋值

二项式(2元-3yy的展开式中，求：

(1)二项式系数之和；

(2)各项系数之和；

(3)所有奇数项系数之和.

【答案】(1)29(2)-1(3)贵匚

2

【解析】设(2¥+3»=40工9+6/丫+47丁+...+%),9

⑴二项式系数之和为端+C；+仁+...+《=2。.

(2)各项系数之和为/+q+出+...+々9=(2—3)'=—1

(3)由⑵知％+q+6+...+%=-1,令x=l,y=-l,得%+4+生+…+々9=5。，

59-1

将两式相加，得/+%+4+为+4=宁，即为所有奇数项系数之和.

【思维点拨】本题主要学会赋值法求二项式系数和、系数和，难点在于赋值

【巩固训练】

题型一二项式定理展开的特殊项

1.在(%-2厂的展开式中，f的系数为()

A.16C,tB.32C^

C.-8喘D.-l6Cf()

【答案】A

,or

【解析】解：Tr+l=C1；x-（-2）\.-.lO-r=6,r=4,f的系数为叱（-2丫=1©

2.的展开式中/的系数是

【答案】1120

28rrr3r

【解析】解：Tr+l=q（x）-（j）=2c^,/.16-3r=4,解得/«=4,所以/

的系数为2，仁=1120

3.在（1-丁上+疗的展开式中，d的系数是.（用数字作答）

【答案】-228

【解析】解：（1—丁）（2+66的展开式中，丁的系数是2管一24。；=一228

题型二求参数的值

1.已知（l+3x）"的展开式中含有f的系数是54,贝ij〃=.

【答案】4

r

【解析】解：（1+3村’的展开式中通项公式：7；+I=C；r（3xy・・,含有炉的系数

是54,Ar=2.

2

•*.3Cz^=54,可得C：=6,；・〃（〃—l）+2=6,〃sN*,解得〃=4.

2.在（五+£|（〃>0）的展开式中常数项的系数是60,则.的值为.

【答案】2

【解析】解：（+]=墨（«产「€），2）令3-]=。，解得r=2.

/.a2Cl=60,a>0,解得a=2.

3.在（2+工）5的展开式中，/的系数为.（用数字作答）

【答案】40

5r

【解析】利用通项公式，7；+I=C；2-Z,,令r=3,得出1的系数为22以=40

题型三展开项的系数和

1.在卜+味）的展开式中’各项系数和与二项式系数和之比为64,则岸的系

数为（）

A.135B.405C.15D.45

【答案】A

4"36--r?

【解析】由题意可得不"=64,，〃=6。（+]=C/6-r（丁）「二3'C"2,/.6--r=3,

2yjX2

r=2,则V的系数为32°；=135

2.若二项式，五十工丫的展开式中各项的系数和为32,则该展开式中含x的系数

Ix）

为（）

A.1B.5C.10D.20

【答案】B

153

5-rr2

【解析】解：令工=1,则2"=32,，=5,ATr+]=C；（V^）（-）=C；x

令2—3r=l'=I,..・・该展开式中含x的系数为C；=5

22

3\x~i.的二项展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则各项的系数

和为________

【答案】-1

【解析】解：因为工-2的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大所以

〃=9

^X=1,(1-2)9=-1

题型四二项式定理中的赋值

1.已知(1+女)6=1+12¥+以2+...+。6%6,则实数力的值为()

A.15B.20C.40D.60

【答案】D

【解析】解：其展开式的通项为加=亳(。/，则x的系数为CQ1=12,解得

a=2f则。=C：22=60

2.若(1+加川+...+〃6%6,且q+生+...+%=63，则实数m的值为

()

A.1或3B.-3C.1D.1或一3

【答案】D

【解析】令X=0，得4=(1+0)6=1,令X=l,得(1+m)6=4+4+%+…+々6，

又%+4+O,+...+4=64,(1+trif=64=26,.•・加=1或m=—3.

3.(a+x)(\+x)4的展开式中x的奇数次累项的系数之和为32,则a=.

【答案】3

【解析】由已知得(1+x)4=1+4x+6f+4d+_/,故1+6(1+x)4的展开式中工的

奇数次冥项分别为4〃k44寸,％6/,/，其系数之和为4。+4〃+1+6+1=32,解得

4=3

2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一正弦定理、余弦定理的直接应用

,B

例1&43C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin~一.

2

(1)求cosB

(2)若a+c=6,A48c面积为2,求人.

