2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考Ⅰ卷总答案

1.2021年普通高等学校招生全国统一考试・新高考I卷

）|专家评卷

稳中有变初心不改，优化创新立德树人

由教育部命题考试中心统一命制的2021年全国新高考I卷数学试卷,遵循《普通高中数

学课程标准（2017年版2020年修订）》的基本要求,着重考查基础知识、基本思想方法、基

本技能和基本活动经验，体现“低起点、多层次、高落差”的命题特点.全面对标《中国高

考评价体系》，很好地落实了“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能,坚持高考的核

心价值,突出学科特色,重视数学本质，既发挥了数学学科高考的选拔功能,又对深化中学数

学教学改革发挥了积极的导向作用.

与2020年相比,2021年新高考I卷数学试卷在继承了2020年的命题风格的基础上做了

一叱创新,试题命制出现了新动向,考点题型出现了新变化,素养能力考查出现了新亮点.

■高考命题新动向

1.注重基础,紧扣教材.单项选择题的第「6题较为简单,侧重考查了教材中的概念、性质、

公式等,第8题对相互独立事件定义的考查正击中同学们爱习中的盲点,较好地体现了高考

试题“题在书外，根在书内”，源于教材又高于教材的特点.

2.在数学文化类试题中，没有出现篇幅长、文字晦涩难懂的情形,契合了命题中心早先提出的

优化情境题的情境设计的命题要求.

3.以能力立意,考查同学们的综合素质，如第22题是以多元变量和不等关系的证明为教体，

侧重考查了函数与导数模块中的两大热点问题，同构问题与极值点偏移问题,考查化归与转

化能力、逻辑思维能力、运算求解能力.

■考点题型新变化

1.分值调整部分:多项选择题由原来的“部分选对的得3分”调整为“部分选对的得2分”.

2.知识块分值占比发生变化:数列知识模块的占比有所减少，不等式部分的考查力度明显降

低,没有出现单独的不等式试题,凸现了作为教材中的预备知识的不等式的工具作用,排列组

合的简单运用进一步弱化，也符合新课标调整的新要求.

3.题型的变化:填空题中增加了双空题,一个主题下分解出2个答题点,一方面增加了考查内

容,扩大了知识覆盖面；另一方面,对于难度较大的试题,分空得分,在送出一部分分数的基

础上,增加了试题的考查深度,丰富了命题形式,提高了试卷的区分度.

4.考点考查方式的调整:解析几何在高考中大多考查椭圆和抛物线,而2021年主要考查了双

曲线和定值类问题，题目难度不算大,但对运算能力有较高要求;在多项选择题中圆的方程的

身影出现在2021年的第11题中，从2020年“隐身”之后实现“回归”；将对随机变量的分

布列、数学期望的考查调整到了解答题第18题的位置,难度较2020年有所下降,解三角形后

移至19题的位置，难度上升,考点考查方式的调整，体现了试题命制“稳中有变”的特点.

■素养试题新亮点

1.整卷将数学关键能力与学科素养统一到理性思维的主线上,考查推理论证能力以及发现问

题、解决问题的能力.

第7题以曲线的切线为背景考查逻辑思维能力、运算求解能力,事实上本题可以数形结合得

到正确答案,从而避开复杂的代数运算,实现了对学生思维灵活性的考查.

第16题以民间剪纸艺术为载体,对数列知识进行了考查,体现了数学文化学科素养,贯彻了

立德树人的要求.

第22题以对数函数为载体，综合考查了函数的单调性、不等式的证明，第(2)问中的不等式

证明，需要考生具有一定的分析探究能力和推理能力,对思维进行了深层次的考查,真正体现

了“高落差”的命题特点，区分度较好.

2.与2020年新高考I卷数学试题相比,课程学习情境试题比例明显加大,探索创新情境试题

和生活实践情境试题比例相对减小,如第16题和第18题既是生活实践情境试题又是探索创

新情境试题;而第12题以正三棱柱为载体的多项选择题从探索创新方面做了有益的尝试,题

干条件以向量的形式呈现,四个选项从四个不同角度、不同的设问方式明线考查了立体几何

中的主干知识，暗线考查了空间轨迹问题,设计精妙.

3.第16题是最具特色的创新型试题,试题全面考查了数学学科素养中的埋性思维、数学应用、

数学文化、数学探索，考查了逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力,首先，

本题以中国传统文化民间剪纸艺术为背景，其次，本题考查了数列型问题的“归纳、猜想、证

明”策略的灵活运用，考查学生“大胆猜想、小心求证”的思维品质，同时对耐心读题、细心

审题有较高要求.

■2022届备考建议

1.在立足教材的基础上渗透数学思想方法的考查

在复习备考时要回归教材,充分认识知识的生成、发展和应用的过程,充分领悟教材所渗透的

数学思想和方法，重视通性通法以及知识间的融会贯通，切实把握好“思、”与“算”的辩证

关系,提升运算求解能力.

2.吃透新课程标准的基础上盘活教材

在平时的复习中，立足教材，同时也要活用教材，不拘泥于教材,注重知识点之间的关联,搭建

完整的知识体系.

