线性代数第5版课件：行列式

机动

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LinearAlgebra

行列式

行列式与矩阵概念是人们从求解线性方程组的需要中建立起来的，又远远越出求解线性方程组的范围，成为重要的数学工具．行列式概念的发明者：德国数学家莱布尼茨和日本数学家关孝和

二、三阶行列式排列的逆序数

n阶行列式的定义1.1行列式的定义主要内容来源:消元法

解线性方程组当时,一

二、三阶行列式1.二阶行列式有:不便于记忆条件下线性方程组的公式解记忆：引入新记号定义:符号叫做一个二阶行列式.(结果是一个数)二阶行列式的计算法：(两行两列四元素组成)(两项的代数和)公式解改记为说明:(2)x1、x2分子行列式分别是把系数行列式中x1、x2的系数列换成常数项列(保持原有的上下相对位置)所得行列式.(1)

x1,x2分母的行列式由方程中未知数系数按其原有的相对位置排成——“系数行列式”．定义:符号并把此式叫做一个三阶行列式.等式左端是记号右端是行列式的展开式aij:第i行第j列的元素(三行三列九元素组成)(六项的代数和)2.

三阶行列式对角线法则

它可以由一个很简单的规则来说明——即三阶行列式的对角线法则.可以验证，当D≠0时，三元线性方程组的解可以表示为:其中:D1＝D2＝类似地有D3例1解方程组解：D＝3×(-1)×(-1)=＋1×2×1＋(-1)×2×1－(-1)×(-1)×1－1×2×(-1)－3×2×1＝-2所以:D1=D2=D3==1=-12=-9D＝-2又引入二(三)阶行列式使二(三)元线性方程组的公式解具有同样的规律.人们自然想把这一规律推广，显然,能否推广关键在于怎样恰当地定义——n阶行列式．四阶行列式：42=16

个元素组成n阶行列式：n2个元素组成—n阶行列式的形式n阶行列式的实质?思考表示代数和——每项组成?共多少项?各项符号?观察三阶行列式展开式的特点思考上述问题：(1)每项组成:(2)多少项:四阶行列式共4!=24项，对角线仅构成8项，(3)各项符号:取自不同行不同列的三元之积.由排列组合知识，共3!＝6项.有多少不同行、不同列的三元之积?对角线法则四阶以上行列式是否适用？对角线法则对四阶以上行列式不适用．1.排列:自然数1,2,…,n组成的一个有序数组i1i2…in称为一个n级(元)排列.例

123，231，312，…自然排列:123…

n2.逆序:

排列中大数码排在小数码前面,称两者构成一个逆序.排列中的逆序总数称作逆序数,记作：二

排列的逆序数

51243，41352，…

五级排列.不是排列.1242三级排列,共3!＝6种；例2计算下列排列的逆序数2+1+1=4;=5;=0;=(n-1)+(n-2)+…+2+1=解：3.

奇（偶）排列：逆序数为奇（偶）数的排列．

上例③逆序数为0,是偶排列.n=4k或4k＋1,偶排列;n=4k＋2或4k＋3,奇排列.4.

排列的对换:排列经对换后逆序数改变.奇偶性是否改变?④对换(is,it)排列经对换后逆序数改变.奇偶性是否改变?定理1对换改变排列的奇偶性．证:①对换相邻数码：，②一般对换：，对换(i,j)可看成:i

经s+1次相邻对换得j再经

s次相邻对换得奇偶性共改变2s+1次．逆序数增加或减少1；变定理2全体n(n>1)级排列的集合中，奇、偶排列各占一半.

证:设n!个排列中奇、偶排列分别有p、q个.将p个奇排列经同一对换(1，2)可得p个偶排列,故p≤q；同理可得q≤p.所以

p＝q

.推论:奇(偶)排列可经奇(偶)数次对换变成自然排列.利用排列的逆序数可确定行列式中各项的符号.先看三阶行列式中各项符号有何规律.各项正负号与列标排列:正号:123,231,312负号:321,213,132(偶排列)(奇排列)故定义：用符号表示的n阶行列式指的是——n!项的代数和这些项是一切可能的取自表(1)的不同行与不同列的n个元素的乘积

符号为：三

n阶行列式determinant又记作易知(也可)特别:

n=1,一阶行列式(与绝对值的区别!)|a|＝a记作：例3.