【答案】(1)cosB=—(2)b=2.

17

R

【解析】由题设及A+B+C=/r得sinB=8sin2一,故sin5=4(1-cos5).

2

上式两边平方，整理得17cos23—32COSB+15=0,

解得cosB=l(舍去)，cosB=—

17

(2)由cosB二生得sin8=■，故=24csin8=.

1717a，217

17

又SMBC=2,则〃。二彳.

由余弦定理及a+c=6得3—cr+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(\+cosB)

=36-2x—x(l+—)=4.

217

所以力=2.

【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用

【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出

例2/\ABC的内角A,优C的对边分别为a,b,c，若2Z?cosB=acosC+ccosA，则

B=.

【答案】y

【解析】

171

2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(4+C)=sinBncosB=—=>B=—.

【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号.

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例3在中，a,b,。分别是角4,B,。的对边，若b=l,。=小，C=yr,则S.6C

【答案】当

【解析】因为。＞6,所以8VC,所以由正弦定理得上=焉，即熹=4=2,即sin

sinDsincsinD.Z7t

s,nT

5=V所以B=所以4=「一专一争=，所以£UBC=*Csin4=夕小x4=坐

【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围

【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。

题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状

例1在AABC中，角A,8,C的对边分别为a,4c,且A8,C成等差数列

⑴若b=2瓜c=2,求A4BC的面积

(2)若sinA,sinB,sinC成等比数列，试判断MBC的形状

【答案】(1)2&(2)等边三角形

【解析】(1)由A,B,。成等差数列，有2B=4+C(1)

因为A,B,。为AABC的内角，所以A+8+C=;r.(2)

得B=qlr=cr-\-(r-2accosB^

所以(26)2=。2+4—4a8sq解得〃=4或〃=一2(舍去)

所以5AAsc=sinB=-^x4x2siny=2-73

(2)由a,b,c成等比数列，有庐="⑷

由余弦定理及(3),可得b2=a2-\~ci—2accosB=a2-^c2—ac

再由(4),得*+^2—a°=ac,即(a—c)2=0。因此。=c从而A=C(5)

由Q)(3)(5),得A=8=C=?

所以AABC为等边三角形.

【易错点】等差数列，等比数列容易混淆

【思维点拨】在三角形中，三边和三角都是实数，三个数很容易联想到数列的三项，所以,

三角函数与数列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见结论，此类问题就不难解

答了.

例2在AABC中，已知2"=〃+c,sin2A=sinBsinC,试判断^ABC的形状。

【答案】等边三角形

【解析】sin2A=sinBsinC=>a2=be,又2a=b+c,所以4/"历十"，所以

4历=(b+c)2,即S-c)2=0,因而人二c；由2。=6+。得。二》。所以。二人=。，

AABC

为等边三角形。

【易错点】条件的转化运用

【思维点拨】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：

(1)一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；

(2)另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理

题型三与三角形中有关的不等式问题

2

例的内角4B,C的对边分别为4,b,c,已知△力BC的面积为」一.

3sinA

(1)求sinBsinC；

(2)若6cosSeos0=1,a=3.求AJ82的周长.

【答案】(1)sinBsinC=|；(2)CMBC=3+733

【解析】

⑴由题设得,acsinB=-^—,BP-csinB=—^—.

23sinA23sinA

由正弦定理得』sinCsin3=包配~.

23sinA

2

sinCsinB=—.

3

⑵由题设及⑴得cosBcosC-sinBsinC=一一，

2

即cos(8+C)——.B+C——,A——.

233

[2

又,/—besinA=--——，即be=8.

23sinA

由余弦定理得酎+c2一儿=9,即(b+c)2-3bc=9,

:.b+c=V33.=3+^33.

【易错点】不会利用将角的关系转化为边的关系

【思维点拨】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的

面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系

转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面

积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或

周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如

y=Asin(a)x+(p)+b,从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的

值直接利用余弦定理和给定条件即可.

例2已知a,b,c分别为LABC三个内角力,8。的对边,0cosC+岛sinC-Z?-c=0.

(1)求人的大小；

(2)若。=7,求ZUBC的周长的取值范围.

