2025年外研版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高一数学下册月考试卷241考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、下列图象中表示函数图象的是（）（A）(B)(C)(D)2、为终边上一点，则（）.A.B.C.D.3、已知最小时x的值是()A.-3B.3C.-1D.14、【题文】对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有＝x＋y＋z(x；y、z∈R)；

则x＋y＋z＝1是P；A、B、C四点共面的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件。

C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、【题文】如图，下列物体的正视图和俯视图中有错误的一项是()

6、四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面是侧棱长为3的等腰三角形，则二面角的余弦值的大小为()A.B.C.D.7、若向量=（3，m），=（2，﹣1），=0，则实数m的值为（）A.-B.C.2D.68、设f（x）为定义于（﹣∞，+∞）上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（﹣2）、f（﹣π）、f（3）的大小顺序是（）A.f（﹣π）＞f（3）＞f（﹣2）B.f（﹣π）＞f（﹣2）＞f（3）C.f（﹣π）＜f（3）＜f（﹣2）D.f（﹣π）＜f（﹣2）＜f（3）9、若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD

中；其中AB=2BC=1

则质点落在以AB

为直径的半圆内的概率是(

)

A.娄脨2

B.娄脨4

C.娄脨6

D.娄脨8

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、方程ln（3•=0的解为____．11、将函数图像向左平移（）个单位后所对应的函数是偶函数，则的最小值是.12、函数y=cosx（-≤x＜）的值域是（区间）____．13、圆心在轴上，且过两点A(1，4)，B(3，2)的圆的方程为____.14、【题文】已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线x-y+2=0的对称点都在圆C上，则a=____.15、已知点O是锐角△ABC的外心，AB=8，AC=12，A=．若=x+y则6x+9y=____16、sin14°cos16°+cos14°sin16°的值等于____．17、sin960°的值为____________．18、若直线l上存在不同的三个点A，B，C，使得关于x的方程x2+x+=（x∈R）有解（点O不在直线l上），则此方程的解集为______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)19、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．20、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．21、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．22、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．23、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．24、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．25、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、解答题(共4题，共40分)26、某专卖店经销某种电器，进价为每台1500元，当销售价定为1500元～2200元时，销售量（台）P与销售价q（元）满足P=

（1）当定价为每台1800元时；该专卖店的销售利润为多少？

（2）若规定销售价q为100的整数倍；当销售价q的定价为多少时，专卖店的利润最高？

27、一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求的概率.28、【题文】如图，四边形与均为菱形，且

（1）求证：

（2）求证：

（3）求二面角的余弦值．29、在平面直角坐标平面内；已知A(0,5)B(鈭�1,3)C(3,t)

．

(1)

若t=1

求证：鈻�ABC

为直角三角形；

(2)

求实数t

的值，使|AB鈫�+AC鈫�|

最小；

(3)

若存在实数娄脣

使AB鈫�=娄脣鈰�AC鈫�

求实数娄脣t

的值．评卷人得分五、综合题(共4题，共28分)30、如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果；那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中；若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．31、已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2；f（x）=x的两实根为α；β．

（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；

（2）若a、b均为负整数；且|α-β|=1，求f（x）解析式；

（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．32、已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧）；且A点坐标为（-4，4）．平行于x轴的直线l过（0，-1）点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；

（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系；并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？33、如图；Rt△ABC的两条直角边AC=3，BC=4，点P是边BC上的一动点（P不与B重合），以P为圆心作⊙P与BA相切于点M．设CP=x，⊙P的半径为y．

（1）求证：△BPM∽△BAC；

（2）求y与x的函数关系式；并确定当x在什么范围内取值时，⊙P与AC所在直线相离；

（3）当点P从点C向点B移动时；是否存在这样的⊙P，使得它与△ABC的外接圆相内切？若存在，求出x；y的值；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】【解析】试题分析：根据函数的定义；对任意的一个x都存在唯一的y与之对应可求【解析】