用行列式定义计算：

D＝

2011!＝(－1)2011!＝-2011!解：(上三角形行列式)特殊行列式＝a11a22…ann例4.

用行列式定义证明：分析:上三角形行列式

下三角形行列式

对角形行列式

＝＝＝a1na2n-1…

an1注意:例5.设问dx3y2z1、by3x1z4、ax1y3z2是否D中项？符号如何?dx3y2z1列4321,＋.by3x1z4行1234,列2314.－.行1324,ax1y3z2列1132,不是D中项.行1234,(或:行1234,列2134)分析:,求

f(x)的最高次项.例6.设答案:

解:根据定义,D是一个4!＝24项的代数和.这24项中除了acfh,adeh,bdeg,bcfg四项外,其余项都至少含一个因子0,因而它们等于零.acfh对应列排列是1234adeh对应列排列是1324bdeg对应列排列是4321bcfg对应列排列是4231例7.计算四阶行列式∴D＝acfh－adeh＋bdeg－bcfg作业:

P8习题1.1

1,2,4,5

行列式概念是人们在研究线性方程组的求解过程中逐步产生的，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具．行列式是由德国数学家莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的．1683年，关孝和在其著作《解伏题之法》中首先提出了行列式的概念与算法，介绍了它的展开方．1693

年4月，莱布尼茨在写给法国数学家洛比达的一封信中使用并给出了行列式，指出了线性方程组的系数行列式为零的条件．现在所用的“行列式”一词则是法国数学家柯西于1812年给出．柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理，其中主要结果之一是行列式的乘法定理．机动

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线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言．

David.C.Lay

线性代数1.2

行列式的性质性质1-5

推论复习：行列式的定义问题行列式的计算中运算次数的多少？

从理论上说，利用定义可求任一行列式的值,但对n阶行列式，要作n!－1次加减法，每项要作n－1次乘法，总共作n!(n－1)次乘法。

如n＝5，需119次加减法，480次乘法。故高于3阶的行列式常利用性质转化为特殊行列式再计算.1.2行列式的性质称为D的转置行列式

turnD中的aij在DT中的位置:D与DT互为转置行列式，即:

j行i列(DT)T＝D设性质1:行列式与其转置行列式的值相等.即:注:这里行列式的值相等;而(DT)T＝D形式也相同.该性质由行列式定义易理解、证明。

由此，行列式的行和列地位相同，故对行成立的性质对列也成立。D＝DT性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号.分析:一般项及其符号其n个元素也是右行列式不同行不同列元素,符号:i行i行s行s行注:常以

ri表示行列式的第

i行(row),以

ci表示行列式的第

i列(column).记号:推论:两行(列)完全相同,行列式值为零.∵D＝－D性质3:即:行列式任一行(列)的公因子可提到行列式之外.

用常数k乘行列式任意一行(列)的诸元素,等于用k乘这个行列式.

由行列式定义易证记号:推论:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零.性质4:注1:性质3,性质4又称为线性性质.注2:性质4可以推广到有限和.即:行列式某行(列)所有元素均为两数之和，则行列式可写为两行列式之和.(由行列式定义易证)性质5:行列式中某行(列)元素的k倍加到另一行(列)的对应元素上去，行列式的值不变.记号:该性质用得较多，它使行列式在等值变形前提下出现较多的零元素或特殊行列式，便于计算。

(右

左)性质4性质3推论例1

计算?！例2.

