相似三角形的常见模型（10大题型）（解析版）

专题22相似三角形的常见模型（10大题型）

旨【题型目录】

题型一A字型相似

题型二8字型相似

题型三AX型相似

题型四母子型相似

题型五三角形内接矩形相似

题型六射影定理相似

题型七旋转相似

题型八k字型相似

题型九折叠相似

题型十动态相似

J【经典例题一A字型相似】

【模型解读】

①如图，在△NBC中，点。在48上，点E在NC上，DE//BC,则

ADAEDE

下一旅一瓦•

②模型拓展1：斜交N字型条件：NC=/ADE,图2结论：“DE~AACB；

反4字型（不平行,

….工1=上皿ADACCD

③模型拓展2：如图，ZACD=ZB^AADC^AACB^——=—=——

ACABBC

1.（2023秋・江苏无锡•九年级江苏省天一中学校考阶段练习）如图，在。8C中，NB/C=45。，BD、CE

分别是NC、4B边上的高，连接DE,若8c=2,则。石的长为（）

A.V5B.|C.V2D.y

22

【答案】c

【分析】根据垂直及各角之间的关系可得与△/配＞是等腰直角三角形，得出段=华=当，利用相

ACAB2

似三角形的判定和性质可得△/BC,黑=与=咚，代入求解即可得到答案.

BCAC2

【详解】解：；AD、CE分别是4C、A8边上的高，

NAEC=NADB=90°,

ABAC=45°,

△/方与△43。是等腰直角三角形，

AC=yjAE2+CE2=42AE，AB='AD2+DB。=6AD，

,AE_AD_y/2

一就一商一彳，

又；NDAE=ABAC,

：.AADE-AABC,

,DE_AE_42

一疏一就一号‘

BC=2,

DE=亚,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握运

用各个知识点是解题的关键.

2.（2023・全国•九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=4,NC为对角线，E、尸分别为边

AB,CD上的动点，且EF1AC于点M,连接/尸、CE,求AF+CE的最小值是

【答案】5

【分析】//与EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，&CGIIEF,

且CG=EF,连接/G,又因点尸是。C上是一动点，由三角形的边与边关系/尸+FG24G,只有当点尸

在直线4G上时，4F+FG最小，由平行四边形CEbG可知尸G=EC时，可求NF+CE的最小值

【详解】解：如图所示：过点C作CG〃环，且CG=EF,连接尸G,

设=x,则/C=4-x,

当点“、F、G三点共线时，/尸+FG的最值小,

■,■CG//EF,且CG=E尸，

.•・四边形CEFG是平行四边形；

：.EC//FG,EC=FG,

又•••点/、F、G三点共线，

.-.AFIIEC,

又・四边形4BCD是矩形，

：.AEIIDC,DZ>=90°,

••・四边形/ECF是平行四边形，

又•；EFJ.AC,

••・四边形/ECF是菱形，

；.4F=FC=4-x,

在厂中，由勾股定理得:

AD2+DF2=AF2^

又,；AD=2,DF=x,则//=4—x,

.•・22+x2=(4-%)2,

3

解得：x=j,

・•・AF=~,

2

在放△/QC中，由勾股定理得，

AC2=AD2+DC2=22+42,所以力C=26

**,,

又•:MFIICG,

/.ZAMF=ZACG,ZAFM=ZAGC,

：NAMF3ACG,

AM_AF

,,万―茄’

2

即65,

26一NG

AG=5,

又•:AG=AF+FG,FG=EC,

.-.AF+EC=5,即最小值是5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短

距离问题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与判定.

3.(2023秋•上海长宁•九年级上海市第三女子初级中学校考阶段练习)如图，在尺/AIBC中，-03=9()。,

血C=60。，AC=6,AD平分乙BAC,交边3c于点。，过点。作C4的平行线，交边48于点£

(1)求线段DE的长；

FF

⑵取线段AD的中点M,连接交线段DE于点下，延长线段8M交边/C于点G,求^的值.

DF

【答案】⑴4

【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可;

(2)根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可.

