2025年湘教版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教版高一数学上册月考试卷633考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、若圆的圆心到直线的距离为则的值为（）A.或B.或C.或D.或2、函数的定义域为（）A.B.C.D.3、已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图(如图所示)，则()A.甲篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为26B.甲篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为27C.乙篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为31D.乙篮球运动员比赛得分更稳定，中位数为364、【题文】点P为ΔABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是ΔABC的（）A.内心B.外心C.重心D.垂心5、【题文】设则A.B.C.D.6、【题文】若直线被圆截得的弦长为4，则的最大值是（）A.B.C.2D.47、在下列命题中；正确的个数是（）

①若||=||，=

②若=则∥

③||=||；

④若∥∥则∥．A.1B.2C.3D.4评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、将样本容量为100的数据分为[2，6）、[6，10）、[10，14）、[14，18）、[18，22]五个小组，得到频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[2，10）的频率a=____．

9、集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}有且仅有两个子集，则a=_________。10、【题文】已知函数则满足不等式的实数的取值范围为____．11、【题文】直线的倾斜角为_____________________12、【题文】一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为____.13、【题文】若则____．14、已知扇形的周长是6，中心角是1弧度，则该扇形的面积为____．评卷人得分三、解答题(共8题，共16分)15、(14分)已知函数(∈R).（1）画出当=2时的函数的图象；（2）若函数在R上具有单调性，求的取值范围.16、对于函数

（1）探究函数f（x）的单调性；并给予证明；

（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？

（3）求函数f（x）的值域．

17、如图，四棱锥中，∥侧面为等边三角形.（1）证明：（2）求AB与平面SBC所成角的正弦值。18、【题文】（本题满分16分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4吨时，按每吨1.8元收费；当每户每月用水量超过4吨时，其中4吨按每吨为1.8元收费，超过4吨的部分按每吨3.00元收费。设每户每月用水量为吨，应交水费元。

（Ⅰ）求关于的函数关系；

（Ⅱ）某用户1月份用水量为5吨；则1月份应交水费多少元？

（Ⅲ）若甲、乙两用户1月用水量之比为共交水费26.4元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费。19、【题文】如图所示；在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E；F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.

求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.20、已知二次函数f（x）=x2+ax+b关于x=1对称；且其图象经过原点．

（1）求这个函数的解析式；

（2）求函数在x∈（0，3]的值域．21、画出正弦函数y=sinx，（x∈R）的简图，并根据图象写出-≤y≤时x的集合．22、已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1；5）；B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点．

（1）求AB边所在的直线方程；

（2）求中线AM的长．评卷人得分四、计算题(共2题，共16分)23、某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．24、已知关于x的方程k2x2+（2k-1）x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．评卷人得分五、证明题(共4题，共20分)25、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．26、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．27、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．28、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．评卷人得分六、综合题(共2题，共6分)29、如图；Rt△ABC的两条直角边AC=3，BC=4，点P是边BC上的一动点（P不与B重合），以P为圆心作⊙P与BA相切于点M．设CP=x，⊙P的半径为y．

（1）求证：△BPM∽△BAC；

（2）求y与x的函数关系式；并确定当x在什么范围内取值时，⊙P与AC所在直线相离；

（3）当点P从点C向点B移动时；是否存在这样的⊙P，使得它与△ABC的外接圆相内切？若存在，求出x；y的值；若不存在，请说明理由．

30、取一张矩形的纸进行折叠；具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折；折痕为MN，如图（1）所示；

第二步：再把B点叠在折痕线MN上；折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）所示；

第三步：沿EB′线折叠得折痕EF；如图（3）所示；利用展开图（4）所示．

探究：

（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．

（2）对于任一矩形；按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．

（3）如图（5）；将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k（k＜0）

①问：EF与抛物线y=有几个公共点？

②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求的值．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】【解析】试题分析：圆的圆心为根据点到直线的距离公式可得或考点：圆的一般方程及点到直线的距离【解析】【答案】C2、D【分析】试题分析：由故选D.考点：本题考查函数定义域的求法。【解析】【答案】D3、D【分析】由于乙篮球运动员比赛得分比较集中在31—39之间，所以乙篮球运动员比赛得分更稳定,按从小到大的顺序排列可知中位数为36【解析】【答案】D4、B【分析】【解析】解：因为点P为ΔABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是ΔABC的外心，选B【解析】【答案】B5、A【分析】【解析】由条件知：集合A实数集，是上的实数；集合B是由点构成的集合，表示函数图像上的点；所以。

故选A【解析】【答案】A6、A【分析】【解析】

由已知，圆心半径为由直线被圆截得的弦长为4，可知圆心必在直线上，则即所以当且仅当时，取得等号.【解析】【答案】A7、B【分析】解：对于①，||=||时，与的方向不一定相同，∴=不一定成立；命题错误；

