2025年中考数学总复习《二次函数之相似三角形存在性问题》专项测试卷（附答案）

第第页2025年中考数学总复习《二次函数之相似三角形存在性问题》专项测试卷（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、二次函数之相似三角形存在性问题1．已知抛物线y=−x（1）求点B、C的坐标；（2）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似且PC2．如图1，已知二次函数y=−(x−b)2+4b+1的图象与一次函数y=kx+5的图象相交于点A，B，其中点A在x轴的正半轴上，点B在y（1）求点M的坐标及k的值；（2）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+5≤−(x−b)2+4b+1（3）如图2，抛物线对称轴为直线x=b与直线AB交于C，在直线AB上是否存在点P，使得点M、C、P组成的三角形与ΔAOB与相似，若存在，请求出满足条件的所有点P坐标；若不存在，说明理由．3．如图1，已知二次函数y=−4（1）求点A，点C的坐标；（2）如图2，连结AC，DC，过点C作CE∥AB交抛物线于点E.求证：∠DCE＝∠CAO；（3）如图3，在（2）的条件下，连结BC，在射线EC上有点P，使以点D，E，P为顶点的三角形与△ABC相似，求EP的长.4．如图，直线y=−43x+c与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M(m,0)为线段OA上的动点（不与点O．A重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB①用含m的代数式表示线段PN的长；②若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．5．如图，已知抛物线y=−2x2+bx+c与x轴交于点A,B(2,0（1）求抛物线的解析式；（2）△POC有可能是等边三角形吗？若是，请求点P的坐标，若不是，请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．6．已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1）求该抛物线所对应的函数表达式．（2）该抛物线与直线y=35x+3相交于C，D两点，P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM①连续PC，PD，如图①，在点P运动的过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为Q，如图②，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，已知抛物线F1：y＝﹣x2+2x+3交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，抛物F2：y＝12x2（1）求抛物线F2的表达式．（2）如图2，过点P作PE⊥BC交抛物线F1第一象限部分于点E，作EF∕∕AB交BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点E的坐标．（3）抛物线F1与F2在第一象限内的图象记为“图象Z”，过点P作PG∕∕y轴交图象Z于点G，是否存在这样的点P，使△CPG与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的横坐标．8．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A和B(3，0)两点，与y轴交于C(0，−2)，对称轴为直线x=54，连接BC，在线段BC上有一动点P，过点P（1）求抛物线与直线BC的函数解析式；（2）设点M的坐标为(m，0)，求△PCN面积的最大值；（3）若点P在线段BC上运动，则是否存在这样的点P，使得△CPN与△BPM相似，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请写出理由．9．如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于点A(−3，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，点P是抛物线上点A（1）求此二次函数的解析式；（2）如图1，连结PA，PC，求△PAC的面积的最大值；（3）如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与AC交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与△ADQ相似?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．10．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC．使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O（1）求AD的长及拋物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？参考答案1．【答案】解：（1）令y=0，则−x2+2x+8=0，

∴x1=−2，x2=4

∴B4,0．

令x=0，则y=8．

∴C0,8．

（2）存在．由已知得，该抛物线的对称轴为直线x=1．

∵点C'与点C关于直线x=1对称，

∴C2,8，CC'=2．

∴CC'//OB．

∵点P在y轴上，

∴∠PCC'=∠POB=90°

∴当PCPO=CC'OB时，△PCC'∽△POB．

设P0,y，

i）当y>8时，则y−8y=24，

∴y=16．

∴P0,16

ii）当0<y<8时，则8−yy=242．【答案】（1）解：∵一次函数交y轴于点B，∴B点坐标为（0，5），又B在抛物线上，∴5=−(0−b)∴二次函数的解析式为y=−∴点M的坐标为（2，9），当y=0时，−(x−2)2∴A（5，0）代入直线解析式y=kx+5，∴5k+5=0，解得k=-1∴k的值为-1（2）0≤x≤5（3）解：∵B（0，5），A（5，0）∴△AOB为等腰直角三角形分两种情况：①如图，过点M做MP⊥MC交直线AB于点P∵对称轴为x=2，直线AB为y=-x+5，∴C（2，3）∴MC=9-3=6∴PM=6∴点P的坐标为（-4，9）；②如图，过点M做MP⊥AB于点P，过点P作PN⊥MC于点N，∵CM=6，△MCP为等腰直角三角形，P点纵坐标=N点纵坐标=M点纵坐标-3=9-3=6∴MN=CN=3，PN=3∴点P的坐标为（-1，6）综合以上可得点P的坐标为（-4，9）或（-1，6）3．【答案】（1）解：令y＝0，得−4解得，x1＝-3，x2＝1，∴A(−3，令x＝0，y＝−4∴C（0，4）.（2）证明：∵y=−4∴D(−1，如图，作DF⊥CE于F，∴CF＝1，DF=16∵AO＝3，OC＝4，∴CFAO∵∠CFD＝∠AOC＝90，∴△CFD∽△AOC，∴∠DCE＝∠CAO；（3）解：如图，连接DE，∵A（-3，0），B（1，0），C（0，4），D（-1，163∴AC=32+由抛物线的对称性质得：DE＝DC＝53∴∠ECD＝∠DEC，由（2）得∠ECD＝∠CAO，∴∠DEC＝∠CAB，∵△DEP和△ABC相似，①当△DEP∽△CAB时，有DEAC∴53∴EP=4②当△DEP∽△BAC时，有DEAB∴53∴EP=25综上所述，EP＝43或254．【答案】（1）解：直线y=−43x+c交于点A(3∴0=−4+c，解得c=4，∴B(∵抛物线y=−83x2+bx+c将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：