【详解】(1)解：•••4D平分乙B/C,^LBAC=60°,

・••z£MC=30。，

在用A4C。中，Z^CZ)=90°,

N"C=30°,AC=6,

CD=2>/3,

在用A4C5中，乙4cB=90。，乙BAC=60。,AC=6,

-'-BC=Gs/3,

:・BD=BC—CD=A6,

vZ)£||G4,

DE_BD_2

,~CA一疏―H'

.-.DE=4；

(2)解：如图.

•・,点M是线段4。的中点，

-DEWCA,

DFDM

.\DF=AG.

-DEWCA,

EF_BFBF_BD

••茄—茄’

EF_BD

••茄一拓.

•・・5。=4百,BC=60DF=AG,

EF_2

••~~.

DF3

【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系.

4.(2023・全国•九年级专题练习)△A8C中，AC=BC,ZC=90°,CDL/8于。，点E在线段上，点

尸在射线。上，连接C£,DF,满足/40尸=

图2图3

(1)如图1,若DF=2拒,AC=4,求好'的长;

(2)如图2,若AF=BE,求证：BC=2DE；

(3)如图3,将绕点。逆时针旋转打(0。<。4360。)得到△C0E',连接CE',点尸为CE'的中点，连接

BP,若EB=46-4,NDCE=30°.当AP最小时，直接写出ABCP的面积.

【答案】⑴20-2;

(2)见解析;

小60-4V15

(J)7•

【分析】(1)过点。作DGJ./C于G,通过解直角三角形可求出的的长；

(2)过点E作助，N5交8c于通过44s证明△£>/尸丝△CHE,得AD=CH,设HE=BE=x,设

CD=BD=CH=y,用x和了的代数式表示出3C和DE的长，即可解决问题；

(3)取CD的中点O,连接OP,OB,其中05交CE，于。，过0作于“，过点0作0N,3c

于N,设DE=x,可表示出DE和DC的长，再根据BE的长，可求出x=4,可求得。尸=2,则点尸在以。

为圆心，2为半径的圆上运动，且点P与点。重合时，8P最小，再利用相似三角形的性质求出。N的长即

可.

【详解】(1)如图，过点。作。GL/C于G,则/尸GZ)=90。，

在“3C中，AC=BC=4,ZACB=90°,

ABAC=AB=45°,AB=ylAC2+BC2=472>

•••CDAB,AC=BC=4,ZACB=90°,

:.CD=AD=BD=-AB=-x442=2y[2,

22

又•.•(?£)_L48,DGLAC,

.-.AG=CG=DG=-AC=-x4=2,

22

在Rt△户GO中，由勾股定理得：

FG=ylDF2~DG2=2V2，

AF=FG-AG=2亚-2;

(2)如图，过点、E作EH工AB交BC于H,则/麻^二川。,

ZHEB=90°,ZB=45°,

4BHE=ZB=45°,

BE=HE,/CHE=180。—ZBHE=180。—45。=135。，

•・•AF=BE,

:.AF=HE,

vNBAC=45。,

/.ZDAF=180。—ABAC=180。—45。=135。，

ZDAF=ACHE,

在△DAF与ACHE中，

ZADF=/ECB

<ZDAF=ACHE,

AF=HE

.△DAF会小CHE,

AD=CH,

vAD=BD=CD,

CD=BD=CH,

设HE=BE=x,

贝1BH=y/HE2+BE2=缶，

设CD=BD=CH=y,

贝1BC=y/CD2+BD2=Cy，

•;CH+BH=BC,

y+V2x=yply,

_.x=2y-^2yt

2

.,DE=BD-BE=y-X=y-^^=^y,

BC_V2y_2

­■•DF-V2

——y

2

/.BC=IDE；

(3)如图，取CD的中点。，连接OP,05,其中03交CE'于0,过。作(WLBC于过点。作。NJL8C

于N,

A

X

cMN\/ciB

图3

设DE=x,

•.•CD_L4B,ADCE=30°,

DC=DB=®,

■：BE=4有-4,

瓜-x=4百-4,

/.x=4,

.­.DE=4,CD=46，

:.OP=-DE'=-DE=2,

22

二点尸在以。为圆心，2为半径的圆上运动，

点尸与点。重合时，BP最小，

•.•△OCM是等腰直角三角形，OC=：CD=2拒,

OM=CM=46,

,:BM=BC-CM=4&-a=3瓜,

在RtZ^O初中，由勾股定理得80=2后，

当点尸与点0重合时，OQ=OP=2,

BP=BQ=2y/15-2,

QN//OM,

:.ABQN^ABOM,

.ONBQ

QN2vH-2

・飞

回,

<1"1zi后5GM60-4V15

S、BCQ=~BCXQN=-X4^6X——---=——-——，

综上所述：当8尸最小时，ABCP的面积为处严.

