2024年中考数学复习：与面积有关的模型复习讲义

与面积有关的模型复习讲义

模型一等（同）底等（同）高的三角形面积相等

场景:如图,AD是4ABC的中线.

作辅助线方法:作AGLBC,交BC于点G.

结论：SABD—^ADC-

拓展:如图公ABC的三条中线AD,BE,CF交于点O.

结论：（可结合刖面的重心定理模型得到）.

SaBD—Save=^aE=^alE=^alF~^aFF=^OS43

精选例题

例如图在平行四边形ABCD中,/BAC=9（r,AB=AC,过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E,

点F是垂足，连接BE,DF,DF交AC于点0,则下列结论:①四边形ABEC是正方形;②CO:BE=1:3;（3）DE=V2BC;

④S可逆*.=SN。。其中正确的个数是（）.

A.1B.2

C.3D.4

解析

由正方形的判定定理可判定结论①的正误；应用“8字”相似模型可得到OC：AC的值，

AC=BE,可判断结论②的正误；通过判断4AED是否是等腰直角三角形可得到③的结论；由“等底等高的三角形面

积相等”得到SMCE=S4m由等底等高得到SMCF=SDCF,SA0F=SBX，然后通过面积关系可判断结论④是否正确.

解；AB=AC,AF_LBC,；.BF=CF.：四边形ABCD是平行四边开么AB〃CD".ZABF=ZECF,ZBAF=ZCEF.

AABF^AECF,AB=EC.四边形ABEC是平行四边形.又：AB=AC,ZBAC=90°,.\四边形ABEC是正方形，故

结论①正确.

:四边形ABCD是平行四边形，,AD=BC.ADBC.：.^^^=，.•.C0:4C=1:3,vAC=BE,：.CO-.BE=1:

3,故结论②正确.

四边形ABEC是正方形,ZAEC=ZECF=45°.VAD^BC,.".ZADC=45°./.AAED是等腰直角三角形.DE

V2AD.VAD=BC,DE=应8C,故结论③正确.

--AB=CE,AB=CD,CE=CD.SaE=S®（等底等高的三角形面积相等）.「SAFC=S^c（等底等高的三角

=s

形面积相等）,SAFC_SFNC=SDFC—SFNC，即^AOF=^COD^ACE_S40F=SACD—S。。,即--v».故结论

④正确.

a

B

综上所述，①②③④均正确，故选D.

精选练习

1.在平行四边形ABCD中，乙4=30°,AD=4W,BD=4,则平行四边形ABCD的面积等于.

模型二等积转化法

利用图形变换（旋转、平移、轴对称）和割补的方法，通过等面积转化，把求不规则图形的面积转化为求规则图

形的面积来进行计算.

模型2-1直接转化法

5i®"

APoBAPo

S用必=S用形sm影=S中影OBC

模型2-2平移转化法

DFCDFc

\

AEBAEB

SpjKi=S正力jgHCFE

模型2-3旋转转化法

ADrAD

萼7°

BM\/CBM\/C

=

Sm彭SjEy/Krt-QE

模型2-4对称转化法

4A

四f四

DCDC

CBCBA0BA0B

S刖影=S用心"”-SA/UDSpj彭=SPAC'D

ADAD

s甘

BCBC

年一0用步CDE

模型三和差法

把不规则图形的面积看成是一些规则图形组合的一部分，然后根据图形特点，用图形组合的整体面积减去多余

的面积，或者是用几个规则图形的面积相加，然后进行计算.

AA

，阴影=S平行四边形AMD-S4flfE-S期形Q\E

模型四割补法

把不规则图形的面积通过分割或补充，化为几个规则图形的组合，然后再利用和差法求不规则部分的面积即可.

S阴影=S琳影a阳+S△ao-S用形

精选例题

例1.如图，在半径为6的。。中，点A,B,C都在。。上,四边形OABC是平行四边形则图中阴影部分的面积为（

).

A.6兀B.3V37T

C.2V3TTD.2K

解析

通过0C=。幽导到四边形OABC是菱形，进一步得到.△OZB是等边三角形，可通过菱形的性质，把求阴影

部分的面积转化为求扇形的面积.

解如图，连接OB.

•・.四边形OABC是平行四边形，

AB=0C.

AB=0A=0B,

・•.△AOB是等边三角形，..・・^AOB=60°.

・•.OC\\AB,

，•SAOB=SABC，

・c_C_60・7TX36_A

,•—J扁影“用2g0bT.

