有关矩形折叠的数学题目教学教案

有关矩形折叠的数学问题

张景召

西峡县基础教育教研室二0一0年元月二十八号

有关矩形折叠的数学问题

矩形性质独特,折叠起来形特各异,趣味无穷,会产生丰富多彩的几何问题,而这些问题形式新颖、结构独特，往往融入了丰富的数学知识和思想，因此，越来越受到各省中考命题者的青睐。纵观2008年、2009年中考中所出现的有关“矩形的折叠问题”，主要涉及以下几类情况：一、折叠后求角度

例1.（2008年甘肃省白银市）如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°,则∠AEF=()(A)1100

(B)1150(C)1200(D)1300二、折叠后求长度例2.(2008年威海市)将矩形纸片ABCD按如图1所示的方式折叠，得到图2所示的菱形AECF.若AB=3,则BC的长为()(A)1(B)2(C)(D)

解析:根据折叠的特征可知:AC=2BC,设BC=X,则AC=2X.在Rt△ABC中由勾股定理得：X2+32=(2x)2解得BC的长为故选（D）

点评：在矩形折叠中，求折线等长度时，往往利用轴对称转化为相等的线段，再借助勾股定理构造方程来求解。三、折叠后求周长例3（2008年兰州市）如图1-4，把长为8cm的矩形按虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形。剪掉部分的面积为6cm2，则打开后梯形的周长是（）（A）（B）（C）22cm（D）18cm解析：从显示的图形中我们不难看出，所剪掉的三角形的一条直角边长为3cm，由题意可知道所剪掉的每个三角形的面积为3cm2，则它的另一直角边为2cm，因此得到的等腰梯形其上底AB=8cm。腰故该等腰三角形的周长为本题选择（A）点评：本例题通过剪折纸片作计算，检验学生对有关数学技能的理解和掌握程度，使考生的自主性得以充分发挥。四、折叠后求面积例4（2008年潍坊市）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点，折痕的一端G点在边BC上，BG=10，当折痕的另一端F在AB边上时，试求△EFG的面积。解析：过点G作GH⊥AD则四边形ABGH是矩形.所以GH=AB=8,AH=BG=10.由图形的折叠可知,△BFG≌△EFG所以,EG=BG=10,∠FEG=∠B=900所以,EH=6,AE=4,∠AEF+∠HEG=900因为∠AEF+∠AFE=900所以∠HEG=∠AFE又因为∠EHG=∠A=900所以△EFA∽△GHE

点评:在矩形的折叠中,由角之间的关系产生相似图形,从而通过有关成比例线段来做计算,也是在矩形折叠问题中常见的类型之一.同学们应予以关注.

五、折叠后求直线解析式例5（2008年枣庄市）如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO，将纸片折后，点B恰好落在x轴上，记为B/，折痕为CE，已知tan∠OB/C=3/4.(1)求点B′的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式。解析（1）在Rt△B/OC中，9=b,4=15k+bb=9,K=-1/3点评：本题设计精致，追求创新意，将几何与函数在矩形的折叠中完美结合，最大特色是知识入口较宽，涉及折叠的对称性、三角函数、勾股定理及一次函数解析式的确定等，这样的命题，切认识水平，体现知识体系的整体性。六、折叠后判断图形形状

例6（2008年湖北省十堰市）如图，把一张矩形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在店E处，BE与AD的交于点F。（1）求证△ABF≌△EDF；

（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与边BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由。点评：本题以矩形的折叠为背景，让同学们在操作和实践中观察、探究并解决问题.有利于激发同学们潜在的智慧,让同学们体验创新的快乐,并获得学习的成功感.七、折叠后探究其数量关系例7（2008年江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的B/处，点A落在A/处。（1）求证：B/E=BF；（2）设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a、b、c之间的一种关系，并给予证明。点评：矩形的折叠，主要是通过折叠图形构造的图形的轴对称性质来解决问题。由于折叠前后折叠部分图形的形状、大小不变，因此，利用轴对称性，可以转化挪威相等三线段、相等的角。

2009年有关折叠的中考题选1（北京市）正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使点A落在MN上，落点记为A/，折痕交AD于点E。若M、N分别是AD、BC

中点，则A/N=____;若M、N分别是AD、BC边上距DC最近的n（n﹥2,且n为整数)等分点，则

A/N=____.(用含n的式子表示）2（吉林省）将一张矩形纸片折叠成如图所示三形状，则∠ABC=___度3（吉林省）将宽为2cm长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是（）B4（河北省）如图，等边三角形△ABC的边长为1cm,D、F分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在A/处，且点A/在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为_____cm.35(河南省）动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5。如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ。当点A′在BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动。若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上刻移动的最大距离为_____.26（山东省）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置.若∠EFB=65°,则∠AED′=____(A)70°(B)65°(C)50°(D)25°(C)7(山东省）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′。折痕为EF。已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是____8（江苏省）（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABCD（AB﹥AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图1）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片得到△AEF(如图2),小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?请说明理由.(2)实践与运用:将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为EF(如图3);再沿着过点E的直线折叠,使点D落在BE上的点D处,折痕为EG(如图4);再展平纸片(如图5),求图5中∠α的大小。

解析：（1）同一。如图，设AD与EF交于点G。由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。又由折叠知，∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE，所以AE=AF，即△AEF为等腰三角形。（2）由折叠知，四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°，所以，∠BED=135°,又由折叠知,∠BEG=∠DEG,所以∠DEG=67.5°.从而有∠α=90°－67.5°=22.5°.9（海南省）如图，将矩形ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C/、D/处，若∠AFE=45°，则∠C/EF=____度.6510（海南省）如图1（上右图），在△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F。（1）求证：①△AEF≌△BEC；②四边形BCFD是平行四边形；（2）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值。解析（1）略。11