解方程[分析]n－1次方程!关键是计算左边的n阶行列式.注：该行列式第一列元素均相同，其第一行第一列个元素没有遵循对角线上元素的规律。首行乘以-1加到下面各行，即化为上三角形.解：＝a1(a1－x)(a2－x)…(an-2－x)(an-1－x)原方程为:是原n－1次方程的n

－1个根.a1(a1－x)(a2－x)…(an-2－x)(an-1－x)＝0故

x1＝a1，x2＝a2，…

，xn-2＝an-2，xn-1＝an-1注：计算含未知量字母的行列式，理解为一个函数是解题的一个重要方法。思考：这道题你能观察，直接给出方程的根吗？例3.证明：分析：每行元素之和相同！将第2,3,…,n列加至首列,则首列元素均相同,转化为上例题型.证明：友情提醒：

该行列式结论请记忆。a-b形行列式例4计算解:

有些行列式的计算可利用性质化为“箭形行列式”，然后再化为上三角形行列式.(箭形行列式)例5计算解:注:首行乘以(-1)加至下各行，如此下去亦可成功，这里关注的简洁性和规律性。＝a4D例6.设,求解：＝30例7.计算行列式[分析]n阶数字行列式.根据其数字排列规律,考虑利用第3行所有元素均为3这一特点作变形.解：＝(n-3)!·6由定义亦可得结论

例8.证明：奇数阶反对称行列式的值为0．[注]

对称行列式：满足aij＝aji

；反对称行列式：满足aij＝aji证：设则由行列式性质1及性质3，有：aii＝aiiaii＝0

故

D＝0.作业：

P14习题1.2

1（1）（3）；2；3；4

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David.C.Lay

柯西（Cauchy，Augustin

Louis，1789-1857）

1815年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了特征方程的术语；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。

在行列式的理论方面（继范德蒙德之后），又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。线性代数余子式、代数余子式行列式按行（列）展开定理Laplace定理＊1.3

行列式展开定理

例1.计算解:(化上三角形法)D－＝57复习?！引例计算下列行列式分析：如何继续？1.aij的余子式：在中划去元素aij所在的第i行和第j列元素，得到的n-1阶行列式。记作：Mij2.元素aij的代数余子式：

例如，在4阶行列式中，M32＝Aij＝(1)i+jMijA23一、余子式和代数余子式

=(1)2+3M23=

二、行列式按某行(列)展开定理

ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAina1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj先证特殊情形再证一般情形；一般情形的证明通过转化为特殊情形完成.证：①先证ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin②次证

i行逐一向下交换经n－i次至末行

j列逐一向右交换经n－j次至末列化归为情形①＝(1)i＋jaijMij＝aijAij＝(1)i＋jaijMnn¢由①

③最后证毕＝ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin由②例1.计算行列式解法1：化上三角形法解法2：降阶法D＝57=(-1)1+1=(-1)3+1利用行列式按行(列)展开定理计算行列式时,一般利用有较多0的行(列)展开,对一般的数字行列式,可将某行(列)化到只剩一非零元时降阶处理.

=10=(-1)2+2=5×(-1)2+3例2：计算引例（续）例3

计算行列式首列元素全是1,第一行乘以(－1)加到下面各行只能使下面元素变为0,其它元素却没有规律，不可取。利用相邻两行元素较接近的特点:从首行起,每行加其下行的(－1)倍,按首列展开后再使用该手法。解：=(1)n+1xn-2例4

计算4阶范德蒙

(Vandermonde)行列式

[分析]

相邻两行元素较接近!

末行始,后一行加上其前行的(－

x1)倍,

a11下面元素都变为0,按首列展开，按首列展开后提取各列公因子得3阶范德蒙行列式。再从末行始,后一行加上其前行的(－

x2)倍，

…

…解：=(x2－x1)(x3－x1)(x4－x1)(x3－x2)(x4－x2)(x4－x3)连乘积记号可以证明n阶“范德蒙行列式”数学符号的简洁美3.推论:

行列式某一行(列)的各元素与另一行(列)的对

应元素的代数余子式乘积之和等于零.第s行理解：第s行＝0ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0(i≠s)综合定理及推论得“代数余子式的

重要性质”

:a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0(j≠t)对于行列式的列，类似地有：例5

设=0，计算A41+A42+A43+A44.=a31A41+a32A42+a33A43+a34A44分析:A41+A42+A43+A44巧用第3行的四个1[]注意到第二、四行元素的特点,利用行列式按某行展开定理的推论,将A31+A32+A33与A34+A35分别看成整体，列方程组求解.