3.把握趋势,拒绝套路,适当拓展提升能力

在复习时，不要“机械刷题”，而要在吃透《数学课程标准》，深刻领会《中国高考评价体系》

总体要求的基础上,提高分析问题和解决问题的能力.

国师解题福建省高级教师汤小梅河北省高级教师李金泉

A本卷答案仅供参考

，答案速查

12345678910111213141516

5

BCBACCDBCDACACDBD11

240（3-等）

l.B【考查目标】必备知识:本题主要考查集合的交运算.关键能力:运算求解能力.学科

素养:理性思维.

【解析】因为A={x\-2<x<4),庆⑵3,4,5},所以加届{2,3},故选B.

2.C【考查目标】必备知识:本题主要考查复数的运算、共扼复数的概念.关键能力:运算

求解能力.学科素养:理性思维.

【解析】因为z=2~i,所以z(z+i)=(2-i)(2必i)W*2i,故选C.

【方法总结】求解此类题需过好“双关”：一是“运算关”，即熟练掌握复数的四则运算；

二是“概念关”，本题明晰共挽复数的概念，即可顺利求解.

3.B【考查目标】必备知识:本题主要考查圆锥的侧面展开图.关键能力:通过对圆锥母线

长的探求，考查逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应

用.

【解析】设圆锥的母线长为J,因为该圆锥的底面半径为企,所以2nX^2=n],(解题关键:

利用圆锥的底面周长等于其侧面展开图的弧长建立等量关系)

解得7-2V2,故选B.

【解后反思】破解本题需明晰一个概念,即圆锥的概念;找到一个相等，即圆锥的底面周长

与其侧面展开图的弧长相等.

4.A【考查目标】必备知识:本题主要考查三角函数的图象和性质.关键能力:逻辑思维能

力、运算求解能力.学科素养:理性思维.

【解析】解法一（常规求法）令一⑵U得

奉2E《后42行,kQZ.取上0,则后拳因为（0,学氧斗学,所以区间（0《）是函

数人力的单调递增区间.故选A.

解法二（判断单调性法）当0dg时，彳㈠彳多所以f（x）在（0,学上单调递增,故A正确；当

的（/时,KT%所以小）在多/）上不单调，故B不正确;当冗Q号时，段号，所

以/W在（丸，1）上单调递减，故C不正确；当?4<2n时,号:所以,（*）在（斗，2八）

22366N

上不单调，故D不正确.故选A.

解法三（特殊值法）因为与考§3,但/•（守守sin/,f§）7si喏<7,所以区间成“）

不是函数〃*）的单调递增区间，排除B;因为n中号召但f（r）=7sinn不〃争=7sin

詈3<0,所以区间（丸，妥不是函数f（x）的单调递增区间，排除C;因为萼翠号<2丸，但

f（詈）=7sin瑞=-7sin涉-7,Ay）=7siny=-7,所以区间号,2n）不是函数f（x）的单调

递增区间，排除D.故选A.

5.C【考查目标】必备知识:本题主要考查椭圆的定义及最值问题.关键能力:逻辑思维能

力、运算求解能力.学科素养:理性思维.

【解析】由椭圆号?，得|J0|+|柩|二2*34,则I物•“网W（M0:MF2）92项

94N

当且仅当I姐I=I姐1=3时等号成立.故选C.

6.C【考查目标】必备知识:本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系等知识.

关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维.

【解析】通解（求值代入法）因为tan夕=-2,所以角。的终边在第二、四象限，（提示：

根据正切值的正负，确定角0可能所在的象限）

所以1sm‘一痣或卜皿一产所以当誓粤明等学二汨e8杷os

（cos。=-京（COS0=京sin6+cosesm8+cos6

O）=sin20-^sinGeos•故选C.

优解一(弦化切法)因为tan。=-2,所以笔坦啥红哼警件rin〃(sin^os

sinS+cos。sin0+cos0

0、_giMe+sin8cos夕jaMe+tang_42J痂*「

)sin2"cos26l+tan20i+ZT改侬L，

优解二(正弦化余弦法)因为tan〃=-2,所以sin0=-2cos〃.则

sin0(l+sin20)sin0(sin0+cos0)2.,°、siM6+sin6cos64cos20-2cos204-22心、公

-r-:...------------=sin8a(sin夕a何os------------77----—=.故口

sinO+cos。sm0+cos0sin20+cos2©4oos20+cos201+45

C.

【得分秘籍】破解此类问题的关键:一是化简,利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系

等,化简已知三角式;二是求值,利用弦化切或切化弦,求出三角函数值.

7.D【考查目标】必备知识:本题主要考查导数的几何意义、直线的点斜式方程、利用导

数判断函数的单调性.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探

索.

【解题思路】设切点(照,㈤，必也利用导数的几何意义求出切线方程，再利用切点在切线

上且在已知函数的图象上,可得关于施的方程,且该方程有两个不同的解,最后通过构造函数,

转化为两个函数的图象有两个不同的交点,利用导数判断新函数的单调性,从而作出新函数

的大致图象，即可得出正确的结论.

