2024-2025学年高一年级上册数学期末考复习：对数与对数函数（附答案解析）

题型1对数运算...................................................6

题型2对数函数的定义域与值域.....................................8

题型3对数函数的图象.............................................9

题型4比较大小..................................................12

题型5求解对数不等式............................................13

题型6综合性问题................................................15

♦知识清单♦

1.对数的概念

2.对数式与指数式的互化

3.对数的运算

4.换底公式

5.对数函数

6.对数函数的图象与性质

如识归纳

1.对数的定义

(1)一般地，如果qX=N(a>0,且存1),那么数x叫做以。为底N的对数,

记作X=10gaN.

(2)其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

(3)以10为底的对数叫做常用对数，并把logioN记为IgN.

(4)以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为InN.

2.对数式与指数式的互化

,旨数或对.

»=N.底数》!=log%

幕或真数

3.对数的运算

(1)log«(MA0=logJI/+logJV.

M

(2)log«^=logaM—logJV.

(3)logaMn=nlogaM(nR).

4.换底公式

(1)log。/?=；：j且存1；c>。，且存1；Z?>0).

(2)1。8火=目是(N>0，且附1;a>0,且中1).

(3)log。”bm=­log«Z?((2>0,且存1,b>Q).

(4)ogabAogbC-logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0,且存1,b丰存1).

(5)log«Z?4ogw=1.

5.对数函数

(1)一般地，函数y=logd(a>0,且存1)叫做对数函数.

(2)其中x是自变量，函数的定义域是(0,+oo).

6.对数函数的图象和性质

y=logaX(〃>0,且存1)

底数a>\0<a<l

产logyX=1

图象X1

(1,0)X不

17X=1Ty=iog/

定义域(0,+oo)

值域R

单调性(0,+⑼上是增函数(0,+oo)上是减函数

最值无最大、最小值

奇偶性非奇非偶函数

共点性图象过定点(1,0),即x=l时，尸0

当工£(0,1)时，当xe(0,1)时，

yE(—oo,0);y£(0,+GO)；

函数值特点

当工£[1,+GC)时，当工£[1,+8)时，

y£[0,+co)yE(—co,0]

y=\ogax与y=log]X的图象关于x轴对称

对称性

a

技巧总结

_____________________________J

1.对数式的范围.

p>o,

用式子log』=>｛。>0，求字母的范围.

【存1,

2.指数式与对数式的互化.

（1）指数式化为对数式：将指数式的哥作为真数，指数作为对数，底数不

变，写出对数式.

（2）对数式化为指数式：将对数式的真数作为募，对数作为指数，底数不

变，写出指数式.

3.对数式中求值的方法.

（1）将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.

（2）利用募的运算性质和指数的性质计算.

4.用对数性质求值的方法.

（1）求解此类问题时，应根据对数的两个结论lognl=0和logotZ=l（<7>0

且存1）,进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算.

（2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后

再求解.

5.由对数运算性质化简求值.

（1）“收”：将同底的两个对数的和（差）合并为积（商）的对数，即公式的逆

用.

（2）“拆”：将积嘀）的对数拆成同底的两个对数的和（差），即公式的正用.

（3）“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用Ig2+lg5=l,进行计算

或化简.

6.由换底公式进行化简求值的技巧.

邓TH化异底为同底

，技巧一：借助运算性质，先利用对数的运算

♦性质进行部分运算，最后再换成同底

昌技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用

--1对数（自然对数），再化简、通分、求值

，技巧三：利用对数恒等式或常用结论，有时可

7熟记一些常用结论，这样能够提高解题效率

7.由对数式与指数式互化求值的方法.

(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算

法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.

(2)对于连等式可令其等于网上>0),然后将指数式用对数式表示，再由换

底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.

8.判断一个函数是否为对数函数的方法.

(1)系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数.

(3)对数的真数仅有自变量x.

9.求对数型函数的定义域.

(1)真数大于0.

(2)对数出现在分母上时，真数不能为1.

(3)底数上含有自变量时，大于零且不等于1.

10.对数函数的性质.

(1)对数函数y=log«x(a>0且(#1)的图象恒过定点(1,0).

