2024-2025学年广东省东莞市高二年级上册册七校联考数学检测试题（含答案）

2024-2025学年广东省东莞市高二上学期七校联考数学

检测试题

一、单选题：共8小题，每小题5分.在每小题只有一项是符合题目要求.

1.在平面直角坐标系。孙中，直线x-底-1=0的倾斜角等于（）

7T7T27r5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

L'L

2.若向量"=。,—1,2）,6=（2,1,-3）,则2a+b=（）

A.V7B.2V2c.3D.3V2

3.在V4SC中，已知4（3,2,6）,5（5,4,0）,C（0,7,1），点。为线段48的中点，则48边

上的中线8的长为（）

A.6B.4VIC.V42D.7

4.已知圆G：X?+J?—2x—4y—4=0与圆C,：x?+y2+4x—10歹+4=0相交于

两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（）

A.3x—3y—4=0B.3x-3y+4=0c.xy—3=0

D.x+j+3=0

5.设椭圆加/+町2=1的一个焦点与抛物线丫2=8%的焦点相同，离心率为g,则此椭圆

的方程为（）

A.廿+且=1B.y2+4=ic.丘+^=1D.久2十片=1

16127316123

6.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料

等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线

型塔筒，该塔筒是由离心率为痴的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已

知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为66cm，下底直径为9/cm，

喉部（中间最细处）的直径为8cm,则该塔筒的高为（)

A.18cmB.18V2cm

2727后

C.D.-----cm

22

7.如图①，在Rt448C中，48=28。=6,/48。=90°,£,尸分别为4瓦/。上的点,

EF//BC,

AE=2EB.如图②，将△/£/沿ER折起，当四棱锥/-的体积最大时，点£到平面

NCF的距离为（）

A,巫n2瓜

D.------

33

D.此

C.46

2

22

8.已知椭圆G：=+5=1（。>6>0）与圆G：/+/=〃,若在椭圆C］上存在点P,过尸作圆

ab

TT

的切线E4,PB,切点为/,3使得则椭圆£的离心率的取值范围是（）

A.（0,g］,,［曰［）D.（0,日］

二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9.已知圆C：（x-1）2+（了-2）2=25,直线/：（2M?+l）x+（?w+l）y-7M2-4=0.则以下命题正确的

有（）

A.直线/恒过定点（3,0）B.y轴被圆C截得的弦长为46

C.直线/与圆。恒相交D.直线/被圆C截得弦长最长时，/的方程为x+2y-5=0

10.已知片，耳为双曲线c：片-/=1的两个焦点，尸为双曲线c上任意一点，贝I］（）

3

A.\PF}\-\PF2\=243B.双曲线C的离心率为竿

C.双曲线C的渐近线方程为y=±gxD.|西+丽2卜2g

11.如图，在棱长为1的正方体/8CD-4与。2中，M,N分别是4S，4D的中点，P为

线段GA上的动点，则下列说法正确的是（）

A.尸河,80一定是异面直线

B.存在点尸，使得四V，尸拉

C.直线NP与平面3cq4所成角的正切值的最大值为行

D.过M,N,P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为地

4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量2=(2,1,1),^=(0,-1,-1)，若0+4)//0-3),则4=.

13.已知点尸(6,%)在焦点为尸的抛物线。：/=2/(2>0)上，若忸-=£,贝U

P=.

14.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨

匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数入(入>0,且入Ml),那么点

P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点尸到4(2,0),5(-2,0)的距离比为b，则点P

到直线Z：2V2x-y-V2=0的距离的最大值是.

四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知两直线4:x+歹+2=0和4：3x-2y+1=0的交点为p.

(1)直线/过点。且与直线x+3〉+1=0平行，求直线/的一般式方程；

(2)圆C过点(1,0)且与4相切于点。，求圆C的一般方程.

16.(15分)

如图，平行六面体48co中，CB±BD,ZQCD=45°,ZQCB=60°,

CC,=CB=BD=\.