【解析】通解(数形结合法)设切点(风㈤，足0,则切线方程为尸加^。(彳-血，由

\y0~b1眇°(%。一心得铲。(1-照七)=b,则由题意知关于此的方程铲。(1桢七)多有两个不同的

(y0-铲。

解.设f{x}m'(1-x+ci),则F'(才)*(1-x+a)="e'(xa),由f'(A)X)得x=a,所以当x<a时，F

'(X)3,f(x)单调递增，当x>a时,f'(x)。f(x)单调递减,所以f(x)na=f(a)*'(1-a+a)**,

当xQ时,a-D,所以f(x)A),当l-8时,f(x)f0,当l+8时,〃彳)--8,(提示:判断函

数极值点左右两侧的图象特征很重要,需掌握用极限思想判断函数图象的趋势,从而能准确

作出草图，以达到草图不草的目的)

函数f(x)和％1-*七)的大致图象如图所示，

因为Ax)的图象与直线y=b有两个交点,所以0%④故选D.

光速解（用图估算法）过点（&8）可以作曲线的两条切线，则点（8。）在曲线ym*的下方

且在A•轴的上方,得04G".故选D.

【方法总结】导数的几何意义把函数的导数与曲线的切线联系在一起，曲线Hx）在点

（旅,F（加）处的切线的方程为y-f（旅）=（入-照）f’（加），其中f'（胸）表示曲线F（x）在点

（照,F（施））处的切线的斜率.有关曲线的切线方程,若没有见到切点,应当先设出切点,再根据

切点的“一拖三”（切点与切线斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上）来求切线方程.

8.B【考查目标】必备知识:本题主要考查相互独立事件、互斥事件的判断.关键能力：

逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用.

【教你审题】需注意题眼“有放回地随机取两次”“每次取1个球”，还需注意题眼“第

一次……”"第二次……”，强调的是顺序.盯选项,需判断两个事件是否相互独立,利用相

互独立事件的概念进行解题,若事件A,3满足P（肠=〃力）尸09,则事件46相互独立.

【解析】事件甲发生的概率网甲）事件乙发生的概率尸（乙）3事件丙发生的概率

66

尸（丙）4亮，事件丁发生的概率P（丁）事件甲与事件丙同时发生的概率为0,〃甲

6X63ooXoo

丙）WP（甲）一（丙），故A错误;事件甲与事件丁同时发生的概率为2（甲丁）二尸（甲）AT）,

QXQ36

故B正确;事件乙与事件丙同时发生的概率为名残，尸（乙丙）W尸（乙）尸（丙），故C错误;事件

丙与事件丁是互斥事件,不是相互独立事件，故D错误.选B.

9.CD【考查目标】必备知识:本题主要考查平均数、中位数、标准差、极差的定义.关键

能力:逻辑思维能力.学科素养:理性思维、数学应用.

【解析】设样本数据的检…,力，的平均数、中位数、标准差、极差分别为％，见。，玄依题

意得，新样本数据九人…,外的平均数、中位数、标准差、极差分别为加3。，£,因为

eWO,所以C,D正确，故选CD.

10.AC【考查目标】必备知识:本题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积.关键能

力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.

［解析］由题可知，I函I=Vcos2a+sin2a=l,0^I=7cos2p4-（-sinp）2=l,所以

碉|二|6g|,故A正确；

取a三,则巴（李争，取B哼则P2（W则碉工|同，故B错误；

IS^jOA•O^=cos（a+^）,0^*•0^=cosacosP-sinasinB=cos（a+B）,所以

OA•限碉•瓯故C正确;

因为鼐・5^=cosa,OP?•OP；=cosBcos(a+B)-sin3sin(a+f.)=cos(a+2P),取

aP《，(提示：用取特殊值法进行排除)

44

贝lj瓦彳・西亭,函・OP^=cos^-=~所以m・西X西・西,故D错误.故选AC.

11.ACD【考查目标】必备知识:本题主要考查直线与圆的位置关系，最值问题，点到直线

的距离公式等.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.

【解析】设圆(XT)?*尸5)2=16的圆心为做5,5),由题易知直线18的方程为彳号二1,即

42

户21或则圆心"到直线4?的距离d」5+2.4表乂,所以直线力夕与圆必相离,所以点尸到

v5VS

直线48的距离的最大值为43垸,4喘＜5+医=1°，故A正确.

易知点尸到直线48的距离的最小值为八关，蔡皿清十1,故B不正确.

过点8作圆"的两条切线,切点分别为N,。如图所示,连接MB,MN,MQ,则当/陶最小时，点P

与“重合，I闽二2T52+(5-2产-42今年,当/晒最大时，点夕与0重

合，IPB\=3V2,故C,D都正确.综上,选ACD.

【解题关键】破解此类题的关键:一是会转化,即把动点到定直线的距离的范围问题进行转

化,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而判断出直线与圆的位置关系，即可

得出动点到定直线的距离的范围;二是会利用圆的切线，轻松判断何时角取得最值.