(2)作丁=川刈的图象时，保留y=/(x)(x>0)的图象不变，x<0时>=犬国)

的图象与y=Ax)(x>0)的图象关于y轴对称.

(3)作y=|/(x)|的图象时，保留y=/(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下

方图象以x轴为对称轴翻折上去即可.

11.比较对数值大小常用的方法.

(1)同底数的利用对数函数的单调性.

(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.

(3)底数和真数都不同，找中间量.

(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进

行分类讨论.

用诱导公式化简求值的思路.

(1)“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函

数.

(2)“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0。到360°

的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三

角函数.

(3)“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数.

(4)“锐求值”，得到0。到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是

非特殊角可由计算器求得.

题型1对数运算

h

【典例1】(2023秋•龙岗区期末)已知5。=10"则-=()

a

A.1-IglB.|C.log510D.2

【答案】A

【分析】先将原式转化为对数式，再结合对数的运算性质，即可求解.

【解答】解：5。=10",贝UHg5=6/gl0=6,

,,b

故一=lg5=IglO—lg2=1—lg2.

a

故选：A.

【典例2】（多选）（2023秋•肇东市校级期末）下列运算正确的是（）

11

A.Zg5+Zg2=1B..成=o

=

C.Iog4321og23D.—=log25

【答案】AD

【分析】ACD利用对数运算法则和换底公式可判断；B选项，利用指数哥的

运算法则可判断.

【解答】解：A选项，lg5+lg2=lg5X2=lglO=l,A正确；

3选项，a-1,J=a44=ao=i,B错误;

C选项，/。。43=1。先23=夕。923，C错误；

。选项，由换底公式可得1。取5=鬻，。正确.

故选：AD.

【典例3】（2023秋•乌鲁木齐期末）计算下列各式.

⑴（由4―27：+J（一%；

l2

（2）lg2s+lg4+7°^+log23xlog34.

【答案】（1）-6；

（2）6.

【分析】（1）由指数募的运算性质化简即可得出答案；

（2）由对数的运算性质化简即可得出答案.

939

【解答】解：⑴原式=优正-（33肢+|-----

444

（2）原式=匈100+2+鸨X鳖=2+2+2=6.

题型2对数函数的定义域与值域

【典例4】（2023秋•丽水期末）函数号+Zg（x-1）的定义域是（）

1

A.{x\x>2）B.{x\x>1}

C.{%|久之:且％W2}D.{Rx〉l且％W2}

【答案】D

【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集.

【解答】解：“为=雪+Zg（x—1），

px-1>0

则卜一2Ho,解得x>l且x#2,

（x-1>0

故函数/（x）的定义域为{x>l且xW2}.

故选：D.

【典例5】（多选）（2023秋•揭阳期末）下列结论正确的有（）

A.函数丫=赞竺的最小值为2

JX2+9

B.函数/(兄)=loga(2x-1)+1(〃>0且的图像恒过定点(1,1)

C.f(x)=log2(x2-mx+1)的定义域为R,则mE(-°°,-2)U(2,+

OO)

D.f(x)=log2(x2-mx+1)的值域为R,则mE(-°°,-2]U[2,+°°)

【答案】BD

【分析】A中，将函数整理，换元，g（?）=什彳在［3,+8）上单调递增，可

得函数的最小值，判断出A的真假；B中，由对数函数恒过的定点的条件，

可得函数过的定点的坐标，判断出3的真假；C中，由函数的定义域为R,

可得真数大于0恒成立，可得机的范围，判断出C的真假；。中，由函数的

值域为R可知方程x2-m+l=0在R上有解，可得机的范围，判断出。的真

假.

【解答】解：A中，y=:+1°='+9+1=五2+9+11,令t=V%2+9>3>

卜2+9JX2+9

设g(?)=什拉[3,+8)上单调递增，所以g⑺2g(3)=3+R竽，即

函数y的最小值为?，故A错误；

3中，令2x-]=],BPx—1,则/(I)=logal+l=l,则函数/(无)=loga(2x

-1)+1(a>0且oWl)的图像恒过定点(1,1),故3正确；

C中，若/'(x)=/0。2(久2-mx+1)的定义域为R,则％2-m%+1>0在R上恒成

立，所以△=(-m)2-4<0,解得-2<机<2,故C错误；

。中，若/■(久)=/0。2(久2-nix+1)的值域为R,则方程x2-mx+l=0在R上有

解，所以△=(-m)2-4^0,解得me(-8,-2]U[2,+8),故。正确.

