四川省绵阳某中学2024-2025学年高一年级上册12月月考数学试题（含答案解析）

四川省绵阳南山中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合人={即082%«"，B={X|0<X<4},则AB=()

A.{x|x<2}B.(x|x<4}

C.|x|0<x<41D.|x|0<x<2}

2.已知命题P:HxvO,x+3>2",则—LP是()

A.Vx<0,x+3>2xB.3x>0,x+3>2x

C.Vx<0,x+3<2xD.3x>0,x+3<2x

3.函数/'(力=75二工+坨(了+1)的定义域是()

A.(-1,+<»)B.(-1,1)C.(-1,1]D.(-CO,-1)

4.若函数/（"=/+--2彳-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据

如表：那么方程尤3+尤2-2元一2=0的一个近似根（精确度0.04）为（）

X11.51.251.3751.43751.40625

-20.625-0.984-0.2600.165-0.052

A.1.5B.1.25C.1.375D.1.418

5.设优，”为实数，贝『'108，,＞108'”是“0.2枚＞0.2"”的（）

mn

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.函数/'（;＜）=』一的图象大致为（）

、72-2-%

7.已知〃x)=若〃。-3)=/(。+2),则/(4)=()

A.1B.72C.2D.石

2+x

8.已知函数/(6=In设a=f(0.32),Z7=/(log20.3),c=/(21n2),则a,b,c

2-x

的大小关系是()

A.a>obB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

二、多选题

9.已知正实数a*满足2o+b=3融，下列结论中正确的是（）

98

A.必的最大值是gB.2a+b的最小值是£

83

C.a+2）的最小值是3D.%-1的最小值为20-3

a

10.给出下列结论，其中不正确的结论是（）

A.函数>=…'的最大值为g

B.已知函数y=log“（2-办）（a>0且。*1）在（0,1）上是减函数，则实数a的取值范围是

（1,2）

C.在同一平面直角坐标系中，函数y=2*与y=log2x的图象关于直线y=x对称

D.已知定义在R上的奇函数〃x）在（F,0）内有110个零点，则函数的零点个数

为221

4

11.已知函数〃x）=『-a,则（）

A.是R上的减函数

B.不等式〃l+3x）+〃x）>4-2“的解集为（一--j

C.若>=/（*）是奇函数，贝ija=2

试卷第2页，共4页

D.y=F(x)的图象关于点(0,-2°)对称

三、填空题

3_________

2

12.16^+7(3-7i)-log23-log32=----------

13.基函数〃x)=(m2-2*2*在(0,+8)上单调递增，则g(x)=axm+1(a>1)的图像过定

点.

3]_

14.设函数〃x)="7、8x5(auR),若函数y="(x)+5的零点为4,则使得

8/(»-16)+6320成立的整数f的个数为.

四、解答题

15.已知集合A={x[0<ar+l<4},T=,y=,8-2*1.

(1)若2eA,aeN*,求\A;

(2)若AQB,O>0,求正数”的取值范围.

16.已知/(x)=log“x+loga(4-x)(a>0,且owl),且/(2)=-2.

⑴求a的值及/(x)的定义域；

⑵求/(x)在口，引上的最小值.

17.已知函数〃尤)=三"为奇函数.

⑴求。的值；

⑵判断并证明〃力=芸"的单调性；

(3)若不等式公/⑺-/(2x)<0对任意*>0都成立，求实数上的取值范围.

18.学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度,

建立一个每天得分y与当天锻炼时间X(单位：分钟，0<x<60)的函数关系式，要求如

下:

(i)函数的图象接近图示；

(ii)每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分；

(iii)每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分;

(iiii)每天得分最多不超过12分.

现有以下三个函数模型供选择：

@y=k4x+b{k>G)；②y=hl.OF+6伏>0)；(3)y=31og3(Ax+3)+m(k>0).

(1)请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式;

(2)若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？

（参考值：log3163n4.63）

19.“函数°(x)的图像关于点(私〃)对称”的充要条件是“对于函数°(x)定义域内的任意x,

都有°(司+姒2m-x)=2〃”.若函数〃尤)的图像关于点(1,2)对称，且当xe[0,l]时，

/(x)=x2-ot+a+1.

⑴求〃T)+〃3)的值；

⑵设函数g(x)=/-.

2-x

(i)证明：函数g(x)的图像关于点(2,-2)对称；

「4~1

(ii)若对任意玉40,2],总存在%e-2,-,使得/(%)=g(%)成立，求实数a的取值

范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CCCDAABCBCDAB

题号11

答案ABC

1.C

【分析】根据对数函数的性质化简集合A,即可由并集的定义求解.

【详解】ilog2X<1,则log?尤<log?2,所以0<xV2,

所以A={x|log2尤41}=30<尤42},AuB={x[0<x44}

故选：C

2.C

【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可.