根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应,而A、B、D都是一对多，只有C是多对一．故选C考点：函数定义【解析】【答案】C2、A【分析】因为点到原点的距离为5，所以【解析】【答案】A3、B【分析】试题分析：由题目已知可得：然后利用二次函数知识求解即可.考点：(1)向量的坐标运算；（2）二次函数.【解析】【答案】B4、C【分析】【解析】

试题分析：证充分条件：因为x＋y＋z＝1，所以＝x＋y＋z=x＋y＋所以即根据平面向量基本定理可知，三向量共面，因为有公共点C所以P、A、B、C四点共面。证必要条件：因为P、A、B、C四点共面，所以由平面向量定理可知有且只有一对实数对使由向量减法法则可将上式变形为整理的所以故C正确。

考点：平面向量基本定理，空间向量基本定理，向量的加减法法则【解析】【答案】C5、D【分析】【解析】画三视图时不可见轮廓线一定要画成虚线，选项D中的俯视图缺少两条不可见轮廓线.【解析】【答案】D6、B【分析】【解答】如图，取中点过作底面的垂线，垂足为连接根据题意可知，的大小就是二面角的大小，因为所以选B.

7、D【分析】【解答】解：=6﹣m=0；

∴m=6．

故选D

【分析】根据两个向量的数量积为零，写出坐标形式的公式，得到关于变量的方程，解方程可得．8、A【分析】【解答】解：f（x）为定义在（﹣∞；+∞）上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数；

知f（x）在（﹣∞；0）上是减函数，此类函数的特征是自变量的绝对值越大，函数值越大；

∵2＜3＜π

∴f（2）＜f（3）＜f（π）

即f（﹣2）＜f（3）＜f（﹣π）

故选A．

【分析】由题设条件，f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，知f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，此类函数的特征是自变量的绝对值越大，函数值越大，由此特征即可比较出三数f（﹣2），f（﹣π），f（3）的大小顺序．9、B【分析】解：隆脽AB=2BC=1

隆脿

长方体的ABCD

的面积S=1隆脕2=2

圆的半径r=1

半圆的面积S=娄脨2

则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB

为直径的半圆内的概率是娄脨22=娄脨4

故选：B

．

利用几何槪型的概率公式；求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．

本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础．【解析】B

二、填空题(共9题，共18分)10、略

【分析】

由ln（3•=0，得：3•2x-2=1；

所以，3•2x=3，2x=1；解得x=0．

故答案为x=0．

【解析】【答案】题目给出的是对数方程，根据“1的对数式0”得3•2x-2=1；整理后即可解得x的值．

11、略

【分析】试题分析：对于三角函数，形如为奇函数，形如为偶函数.将函数图像向左平移（）个单位后得到要使函数平移后为偶函数，则有所以当时有最小值．考点：三角函数的图像和性质.【解析】【答案】12、略

【分析】

∵y=cosx在区间[0，）是减区间。

∴当x=0时，ymax=cos0=1

当x=时，ymin=cos=-

∵y=cosx在区间[-0]是增区间。

∴当x=0时，ymax=cos0=1

当x=-时，ymin=cos（-）=-

∴函数y=cosx（-≤x＜）的值域是（-1]

故答案为：（-1]

【解析】【答案】首先求出函数的单调性y=cosx在区间[0，）是减区间，在区间[-0]是增区间，然后根据特殊角的三角函数值求出结果．

13、略

【分析】【解析】试题分析：因为圆心在轴上，所以设圆心坐标为（m，0），半径为r，则圆的方程为（x-m）2+y2=r2，因为圆经过两点A（1，4）、B（3，2），所以解得：m=-1，r2=20，所以圆的方程为（x+1）2+y2=20。考点：圆的方程的求法。【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】解：由已知；直线x-y+2=0经过了圆心(-1，-a/2)，所以-1+a/2+2=0，从而有a=-2．