故选：BD.

(2%,%<0

【典例6](2023秋•合肥期末)已知函数f(x)=b…则心9)]=

I3

【答案】

4

【分析】由已知先求/(9),再计算内'(9)]即可.

【解答】解：由题意得，f(9)=/ogi9=-2,所以加(9)]=f(-2)=2-2=1.

3个

1

故答案为：

4

题型3对数函数的图象

【典例7】(2024春•阜阳期末)如图，图像①②③④所对应的函数不属于y=

2工一义，y=log2x,y=ZogiX中的一个是()

z2

A.①B.②C.③D.④

【答案】D

【分析】由函数解析式确定其图象所过的定点，结合单调性确定对应的图形

即可.

【解答】解：依题意，函数y=，。先％，y=的图象分别过定点

（0,1）,（1,0）,（1,0）,

它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一.

故选：D.

【典例8】（2023秋•宁德期末）已知。＞0,且。W1,函数y=〃，y=loga（-x）

的图象只能是（）

【答案】B

【分析】根据a的取值分两种情况考虑：当0＜。＜1时，根据指数函数的图

象与性质得到、=方为减函数，即图象下降，且恒过（0,1）,而对数函数为

增函数，即图象上升，且恒过（-1,0）,但是四个选项中的图象没有符合这

些条件；当时，同理判断发现只有选项8的图象满足题意，进而得到正

确的选项为反

【解答】解：若曲线函数图象下降，即为减函数，且函数图

象过（0,1）,

而曲线y=logjx函数图象上升，即为增函数，且函数图象过（-1,0）,

以上图象均不符号这些条件；

若。＞1,则曲线上升，即为增函数，且函数图象过（0,1）,

而函数y=log/x下降，即为减函数，且函数图象过（-1,0）,只有选项3满

足条件.

故选：B.

【典例9】(多选)(2023秋•沙坪坝区校级期末)若log，＜0,则函数/(x)=

ax+bg(%)=log/)(tz-%)在同一坐标系内的大致图像可能是()

【答案】BC

【分析】由log，＜0,分类可得。＞1,0＜。＜1两种情况讨论，函数/(尤)=

与g(x)—logz,(a-x)可分类讨论，a＞1时bE(0,1)之间，分别

对各个图象讨论，判断出所给的图象的真假；

当ae(0,1)时，则6＞1,分别对各个图象讨论，判断出所给的图象的真假.

【解答】解：因为logab＜0,由函数/(X)=«*+/?与g(x)=logo(a-x)的

解析式，可知：当。＞1时，则0＜6＜1,即/(x)为丁=炉向上平移6个单位，

且/(x)单调递增，排除5,D-,

A选项中，由/(x)的图象知，b＞l,此时g(x)=logb(a-x)在定义域(-

8,a)上单调递减，所以A不正确；

C选项中，由/(x)的图象知，1＞。＞0,止匕时g(x)=log/,(a-x)在定义

域(-8,加上单调递减增，所以C正确；

当aC(0,1)时，则6＞1,此时/(x)为丁=炉向上平移6个单位，且/(龙)

单调递减，排除A,C；

由3选项可知，/(无)为y=«，向上平移6个单位，符合条件，g(x)=log〃

(a-x)在定义域(-8,a)上单调递减，符合条件，所以3正确；

。选项中，从图象/(x)可知6C(0,1)的，不符合，所以。不正确.

故选：BC.

题型4比较大小

【典例10］（2024春•天津期末）若b—20A,c=log25,则a,b,c的

大小关系为（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>c>a

【答案】B

【分析】利用对数函数、指数函数的性质判断即可.

【解答】解：由0=01</〃1.1<法=1,

1=2°<2°-1<21=2,

Iog25>log24=2,

即c>6>a.

故选：B.