【详解】Bx^M,p(x)成立的否定为：VxeM,」p(x)成立.

命题PHx<0,x+3>2，,则是Vx<0,尤+342工.

故选：C.

3.C

【分析】根据被开方式大于或等于零且真数大于零得到结果.

【详解】要使函数有意义，

l-x>0

则尤+1>。,得T<E

所以函数的定义域为(-1』.

故选：C

4.D

【分析】首先分析题意与表格，运用二分法求方程的近似解进行解答.

【详解】由表格可知，方程尤3+尤2_2尤一2=0的近似根在

(1,1.5),(1.25,1.5),(1.375,1.5),(1.375,1.4375),(1.40625,1.4375)内,

又因为1.4375-1.40625=0.03125<0.04,又1.418e(1.40625,1.4375),

故方程9+%2一2彳-2=0的一个近似根(精确度0.04河以为1.418.

答案第1页，共12页

故选：D.

5.A

【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简02">0.2"和log,'>log,』，根据充分

mn

条件和必要条件的定义判断两者关系.

【详解】因为函数>=1限尤为(。，+向上的单调递增函数，又log,工>logzL所以

mnmn

所以0<7”〃，又函数y=02'在(…,+8)上单调递减，所以02">0.2",所以

“log,是"0.2"，>0.2"”的充分条件，因为函数y=0.2"在(-co,+oo)上单调递减，又

mn

02">0.2",所以根<〃，当加为负数时，,没有对数值，所以“log,，>log」“不是

mmn

“0.2">0.2"”的必要条件，所以“log,—>log,L，是“0.2"，>0.2■”的充分不必要条件,A正确，

mn

故选：A.

6.A

【分析】由奇函数性质以及指数函数单调性即可判断.

【详解】〃T)=—A=且函数定义域为{X|"O},关于原点对称，所以“X)为

奇函数，排除CD.

当x>0时，2，-2T>0,所以〃x)>0,排除B,经检验A选项符合题意.

故选：A.

7.B

【分析】根据题意将两部分范围确定，分别代入函数成立等式，即可解出。的值，再代入求

解即可.

/、fx+3,x<0

【详解】根据题意〃x)=「，若〃。一3)=/(0+2),

yjx,x>0

a—3<〃+2,

，.—3<0

则必有<C八，即—2〈。<3,

[Q+2>0

贝！J(a-3)+3=J〃+2,

即a=y/a+2，贝!Ja20,

答案第2页，共12页

解得：〃=2或-1(舍去),

.•15)="2)=0,

故选：B.

8.C

/、2+x

【分析】确定〃无一的奇偶性及单调性，即可求解.

2—X

2Ix2Ix

【详解】函数〃尤）=卜力，由/>。，即（国+2乂（同一2））<0,冈<2,

解得2,2）显然f（—%）=/Q）,.•./（X）为偶函数,

.•.当x《0,2）时，/（X）=ln--=ln---------=ln-------1,

2—x：2—x12—xJ

4/、

易知y=士-1在x40,2）上单调递增，结合复合函数单调性可知：

/⑺=In-在x《0,2）上单调递增.

2-x

“X）在（-2,0）上为减函数，在（0,2）上为增函数，

222

|o.3|=0.3e（0,1）,|log20.3|=-log20.3=log2y>log22=|,

所以Jog?0.3|=log?ge1|,2,21n2|=In4<In1=|,|2In2|e11,|J,

••b>c>a.

故选：C.

9.BCD

Q

【分析】对于A项,直接应用均值不等式求出3a6的最大值即可求解;对于B项:应用仍21,

21

对2a+%直接应用均值不等式即可求解；对于C项：构造（a+26）（：+与展开再应用均值不

ba

等式即可求解；对于D项：将‘消去再应用均值不等式求解即可.

a

【详解】解：对于A项：因为3ab=2a+6N2/^,所以3届22点，

则8（当且仅当〃=2］4时取等号），故A错误；

824

对于B项：因为2Q+Z?=3Q力之］（当且仅当Q==§时取等号），故B正确；

答案第3页，共12页

.21

对于C项：因为2a+〃=3ab,所以—+—=3,

ba

因为3(a+2b)=(〃+2b)(—I—)=5H-----125+2J—x—=9，

baba\ba

所以3+20)>3(当且仅当a=Z?=l时取等号)，故C正确；

对于D项：b--^b+--3>2.bx--3^2y/2-3(当且仅当6=应时取等号)，故D正确.

abVb

故选：BCD.

10.AB

【分析】由复合函数的单调性可求的y=g)T%的最小值，y=log.(2-依)在(0,1)上为减函

数时”的范围，判断A、B的正误，结合指对数函数图像的关系、奇函数的性质可判断C、

D的正误.