【答案】⑴|(2)(14,21]

【解析】⑴由正弦定理得：

tzcosC+x/3tzsin=0<=>sinAcosC-V3sini4sinC=sinsinC

<=>sinAcosC+V3sinAsinC=sin(A+C)+sinC

<=>V3sinA-cosA=1<=>sin(/l--)=-<=>A--=—<^>A=—；

62663

(2)由已知:b>0yc>0,b+c>a=7t

。1

由余弦定理49=〃+c2-2bccos—=(b+c)2-3bc>(b+c)2—(b+c)2=—(b+c)2

344

当且仅当b=c=7时等号成立,・・.(/?+。)2«4乂49,又,“+c>7,・・・7Vb+”14,

从而△力8C的周长的取值范围是(14,21].

【易错点】求周长范围的问题，应先用余弦定理列出等式，再根据基本不等式求出所求问题.

【思维点拨】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时，着眼于边长

之间的关系，结合边长求最值(范围)的解决方式，通常都能找到正确的解题途径.

例3A/18C的内角力,民。的对边分别为q,b,c,已知2c-a=2bcosA.

(1)求角8的大小；

⑵若b=2g,求a+c的最大值.

JT

【答案】(1)8=1(2)4V3

【解析】：(1):‘2c-a=2bcos4

•:根据正弦定理，得2sinC-sinJ=2sinBcosA.(i)VA+B=n-C,.•sinC=sin(4+8)=sinBcos

J+cos5sinA,

代入得2sin5cosJ=2sinBcos/+2cosBsinAsin4化简得(2cos5-l)sinA=0.

丁才是三角形的内角，•：sin4>0,.：2cos5-1=0,解得cos

乃

78£(0m),,：8=y.

(2)由余弦定理Z>2=a2+c2-2accosB,得12=a2+c2-ac.

,：(a+c)2-3ac=12,,：12N(a+c)2*a+c)2,当且仅当a=c=2/时取等号，

••a+c<4V3

【易错点】涉及到最值问题时，常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形

式求解.

(1)根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简条件等式，可得(2cosB-I)sin4=0,结合sin/>0得

到cos8,从而解出8;(2)由余弦定理,可得出12=M+c2.ac再利用基本不等式求最大值

【思维点拨】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元

素,基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求

得未知元素；

(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件

化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系；

(3)涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.

题型四解三角形的实际应用

例1在某次测量中，在力处测得同一平面方向的5点的仰角是50。，且到力的距离为2,C

点的俯角为70。，且到力的距离为3,则8、。间的距离为()

A.V16B.V17C.V18D.V19

【答案】D

【解析】因N切C=120°,48=2,AC=3.

222

：,BC=AB-\-AC-2ABACCOSZBJC=4+9-2X2X3XCOS1200=19.

：.BC=y[i9.

【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型

【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定

理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、

三角函数的性质交汇命题

例2设甲、乙两楼相距20"?,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从曰楼顶望乙楼顶的俯角

为30°,则甲、乙两楼的高分别是（）.

A.—B.105/56,206加

23

C.10（百-D.205/3/n,y>/3/M

【答案】D

【解析】设甲楼为OA,乙楼为BC,如图，在

RrMBD,NABD=60°,BD=20m,/.AD=BDtan60°=20®?,AB=—―=40w，

cos60°

•/ZCAB=ZABC=30°,/.AC=BC,ZACB=120°,在AABC中，设AC=BC=x,

由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2AC7BCZACB,B|J1600=x2+x2+x2,解得

%二当6,则甲、乙两楼的高分别是

33

【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型

【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定

理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、

三角函数的性质交汇命题

【巩固训练】

题型一正弦定理、余弦定理的直接应用

1.在aABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,2sinA=sinC='^时，求b及

4

c的长

【答案】b=#或26；c=4。

ac

【解析】当a=2,2sinA=sinC时，由正弦定理-----=-----,得c=4

sinAsinC

由sinC=，及0VC〈7t得cosC=±

44

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得b2±y/bb-12=0

解得b=瓜或2瓜

*、』"二6—]b=2戈

所以<或，

<?=4[c=4

2.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.

（I）证明：4=28：

2

（ID若AABC的面积S=幺，求角力的大小.

4

471

【答案】（1）略（2）A=；;■或A二二.

24

【解析】（I）由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,

故2sinAcos8=sin8+sin（A+B）=sin8+sin4cosB+cosAsinB,

于是sin3=sin（A—8）,又A,5£（0,万），故0<A—BVTF,所以

8=4一（人一8）或3=A-3因比A=4（舍去）或A=23

所以，A=2B.

2i.2

（II）由S二幺得上a6sinC="，故有

424

sinBsinC=-sin2B=sinBcosB,因为sinBwO,得sinC=cosB.