【典例11］（多选M2023秋•阜阳期末）已知正实数x,y,z满足《尸=

则（）

A.---=--1B.2z2V盯C.x<2z<3yD.x<3y<2z

【答案】ABC

【分析】由题意，利用指数与对数的互化，对数的运算性质，逐一判断各个

选项是否正确，从而得出结论.

【解答】解：由题意，设（犷=（1）y=（1）z=m,则x=log1m=-log3m,y=logyrn=

-log4m,z=log1m=-logem,且0<m<l,故有lgm<0.由>—二=04M一

6xz1。。3租

log^m=lg3_lg6=_lg2_=_1^故人正确.

log6mlg4lg42lg22lg22

由上可知，工+上=工，所以石+—=1,由基本不等式得三+—=1>2,

x2yzx2yx2y2xy

即夕<I，所以二<即2z?W移，当且仅当三即x=2z,尸z

J2xy22xy4x2y2

时取得等号.又y=z时，由(}y=(》z可得y=z=O,这与y>0,z>0矛盾,

所以只能2z2<xy,不可能222=孙，故5正确.

__JgmIgmlgm(2lg3Tg6)国加也|

又x-2z--log3机+21og6机一2标--=3一=标而所以

x<2z.再根据2z-3y=-21og6机+31陪机=符—鬻=如嗡铲父=

罂暮8,可得2z<3y.综合可得，x<2z<3»故有C正确，且。错误.

故选：ABC.

11

【典例12](2024春•湖南期中)已知a=s讥a，b=e?,c=log24b,则a,b,c

的大小关系为.(用号表示)

【答案】a<c<b,

【分析】依题意，利用指数，三角函数，对数函数的单调性，借助关键值1

和:进行比较.

2

1___Q

【解答】解：Ve^2.7>2.25,Ae2=V^>V125=

又1Vc=log246<log2Vs=|/a=sin*<sin^=1,

:.aVcVb.

故答案为：a<c<b.

题型5求解对数不等式

【典例13](2024春•聊城期末)已知函数/(x)=|M，若f(}Vf(a)q(4),则

。的值可以为()

12_39

A.一B•一C.一D.一

3322

【答案】A

【分析】利用函数/(x)=|加c|的图象和性质即可判断.

【解答】解：由题意/8)=|/岐=|—仇2|="2,f(4)=|加4|=>4,

由/(x)=|/〃x|的图象如图：

函数在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

/(1)=|Zn1|=|-Zn4|=ln4,所以满足f(》</(a)</(4),

11

得一VaV-或2VoV4.

42

故选：A.

【典例14】(2023秋•昌黎县校级期末)已知函数/(%)=logd(〃>0且aWl).

(1)若/(%)在区间［。，2例上的最大值与最小值之差为1,求〃的值；

(2)解关于x的不等式-l)〉/ogi(a-x2).

33

【答案】(1)2或右1

(2)答案详见解析.

【分析】(1)已知函数/(x)在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为1,根

据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可；

(2)利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，

即可得到解集.

【解答】解：(1)因为y=logd在［a,2a］上为单调函数，

且函数y=logd在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为1,

所以|loga(2a)-loga6f|=|loga2|=1,

解得。=2或;1.

(2)因为函数y=2ogix是(0,+°°)上的减函数，

(-CLX-1,0kV—-

所以卜-/>0,即‘份VxV迎,

L-ax-1<a-x2l-l<x<a+1

当a>l时，—正，原不等式解集为(—1,一

当0<。<1时，-、-1V-原不等式解集为。.

【典例15](2024春•红桥区期末)已知函数/(x)=log2(ax2-6ax+11),aGR.

(I)当a=l时，求不等式/(x)>log23的解集；

(II)若/(x)的定义域为R,求a的取值范围.

【答案】(1)(-8,2]U[4,+8)；

11

(II)[0,$).

【分析】(1)。=1时，函数/(尤)=log2(x2-6x+ll),不等式化为log2(x2

-6x+ll)>log23,根据对数函数的单调性求解即可；

(II)根据/(x)的定义域为R得ax2-6ax+H〉0恒成立，讨论a的取值范

围，求解即可.