【详解】对A选项，利用复合函数的单调性，令随〃增大函数值减小，

而当％=0时，"=-/+1有最大值1,可求得当％=0时，y=的最小值为可知A

选项错误；

对B选项，可令〃=2-依，

当0<a<l时，y=log“"中，y随a增大而减小，若原函数是减函数，则"=2-依随x增

大而增大，可得4<0,与条件矛盾；

当时，,随〃减小而减小，且真数要恒大于0,

a>1

满足题意的不等式组为，a>0,可知。的取值范围为(1,2],B选项错误；

2-a>0

对C选项，设y=2'的图像上任意一点(占,2%),将指数式转化为对数式：%=log22%，可

知其关于y=%的对称点(2",%)在y=log,x的图像上，

反之，对于y=log2X的图像上的任意一点(x2,log2x2),将对数式转化为指数式，有2幅〃=%,

即点(尤2,log2尤2)关于直线y=X的对称点(log?%，X2)在函数y=2"的图像上，

可知y=2*的图像与y=10g2X的图像关于y=X对称，C选项正确；

(也可根据同一底数的指数函数和对数函数互为反函数，互为反函数的函数图像关于卫=龙

答案第4页，共12页

对称判断)

对于D选项，奇函数的图像关于原点中心对称，在(-8,0)有110个零点，则在(0,+8)也有110

个零点，再加上定义在R上的奇函数图像必过原点，x=0也是一个零点，共有221个零点,

D选项正确.

故选：AB

11.ABC

【分析】结合指数函数单调性判断A；计算/(力+/(-”的值，将不等式转化后利用函数

单调性求解，即可判断B；利用函数奇偶性求参数判断C；根据/(%)+/(-力的值可判断函

数的对称中心，判断D.

4

【详解】对于A,因为y=e"在R上单调递增且e，>0,故“x=—4是R上的减函数，

正确；

444

对于B,由尤~--a,可得/(%)+/(—%)=■；---a+-~~~~a

'1+e1+e1+e1

44ex

=----+------2a=4-2a,

l+ex1+e'

故由f(l+3x)+f(力>4一2a得

即/(1+3无)>/(-%),结合"元)是R上的减函数，

可得l+3x<—x,即/(l+3x)+/(x)>4-2a的解集为(一巴一；］,B正确;

对于C,〃x)=鼻-a的定义域为R,若y=是奇函数，

42l-ex

则“°)=177一1"2,即〃上白-2=

1+e]

2(1-b)空二L_〃x)，即“X)为奇函数,

满足〃_%)=

l+e-x

故。=2,C正确；

对于D,由B的分析可知〃x)+〃r)=4-2a,

即y=〃x)的图象关于点(0,2-。)对称，(0,-2〃)和(0,2-a)不一定是同一个点，D错误,

故选：ABC

12.4+//万+4

答案第5页，共12页

【分析】根据指数幕的运算及换底公式计算可得.

3______

?

【详解】16^+A/(3^7t)-log23.log32

=(2"尸+|3—兀|一妲•皎=23+兀一3—1=4+兀.

1lg21g3

故答案为：4+兀

13.(3,2)

【分析】先根据幕函数的定义和性质求出机的值，再结合4°=1即可求出函数g(X)过定点的

坐标.

zzz?—21n—2—1

,

{m>Q

解得〃2=3,所以g(x)=优3+1(°>1),

故令x—3=0得x=3,所以g⑶=“°+1=2,所以8(司=«5+1(。>1)的图像过定点(3,2).

故答案为：(3,2)

14.10

【分析】先由函数零点求出4=9,判断此时函数/(X)的单调性，将所求不等式化为

/(r-16)>-y,根据单调性，得至IJ0V/-16W64,进而可根据题中条件，求出结果.

【详解】因为函数y=4/(x)+5的零点为4,所以/(4)=-3,

4

31_

又〃的=伫史2至，所以/(4)=史二i=所以a=9,

八一x+8124

22

9-x-8xJ;G[0,+oo)

所以/W=

x+8x+8

因为>=金正在xe[0,+oo)上单调递减，>=/在尤©[0,+<»)上单调递增；

所以/(%)在[。,+e)上单调递减，且/(64)=-苧；

O

由8M产―16)+6320得/任_16”_曰，即/(/一16bA64),所以04产.16W64,

故f€[-4"-4]d[4,4方],又teZ,

故/=±8,±7,,±4,故整数7的个数为10.

故答案为：10.

答案第6页，共12页

【点睛】思路点睛：

根据函数单调性解不等式时，一般需要根据所给函数的解析式，先判断函数单调性，再将所

求式子变形整理，利用函数单调性，即可求解.

15.(1)\A=(-8,-1]U[3,+8)

⑵[1,+8).

