2024-2025学年北京市丰台区高三上学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市丰台区高三上学期期末考试数学试卷一、单选题：本大题共10小题，共40分。1.已知集合A=x−1≤x<2，B=x−2≤x<1，则A.x−1≤x<1 B.x−2≤x<2 C.xx≥−22.复数1−ii=(

)A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i3.设a，b为非零向量，则“a=b”是“a=bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知数列an的前n项和为Sn，且an+1=−3an，A.7 B.13 C.18 D.635.下列函数中，满足“∃x0∈R，fxA.f(x)=lnx2+1 B.f(x)=x26.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆⊙O交于点P，且cosα=−14.点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧PQ⌢的长为π2A.−154 B.154 7.如图，在三棱锥P−ABC中，▵ABC与▵PAB都是边长为2的等边三角形，且PC=3，则点P到平面ABC的距离为(

)

A.1 B.32 C.328.溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为pH=−lgH+，其中H+表示溶液中氢离子的浓度(单位：mol/L).室温下，溶液中氢离子和氢氧根离子的浓度之积为常数10−14，即H+⋅OH−=10−14，其中OH−A.12 B.2 C.110 9.在平面直角坐标系xOy中，已知直线ax+y−4a=0与直线x−ay+2=0交于点P，则对任意实数a，OP的最小值为(

)A.4 B.3 C.2 D.110.各项均为正整数的数列2，3，4，a，b，20，30，40为递增数列.从该数列中任取4项构成的递增数列既不是等差数列也不是等比数列，则有序数对(a,b)的个数为(

)A.73 B.75 C.76 D.78二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.设抛物线y2=8x的准线方程为

．12.在(x−2)5的展开式中，x的系数为

.(用数字作答)13.在▵ABC中，A=π3，a=2①若B=π6，则b=②▵ABC面积的最大值为

．14.已知函数f(x)=sinπ2x，x∈[0,8]，g(x)=1x−4，x∈[0,4)∪(4,8]，则f(3)+f(5)=

；方程15.已知曲线C:ax2+by2+xy=1(a①曲线C关于坐标原点对称；②当a+b=0时，曲线C恒过两个定点；③设P、Q为曲线C上的两个动点，则存在a>0，b<0，使得PQ有最大值；④记曲线C在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为S，则对任意a>0，存在b>0，使得S>1其中所有正确结论的序号为

．三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA(1)求证：EF//平面ACC(2)求平面CEF与平面ACC117.已知函数f(x)=32sinωx+cos2ωx2−(1)ω的值及f(x)的单调递增区间；(2)f(x)在区间0,π条件①：函数y=f(x)图象的相邻两个对称中心间的距离为π2条件②：函数y=f(x)的图象可以由函数y=cos条件③：直线x=−π3为函数注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.为弘扬社会主义核心价值观，加强校园诚信文化建设，提升中小学生的信息技术素养，某市开展了“中小学诚信主题短视频征集展示活动”，入围短视频在某公共平台展播.其中A，B，C，D，E，F，G这7个入围短视频展播前7天的累计播放量如下表：短视频ABCDEFG前7天累计播放量(万次)2.93.54.52.54.11.45.6(1)从这7个入围短视频中随机选取1个，求该短视频前7天的累计播放量超过4万次的概率；(2)某学生从这7个入围短视频中随机选取3个观看，记X为选取的3个短视频中前7天的累计播放量超过4万次的个数，求X的分布列和数学期望E(X)；(3)若这7个入围短视频第8天的单日播放量如下表：短视频ABCDEFG第8天单日播放量(万次)0.40.40.60.30.50.10.8记这7个入围短视频展播前7天的累计播放量的方差为s12，前8天的累计播放量的方差为s22，试比较s1219.已知椭圆C:x2a2+y(1)求椭圆C的方程；(2)设B为椭圆C的下顶点，动点M到坐标原点O的距离等于1(M与A，B不重合)，直线AM与棈圆C的另一个交点为N.记直线BM，BN的斜率分别为k1，k2，问：是否存在常数λ，使得k1+λ20.已知函数f(x)=ex(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)求f(x)的极值；(3)设函数g(x)=f(x)+x2+x，求证：g(x)的最小值大于21.给定数列A：a1，a2，a3，a4和序列Ω：T1，T2，…，Ts，其中Tt=dt,1,dt,2,dt,3,dt,4(t=1,2,⋯,s)满足：①dt,i∈{−1,3}(i=1,2,3,4)；②dt,1+dt,2+dt,3+dt,4=0.对数列A进行如下s次变换：将A的第1项，第2项，第3项，第4项分别加d(1)已知数列A：7，8，4，4，写出一个序列Ω：T1，T2，使得Ω(A)为5，6，6，(2)对数列A：4，6，7，8，是否存在序列Ω：T1，T2，…，Ts，使得Ω(A)(3)对数列A：3，7，14，m，若存在序列Ω：T1，T2，…，Ts(s≤10)，使得Ω(A)中恰有三项相等，求参考答案1.B