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形

的判定与性质，三角形中位线定理等知识，综合性较强，对学生的逻辑思维能力要求较高，属于中考压轴

题.

▲【经典例题二8字型相似】

【模型解读】

„,“ABOAOB

①如图1,AB〃CD=LAOBs△COD0——=——=——；

CDOCOD

〜向“ABOAOB

②如图2,AA=ZD^>AAOB^/\DOC^——=——=——.

AOTAJR

③模型拓展：如图，AA=ZC^^AJB^/\CJD<^——=——=——.

CDJCJD

1.（2022春•九年级课时练习）如图，在平行四边形N8CZ）中，点E是/。上一点，AE=2ED,连接"

交/C于点G,延长交CD的延长线于点尸，则”的值为（）

GF

E

D

3

A，-3C.D.

34

【答案】A

【分析】先根据平行四边形的性质得到/Biicn贝!!可判断A48G〜△WG,AABEFDFE,于是根据相似三

角形的性质和AE=2ED即可得结果.

【详解】解：•・・四边形为平行四边形,

：.AB\\CD.

・♦・^ABGFCFG,

BGAB

''GF~~CF

•；AABE〜ADFE,

AE_AB

,,京—岳'

"E=2ED,

：,AB=2DF,

AB_2

,,，

CF3

BG_2

''~GF~3'

故选：A.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的

判定和性质进行解题.

2.（2023・全国•九年级专题练习）如图，正方形/BCD边长为3,点七是40上一点，且4E=1,连接BE,

过C作CN_LB£,垂足为尸，CF交对角线5。于G,将△5CG沿CG翻折得到△〃CG,交对角线于

M，贝！JS&HGM

【答案】《9

2o

【分析】过点G作GRl2c于尺，过点〃作圳LBC交AD于N,由正方形性质可证明：AABE-AFCB,由

勾股定理可求8R由翻折性质可得△〃GCmASGC,进而可证明：△BHN-4BED,可求得再由

s

AHNMMCBM,可求得芍””，再由△CGRs^cg尸即可求得结论.

3△HGC

【详解】解：如图，过点G作GELBC于H,过点、H作HN〃BC交BD于N

则NBRG=NCRG=90。，

-CF1BE

.../BFC=90°

:.ZCBF+ZBCF=90°

•・・正方形Z3CQ

NA=ZABC=90。，AB=AD=BC=3

:.ZABE+ZCBF=90°

/ABE=ABCF

.,△ABE~AFCB

在RMABE中，BE=y/AB2+AE2=732+12=V10

BFAEBF1

----=-----,即Rn—=I——

BCBE3V10

3V10

BF=------,

10

由翻折知：FH=BF=^~,=HC=BC=3,△HGCz小BGC

105

\'HN//BC:.ABHN~ABED

3回

HNBH

——，即HV5

DEBE

-一M

6

HN=-・：^HNM-△CBM

5

HMHN2

MC~~BC~5

HM2

HC一一7,

V

*&HGM_HM_2

V

a&HGCHC7'

GRLBC,NC5G=45。

.•.△BGR是等腰直角三角形，设BR=GR=x,则CR=3-x,

入CGRNCBF

GR_BF口r%13

即----=一解得x*

~CR~~CF~33—x3

1139

•・

S"BRCcGr=—2xBCxGR2=—x43x—8=—

.s-2

…°AHGC_8

.&_2._29_2_

一口AHGM_}3HGC_77_=，

9

故答案为：—.