【分析】(1)由题意可得。=1,结合补集的概念与运算即可求解；

(2)根据指数不等式和一元一次不等式的运算可得3=(f,3],A=(-L3),结合集合之间

aa

的包含关系即可求解.

【详解】(1)由题意得。v2〃+l<4,而QEN*,故a=l,

得A=(-1,3),-4=(-8,-1卜[3,+8)；

(2)由8-2*2得2"8=2',即x<3,即8=(-9,3],

1313

而4>0,由0vdx+lv4得—<x<一,即A=(—,—),

aaaa

3

而故—43,且Q〉0,得“21,

a

即a的取值范围为口,+8).

16.⑴，(0,4)

⑵-2

【分析】(1)代入函数值即可求出参数。的值，由对数运算中真数大于。列出不等式求得定

义域；

(2)化简函数解析式得到一个复合函数，通过复合函数的单调性的定义得出函数单调区间，

从而找到最小值点得到最小值.

【详解】(1)f(2)=logfl2+logfl2--2,即log“2=T,则a=；,

由题意得-*-0<x<4,〃x)的定义域为：(0,4).

(2)/(x)=log工x+logA(4一x)=log,(4x-/),

222

令心)=—/+©，则y=l°gj,

A4

%(%)的对称轴：—~~r~=——=2,

答案第7页，共12页

•,"（x）在［1,2）上单调递增，f（力在（2,3］上单调递减；

1.,-<1,>=i°gj在（。,+8）单调递减，

22

由复合函数可知：无式1,2）时，单调递减，xe（2,3］时，单调递增,

”(必"(2)=-2.

17.（1）1；

（2）/（力在R上单调递减，证明见解析;

(3)[2,+00).

【分析】（1）由/（。）=。求解。的值，再检验即可;

（2）根据单调性的定义判断和证明即可;

2

l+e%

（3）将问题转化为人1,利用换元法及基本不等式求解即可.

>l+e2x

【详解】（1）由函数=为奇函数，其定义域为R,

所以“0)=0,

即/（0）=g=0,解得a=l,此时=

满足=K1\

即“X）为奇函数,

故a的值为1.

（2）解：/（尤）在R上单调递减，证明如下：

1—9

由（1）知=~~r=-1+；~~T'

1+e1+e

X/%1,x2GR,且％1<%2，

2?2（e巧—e』）

贝I/（l王）一/（l々'）=-1-+-e-为----1-+-e-*-=。7+炉~）（-1-+-6，项）

因为王<々，所以e*2-e*>0,l+eX1>0,l+e*>0,

所以1a）—/（x）>。,•/&）>/（/）,

答案第8页，共12页

即函数/（X）在R上单调递减;

2x

]-PX1_

⑶由题知：当、武。,+功,h.一ke<°恒成立;

2

.1+吟

则心

l+e2x

令/=e*Je(l,+oo),

7Q+1)212t,2

r-rpi>--------=1+-----=1-1------

所以“+1r+1-1；

IH—

22

1+--<1+—^=2

又,当且仅当f=l时等号成立,

tH—2Jr-

而1>1,所以"匚<2,则上22.

t2+l

所以实数上的取值范围为⑵+8）

18.⑴选择③，y=31ogf|x+3j-3.

3「X£[0,60]；

(2)29.25.

【分析】（1）根据三种函数的图象特征选择合适的函数模型，然后代入点（。,0）和（9,6）解方

程组即可得解析式;

（2）根据题意解对数不等式即可.

【详解】（1）模型①y=%«+咐:>0）,由图象过点（0,0）,（9,6）,

得，解得左=2,6=0,y=24，在原点附近增长速度先快后慢，不符合;

模型②y=hl.OU+b（k>0）为爆炸增长型函数，不符合,

故选模型③y=310g3(区+3)+m(k>0).

31ogo3+m=0g

由题知,31叫邰+3)+机=6'解得加=一3,左=葭

所以y=31og3tx+3)-3,尤e

[0,60].

(2)由⑴知，y=31og3(|x+3,3,

答案第9页，共12页

令310g3生+3)-329,得晦生+344,解得S29.25,

所以，若每天的得分不少于9分，至少每天要锻炼29.25分钟.

19.⑴/(-1)+〃3)=4

⑵(i)证明见解析；(ii)[-1,3].

【分析】(1)由函数/(x)的图像关于点。,2)对称，可得〃-1)+/(3)=4；

-4~1

(2)(i)证明g(x)+g(4—x)=T即可；(ii)由g(x)在-2,-的值域为[—1,4],设

在[0,2]上的值域为A,问题转化为A=[-L4],先求解A,分类讨论轴与区间的关系，研究

二次函数的值域即可.

【详解】(1)因为函数“X)的图像关于点(1,2)对称，

则/(力+〃2-力=2*2=4,

令x=T,可得"—1)+