2

又B,CG（O,^）,所以C=]士B.

当B+C=2时，A=-；

22

7171

当C—B=一时，A=-.

24

7171

综上，A=—或A=—.

24

3.AABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosc(4COsB+/?cosA)=c.

(I)求C；

(II)若c=的面积为挈，求“BC的周长.

【答案】(Dy；(II)5+近

【解析】(I)由已知及正弦定理得，2cosc(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.

可得cosC=—,所以C=一.

23

(II)由已知,-^sinC=—

22

又C=巴,所以ah=6.

3

由已知及余弦定理得，a2+b2-2abcosC=7.

故。2+从=[3,从而(〃+32=25.

所以。的周长为5十近

题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状

1.在△45C中,内角4,B,C所对的边分别是a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cos4则△48C

的形状为()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三

角形

【答案】D

【解析】因为c—acosB=(2a—b)cos4C=n-(A-\-B),

所以由正弦定理得sinC—sin4cosB=2sinJcosJ—sinBcosJ,

所以sinAcosB+cosJsinB—sinJcosB=2sinAcosA—sinBcosA,

所以cos4(sinB-sinJ)=0»

所以cos/l=0或sinB=sin4

所以4=当或B=A或8=兀一,4(舍去)，

所以△48C为等腰或直角三角形.

2在MBC中，若sinJ=2cosBs\nC,则△48C的形状是.

【答案】等腰三角形

c2+2_^2

【解析】由已知等式得〃=2・一Z--C,所以/=〃2+°2.他所以°2=尻即c=b.故MBC为等腰

三角形.

3.ZU8C中，角彳、B、。所对的边分别为。、b、c,裁Vcos4,则448。为().

A.钝角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.等边三角形

【答案】A

【解析】依题意，得;/〈cosA,sinCVsin8cos4,所以sin(4+8)Vsin8cos4,HPsinBcos

A+cos5sinA—sinBcosJ<0,所以cosBsin/VO.又sin/>0,于是有cosBVO,8为钝角，

△48C是钝角三角形，选A.

题型三与三角形有关的不等式问题

1.在△力BC中，内角力，B,。所对的边分别为a,b,c,已知cos2B+cos8=l-cos力cosC.

(1)求证：a,b,c成等比数列；

(2)若b=2,求。的面积的最大值.

【答案】(1)略(2)小.

【解析】(1)证明：在△力8c中，cos5=-cos(J+C).由己知，得

(1—sin25)—cos(J+Q=1—cosJcosC,

—sin25—(cosAcosC-sinAsinQ=_cosAcosC,

22

化简，得sin5=sin/1sinC.由正弦定理，得b=act

:,a,b,c成等比数列.

(2)由(1)及题设条件，得ac=4.

„./+廿一/口2+《2—℃2ac-ac1

则cosB=2ac=2砒32ac=7

当且仅当。=。时，等号成立.

2

V0<B<nt/.sinB=yj1—cos5<^2=坐.

，SMBC=%CsinB6x4x坐=小.

:、XABC的面积的最大值为小.

2在A4BC中，内角A,B,C的对边分别为。力,c已知sin2邑£+sinBsinC=

24

(1).求角4的大小；

(2).若。=J7,A48C的面积为也，求方+C的值.

2

2兀

【答案】(1).A=y(2).b+c=3

l-cos(B-C)1

【解析】(1).由已知得------------^+sinBsinC=-,

24

1-cosBcosC-sinBsinC.八.〃1

化简得-----------------------+sinBsmC--,

24

整理得cos8cosc-sinBsinC=—,即cos(8+C)=g,

2TE

由于0<B+C<兀，则8+。=一，所以A=一.

33

(2).因为S1”=­Z?csinA=—Z>cx—=—,所以加'=2.

根据余弦定理得(J7)=Z?2+c2-2bc-cos^~=b2+c2+Z?c=(Z?+c)2-be,

即7=(b+c)2—2,所以6+c=3

TT

3.在△ZBC中，角彳、B、。所对的边分别为a、b、c,且满足cos2C-cos24=2sin(w+C)

sin(y-C)

(1)求角4的大小；

(2)若〃=小，且处”，求26—<:的取值范围.

【答案】⑴4=氨笔(2)的2小)

31

【解析】(1)由己知得2m24一2而2。=2(28$2。一上31?。)，

44

近

3

-

2

4

申

=力或

故力

半，

力二

.飞后

it,

v/v

又O

IT

_

c

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题型四

钟后