2o

【点睛】本题考查了正方形性质，翻折变换的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和

性质，相似三角形判定和性质，三角形面积等知识点；解题关键是利用平行线证明相似三角形进行转化，

有一定难度，属于中考填空压轴题类型.

3.（2023•全国•九年级专题练习）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目

如图，在A42C中，点。在线段2c上，48/0=30。，4OAC=75°,AO=日BO：CO=2：1,求48的

长经过数学小组成员讨论发现，过点8作由川/C,交NO的延长线于点。，通过构造馆台。就可以解决问

题（如图2）

AA

D

图1图2

请回答：UDB=°,AB=

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3在四边形/BCD中对角线/C与加）相交于点O,ACLAD,A0=6,443C=zJCB=75。，BO：OD

=2：1,求DC的长

【答案】（1）75,36；（2）8=正

2

【分析】（1）根据平行线的性质可得出乙403=4。/C=75。，结合乙B0D=NCCM可得出△BODsaco/,利用

相似三角形的性质可求出的值，进而可得出4。的值，由三角形内角和定理可得出430=75。=4

由等角对等边可得出AB=AD即可求解；

（2）过点3作交/C于点£,同（1）可得出4E=3g，在RtMEB中,利用勾股定理可求出

的长度，再在此中，利用勾股定理即可求出DC的长.

【详解】解：（1）如图2中，过点2作2DII/C,交/。的延长线于点。，

D

图2

-BD\\ACf

山。B=NCMC=75。.

•••乙BOD=^COA,

:.ABODMCOA,

ODOB八

•*•--=-----=2,.

OAOC

又以0=V3，

'.OD=2AO=243,

••,AD=AO+OD=36

•4/。=30。，乙408=75。，

.-.^ABD=180°-乙BAD-UDB=750=UDB,

：,AB=AD=36；

故答案为：75,36

(2)如图3中，过点8作8矶/。交ZC于点£.

-ACLAD,BEWAD,

：.ZJDAC=Z.BEA=90°.

•&OD=(EOB,

・•・AAOD~AEOB,

.BO=EO=BE—9

,ODAOAD•

-BO：OD=1：3,

'：AO=V3,

.-.£0=2V3,

，AE=3C.

；BC=UCB=75。,

・・ZA4C=3O。，AB=AC,

:・AB=2BE.

22222

在RtA4班中，BE+AE=ABf即(45炉)^+BE=QBE),

解得：BE=3,

3

.,.AB=AC=6,AD=—

2

3

在RtZ\C4。中，AC2+AD2=CD2,即6?+(-)2=CD2,

2

解得：CD=^~(负根已经舍弃).

2

【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，掌握平

行线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键.

4.(2023春・河南•九年级专题练习)综合与实践：

数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答.

问题情境：在口43。中，点尸是边ND上一点.将△尸。C沿直线PC折叠，点。的对应点为E.

“兴趣小组'’提出的问题是：如图1,若点尸与点/重合，过点£作E尸〃4D,与PC交于点F,连接75尸,

则四边形/EFD是菱形.

图1图2图3

(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；

(2)拓展探究：“智慧小组''提出的问题是：如图2,当点P为4D的中点时，延长CE交48于点尸，连接

P尸.试判断P尸与尸C的位置关系，并说明理由.

请你帮助他们解决此问题.

(3)问题解决“创新小组”在前两个小组的启发下,提出的问题是如图3,当点E恰好落在边上时，AP=3,

PD=4,0c=10.则4E的长为.(直接写出结果)

【答案】(1)见解析

(2)PF工PC,理由见解析

【分析】(1)先证明。尸〃/E,得到两组对边分别平行，再用邻边相等的平行四边形是菱形判定，也可以

用四条边相等的四边形是菱形进行判断；

(2)证明△力尸三APM,得到乙4尸尸N尸PE,再由折叠得到乙DPC=Z£PC,从而证明NEPC=90。；

(3)延长R4、CP相交于点R得△AFPMDCP,再证£F=C£即可求出结果.

【详解】(1)证法一：由折叠得，AD=AE,ZDAF=ZEAF,ADFA=AEFA

EF//AD

NDAF=ZEFA

ZDFA=ZEAF

•••DF〃AE

二四边形AEFD是平行四边形

AD=AE

••・四边形NEED是菱形.

