2025年人教五四新版高二数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教五四新版高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、掷一枚骰子（只掷一次）；出现“偶数点”朝上的概率是（）

A.

B.

C.

D.

2、【题文】若向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则a·b的值为()A.－B.C.－1D.13、【题文】设与是不共线向量，若且则实数的值为（）A.B.C.D.4、【题文】数列前n项和为已知且对任意正整数m,n，都有若恒成立，则实数a的最小值为（）A.B.C.D.25、抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A.（0，2）B.（0，1）C.（2，0）D.（1，0）6、如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线7、长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（）A.50πB.25πC.200πD.20π8、曲线{y=2+sin胃x=鈭�1+cos胃(娄脠

为参数)

的对称中心(

)

A.在直线y=2x

上B.在直线y=鈭�2x

上C.在直线y=x鈭�1

上D.在直线y=x+1

上评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)9、观察下列式子：则可以猜想____10、【题文】如果关于的不等式和的解集分别为和那么称这两个不等式为“对偶不等式”.如果不等式与不等式为“对偶不等式”，且那么=____.11、【题文】已知向量满足且在方向上的投影等于在方向上的看投影，则=____________。12、【题文】．已知向量的夹角为则____;13、已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=BB1，求异面直线A1B与B1C所成的角____．14、已知m＞0且|x+1|+|2x-1|≥m恒成立，a，b，c∈R满足a2+2b2+3c2=m．则a+2b+3c的最小值为______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共12分)22、如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.则：(1)以这12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？(2)以这10个点(不包括A，B)中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？23、【题文】在中，角所对的边分别为已知

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若求的取值范围.评卷人得分五、计算题(共1题，共4分)24、1.（本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．评卷人得分六、综合题(共3题，共21分)25、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．26、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．27、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、C【分析】

掷一枚骰子一次有6种情况；

“偶数点”朝上的有2点；4点、6点向上；共3种情况．

则“偶数点”朝上的概率=

故选C．

【解析】【答案】根据题意；分析可得掷一枚骰子一次有6种情况，其中“偶数点”朝上的有3种情况，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．

2、A【分析】【解析】依题意得(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，所以a·b＝－选A.【解析】【答案】A3、C【分析】【解析】

试题分析：因为故设即又与是不共线向量，故且从而又故本题也可代入检验法，确定正确答案.

考点：平面向量共线定理.【解析】【答案】C4、A【分析】【解析】解：令m=1，n=1，得到a2=a12="1"/9，同理令m=2，n=1，得到a3="1/"27；

所以此数列是首项为1/3；公比也为1/3的等比数列；

因为恒成立；，即a大于其最大值即可。

Sn＜a恒成立即n→+∞时，Sn的极限≤a，所以a≥选A【解析】【答案】A5、D【分析】【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是（1；0），故选：D

【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案．6、B【分析】【解答】解：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题；因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值；

分析可得；点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交；

由平面与圆柱面的截面的性质判断；可得P的轨迹为椭圆；

故选：B．

【分析】根据题意，因为三角形面积为定值，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P的轨迹为一以AB为轴线的圆柱面，与平面α的交线，分析轴线与平面的性质，可得答案．7、A【分析】解：设球的半径为R；由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长；

则（2R）2=32+42+52=50；

∴R=．

∴S球=4π×R2=50π．

故选：A．

设出球的半径；由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．

本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．【解析】【答案】A8、B【分析】解：曲线{y=2+sin胃x=鈭�1+cos胃(娄脠

为参数)

表示圆；圆心为(鈭�1,2)

在直线y=鈭�2x

上；

故选：B

．

曲线{y=2+sin胃x=鈭�1+cos胃(娄脠

为参数)

表示圆；对称中心为圆心，可得结论．

本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题．【解析】B

二、填空题(共6题，共12分)9、略

【分析】【解析】试题分析：依据已知各式的特点：不等号左侧最后一项为时，不等号右侧分母为因此所猜想的式子右侧分母为2011，由已知各式右侧分子分母的关系知，分母为则分子为所以所猜想式子分子为4023考点：归纳推理【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

试题分析：设的解集为那么的解集为根据根与系数的关系得：得得

考点：1.不等式与方程的关系；2.根与系数的关系.3.三角函数最值.【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】因为向量满足且在方向上的投影等于在方向上的投影，则利用投影的定义可知=5。【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、60°【分析】【解答】解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，

设AB=BC=BB1=1；

则A1（1，0，1），B（0，0，0），B1（0；0，1），C（0，1，0）；

=（﹣1，0，﹣1），=（0；1，﹣1）；

设异面直线A1B与B1C所成的角为θ；

cosθ===

∴θ=60°．

∴异面直线A1B与B1C所成的角为60°．

故答案为：60°．

【分析】以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与B1C所成的角．14、略

【分析】解：令f（x）=|x+1|+|2x-1|=故函数f（x）的最小值为f（）=

再根据|x+1|+|2x-1|≥m恒成立，可得m≤

∴a2+2b2+3c2≤．

由条件利用柯西不等式可得≥a2+2b2+3c2≥从而求得（a+2b+3c）2≤9；

当且仅当==即a=b=c=或a=b=c=-时；取等号；

∴|a+2b+3c|的最大值为3，即-3≤a+2b+3c≤3；

故a+2b+3c的最小值为-3，此时，a=b=c=-．

故答案为：-3．

由条件利用柯西不等式可得a2+2b2+3c2≥从而求得|a+2b+3c|的最大值为3，可得a+2b+3c的最小值．

本题主要考查柯西不等式的应用，注意式子的变形，属于基础题．【解析】-3三、作图题(共8题，共16分)15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共12分)22、略

【分析】【解析】

(1)构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：①四个点从C1，C2，，C6中取出，有C64个四边形；②三个点从C1，C2，，C6中取出，另一个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C63C61个四边形；③二个点从C1，C2，，C6中取出，另外二个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C62C62个四边形．故满足条件的四边形共有N＝C64＋C63C61＋C62C62＝360(个)．(2)类似于(1)可分三种情况讨论得三角形个数为C63＋C61C42＋C62C41＝116(个)．其中含点C1的有C52＋C51C41＋C42＝36(个)．【解析】【答案】（1）360（2）3623、略

【分析】【解析】

试题分析：(Ⅰ)利用正弦定理；结合角的范围来求；(Ⅱ)利用余弦定理、边角互换；然后利用基本不等式来求解.

试题解析：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，

从而

∵∴5分。

（Ⅱ）法一：由已知：

由余弦定理得：

（当且仅当时等号成立）∴（又

∴从而的取值范围是12分。

法二：由正弦定理得：

∴

∵∴

即（当且仅当时，等号成立）从而的取值范围是12分。

考点：正弦定理、余弦定理以及基本不等式，考查分析问题、解决问题的能力【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）五、计算题(共1题，共4分)24、略

【分析】由题设得则的概率分布为4分。012P故收益的概率分布为。1.622.4P所以=28分12分【解析】【答案】=2六、综合题(共3题，共21分)25、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）26、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】