12.BD【考查目标】必备知识:本题主要考查空间几何体的特征、空间线面位置关系的判

定、定值问题.关犍能力:逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、

数学探索.

【思维导图】

4=1一点P的轨迹一△月台夕周长的表达式一判断选项A

〃=1-*点0的轨迹----二判断选项B

4〃=0或〃刁-*点2的位置一判断选项C

〃欲使线面垂直,需线线垂直一点户的位置一判断选项I)

【解析】而=人前+〃西(OWXW1,OW〃WD.

对于选项A,当4=1时，点尸在棱CG上运动,如图1所示,此时△阳U的周长为

AB\+AP+P&=42+，1+/+J1+(I-”^^2句1+『［2-2〃+*,不是定值,A错误；

，阳

纹

图1

对于选项B,当〃=1时，点。在棱上5运动，如图2所示，

图2

则%-A18C/1P8。3见收*色《S&械、XI卷，为定值，故B正确；

对于选项C,取a'的中点D,仅C\的中点队,连接屹,4氏则当AW时，点尸在线段D仄上运动，

假设4aL死则4尸物弘式即(争2*1—〃/吗)2〃?解得〃力或〃刁,所以点尸与点

〃或〃重合时,4尸_L"故C错误；

解法一由多选题特征,排除A,C,故选BD.

解法二对于选项D,易知四边形4比4为正方形,所以AiBUR,设AA与48交于点K,连接

PK,要使48J_平面AB£需4员L能所以点尸只能是棱S的中点，故选项D正确.综上,选BD.

解法三对于选项D,分别取阳,笫的中点£«连接/则当〃胃时，点尸在线段站上运动，

以点G为原点建立如图3所示的空间直角坐标系G-xyzt则

M0,1,1),^(0,1,0),4喙0),产(0,17,§,所以砧=(号,1),瓦?=(0,7,〉若

4由L平面ABR则AW工BF,所以解得A=1,所以只存在一个点月使得4反L平面ARP,

此时点尸与尸重合,故D正确.综上,选BD.

13.1【考查目标】必备知识:本题主要考查函数的奇偶性与函数的解析式.关键能力:逻

辑思维能力、运算求解能力.学科素养:通过利用定义法、特殊值法、转化法解题，考查理性

思维学科素养.

【解析】通解（定义法）因为〃力寸心-2'-2一）的定义域为R,且是偶函数，（提示:有关函

数的奇偶件问题,注意优先求解定义域）

所以/•（-x）¥（x）对任意的x£R恒成立，（方法技巧:利用偶函数的定义转化为恒成立问题）

所以（-x”（a・2"29・2-2）对任意的x£R恒成立,所以f（a-1）（2-2）4）对任意的

x£R恒成立,所以a=L

优解一（取特殊值检验法）因为Ax）=V（a-2匚2'）的定义域为R,且是偶函数,所以

A-1）寸⑴，所以-弓-2）之吟解得经检验，/U）寸（2，-2,为偶函数,所以a=l.（易错

警示:用特殊值法求得的参数值,需检验所求得的参数值是否符合题意,不符合的需舍去）

优解二（转化法）由题意知FJ）寸（a-2、-2。的定义域为R,且是偶函数.设

g（x）-Zh（x）=a•2r-2r,因为4为奇函数，所以力⑺:a•2'-2'为奇函数，所以

力（0）•2°-2"4解得a=L经检验，f（x）寸（2=2、）为偶函数，所以心.

14.x=^【考查目标】必备知取:本题主要考查抛物线的方程、抛物线的几何性质.关键

能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.

【解析】通解（解直角三角形法）由题易得|0F|h|PF|=p,NOPF=NPQF,所以

tanZOPF=tanZPQF,所以黑=鉴,即其,解得P=3,所以C的准线方程为x=-1.

VkIWQIP62

光速解（应用射影定理法）由题易得|0F|与|PF|二p,|PF|2二|0F|•|FQ|,即p2=1X6,解得

p=3或p=0（舍去），所以C的准线方程为x=-1.

15.1【考查目标】必备知识:本题主要考查函数的最值、导数的应用.关键能力:通过判

断函数的单调性,得到函数的最值,考查逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养：理性思维、

数学应用.

【解题思路】先求函数Ax)的定义域,再对x进行分类讨论,去掉绝对值符号,最后利用导

数法、基本初等函数的单调性,判断函数F(x)的单调性，可得最值.

【解析】函数F(x)=|2xT|-21nx的定义域为(0,正⑹.

①当x*时，(提示:对才进行分类讨论)

f(x)=2x-l-21nx,所以F'(x)=2工,当工<¥<1时"'(*)<0,当x>\时，F'(x)X),所以

x？'x22

f(x)nln=F(l)=2-l-21n1=1;

②当044时"(x)=12r-21nx在(0,0单调递减，(提示:直接用基本初等函数的单调性进

行判断)

所以F(x)nin=/>(3=-2】n：=21n2=ln4>lne=l.

综上，F(X)nin=L

16.5240(3装)【考查目标】必备知识:本题主要考查数列的实际应用.关键能力:通

过构建数列模型，归纳出数列的通项公式,并利用错位相减法求出数列的前〃项和,考查逻辑

思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力.学科素养:借助错位相减法，考查理性

思维、数学应用、数学探索学科素养.