证法二：

证明：由折叠得，AD=AE,DF=EF,ZDAF=ZEAF

•••EF//AD

ZDAF=ZEFA

•••ZEFA=ZEAF

EA=EF

；.AD=DF=EF=AE

.•・四边形NET*是菱形.

(2)解:PFLPC.

连接/E

由折叠可得=ZPEC=2PDC,NDPC=ZEPC

••・四边形ABCD是平行四边形

：.AADC+ADAB=\^°

又•••APEC+NPEF=180°

・•./DAB=ZPEF

・・•点尸是ND的中点

PA=PD

・••/PAE=ZPEA

・•・ZDAB-ZPAE=ZPEF-ZPEA

・•・ZAEF=ZEAF

AF=EF

•♦.△PAF义APEFCSSS)

ZAPF=/EPF

又・・•ZDPC+/CPE+/EPF+ZAPF=180。，即2ZCPE+2ZFPE=180°

・•.ZFPC=90°

PF1PC.

(3)解：延长A4、。尸相交于点尸，

AFAPAF3

——二——即Rn——=一

DCDP104

-15

AF=——

2

'：Z.DCP=Z-ECP,/-DCP=Z-F

"ECP

：.EF=EC=DC=\Q

.-.^£,=10--=-.

22

故答案为1.

【点睛】本题考查折叠、平行四边形、相似、菱形的判定等，属于综合性题目，解题关键在于灵活运用几

何知识，构造常见的模型.

41经典例题三AX型相似】

【模型解读】

A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.

1、（2022•河南新乡•九年级期末）如图，在平行四边形/BCD中，//2C的平分线交/C于点E,交4D于

RF

点尸，交CD的延长线于点G,若4F=2FD,则标的值为（）

EG

【答案】C

【详解】解：由4b=2DR可以假设=左，则4尸=2左，AD=3k,

•・・四边形45co是平行四边形，

：.AD//BC,AB//CD,AB=CD,

：.ZAFB=ZFBC=ZDFG,ZABF=ZG,

•；BE平分NABC,

・•・/ABF=/CBG,

：.ZABF=ZAFB=ZDFG=NG,

：.AB=CD=2k,DF=DG=k,

：.CG=CD+DG=3k,

■:AB〃DG,

：.LABEsACGE,

.BEAB2k_2

•・访―节_互一1，

故选：C.

2、（2022•河北石家庄•九年级期末）已知用“8C中，/ACB=90。,ZCAB=30°（如图）.以线段为边

向外作等边三角形点£是线段45的中点，连接庭并延长交线段4。于点尸.

H

(1)求证：四边形5a力为平行四边形；

(2)连接C。，交45于点

①若48=6,求3M的长；

②作MN_L/C,垂足为N,求证：.

BCADMN

【答案】(1)证明见解析；(2)①BM=2：②证明见解析.

【详解】(1);△ZB。是等边三角形

：.AD=AB=BD,/BAD=/ABD=/D=60。

在此△4BC中，ZCAB=30°

：./ABC=60°

•・,点£是线段48的中点

：.CE=BE=AE=-AB

2

.・・△5CE是等边三角形

ZCEB=ZCBE=ZABC=60°,BC=CE

：./ABD=/CEB=60°

・・・CF//BD

•・•ZCBD+ZD=/CBE+/ABD+/D=60°+60°+60。=180°

・•・BC//FD

・・・四边形3CED为平行四边形；

(2)①如图，连接C。，交于点”

BC//FD

•9•心CM~^ADM

.BMBC

•・而—茄

*.*BC=CE=—AB,AB=AD

2

.BM_BC

AM~AD~2

;AB=BM+AM=6

：.BM=-AB=2；

3

②如图，作垂足为N

9：ZACB=90°,ACAD=ABAC+ABAD=300+60°=90°,MNLAC

：.BC//MN//DA

"AMNfABC,卫MNz卫DA

.MN_ANMN_CN

花’~DA~~CA

_M__N___|_MN_A__N__|_CNAN+CN，AC—],

••BCDA~ACCA~AC~AC~

111

•_____।_____=_____

"BCADMN'

3、（2022•河南•鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形23CD中，点E是N8的中点，在直线ND

上截取/歹=2FD,连接EF,EF交AC于G,则上=.