解:，求(1)A31+A32+A33(2)A34+A35例6设a21A31+a22A32+a23A33+a24A34+

a25A35＝0a41A31+a42A32+a43A33+a44A34+

a45A35＝02(A31+A32+A33)+(

A34+A35)

＝0(A31+A32+A33)+2(

A34+A35)

＝0A31+A32+A33=0A34+A35=0思考:如何求

A41+A42+A43?解:例7

设，计算A41+A42+A43+A44a31A41+a32A42+a33A43+a34A44＝0a41A41+a42A42+a43A43+a44A44＝DA41+A42+2A43+3

A44＝02A41+2A42+3A43+4

A44＝D两式相减得A41+A42+A43+A44＝D=6思考其它解法A41+A42+A43+A441.几个概念

(1)k阶子式：任选k行k列

k阶行列式，记作

M.(aij是行列式的一阶子式)(2)k阶子式的余子式：划去k阶子式所在的k行k列n－k阶行列式，记M¢(3)k阶子式的代数余子式:

三、拉普拉斯定理＊注2:行列式按行(列)展开是拉普拉斯定理k=1的情形2.

拉普拉斯定理

的所有k阶子式(共个)与各自的代数余子式的乘积之和等于D.即：行列式D中任意选定k行(1≤k≤n),这k行元素组成D＝M1A1＋M2A2＋…＋MtAt()注1:拉普拉斯定理是将行列式按某k行(列)展开例8

用拉普拉斯定理计算行列式

解：＝1×(－3)＋(－15)(－1)(－4)＋(－9)(－8)＝9例9

计算行列式

解：法二按第五列展开后再按第一列展开

(教材例1-11,P17)法一按三、四、五行展开=1080

应用拉普拉斯定理易得行列式计算中的常用结论:按前k行展开讨论完成设则(证明见2.3节，p55-56)作业:

P21

习题1.3

1,2,3,4备用题计算

解:

从而解得解析几何中的行列式

范德蒙

法国数学家，就对行列式本身而言，他是这门理论的奠基人．在行列式的发展史上，他是把行列式理论与线性方程组求解相分离的第一人．范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士．特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则．1772年，法国数学家拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法．

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线性代数1.4

克莱姆(Cramer)法则克莱姆法则习题课行列式按某行(列)展开定理

ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAina1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj综合定理及推论得“代数余子式的

重要性质”

:a11+a12+…+a1n+a21+a22+…+a2n+an1+an2+…+ann+…关于求和符号性质n个未知量n个方程的线性方程组,在系数行列式不为零时的行列式解法,

称为克莱姆(Cramer)法则.设一个含有n个未知量n个方程的线性方程组或表示为1.4

克莱姆(Cramer)法则1.线性方程组定理1

设线性非齐次方程组(*)的系数行列式则(*)有唯一解其中,(j＝1,2,…,n)即:(j＝1,2,…,n)克莱姆(Cramer)法则证明:(1)是解(1)将代入第(i)个方程左端,＝bi(i＝1,2,…,n)(j=1,2,…,n)将Dj按第j列展开若有一组数c1,c2,…,cn满足(*),则＝D1同理:Dc1＝Dcj＝Dj(2)解唯一注:用克莱姆法则解线性方程组的条件——或表示为齐次线性方程组:齐次线性方程组必有零解,有否非零解？(1)方程个数＝未知量个数(2)系数行列式D≠0方程个数≠未知量个数及D＝0的情形以后讨论定理2齐次线性方程组定理3若齐次线性方程组有非零解,则注:定理3说明D＝0是齐次线性方程组有非零解的必要条件.后面将证明也是充分条件.即：齐次线性方程组有非零解当

时只有零解,没有非零解.D≠0D＝0(定理2的逆否命题)同理

D1=81,D2=-108,D3=-27,D4=27

x1=3

x2=-4

x3=-1

x4=1例1

解线性方程组解:=27≠0=－

方程组有唯一解例2

k取何值时,线性方程组解:有唯一解?＝6(2－k)≠0∴k≠2时方程组有唯一解。请用观察法再解一次例3

问取何值时,齐次线性方程组解:有非零解的充分必要条件D＝0有非零解?由D＝0得例4

(03考研)

已知齐次线性方程组其中试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时,(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.D≠0D＝0解：每行元素之和相同，2—n列加至首列∴(1)b≠0且时方程组仅有零解；(2)b＝0或时方程组有非零解.例5(96考研)解方程组其中

ai≠aj(i,j1,2,…,n)