【思维导图】

列出对折3次、4次相应的各种规格的图形S的值归纳推理右偌位相减法A£SK

k-l

【解析】错位相减法依题意得，S=120X2N40;S-60X3=180;

当n=Qt时,共可以得到5dmX6dm,-dmX12dm,10dmX3dm,20dmX-dm四种规格的图形,

22

且5X6¥0,1X12-3O,10X340,20x1-30,所以£考0X4=120;

当〃为时，共可以得到5dmX3dm,|dmX6dm,：dmM2dm,10dmx|dm,20dmX^dm五

种规格的图形,所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5,且

5X3-15,^X6<5,-X12<5,10^15,20短二15,所以S=15X5胃5;

2424

所以可归纳金嘤XGHD*竺热.

所以善产力的（1玲玲i*2：I嘤）①,

所以衿舌产240像玲+i嗫崇）②，

由①■②》,如鲁产力40（1££**・$端）90（1启警费）之40G端），（提示：

用等比数列的前〃项和公式S兰詈巴可避免计算数列项数时出错）

l-q

所以E£=240（3喟）dm2.

k=l2n

17.【考查目标】必备知识:本题主要考查数列的递推公式、等差数列的定义及等差数列的

前〃项和.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.

【解题思路】⑴根据血=1,+l'n为奇学及"=如可得到瓦坊及人与6”的递推

（册+2,〃为偶数

关系,利用等差数列的知识确定数列也｝的通项公式；（2）根据a^4an+1，婚心?'确定数

bn+2,n为偶数

列｛a｝的奇数项和偶数项分别成等差数列,再求其前20项和.

解:（1）因为be且国=1,即*1'n，建

1即+2,n为偶数，

所以匕=&=&+12

bi=a=a1+1=庚+2+1=5.

因为札=瓯,所以b*加源=如2\=&”\+1=%也+1=出滔,

所以狐一4二的+3-&*3,

所以数列｛4｝是以2为首项,3为公差的等差数列,4r2+3（〃T）=3〃T,〃£N’.

（2）因为电平+1'咤梵

+2,一为偶数，

所以keN”时，Q2k=Qlk-\*1=Qlk-\/1,即Q2k=32k-l+1①，

②，

32kQ=32kZl=32k，l+1,即③,

所以①+②得斑k八二&kI+3,即32k八一及卜1^3,

所以数列｛&｝的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列；

②+③得cfoA-2—cfeA-^3,即续户2一续"考，

又出%所以数列｛a｝的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列.

所以数列｛a｝的前20项和

£o=(a］玲/―,/aig)+(金+&依夫=104詈X3+20金等X3W00.

【解后反思】本题是根据数列的递推关系,通过迭代法求解.例如：已知a尸,1a*ac+n,求

数列｛4｝的通项公式，此题我们都很熟悉，利用“累加法”很容易求得，但是此种解题方法程

式化，忽略了递推关系的本质和内涵,此题也可以用迭代法递

推,an=an-\Hn-l)二③2*(〃-2)+(〃T)=••二国*1,2+3石・・+(〃T)

18.【考查目标】必备知识:本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望.关键能力:

逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力.学科素养:理性思维、数学应用.

【解题思路】(D首先确定才的所有可能取值,然后分别求出每个可能取值对应的概率,最

后与出乃的分布列；(2)根据(1)的分布列求出先回答A类问题的累计得分方的数学期望，再求

出先回答B类问题的累计得分V的分布列和数学期望，比较两个数学期望即可得出结论.

解：(1)由题意得,才的所有可能取值为0,20,100,

P(六0)=1-0.84).2,

P(J=20)=0.8X(l-0.6)=0.32,

0(1=100)=0.8X0.6=0.48,

所以/的分布列为

1020100

0.30.4

尸0.2

28

⑵当小明先回答A类问题时，由(1)可得£(»=0X0.2+20X0.32H00X0.48-54.4.

当小明先回答B类问题时,记V为小明的累计得分，

则？的所有可能取值为0,80,100.

P(r=0)=l-0.6=0.4,

P(J”0)R.6X(l-0.8)R.12,

AMOO)0.6X0.80.48,

所以y的分布列为

Y080100

0.10.4

P0.4

28

£⑺=0X0.4对0X0.12*100X0.48=57.6.

因为57.6%4.4,即£（丹）£（心，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.

19.【考查目标】必备知识:本题主要考查利用正、余弦定理解三角形.关键能力:逻辑思维

能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.

【解题思路】（1）对已知条件BDsin/ABC=asinC利用正弦定理得BD・b=ac,再结合S=ac,

即可得证；⑵过点〃作DE〃BC交AB于£分别在48龙和△力式中利用余弦定理求得

cosNBED和cosN力阳利用cosZBED=~CQSZABCb'ac确定出&与c的关系，进而求出

cosNABC.

解：（1）因为BDsinZABC=a^inC,所以由正弦定理得,BD*b=ac,又S=ac,所以BD*b=R,

又处所以BD=b.