对于②，当=时，∥命题正确；

对于③，向量与是相反向量，∴||=||；命题正确；

对于④，当∥∥时，若=则与的方向不能确定，∴∥不一定成立；命题错误．

综上；正确的命题是②③．

故选：B．

根据向量相等的概念可以判断①②是否正确；

根据相反向量可以判断③是否正确；

根据向量平行的概念判断④是否正确．

本题考查了平面向量的基本概念的应用问题，是基础题目．【解析】【答案】B二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】

由题意；样本数据落在[2，10）的频率a=（0.03+0.08）×4=0.44

故答案为：0.44

【解析】【答案】样本数据落在[2；10）的频率a=（0.03+0.08）×4，可得结论．

9、略

【分析】由题意可得集合A为单元素集（1）当a=1时A={x|-2x+1=0}={}，此时集合A的两个子集是{}，∅（2）当a≠1时则△=9+8（a-1）=0解得a=此时集合A的两个子集是{1}，∅，故实数a的值为1或【解析】【答案】1或10、略

【分析】【解析】

试题分析：或解得或所以

考点：1.分段函数；2.指对函数解不等式.【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意,由于直线的斜率为y=x-1,即可知斜率为1，借助于特殊角的正切值为1可知，其倾斜角为故答案为

考点：直线的斜率与倾斜角。

点评：本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

试题分析：由该几何体的三视图可知，该几何体为底面直径为1cm，高为1cm的圆柱，故其表面积为

考点：本题考查了三视图的运用。

点评：由三视图还原空间几何体以及掌握空间几何体的体积和表面积公式是解决此类问题的关键【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

试题分析：令

考点：函数的概念.【解析】【答案】214、2【分析】【解答】解：∵扇形圆心角是1弧度，∴弧长l=r；

故扇形周长C=l+2r=3r=6；

∴r=l=2

扇形面积S==

故答案为：2

【分析】根据扇形的周长和扇形的面积公式进行计算即可．三、解答题(共8题，共16分)15、略

【分析】试题分析：（1）依题意函数解析式含绝对值，去掉绝对值化简解析式得从而即可画出这个分段函数的图像.（2）依题意化简解析式得分段函数讨论当函数为增函数时的条件；当函数为减函数时的条件，从而得到的取值范围是试题解析:【解析】

（1）当时图象如图所示（2）由已知可得①当函数在R上单调递增时，由可得②当函数在R上单调递减时，由可得综上可知，的取值范围是考点：函数的单调性及图像和性质.【解析】【答案】（1）图象见解析；（2）16、略

【分析】

（1）函数f（x）在R上单调增．

证明：求导函数可得：

∵x∈R，∴

∴函数f（x）在R上单调增．

（2）【解析】

若函数f（x）为奇函数；则f（-x）=-f（x）

∴

∴2a=1

∴

∴当时；函数f（x）为奇函数；

（3）【解析】

∵2x＞0

∴2x+1＞1

∴

∴

∴

∴函数f（x）的值域为（a-1；a）

【解析】【答案】（1）利用导数大于0；可得函数f（x）在R上单调增；

（2）若函数f（x）为奇函数；则f（-x）=-f（x），从而可建立方程，由此可得存在实数a使函数f（x）为奇函数；

（3）先确定进而可求函数f（x）的值域．

17、略

【分析】试题分析：（1）SD与两条相交直线AB、SE都垂直，利用线面垂直的判定定理，所以（2）利用面面垂直的性质定理，作垂足为F，则作垂足为G，所以AB与平面SBC所成的角等于FG与平面SBC所成的角，进一步利用直角三角形边角关系可得AB与平面SBC所成角的正弦值.（1）证明：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2。连结SE，则又SD=1，故所以为直角。由得所以SD与两条相交直线AB、SE都垂直。所以（2）由知，作垂足为F，则作垂足为G，则FG=DC=1。且所以AB与平面SBC所成的角等于FG与平面SBC所成的角。连结SG，则又故作H为垂足，则从而FG与平面所成的角为因为所以考点：线面位置关系，线面垂直，线面角的求法.【解析】【答案】（1）详见解析（2）见解析18、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（Ⅰ）5分。

（Ⅱ）当x=5时；代入函数表达式解得y=10.2元10分。

（Ⅲ）设甲、乙两用户某月用水量分别为

（1）若则甲、乙两用户共应交费不合题意；

（2）若则甲；乙两用户共应交费。

不合题意；

（3）若则甲、乙两用户共应交费

甲用户用水量为吨，交费元，乙用户用水量为吨，交费元。

答：甲用户用水量为吨，交费元，乙用户用水量为吨，交费元。16分19、略

【分析】【解析】

试题分析：1)证明线线垂直时；要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一；矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等；(2)证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.

试题解析：(1)∵PA⊥底面ABCD，平面ABCD

∴CD⊥PA.

又矩形ABCD中；CD⊥AD；

∵AD∩PA＝A，平面PAD，平面PAD

∴CD⊥平面PAD；

平面PAD∴CD⊥PD.