故选a=-2．【解析】【答案】-215、5【分析】【解答】如图所示；

过点O分别作OD⊥AB；OE⊥AC，垂足分别为D，E．

则D；E分别为AB，AC的中点；

∴

∵A=．

∴．

∵

∴

化为32=64x+48y；72=48x+144y；

联立解得

∴6x+9y=5．

故答案为：5．

【分析】如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．可得D，E分别为AB，AC的中点．可得．由A=可得．对两边分别与作数量积即可得出.16、【分析】【解答】解：由题意sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin30°=

故答案为：．

【分析】本题可用两角和的正弦函数对sin14°cos16°+cos14°sin16°，再利用特殊角的三角函数求值17、略

【分析】解：由题意，sin960°=sin(720°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-

故答案为：【解析】18、略

【分析】解：∵直线l上存在不同的三个点A；B，C；

∴存在实数λ使得

∴

又关于x的方程x2+x+=（x∈R）有解（点O不在直线l上）；

∴-x2-x=0；

解得x=-1；（x≠0）．

∴此方程的解集为{-1}．

故答案为：{-1}．

直线l上存在不同的三个点A，B，C，可得存在实数λ使得即又关于x的方程x2+x+=（x∈R）有解（点O不在直线l上），可得-x2-x=0；解出即可．

本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】{-1}三、证明题(共7题，共14分)19、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．20、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．21、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．22、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．23、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．24、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．25、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、解答题(共4题，共40分)26、略

【分析】

（1）当q=1800时，P=500-=500-360=140；∴销售利润为（1800-1500）×140=42000元；

（2）设q=100n（n∈Z）；则。

当1500≤q＜2000，即15≤n＜20时，销售利润为（100n-1500）×（500-20n）=-2000（n-20）2+50000

∴y＜50000；

当2000≤q≤2200，即20≤n≤22时，销售利润为（100n-1500）×（1100-50n）=-2000（n-）2+61250

∴n=20，即q=2000时，ymax=50000；

答：（1）当定价为每台1800元时；该专卖店的销售利润为42000元；（2）销售价q的定价为2000时，专卖店的利润最高．

【解析】【答案】（1）求出销售量；每台的利润，即可求专卖店的销售利润；

（2）根据分段函数；分别求出销售利润，利用配方法，即可求得结论．

27、略

【分析】试题分析：本小题主要考察古典概型、对立事件的概率计算，考察学生分析问题、解决问题的能力；先列举出所有可能的结果，再找出满足条件的有几种，两者相比即可.试题解析：（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个；从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个；因此所求事件的概率为1/3.（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m,n）有：（1,1）(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1)(3,2),(3,3)(3,4),(4,1)（4,2），（4,3）（4,4），共16个有满足条件的事件为（1,3）（1,4）（2,4），共3个所以满足条件的事件的概率为故满足条件的事件的概率为考点：古典概型、对立事件的概率.【解析】【答案】（1）取出的球的编号之和不大于4的概率为（2）的概率为．28、略

【分析】【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O；连结FO.

因为四边形ABCD为菱形，所以且O为AC中点.

又FA=FC，所以2分。

因为

所以3分。

（Ⅱ）证明：因为四边形与均为菱形；

所以

因为

所以

又

所以平面

又

所以6分。

（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且所以为等边三角形．

因为为中点，所以由（Ⅰ）知故。

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系

设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，则BD=2，所以OB=1，

所以8分。

所以

设平面BFC的法向量为则有所以

取得12分。

易知平面的法向量为

由二面角A-FC-B是锐角；得。

所以二面角A-FC-B的余弦值为14分。

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系；垂直关系；角的计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。证明过程中，往往需要将立体几何问题转化成平面几何问题加以解答。本题解答，通过建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，简化了繁琐的证明过程，实现了“以算代证”，对计算能力要求较高。【解析】【答案】（Ⅰ）连结FO.由四边形ABCD为菱形，得且O为AC中点.