(1)以向量｛而，而，无;｝为基底表示向量两，求对角线的长度；

(2)求异面直线CA］与D4所成角的余弦值.

17.(15分)

己知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在x轴上，且椭圆C经过点(0,1),长轴长为2夜.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点且斜率为1的直线/与椭圆C交于48两点，求弦长

(3)若直线/与椭圆相交于两点，且弦CD的中点为尸［gg］,求直线/的方程.

18.(17分)

在三棱锥尸。中，平面尸/C_L平面4BC,AP/C为等腰直角三角形，PALPC,ACLBC,

BC=2AC=4,M为4s的中点.

⑴求证：ACLPM-,

(2)求平面CPA与平面PAB所成角的余弦值;

(3)在线段展上是否存在点N使得平面平面尸/5?若存在，求出簧的值，若

不存在，说明理由.

19.（17分）

22

已知/,3分别是双曲线C:1—4=l(a>0,6>0)的左、右顶点，点尸(20,n)是双曲线

ab

C上的一点，直线PN,PB的斜率分别为k[,k『且桃2=|48|=4.

(1)求双曲线c的方程；

(2)已知过点(4,0)的直线/：%=叼+4,交C的左，右两支于。，£两点(异于4B1

(i)求机的取值范围；

(ii)设直线与直线BE交于点°,求证：点。在定直线上.

高二数学答案

选择题:

题号1234567891011

答案ADABCDBCCDBDAD

填空题:

12.-113.314.3V2+2V3

15（1）直线/与直线x+3y+l=0平行，故设直线/为x+3y+G=0,（1分）

x+y+2=0x--l

联立方程组（2分）解得（3分）

3尤一2了+1=0，=-1

直线（：x+y+2=0和/2：3x-2y+l=0的交点2（—1,一1）.

又直线/过点P,贝卜l-3+G=0,解得C|=4,（4分）

即直线/的方程为x+3y+4=0.（5分）

（2）设所求圆的标准方程为（x-4+8-方"，"分）

4：x+y+2=O的斜率为一1,故直线CP的斜率为1,（7分）

1

a=——

（-l-a）2+（-l-&）2=r26

（9分）解得6=-1，

由题意可得<（l-a）2+（0-^）2=r2,（11分）

0

二125

、。+1

18

故所求圆的方程为卜+/+'+£）=!|-（12分）

114

化为一般式：^2+y2+jx+-y-j=0.（13分）

16（1）以向量｛方,而，风｝为基底，则有国=方+瓦?+标M区+而+西，（2分）

因为CB=3D=1,CBLBD,以三角形BCD为等腰直角三角形，所以。0=逝，（3分）

又因为CG=C3=1,NGCS=60。，所以三角形GC5为边长为1的等边三角形，（4分）

鬲2=（CB+CD+cc^y^CB2+CD2+~CC^+2CB-CD+2CB-~CC1+2CQ-CD（5分）

=l+l+2+2xlxV?x^-+2xlxlx—+2xlx>/2x^-=9,（6分）

222

所以|鬲|=3,（7分）所以Ic4r3,即对角线C4的长度为3.（8分）

（2）因为E=^+而+可，

\CAX\=3,

DA=CB，\DA\=\CB\=1，（9分）

所以两■DA=两-CB^（CB+CD+CC\）-CB^'CB2+CD-CB+CCl-CB（11分）

B]5

=1+V2xlx——+lxlx—=—,（12分）

222

所以cos<E,万彳>=上i也=g（14分）

1'\CA^\DA\6

即异面直线C4与D4所成角的余弦值为（15分）

6

22

17（1）由题意设椭圆。的方程为4+3=1伍>6>0）,

因为椭圆经过点（0,1）所以b=l（1分）

又因为长轴长为2血，a=V2（3分）

所以椭圆。的标准方程为工+/=1.（4分）

2

（2）由已知设直线/的方程为y=x-l,设/（X3/3），*与乂）.