AC

22

【答案】|5I.

【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H,

.".HD：AE=DF：AF=1:2,即HD」AE,

2

VAB//CD,AACHG^AAEG,AAG：CG=AE：CH,

15

AB=CD=2AE,・・・CH=CD+DH=2AE+-AE=-AE,

22

AAG：CG=2：5,

AAG：(AG+CG)=2：(2+5),

即AG：AC=2：7；

(2)点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H,

F

VAB//CD,

.,.△EAF^AHDF,

AHD：AE=DF：AF=1：2,即HD=；AE,

VAB//CD,

AAG：CG=AE：CH

VAB=CD=2AE,

CH=CD-DH=2AE--AE=-AE,

22

AAG：CG=2：3,

AAG：(AG+CG)=2：(2+3),

即AG：AC=2：5.

22

故答案为：工或7.

4、(2022•湖南株洲•九年级期末)如图(1)所示：等边A4BC中，线段4。为其内角角平分线，过。点的

直线BQL4C于C］交AB的延长线于Bj.

⑴请你探究：条黑，轰=靠是否都成立?

（2）请你继续探究：若八45。为任意三角形，线段4。为其内角角平分线，请问.二"一定成立吗？并

ABDB

证明你的判断.

（3）如图（2）所示RtZUBC中，N/CB=90°,NC=8,5C=—,DE〃/C交48于点E,试求变的

3FA

值.

【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）J

O

【详解】解：（1）・・•等边645。中，线段4。为其内角角平分线，

:.AC=AB,CD=DB,

ACCD।

---=---=1.

ABDB

因为BjCjlAC于C]交AB的延长线于B],

二.ZC45=60°,/B产/CAD=/BAD=300,

AD=BQ,C^D=—AD——B^D,AC^——,

ACt1CXD

一区一万一西，

综上：这两个等式都成立；

（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：

如图所示，A48c为任意三角形，过3点作3E〃/C交ND的延长线于瓦点,

线段为其内角角平分线

c

NE=/CAD=/BAD,^EBD^AACD

ACCD

:・BE=AB,

~BE~~DB

又・：BE=AB.

.ACCD

即对任意三角形结论仍然成立;

'：AD为AABC的内角角平分线,

CDAC83

・•・法一方—亚_1

■:DE//AC,

.CDAE_3

•BE_5

.•布

•:DE〃AC,

:.ADEFsAACF,\BDE^\BCA.

,竺_DEDE_BE

••可一就'就一俞

DFDEBE5

FA~AC~AB~8

「31经典例题四母子型相似】

【模型解读】

如图为籍A”字型基本图形.当乙时，A4BCsA4ED,则有二="=些.AE-AC=AD-AB.

ABACBC

如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型.

ACADrn

当=时，AABCsAACD,则有——=——=—

ABACBC

1.（2021春•全国•九年级专题练习）如图，在用中，乙BAC=90。,BA=CA=6M,。为3C边的中

点，点E是CZ延长线上一点，把/CQE沿。E翻折，点C落在。处，EC与AB交于点、F,连接5C.当

=FA=?4时，5c的长为（）

EA3

A.1V5B.6厢C.gD.672

【答案】D

【分析】如图，连接CC',过点。作C7UEC于〃.设AB交DE于N,过点N作N-LEF于T,过点。作

0M于证明4CC5=90。，求出CC,5c即可解决问题.

【详解】解如图，连接CC,过点C作CHJ上C于H.设AB交DE于N,过点N作NT,■于T,过点。

作DMLEC于M.