⑵如图所示,过点〃作DE〃BC交仍于Et

因为仍2%所以装嘿2箓与人

所以吟,必争.

会受廿j；2+4a2-9b2/2+4@2-9好

在△〃比'中，3SNDED*+DE2_BB

2BE•DE2xgx笥4ac4ac

在△力宛中，COSN腕，2+叱"炉+。2廿―C2+Q2-ac

2AB•BC2ac2ac

c2+4a2-9ace2+a2-ac

因为/戚5-ZABC,所以cos/应％P0SN/I8G所以，，化简得

4ac2ac

3/用，Tiac=o,方程两边同时除以才,得3（£）2-11（34=0,解得£乏或£应

aaa3a

当落,即c寺时,cosN胸容上史立就W；

a332ac-a212

2+a2-ac9a2+a2-3a:

当£=3,即c=3a时，cosNABCf少1（舍）.

a2acO

综上,cos/AB吗.

20.【考查目标】必备知识:本题主要考查面面垂直的性质定理、二面角的定义、线线垂直

的证明及三棱锥体积的求解.关键能力：逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力.学科

素养:理性思维、数学探索.

【解题思路】(D由AB=AD,。为切中点得OA1BD,然后根据面面垂直的性质定理,可得OAX.

平面凡0进而得"LLQZ⑵先根据△QW是边长为1的正三角形及。为物的中点得

OC=OD=OB=\,推出△腼是直角三角形，即三棱锥力-腼的底面积可求,然后作出二面角

£-6小〃的平面角，根据平面角为45。，可以求出勿的长度，即三棱锥上阅9的高可求,最后根

据锥体的体积公式求出体积;或者建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解.

解：⑴因为力庐力〃0为即的中点，所以OALBD,

又平面力即_L平面BCD,且平面/I劭A平面BCD=BD,力化平面ABD,所以10_L平面BCD,

又如平面BCD,所以AOYCD.

(2)解法一因为△比。是边长为1的正三角形，且。为劭的中点，所以心临勿=1,

所以△腼是直角三角形,且/a加90°,BC忐,所以S.灌.

如图,过点£作EF//AO,交3于F,过点尸作FG1BC,垂足为G,连接EG.

因为力0_1_平面BCD,

所以既1平面鸵9,

又始z平面BCD,所以EFIBC,

又FG1BC,且EFCFG;F,EF,欣平面EFG,

所以比上平面分论

则N反加为二面角E-8C-D的平面角,

所以/£6户45°,则GF=EF.

因为DE=2EA,所以EF《OA,DF=20F、所以整N

因为FG1.BC,CD1BC,所以GF//CD,

则去与所以仍专

所以上尸二跖与所以OA=\y

所以及•4^~2"I^6

解法二如图所示，以0为坐标原点，如,如所在直线分别为乂Z轴,在平面BCD内,以过点0

且与初垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系.

因为△口力是边长为1的正三角形,且。为物的中点,

所以OC=OB=OD=\,

所以8(1,0,0),〃(-1,0,0),Cg,£0).

ZZ

设4(0,0,a),-0,因为DECEA,所以£(号0,争.

由题意可知平面的一个法向量为〃=(0,0,1).

设平面腔的法向量为止(x,必z),

因为前=(g当0),尻=(go,y),

所以仆•史=0,即「尹士。，

lm・BE=0,，无+2z=0,

\33

令x=\,则尸百,z上,所以m=(1,遮与.

aa

因为二面角6比-0的大小为45"

所以cos45。=产％/丁=等：

mllnl2

得a-1,即0A=\.

因为8尾劭•您in60。3*2X1X李当

所以VA-BCD^-S^BCD•0A-X-^-X\=^-.

3326

21.【考查目标】必备知识：本题主要考查双曲线的定义、双曲线的标准方程、弦长公式及

直线与双曲线的位置关系.关键能力：本题通过将题目中的几何条件代数化考查运算求解能

力.学科素养:理性思维、数学探索.

解：⑴因为IMFil-1MF2|=2<|FE|=2757,

所以点M的轨迹C是以艮,F2分别为左、右焦点的双曲线的右支.

设双曲线的方程为R=1(a>0,b>0),半焦距为c,则2a=2,c=g,得a=l,b2=c2-a2=16,

所以点M的轨迹C的方程为x2《=l(x21).(易错警示:注意点M的轨您是双曲线的一支,其

16

轨迹方程要标上X的范围)

(2)设t),由题意可知直线AllPQ的斜率均存在且不为0,设直线AB的方程为

y-t=ki(x-1)(ki^O),直线PQ的方程为y-t=k2(x-1)(ka^O),

y-t=ki(x-7),..

22

2yz(16-k?)x-2k(t-y)x-(t-y)-16=0.