(2)取PD的中点G；连结AG，FG.又∵G；F分别是PD、PC的中点；

∴

∴

∴四边形AEFG是平行四边形；

∴AG∥EF.

∵PA＝AD；G是PD的中点；

∴AG⊥PD；∴EF⊥PD；

∵CD⊥平面PAD；AG⊂平面PAD.

∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.

∵PD∩CD＝D，平面PCD，CD平面PCD

∴EF⊥平面PCD.

考点：线线、线面与面面关系的相互转化、线面垂直【解析】【答案】见解析20、略

【分析】

（1）由已知条件列方程；即可得解。

（2）根据二次函数对称轴与区间的位置关系；确定原函数在（0，3]上的单调性，由单调性求值域。

本题考查用待定系数法求二次函数的解析式和求二次函数的最值问题，需注意区间与对称轴的位置关系．属简单题【解析】解：（1）二次函数f（x）关于x=1对称。

∴

∴a=-2

又f（x）的图象经过原点。

∴b=0

∴f（x）的解析式为f（x）=x2-2x

（2）∵对称轴x=1落在区间（0；3]内，且抛物线开口向上。

∴函数在（0；1]上单调递减，在[1，3]上单调递增。

∴x=1时；f（x）有最小值，最小值为f（1）=1-2=-1；x=3时，f（x）有最大值，最大值为f（3）=9-6=3

∴f（x）的值域是[-1，3]21、略

【分析】

先作简图；然后观察在哪些区域能使不等式成立，即可得到结论．

本题主要考查三角函数的图象性质，以及三角函数对应不等式的求解，利用数形结合是解决本题的关键．【解析】解：在周期[-]内，当y=-时，x=或

当y=得x=或

此时满足不等式-≤y≤的解为≤x≤或≤x≤

∵函数的周期是2kπ；k∈Z；

∴不等式的解为+2kπ≤x≤+2kπ，或+2kπ≤x≤+2kπ；

故不等式的解集为{x|+2kπ≤x≤+2kπ，或+2kπ≤x≤+2kπ}，k∈Z．22、略

【分析】

（1）已知A（-1；5）；B（-2，-1），根据两点式写直线的方法化简得到AB所在的直线方程；

（2）根据中点坐标公式求出M的坐标；然后利用两点间的距离公式求出AM即可．

考查学生会根据条件写出直线的一般式方程，以及会利用中点坐标公式求线段中点坐标，会用两点间的距离公式求两点间的距离．【解析】解：（1）由两点式写方程得

即6x-y+11=0

或直线AB的斜率为

直线AB的方程为y-5=6（x+1）

即6x-y+11=0

（2）设M的坐标为（x0，y0），则由中点坐标公式得

故M（1；1）

四、计算题(共2题，共16分)23、略

【分析】【分析】设有x个学生；y个管理员．

①该宿舍每位学生与赠一张贺卡；那么每个人收到的贺卡就是x-1张，那么总共就用去了x（x-1）（乘法原理）张贺卡；

②每个人又赠给每一位管理员一张贺卡；那么就用去了xy（乘法原理）张贺卡；

③每位管理员也回赠舍长一张贺卡；那么就用去了y张贺卡；

所以根据题意列出方程：x（x-1）+xy+y=51（加法原理），然后根据生活实际情况解方程即可．【解析】【解答】解：设有x个学生；y个管理员．

该宿舍每位学生与赠一张贺卡；那么每个人收到的贺卡就是x-1张，那么总共就用去了x（x-1）张贺卡；

每个人又赠给每一位管理员一张贺卡；那么就用去了xy张贺卡；

每位管理员也回赠舍长一张贺卡；那么就用去了y张贺卡；

∴x（x-1）+xy+y=51；

∴51=x（x-1）+xy+y=x（x-1）+y（x+1）≥x（x-1）+x+1=x2+1（当y=1时取“=”）；

解得；x≤7；

x（x-1）+（x+1）y=51

∵51是奇数；而x和x-1中，有一个是偶数；

∴x（x-1）是偶数；

∴（x+1）y是奇数；

∴x是偶数；

而x≤7；所以x只有246三种情况；

当x=2时，y=（不是整数；舍去）；

当x=4时，y=（不是整数；舍去）；

当x=6时；y=3．

所以这个宿舍有6个学生．24、略

【分析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况的判断方法，可得：；解可得答案；

（2）假设存在，由相反数的意义，即方程的两根的和是0，依据一元二次方程的根与系数的关系即可得到两根的和是=0，可得k的值；把k的值代入判别式△，判断是否大于0可得结论．【解析】【解答】解：（1）根据题意得：；（2分）

∴且k≠0；（3分）

（2）假设存在；根据一元二次方程根与系数的关系；

有x1+x2==0，即；（4分）

但当时；△＜0，方程无实数根（5分）

∴不存在实数k，使方程两根互为相反数．（6分）五、证明题(共4题，共20分)25、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．26、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．27、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．28、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．六、综合题(共2题，共