FA4

Z.FAE=Z.CAB=90°,——=—,

EA3

・・・EF：AF：AE=5：4：3,

-CH\\AFf

・•・△EAFFEHC,

­.EC：CH：EH=EF：AF：AE=5：4：3,

设,EH=3k,CH=4k,EC=EC=5k,则CH=2总

由翻折可知，UEN="EN,

•••NAtEA,NTIET,

:•(NAE=(NTE,

•：NE=NE,

•••△NEA34NET(AAS)f

・・.AN=NT,EA=ET,

设4E=3加，AF=4m,EF=5m,AN=NT=x,贝!)Z£=£T=3加，TF=2m,

在R3NT中,F^Nr+FT2,

(4wx)2=x2+(2m)2,

3

解得：x=-m,

•：AC=AB=6M,4G45=90。,

:.BC=GAC=12后,

CD=BD=,

-DMVCM,ZZ)CM=45°,

*'•CM=DM=3A/109

-AN\\DM,

AN_EA

3

m

.-.ANDM2_19

.,.EM=6410,

••EC=9A/TO=5k,

.g亚，

5

18V1036V10

•,Cz/l------------,(_Z11.-----------------,

55

22

■■CC=^CH+C'H=^(1^2)2+(^o)2=18后,

■：DC=DC'=DB,

.•"（73=90°,

:.BC=d（BC¥-CC?=7（12V5）2-（18A/2）2=672，

故选：D.

【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的

判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方

程解决问题.

2.（2022秋•江西抚州•九年级统考期中）如图，在。8C中，点。在上，请再添一个适当的条件，使

△ADCsAACB,那么可添加的条件是.

A

二C—

【答案】ZACD=ZABC（答案不唯一，也可以增加条件：ZADC=ZACBAC2=AD-AB）.

【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三

角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似.

【详解】若增加条件：乙4CD=UBC,

■：Z-ACD=Z.ABC,且乙4=乙4,

:NADC：\JACB.

【点睛】本题考查相似三角形的判定，比较简单，熟练掌握相似三角形的三种判定方法是解题的关键.

3.（2023秋•全国•九年级专题练习）如图，/8C中，点。在边48上，S.ZACD=ZABC,若AC=C,

【答案】2

ADAC

【分析】由乙48=乙45。、乙4=乙4,即可得出A45C〜△4C。，根据相似三角形的性质可得出「=），代

ACAB

入AC、的值可求出45的长，再根据即可求出结论.

【详解】解：；CD=UBC,乙4=乙4,

；,AABC〜AACD,

ADAC

"AC-AB,

,：AC=6，AD=1,

1V3

飞F

■■.AB=3,

：.BD=AB-AD=3-1=2.

故答案为2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键.

4.（2023春•陕西榆林•九年级校考期中）【操作发现】

（1）如图1,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，”3C的顶点4B、C都在格点上，将

绕点A按顺时针方向旋转90。得到△NBC一点8、C的对应点分别是耳，C，连接CG，则

【问题探究】

（2）如图2,在RtZ\48C中，。为斜边48上的一点，点E、尸分别在ZC、BC上，AD=2,BD=1,且

四边形DEC厂是正方形，求阴影部分的面积.

小明运用图形旋转的方法，将AD8/绕点。逆时针旋转90。，得到△DGE(如图3所示)

请你利用小明的方法求阴影部分的面积；

【问题解决】

(3)如图4,有一个四边形的试验田/3C。，其中8C=40米，C£>=60米，AD=2AB,/4BC与NADC

互余.点E处是一个肥料池，点E是8C的中点，且点A到3C的距离等于4E之间的距离，为使灌溉方便,

现要沿AD修建一条水渠，请你帮助管理者计算出水渠2。的长度.

【答案】(1)45°；(2)1；(3)100米

【分析】(1)根据旋转的性质可得△/cq为等腰直角三角形，即可求得乙4CC的度数;

(2)首先根据正方形的性质及旋转的性质可得DG=3。=1,S^DGE=SADBF,//DG=90。，点4E、G在

一条直线上，然后利用三角形面积公式计算阴影部分的面积即可；

(3)连接4E、AC,由题意可得/£垂直平分3C,则有48=2C；将绕点/逆时针旋转得到

MCG,连接。G,证明△4BCS4/OG,由相似三角形的性质可解得DG=80米，再证明NGOC=90。，

然后在RtaOCG中由勾股定理解得CG=VEB厂二5/=100(米)，即可获得答案.

【详解】解：(1)由旋转的性质可得NC=ZG，/c4G=90。，

ZACQ=N4CC[=^(180°-ZCACl)=45°.