(x-L

设A(XA,y,0,B(XR,yB),

易知16-峪WO,

m.i•(吟产】62kl(吟

则X'X*YTI,XA+X产Fp

所以ITA=y/l+kfXA-^I=y/l+kj(XA-1),

TBl=V1+kJ|xn-|I力1+k：(XB-；)>

则

2：

|TA|•|TB|=(I+k?)(xA-1)(x.4)=(l+k?)[xAXB4(XA+xB)4]=(l+k2)[嗡、・笫):

NNN415-K[N1o*KI4

(l+k?)(t2+12)

-kfl6-,

同理得|TP・仙|=。+卜即2+12)

k$-16

因为|TA-|TB|=|TP・|TQI,所以生磊33鬻出,所以

ki-16+k?kl-16k?=k?-16+k5ki-16kl，即k>岭,

又ki#kz,所以k]=-k2,即ki+k2=0.

故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

【方法总结】若A(xi,w),B(X2,丫2)是直线y=kx+b(kWU)上的两点，则

AB|=71+1?Ix.-x2|=J1+专|yi-y2|,称此公式为直线上两点间的距离公式,若A,B是直线与

圆锥曲线的交点,则此公式即我们通常所说的弦长公式.注意此公式不仅求弦长时可以使用，

只要是求直线上两点间的距离都可以用.

22.【考查目标】必备知识:本题主要考查利用导数研究函数的单调性及构造函数证明不等

式等.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力和创新能力.学科素养:理性思维、数学探索.

【思维导图】

(DF(x)-*F'(x)=Tnx-f(x)的单调性

令上'="7'4=不

(2)blna-aln6=a-/r~小：+】<：-f(}二f(/不妨设工】〈工，0<¥1<1<>2<€—>■原问题转化

为证2伞+x《e光证4+叫>2»转化为证〃为)"(2』)一构造函数F{x)=F(x)-f(2r)一对F{x}

求导,确定其在S,1)上的单调性一当0々<1时,Ax)-A2-x)<0再设』十孙'；令

fM=f(X2)tlmCl转化为证F(照)，%全-构造函数方(x)=f(x)以一对函数力(*)求导,确

定其在(1,e)上的单调性f当1ag时，力(x)<e―*得证

解：(1)因为f(x)Fy(l-lnx),所以f[x}的定义域为(0,+8),y，(X)=1-inx+x•(―)=Tnx.

当才£(0,1)时,F'(x)X;当才£(1,+3)时，f'COcO.

所以函数F(x)在(0,D上单调递增，在(1,f8)上单调递减.

(2)由题意,a"是两个不相等的正数，且切na-aln6和力两边同时除以助，得小当二二，

abba

即lna+1」n"l,即信=?)

abab

令ATiAA2A

ab

由(1)知/Xx)在(0,1)上单调递增,在(1,*8)上单调递减，(一般地,解决此类问题,第⑵问

需利用第(1)问所得函数的性质，本题中对"na-aln6飞-力的变形就是想方设法利用上(1)

中函数的性质)

且当046时，f(x)/0,当xX时,F(x)<0,

不妨设X1<¥2,则0<¥i<1<¥2<e.

要证即证2al+照

ab

先证x\+xi>2:

要证x\-f-x>>2,即证照>2-矛1,

因为OOMd赳所以照>2-乂>1,

又f(x)在(1,+8)上单调递减,所以即证/U)<X2-x.),

又f(M)=/Q2),所以印证f(x^)<f[2­x\),即证当(0,1)时，f(x)~f(2-x)<0.

构造函数Kx)=f(x)-f(2-x),

贝!1F'(x)=f'(x)(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)],

当0a<1时,x(2-x)<1,贝！]Tn[x(2-x)]»,

即当04<l时,尸'(力M,所以尸(力在(0,1)上单调递增,

所以当04<1时，户(*)0⑴=0,

所以当oac时，/'(*)-A2-Y)<0成立,所以用*方)2成立.

再证X\+X1<Q\

由(1)知,fix)的极大值点为产1,f(x)的极大值为AD=1,

过点(0,0),(1,1)的直线方程为y=x,

设F(x])=f(x2)当(0,1)时,f(x)=x(l-Inx)>x,

直线y=x与直线y=m的交点坐标为(加,m),则x、<m.

欲证x\+xi<e,即证x\+xi〈m+xz<7*(均+照<e,

即证当IOS时，/'(x)以S.

构造函数方(x)"(x)色则力'(x)=l-lnx,

当166时，力'(x)与，所以函数加力在(l,e)上单调递增，

所以当1<x<e吐力(x)<Z?(e)=/(e)卅气，即f[x)+x<e成立,

所以X\+xKc成立.

综上可知成立.

ab

2.2021年普通高等学校招生全国统一考试-新高考II卷

皂海南华侨中学高级教师邓建书

■高考命题新动向

1.2021年新高考II卷与2020年相比,体现出的新特点：

(1)重视概念的理解和记忆(如棱台的体积公式,正态分布,数字特征)；

(2)新命题角度(即时定义：比如纬度与卫星信号覆盖的地球表面的面积公式，概率与高次方

程相结合)；

(3)新趋势(开放性试题，结构不良试题与导数相结合，压轴题第21题为概率题).