−8解得：b=20∴抛物线的解析式为y=−8（2）解：①∵M(则P(m,∴PN=−8②∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，当∠BNP=90°时，如图1，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为4，∴−83m2+∴M(52当∠NBP=90°时，如图2，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=−8∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠BNC，∵∠NCB=∠AOB=90°，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴NCOB=解得m=0（舍去）或m=71∴M(7132综上可知，当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为(52,0)或5．【答案】（1）解：因为二次函数经过点B(2，0)，对称轴x=12，可得点A坐标（-1，0）

由题意得−8+2b+c=0−2−b+c=0∴抛物线的解析式为：y=−2（2）解：△POC不可能是等边三角形，理由如下：取OC的中点D，过点D作DP∥X轴交抛物线于点P，连接OP，如图：

∵C(0,令y=−2x2∴P(1+52,2)，（3）解：设点P的坐标为(m,−2m①当△CMP∽△BMH时，

∴∠PCM=∠OBC,∠BHM=∠CPM=9∴tan∠OBC=tan∴PM=2PC=2m∵PH=PM+MH，

∴2m+2(2−m)=−2解得：m1=0②当△PMC∽△BMH时，则∠BHM=∠PCM=90过点P作PE⊥y轴于点E，

∴∠PEC=∠BOC=∠PCM=9∴△PEC∽△COB,∴解得：m1=0综上：点P的坐标为(1,4)或6．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A（1，0）和点B（5，0），

∴a+b+3=025a+5b+3=0，

解得：a=35b=−185，

∴（2）解：①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，

∴可设P（t，35t2−185t+3）（1＜t＜5），

∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，

∴M（t，0），N（t，35t+3），

∴PN＝35t+3−（35t2−185t+3）=−35（t−72）2+14720，

联立直线CD与抛物线解析式可得y=35x+3y=35x2−185x+3，

解得x=0y=3或x=7y=365，

∴C（0，3），D（7，365），

分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图所示，

则CE＝t，DF＝7−t，

∴S△PCD＝S△PCN＋S△PDN＝12PN•CE＋12PN•DF＝72PN＝72−35t−722+14720=−2110t−722+102940，

∴当t＝72时，△PCD的面积有最大值，最大值为102940；

故答案为：存在，最大值为102940.

②存在．

∵∠CQN＝∠PMB＝90°，

∴当△CNQ与△PBM相似时，有NQCQ=PMBM7．【答案】（1）解：在y=−x2+2x+3x=−1或x=3，令x=0得y=3，∴A(把A(−1得：1解得b=−1c=−∴抛物线F2的函数表达式y=（2）解：过E作EH//y轴交BC于∵B∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OCB=∠OBC=4∵EF∴∠EFP=4∴△EFP是等腰直角三角形，∴△PEF面积最大时PE最大，∵EH//∴∠EHP=∠OCB=4∴△EHP是等腰直角三角形，∴EH最大时，PE最大，即EH最大时，△PEF面积最大，设E(m，−m∴EH=−∴当m=32时，EH最大为∴E(32，∴△PEF面积的最大值为12（3）解：存在点P，使△CPG与△OBC相似，理由如下：由(2)知△OBC是等腰直角三角形，当△CPG与△OBC相似时，△CPG为等腰直角三角形，∵PG//∴∠CPG=∠OCB=4当∠PGC=90此时G与C纵坐标相等，在y=−x2+2x+3中，令y=3得x=0∴G1(2，3)，此时P1的横坐标为2，在y=1∴P2的横坐标为当∠PCG=90设P3(∵C∴CP∵△CP∴(−解得n=0(舍去)或n=1或n=5(此时G不在第一象限，舍去)，∴P同理可得P4的横坐标为2+综上所述，P的横坐标为2或1+10或1或2+8．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x=∴−b2a∴y=a将点B(3，0)，∴解得c=−2∴抛物线的解析式为y=设直线的解析式为y=kx+n将点B(3，0)，n=−2解得n=−2∴直线BC的函数解析式为y=（2）∵点M的坐标为(m，0)，PM⊥x轴，P(m，23∴PN=2∴S∵当点P在射线BC上或在射线CB上，S△PCN点P在线段BC上，∴0≤m≤3∴当m=32时S（3）存在这样的点P，使△CPN~∵∠PMB=90°，∠MPB=CPN∴△CPN与△BMP相似时由两种情况：①当∠PCN=90°时，△CPN~过点N作EN⊥y轴交于点E，∵∠PCN=90°，∴∠OCB+∠ECN=90°，∵∠OCB+∠OBC=90°，∴∠OBC=∠ECN，又∠BOC=∠CEN=90°，∴△OBC∼△ECN，∵OC=2，OB=3，CE=−2−(43m2−∴m=118，经检验，∴P点的坐标为(②当∠CNP=90°时，△CPN~则EN//x轴，∴N点纵坐标为−2，∴4∴m=0或m=5∴P点的坐标为(综上所述：P点的坐标为(529．【答案】（1）解：把A(−3，0)、C(0，c=3−9+3b+c=0，解得∴该二次函数的解析式为y=−x²（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+m，把A(−3，0)、C(0，3)代入得−3k+m=0m=3，解得k=1∴直线AC的解析式为y=x+3，过点P作PN⊥x轴交直线AC于点N，设P(t，−t²−2t+3)∴PN=−t²−2t+3−(t+3)=−t∴S∴当t=−32时，S△ACP（3）解：点P的坐标为(−2，3)或(−1，4)10．【答案】（1）解：∵四边形ABCO为矩形，

∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．

由折叠的