故答案为：45°；

(2)•••四边形DEC尸是正方形，

ZEDF=ZDFC=NDFB=NDEC=NDEA=90°,DE=DF,

.-.ZADE+ZBDF=90°,

■■■GBF绕点D逆时针旋转90°,得到丛DGE,

NEDG=ZFDB,ZDEG=ZDFB=NDEA=90°,DG=BD=1,S^DGE=S^DBF,

：.ZADG=ZADE+ZEDG=90°,点4E、G在一条直线上,

t*'S阴影=S^ADE+S4BDF=S&ADG='"D'DG=1

(3)如下图，连接力£、AC,

由题意知BE=EC,即/E垂直平分BC,

AB=AC,

将AABD绕点A逆时针旋转得到AACG,连接DG,

则BO=CG,AD=AG,ABAD=ZCAG,

ABAC+/CAD=ACAD+/DAG,

/.ABAC=ZDAG,

vAB=AC,AD=AG,

ZABC=NACB=ZADG=ZAGD,

・••△ABCs/\ADG,

ABBC

,•茄一茄’

•••AD=2AB,

BC

一，

DG2

.­.DG=2BC=S0^z,

ZABC与NADC互余，即ZABC+ZADC=90°,

.-.ZADG+ZADC=90°,

ZGDC=90°,

•••CG=ylCD2+DG2=V602+802=100(米)，

.•.2。=。6=100米.

【点睛】本题主要考查了旋转变换、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的

判定与性质、勾股定理等知识，理解并掌握旋转的性质、正确作出辅助线是解题关键.

一31经典例题五三角形内接矩形相似】

【模型解读】

由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。

结论：AHLGF,MGFSXABC,——=——

BCAM

I.（2022秋・山东日照•九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图，08c中，68=90。，点E在/C上,

E尸，4B于点尸，EG1BC,已知△4FE的面积为a,VEGC的面积为b,则矩形AFEG的面积为（

C.12abD.2y[ab

【答案】D

【分析】先证明四边形BFEG是矩形，得到防〃CG,BF//EG,进而证明尸SAECG,得到

EF-EG=AF-CG,再根据三角形面积公式得到环♦EG=-；驾片,据此即可得到答案.

AF-CG

【详解】解：,・旧8=90。，EFLAB,EG1BC,

・•・四边形BF£G是矩形，

：.EF//CG,BF//EG,

；,NA=NCEG,/AEF=/C,

・•・AAEFsAECG,

AFEF

.京一节’

:.EFEG=AFCG,

・•・△久尸上的面积为。，VEGC的面积为6,

：.-AF-EF=a,-EG-CG=b

22f

:.EF=9,EG=—

AFCG

4ab

：.EFEG=

AFCG

；.(EF-EG『=4ab,

■■EFEG=2y[^b,

故选D.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，三角形面积，证明

AAEFs/XECG,得到E尸•EG=/尸・CG是解题的关键.

2.(2022秋・安徽阜阳•九年级校考期中)如图所示，在。8C中，ZC=90°,AC=4,SC=3.

(1)若四边形。EFG为。8c的内接正方形，则正方形。EFG的边长DE为；

(2)若四边形。EFG为的内接矩形，当这个矩形面积最大时，则矩形OE/G的边长DE为.

・小田、605

【答案】W2

【分析】(1)根据G/〃N3,判定ACG/根据矩形的性质，相似三角形的相似比等于对应高之比

计算即可.

(2)设GD=x,根据G尸〃42,判定ACGF-ACZB,用x表示GB,构造面积的二次函数，根据二次函

数的最值判定计算即可.

【详解】解:(1)如图，过C作于“，交G尸于K,

GF〃DE,GF1CH,GD=FE=KH=GF=DE,

MCGFsKAB,

GFCK

~AB~~CH，

-ZACB=90°,AC=4,BC=3.

•••AB=y]AC2+BC2=5,

.・.ABCH=ACBC=12,

--GF

GF_5_____

512

T

向=丝

37

即正方形的边长为号.

(2)如图，过。作于"，交GF于K,

•.・矩形OEFG,

；.GF〃DE,GFLCH,GD=FE