2.2021年的高考试卷体现《普通高中数学课程标准》(2017年版202Q年修订)的有：

教学建议方面：

(D教学目标制定要突出数学学科素养(掌握数学本质而非记忆，如第12题新定义的理解和

运用)；

(2)情境创设和问题设计要有利于发展数学学科素养(如选择题第4题以北斗三号全球卫星

导航系统为背景，介绍了纬度的定义及地球静止同步卫星信号覆盖地球表面的面积公式,通

过与现实生活联系，介绍相关数学知识,激发同学们学习数学的热情和积极性）.

命题原则方面：

试题突出数学本质，坚持素养导向、能力为重的命题原则（如第22题为结构不良试题,对同学

们的逻辑推理能力、抽象概括能力等进行了深入考杳）；倡导理论联系实际、学以致用，关注

我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果（如第4题北斗三号全球卫星导航系统），通过

设计真实问题情境,体现数学的应用价值（如第21题微生物繁殖）；稳步推进改革，科学把握

必备知识与关键能力的关系，科学把握数学试题的开放性（如填空题第14题,根据函数性质

写函数解析式，答案不唯一），稳中求新,体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求

（如第21题概率与方程相结合考查）.

■考点题型新变化

一、命题方式和题型的变化

1.2021年相比2020年,函数比重增加，概率与统计比重减少,数学建模活动与探究活动比重

增加.

2.创新性:开放题、结构不良题等发挥选拔功能，要求同学们多角度、开放式思考问题，考查

创新思维.

（1）“举例问题”灵活开放.第14题的答案是开放的，给不同水平的学生提供充分发挥数学

能力的空间，在考查思维的灵活性方面起到了很好的作用.

（2）“结构不良问题”适度开放.第22题第（2）问是“结构不良题”，对逻辑思维能力、抽象

概括能力等有深入的考查，体现了素养导向、能力为重的命题原则.

（3）“存在问题”有序开放.第18题重点考查逻辑思维能力和运算求解能力，在体现开放性

的同时,也考查了我们思维的准确性与有序性.

二、试题设计的趋势与变化

分析近两年的试题,可以发现,试题注重构建引导德智体美劳全面发展的知识体系,改变相对

固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械刷题”现象命题积极贯彻《中国

高考评价体系》要求,加大开放题的创新力度,利用开放题考查数学学科素养和关键能力,发

挥数学学科的选拔功能.主要表现为以下几个方面：

1.第21题考查微生物群体自身繁殖,这是数学与生物的交叉和渗透.

2.第12题设置新定义问题,是探究能力、数学学习能力的创新题型.

3.试题打破固有试卷结构与试题排列方式，概率试题作为压轴题放在倒数第二题的位置，结

构不良题放在导数题位置节省了同学们选择的时间，具有创新性.

■素养能力新亮点

一、从数学学科素养进行分析

理性思维考查较多:第4题考查球的表面积,其实是过圆外一点引圆的切线问题；第16题考查

导数的几何意义、切线的方程,思维量较大.

数学应用意识加强:第4题以北斗三号全球卫星导航系统为试题情境设计立体几何问题，考

查空间想象能力、阅读理解能力及数学应用素养.

二、从亮点试题进行分析

【创新题】第21题借助微生物每代繁殖问题将生物问题和概率相结合,考查理性思维、数

学应用、数学探索素养，在设问方式、试题素材、综合性等方面均有创新.

【易错题】第6题的命题陷阱是“下列结论中不正确的是”.

【变式题】第18题改编自必修5课本,解三角形复习参考题B组第3题;第21题概率试题

的风格与2019年全国/卷数学理科第21题风格相近.

■2022屈备考建议

一、关注教材的变化

1.新教材很注重平面几何的证明和应用，第一册和第二册课本习题中多次出现平面几何题的

引入及其应用.

2.新教材的几个突出变化：（1）重应用题目编写，（2）重平面几何应用，（3）重逻辑推理过程，（4）

重知识面的拓广，（5）重高考试题补充，（6）重数学建模框架，（7）重新方法新思路，（8）重信息

技术应用.观察这几个变化,对照高考试题,平面几何考查并未减少,应用试题考查连续,数学

建模逐年增强.

二、重视基本概念（定义）的形成过程

重过程而非只仅仅知道结论.概率题可以借助因式分解,也可借助分布列的条件,直接分析也

可得到第一种情形的结论，第10题体对角线与面对角线的关系,课本早已有之，但能否看出

来这是另一番情形.第22题极值点正负的判断,从整体上来看,直接利用已知条件即可判断，

而不必构造函数证明.总之,从宏观上把握,可事半功倍！

三、关注国家联考命题

但凡国家命题，都有一定的导向作用，应引起足够重视,特别是命题风格的改变,要让同学们

适应其变化，教师亦可根据情况自己命制相关试题，供同学们选择和训练，以适应高考的新变

化.

_吕师都题重庆市高级教师慕泽刚高级教师李金泉

＞本卷答案仅供参考

，答案速查

12345678910111213141516

人答案不唯Q

ABBCDDCBACBCABACDy:±通x3(0,1)

-)2

l.A【考查目标】本题主要考查复数的运算,考查的学科素养是