根据FA=FC，得到

（Ⅱ）由四边形与均为菱形；

得到得出

平面

（Ⅲ）二面角A-FC-B的余弦值为29、略

【分析】

(1)

当t=1

时，C(3,1)

求出AB鈫�,BC鈫�

由AB鈫�鈰�BC鈫�=0

能证明鈻�ABC

为直角三角形．

(2)

求出AB鈫�=(鈭�1,鈭�2),AC鈫�=(3,t鈭�5)

从而|AB鈫�+AC鈫�|=4+(t鈭�7)2

由此能求出结果．

(3)

由AB鈫�=娄脣鈰�AC鈫�

列出方程组，能求出实数娄脣t

的值．

本题考查三角形是直角三角形的证明，考查向量的模取最小值时对应的实数值的求法，涉及到平面向量坐标运算法则、向量垂直、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．【解析】证明：(1)

当t=1

时；C(3,1)

则AB鈫�=(鈭�1,鈭�2),BC鈫�=(4,鈭�2)(2

分)

隆脿AB鈫�鈰�BC鈫�=鈭�1隆脕4+(鈭�2)隆脕(鈭�2)=0

隆脿AB鈫�隆脥BC鈫�

隆脿鈻�ABC

为直角三角形.(4

分)

解：(2)AB鈫�=(鈭�1,鈭�2),AC鈫�=(3,t鈭�5)

隆脿AB鈫�+AC鈫�=(鈭�1,鈭�2)+(3,t鈭�5)=(2,t鈭�7)(6

分)

隆脿|AB鈫�+AC鈫�|=4+(t鈭�7)2

当t=7

时，|AB鈫�+AC鈫�|

的最小值为2.(9

分)

(3)

由AB鈫�=娄脣鈰�AC鈫�

得：

(鈭�1,鈭�2)=娄脣鈰�(3,t鈭�5)?{鈭�2=位(t鈭�5)鈭�1=3位(12

分)

解是{t=11位=鈭�13(14

分)

五、综合题(共4题，共28分)30、略

【分析】【分析】（1）设△ABC的边AB上的高为h，由三角形的面积公式即可得出=，=，再由点D为边AB的黄金分割点可得出=；故可得出结论；

（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，故S△DEC=S△FCE，设直线EF与CD交于点G，由同底等高的三角形的面积相等可知S△DEG=S△FEG，故可得出S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S△AEF，再由S△BDC=S四边形BEFC，再由=可知=，故直线EF也是△ABC的黄金分割线．【解析】【解答】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

设△ABC的边AB上的高为h．

∵S△ADC=AD•h，S△BDC=BD•h，S△ABC=AB•h；

∴=，=；

又∵点D为边AB的黄金分割点；

∴=；

∴=；

∴直线CD是△ABC的黄金分割线；

（2）∵DF∥CE；

∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等；

∴S△DEC=S△FCE；

设直线EF与CD交于点G；

∴S△DEG=S△FCG；

∴S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF；

S△BDC=S四边形BEFC；．

又∵=；

∴=；

∴直线EF也是△ABC的黄金分割线．31、略

【分析】【分析】（1）根据f（x）=x的两实根为α、β，可列出方程用a，b表示两根α，β，根据|α-β|=1，可求出a、b满足的关系式．

（2）根据（1）求出的结果和a、b均为负整数，且|α-β|=1，可求出a，b；从而求出f（x）解析式．

（3）因为关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，用a和b表示出（x1+1）（x2+1），讨论a，b的关系可比较（x1+1）（x2+1）与7的大小的结论．【解析】【解答】解：（1）∵f（x）=x；

∴ax2+4x+b=x；

α=，β=．

∵|α-β|=1；

∴=|a|；

∴a2+4ab-9=0；

（2）∵a、b均为负整数，a2+4ab-9=0；

∴a（a+4b）=9，解得a=-1，