2.D

3.B

4.A

5.C

6.C

7.C

8.D

9.C

10.B

11.x=−2

12.80

13.23314.0；1615.①②④

16.(1)取A1C1的中点G，连接FG因为F为A1B1的中点，所以FG//又因为EC//B1C1，EC=1所以四边形CEFG是平行四边形.所以EF//CG．又因为EF⊄平面ACC1A1，CG⊂平面ACC(2)因为AA1⊥平面ABC，所以A又因为AB⊥AC，所以如图建立空间直角坐标系A−xyz，则C(0,2,0)，E(1,1,0)，F(1,0,2).所以CE=(1,−1,0)，EF=(0,−1,2)．设平面CEF的一个法向量为m=(x,y,z)则m⋅CE令z=1，则x=y=2.于是m=(2,2,1)不妨取平面ACC1A设平面CEF与平面ACC1A1夹角为所以平面CEF与平面ACC1A

17.(1)f(x)=选择条件①：因为函数y=f(x)图象的相邻两个对称中心间的距离为π2，所以T2=因为ω>0，所以ω=2π因为f(x)=sin2x+π即−π3+kπ≤x≤π6选择条件②：因为函数y=f(x)的图象可以由函数y=cos所以函数y=f(x)与函数y=cos2x的周期相同，故因为ω>0，所以ω=2πT=2.以下解答过程同选择条件①．选择条件③：因为x=−π3为所以sinω×π3故ω=3k+1，其中k∈N，此时fx不唯一，故不选③(2)选择条件①或②时，f(x)=因为x∈0,π2当2x+π6=π2，即x=当2x+π6=7π6，即x=

18.(1)这7个入围短视频中，前7天的累计播放量超过4万次的有3个．设事件A=“从这7个入围短视频中随机选取1个，该短视频前7天的累计播放量超过4万次”，则P(A)=3(2)X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=C43P(X=2)=C41所以X的分布列为：X0123P418121E(X)=0×4(3)前7天累计播放量的平均数为：x1所以s1前8天累计播放量的平均数为：x前8天累计播放量的平均数为：x所以s所以s1

19.(1)由题意得a2=b2+所以椭圆C的方程为x2(2)因为B为椭圆C的下顶点，所以B(0,−1)．设Nx0,y0(x由点M到坐标原点O的距离等于1，可知点M在以AB为直径的圆上，所以直线AM与直线BM垂直．由题意得直线AM的斜率kAM所以直线BM的斜率k1=−1因为点N在椭圆C上，所以x0故k1k2所以存在λ=−4，使得k1

20.(1)因为f(x)=ex−x，所以f′(x)=因为f(0)=1，所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1．(2)函数f(x)的定义域为R.令f′(x)=0，解得x=0．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(−∞,0)0(0,+∞)f′(x)−0+f(x)单调递减1单调递增当x=0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)=1；f(x)无极大值．(3)因为g(x)=f(x)+x2+x=因为函数y=ex和y=2x在所以g′(x)=ex+2x又g′(−12)=所以存在x0∈当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x−∞,xxg−0+g(x)单调递减g单调递增当x=x0时，g(x)取到最小值，最小值为由①得ex0=−2x0因为x0∈−12所以ℎx0>ℎ−14=

21.(1)Ω:T1=(−1,−1,−1,3)(或Ω:T1(2)不存在．由条件①②可得，dt,1，dt,2，dt,3，dt,4四个数中恰有三个因此得到结论：对数列进行一次变换，新数列的每项与原数列对应项奇偶不同．假设对数列A：4，6，7，8，存在序列Ω：T1，T2，…，使得Ω(A)中恰有三项相等．由于数列A：4，6，7，8中，4，6，8三项是偶数，7是奇数，由结论可得，只能4，6，8这三项经过一系列变换后相等．若在n次变换中，4经过p次“+3”的变换和n−p次“−1”的变换后，结果为4+3p−(n−p)=4+4p−n；6经过q次“+3”的变换和n−q次“−1”的变换后，结果为6+3q−(n−q)=6+4q−n．所以4+4p−n=6+4q−n，即2(p−q)=1，偶数等于奇数，矛盾．所以不存在序列Ω：T1，T2，…，Ts(3)数列A：3，7，14，m中，3，7两项是奇数，14是偶数，由(2)中的结论可得，3，7，m这三项经过s(1≤s≤10)次变换后相等．设在s次变换中，3经过k次“+3”的变换和s−k次“−1”的变换后，结果为3+3k−(s−k)=3+4k−s；7经过l次“+3”的变换和s−l次“−1”的变换后，结果为7+3l−(s−l)=7+4l−s；m经过r次“+3”的变换和s−r次“−1”的变换后，结果为m+3r−(s−r)=m+4r−s；所以3+4k−s=7+4l−s=m+4r−s且k+l+r≤s(k,l,r∈N)，即k=l+1,r=l+1+3−m4令m=4t+3(t∈Z)，则r=l+1−t，3l+2−t