将直线歹=x-l代入土+/=1,（5分）得3%2—44=0,（6分）

2

所以％3+%4=g，X3X4=0，（7分）

222

\AB\=Jl+kyl（x}+x4）-4X3X4=Vl+1—4x0=殍.（9分）

或解出交点坐标

（3）法一:设C（X]，M）,Z）（X2，%）,则CD中点是尸仁,司，

于是七^=«2=9（10分）即玉+%=弘+%=1,（11分）

22

由于"在椭圆上，故5+卢=吟+货=1,（12分）

两式相减得到上三+,一/=0,即，*-+%）（必一力）=o,a?分）

22

故±上2+（）=0,显然毛+超W0,于是以2匹=_；=鱼》,（14分）

2Xj-x22

故直线CD的方程是=整理得2x+4y-3=0（15分）

2

经检验，直线2x+4y-3=0与双曲线、+r=1有两个交点，合乎题意.（未检验，不扣

分）

法二：①当直线/的斜率不存在时，CA的中点在x轴上，不符合题意.（10分）

②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y-；=k（x-；）,（11分）

设C5,必则CD中点是于是五争=4，即再+%=1，（12分）

卜2

彳+y=i13

联立彳2，化简得（2/+i）f—（2左2—2后）x+（—左2—左——）=0,（13分）

了-；=场-：）22

、乙乙

由于△＞（）,根据韦达定理，M+”2k：20=］解得k=-《（14分）

122k2+12

故直线CD的方程是=1-£|,整理得2x+4y-3=0（15分）

18（1）若。为ZC中点，连接M。、PD,又M为AB的中点MD//3C,（1分）

由/C_L8C,则A®_L/C,（2分）

又△尸/C为等腰直角三角形，

PALPC,有PDL/C,（3分）

由A®cPD=D,则/C_L面尸MD,（4分）

:加匚面户皿，AACLPM.（5分）

（2）由（1）可构建以。为原点，152,15面历为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系,

A(l,0,0),5(-1,4,0),C(-l,0,0),P(0,0,1),(6分)

则。=(1,0,1),Z?=(-1,0,1),第=(1,-4,1),(7分)

若〃=（x,y,z）为面尸48的一个法向量，

AP•力=-x+z=0-1

则一，令z=l,即拉=（1,不1）,

BP-n=x-4y+z=02

若〃i二区,%，4）为面尸4C的一个法向量，

AP•a=一匹+4=0_

则〈一.，令％=1，即々=(0,1,0),(9分)

CP•%=玉+4=0

（10分）

则平面C7〃与平面尸42所成角的余弦值为L（11分）

3

-PN

（3）若存在N使得平面CNM1平面PAB，目---=4,0W4W1,

PB

则N(—44尢1—㈤，M(0,2,0),(12分)CN=(1—444,1—㈤，CM=(1,2,0),(13分)

若m=（a,b,c）是面CNM的一个法向量,

贝函.方=（）（；）

[Jl_4a+446+l_lc=0—2-62

,令6=1,则加=（—2,1,—-）,（14分）

CM•玩=〃+2b=01-A

-----12-621

・•・冽7=-2+—+--------=0,（15分）可得力=—.（16分）

21-A9

PN1

・•・存在N使得平面CNM_L平面尸此时——二一.（17分）

PB9

19（1）由题意可知4-0）,5（〃,0）,因为|45|=2。=4,所以L=2.（1分）

,2

nnn2n

因为P（2后,〃），桃=----------------------------------------—=4,（2分）得“2=16,

20+2272-2（2A/2）2-44

又因为尸（20,〃）在双曲线上，则

所以〃=16.（4分）

22

所以双曲线C的方程为土-匕=1.（5分）

416

（2）（i）由题意知直线/的方程为工=叩+4,

x2

联立:416,（6分）化简得（4m2-1）/+32叼+48=0,