【解答】解：(1)。=1时，函数/(x)=log2(f-6x+ll),不等式/(X)

Nlog23可化为Iog2(x2-6x+ll)Nlog23,

根据对数函数的单调性知-6x+ll>3,即x2-6x+820,解得xW2或

所以不等式的解集为(-8,2]U[4,+8)；

(II)若/(x)的定义域为R,则ax2-6ax+ll>0恒成立，

当a=0时，11>0,满足题意；

当aWO时，应满足,解得0<。V等

U=36a2-44a<0y

综上，a的取值范围..是[0,11).

9

题型6综合性问题

【典例16](2023秋•湖南期末)已知函数J(x)=log«(2x-4)+loga(5-x)

(a>0且aWl)的图象过点P(3,-2).

(1)求a的值及/(x)的定义域；

(2)求/(x)的单调区间；

(3)若”=3n=te8,3),比较/(2加)与/(3〃)的大小.

【答案】⑴a可，/(x)的定义域为(2,5)；

77

(2)(%)的单调减区间为(2,-),单调增区间为(15)；

(3)f(2M<f(3n).

【分析】(1)由/(3)=-2求得a,由对数函数的定义得定义域；

(2)先求得/(%)的定义域为(2,5),再利用复合函数的单调性可得答案；

(3)指数式改写为对数式，然后比较2加，3〃的大小，并由已知得出2加3n

的范围，在此范围内由/(x)的单调性得大小关系.

【解答】解：⑴依题意，f(3)=logo2+log„2=-2,解得a=±,

由尸4>0,解得2V尤<5,所以/(x)的定义域为(2,5)；

15-%>0

(2)由(1)知，/(%)=1ogi(2%—4)+1ogi(5—%)=20gl(2%—4)(5—%)=

222

1。91(一2'2+14%—20),

2

4-2X2+14X-20>0,得2VXV5,

又尸-2X2+14X-20的开口向下，对称轴方程为尤=

77

所以y=-2炉+14厂20在区间(2,上单调递增，在(鼻，5)上单调递减，

又>=Zogi久为减函数，

2

7

所以，由复合函数的单调性可得，/(%)的单调减区间为(2,-),单调增区

7

间为(5,5)；

(3)2m=3"=t(|<t<3),(V2)2m=(V3)3n=t,

则2m=log^t=此后'3n=logmt=而云,

显然鱼=讴，^3=V9>V8=V2>1,即有OVogtaVogt遮，

于是2根>3〃，而g<t<3,则m=log2^<log23,2m<21og23,

又27>3、则7>41og23,log23<\,即

55125

n=log3t>log33n>3log3=1°93~Q~>1。039=2,

从而2??iE(2,3，3ne(2,3，

因为z/=-2%2+14x-20在(2，今上是增函数，又y=Zogi〃在(0,+8)上是减

/2

函数，则/(x)在(2,3上是减函数，

所以/(2m)</(3〃).

Y

【典例17】(2023秋•西城区期末)已知函数/(%)=log2(4-8).

(I)求函数/(大)的零点；

(II)求函数/(x)的图象与函数g(x)=x+l的图象的交点坐标；

(III)若函数/(x)的图象恒在直线y=4x+0的下方，求方的取值范围.

【答案】(I)log23；

(II)(2,3)；

(III)(-5,+8).

【分析】(I)令/(x)=0,解得x的值，即可得函数的零点；

(II)令/(x)=g(x),转化为指数形式，解得x的值，代入函数g(x)中，

可得交点的纵坐标，即求出交点坐标；

(III)由题意可得/(x)<4x+6,转化为指数表达式，换元，由函数的性质

可得关于6的不等式，进而求出6的范围.

【解答】解：(I)令log2(4V-8)=0,所以4厂8=1,即4』9,

所以X=log49=log23,

所以/(X)零点为log23;

(II)令/(x)=g(x),即log2(4^-8)=x+l,所以41-8=2/1,

整理可得(2D2-22-8=0,即(2r-4)(2工+2)=0,

所以2工=4,解得x=2；将x=2代入g(尤)=x+l中，可得g(2)=3,

所以函数/(x)的图象与函数g(x)图象的交点坐标为(2,3)；

(III)由8>0得22023,所以2X>3,解得X>|,

即函数/