故选A.

例2.如图.正六边形ABCDEF的边长为1,以点A为圆心、AB的长为半径,作扇形ABF，则图中阴影部分的面

积为（结果保留根号和兀）.

解析

正六边形的中心与各顶点的连线，把正六边形分割为6个全等的等边三角形，通过求等边三角形的面积求出正

六边形的面积，然后利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积，结合图形，利用割补法计算即可.

解正六边形的中心为点O,如图，连接OD,OE,作(0G1DE于点G.

•••乙DOE=理一=60。，,OD=OE=DE=1,OG=—.

62

c1V3,3V3

***S.=-x41x—x6=—,

正方形ABCDEF222

2

，人(6-2)x180°.oc1207TX1it

Z-A=---------------------=IzU"・5=-------------=

6稀子常数MF3603

C3A/37T

故答案为手-今

精选练习

1.如图，在△ABC中，已知/ABC=900,/BAC=300,BC=1^AABC绕点A按逆时针方向旋转90。后得到△AB'C,

则图中阴影部分面积为（).

A.匹/4

2

2如图在RtAABC中，AABC=900,AB=2V3,BC=2,,以AB的中点O为圆心、OA的长为半径作半圆交

AC于点D,则图中阴影部分的面积为（）.

71.---5.-+-C,2V3-7TD.4V3--

42422

3.如图,在半径为10的扇形AOB中,/AOB=9（T,C为而上一点©口，0人《£，08,垂足分别为口,£.若^^口£=3

6。,则图中阴影部分的面积为（）.

A.IOKB.9兀C.8兀D.6兀

4.如图，点O是半圆的圆心,BE是半圆的直径，点A,D在半圆上，且AD〃BO,NABO=6（T,AB=8,过点D作DC

±BE于点C,则阴影部分的面积是_________.

E

BOC

精选练习

模型一

1.解析：根据平行四边形的性质，得到AE=根据相似三角形的性质，得到霁=喋=；等量代换得到AF

3BCCE3

=/。，于是得到褰=今故结论①正确根据相似三角形的性质，得到SABCE=36,故结论②正确根据三角形的面积

3FD2

公式，得到SABE=12,故结论③正确.由于△AEF与小ADC只有一个角相等，于是得到4AEF与4ACD不一定相

似，故结论④错误.

解:：在口ABCD中，AO="C,点E是OA的中点,；.AE=|CE.,?AD//BC,△AFE^ACBE.

,故结论①正确.

—CB=—CE—3AD=BC,AF-3-AD.尸02'"1

-SAEF=4,醇=偿)2=?,.•.SE=36,故结论②正确.

EF_AE

3；・泮=M•二SABE=12,故结论③正确.

BE-CE3^ABE3

•••BF不平行于CD,.•.△AEF与△ADC只有一个角相等..•.△AEF与^ACD不一定相似，故结论④错误.

故选D.

2.解:①如图过点D作DELA

在RtAADE中，

ZA=30°,A

AD=4V3,

DE=^AD=2y/3,AE=^-AD=6.

在RtABDE中二，BD=4,

•••BE=y/BD2-DE2=心-(2V3)2=2.

/.AB=AE+EB=8.

•••SjABCD=4B-DE=8X2V3=16V3.

②如图，过点B作BELAD于点E.

设BE=x.VZA=30AE=V3x,vAD=473,DE=4A/3-届又•:BD=4,.-.BE2+DE2=即

22

x+(4V3—V3x)2

=42.整理得x-6x+8=0.解得%!=2,X2=4(舍去).即BE=2,二SdABCD=BE•AD=2X

4百=8V3

综上所述，答案为16旧或8模型二

1,解:在RtAABC中,•：/BAC=3O°,

；.AC=2BC=2.

AB=y/AC2-BC2=V3.

VAABC绕点A按逆时针方向旋转90。后得到△ABC,

•••AB=AB'=43,BC=B'C=1,^CAC=90°.

.­./.CAB'=60°.

2

.90K・22

S矶影—SjnjBctrSdwcS琳形w*=—2gQ—一工*A/3x1—6。加(8)_兀-S

2360-2,

故选B.

2.解:如图，在RtAABC中，连接OD.VZABC=90°,AB=2<3,BC=2NA=3()o,NDOB=60。.过点D作

DE_LAB于点E,ZB=2v5,AO=OD=V3.*0•DE=—.S。】或