解：≠0（∵ai≠aj(i≠j)）易见D1=D,D2=D3=…=Dn=0

∴x1=1,x2=x3=…=xn=0

你能直接观察获得解吗？作业:

P35习题1.5

1（2），2，3

线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言．

David.C.Lay

克莱姆瑞士数学家，1750年，克莱姆在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整的阐述，并给出了解线性方程组的著名方法：克莱姆法则．稍后，法国数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化．指出了如何利用系数行列式判断一个齐次线性方程组有非零解．线性代数1.5

习题课行列式计算方法小结利用行列式的定义化三角形法拆行(列)法按某一行(列)或某几行(列)展开数学归纳法递推法加边法(升阶法)利用已知行列式的结论例1.计算n阶行列式

[分析]

0较多,用行列式定义或展开定理.解(一)由行列式定义

(二)按第一列展开此行列式,得?！化上三角形例2.计算（1）

方法一＝9化上三角形＝9展开降阶方法二

＝－＝3=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=12(2)(3)=160观察：每行元素之和都等于10解：例3.证明证明:法一

左＝＝右法二

左＝右解:D每行元素之和相同2—n列加至首列例4.计算注:本题首行乘以(-1)加至2至n行可得箭形行列式例5

计算行列式

[分析]每行元素之和相同,2至末列加至首列.此后无法通过2至末行减首行化上三角形,可首列提取公因子后利用第一列的元素1化下三角形行列式.解：例6

计算解:[分析]首行乘以(－1)加至2至n行可得箭形行列式例7.

解方程解法(一)末列×(-ai)加至第i列(i=1,2,…,n)得上三角形.(二)末行×(-1)加至1至n行,再由行列式定义或按末列展开.(三)末行起,每行减其上行,再由行列式定义或按末列展开.(四)方程为一元n次方程,最多有n个实根,而当x=a1,a2,…,an时,方程左边行列式两行相同,值为0,方程成立,故为根.例8计算

(P23)特点:“0”多方法:降阶找递推公式0000解：法(一)按第1行展开,再递推公式:＝adD2(n-1)－bcD2(n-1)

＝(ad－bc)D2(n-1)

D2n＝(ad－bc)D2(n-1)

＝(ad－bc)2D2(n-2)

＝(ad－bc)n-1D2＝(ad－bc)n＝…按末行展开，有：法(二)按中间两行展开——拉普拉斯定理,重复此步骤.法(三)d＝0,用定义；d≠0,化下三角形行列式.＝(ad－bc)D2(n-1)

＝(ad－bc)2D2(n-2)

＝(ad－bc)n-1D2＝(ad－bc)n＝…例9解:按首行(列)展开,变形为:①＝…后一行列式再按首列(行)展开得Dn-2②①、②消去Dn-1得时＝…按另一种方式变形为:①时例10计算

(P26)(一)2至n列加至首列,再2至n行减首行得上三角形行列式(二)2至n行减首行得箭形行列式(三)加边(升阶)法解：箭形行列式例11主对角线上元素去掉1,则各行分别有公因子x1,x2,…,xn,提取公因子后各行元素都是x1,x2,…,xn,故考虑“加边法”第2行减去第1行的x1倍,第3行减去第1行的x2倍,…,第n+1行减去第1行的xn倍.箭形行列式(－1)mnab例12设则(一)按前n行展开得

(二)B的第一行逐行向上交换经n次至C的首行,

B的原第二行逐行向上交换经n次至C的第二行,…,直至B位于C的左上角,得

(92考研数四)1-a+a2-a3+a4-a5

(96考研数五)(一)2－5列加至首列,按首列展开,得同型四阶行列式再2－4列加至首列,按首列展开,三阶行列式对角线法则展开易得.(二)从末列起,每列加至前列,所得行列式从首列起,每列×(-a)加至后列,即得下三角形行列式.例13

(－1)n－1(n－1)

(97考研数四)a－b型行列式例14

(99考研数二)2－4列减首列，再2列加至4列：

根的个数为（）(A)1(B)2(C)3(D)4B例15

方程－28

(01考研数四)