专题 8-2 立体几何平行的证明与应用（等积变形截面探究性问题等12类题型）（原卷版）- 2025年高考数学二轮题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）

专题8-2立体几何中平行的证明与应用模块一模块一总览热点题型解读（目录）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】平行关系的判断【题型2】构造平行四边形得到平行关系【题型3】由中位线得出平行关系【题型4】由线面平行得出线线平行（反推找线）【题型5】由面面平行得出线面平行【题型6】两个平面交线相关的平行证明【题型7】证明线线平行【题型8】通过平行证明四点共面【题型9】平行关系的应用：等积变形求体积【题型10】平行的存在性问题（确定点的位置）【题型11】平行的存在性问题（确定动点轨迹）【题型12】截面问题（通过作平行线或延长线补全截面）模块二模块二核心题型·举一反三平行关系思维导图序号图形展示符号语言文字语言1垂直于同一平面的两个直线平行如果两条直线分别与第三条直线平行则这两条直线平行线段成比例两直线平行（中位线）平行四边形对面平行2平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行3一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行4一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行5如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行6一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行7两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行【题型1】平行关系的判断常用结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥B．(4)若α∥β，m⊂α，则m∥β.【例1】（2024·山东淄博·二模）已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线．若则下列说法正确的是（）A．a与l相交 B．b与l相交 C．a∥b D．a与β相交【例2】已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题正确的是（

）A．若，，则；B．若，，则；C．若、是异面直线，，，，，则；D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则．【例3】（多选）已知平面，且，则下列结论正确的是（）A．与可能是异面直线 B．若，则C．若，则 D．若两两垂直，则l，m，n也两两垂直【巩固练习1】下列关于平面平行的命题，正确的是（

）A．若一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行C．若两个平面与同一个平面垂直，则这两个平面平行D．若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行【巩固练习2】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【巩固练习3】已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（

）A．B．；C．D．.【题型2】构造平行四边形得到平行关系【方法技巧】构造平行四边形找线线平行【例1】如图，在棱长为1的正方体中，E、F及G分别为棱、和的中点.求证：平面DEG；

【例2】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，.若为的中点，证明：平面；【巩固练习1】如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，．证明：平面PAD；【巩固练习2】（24-25高三上·青海西宁·期中）如图，平面，，，，，点分别为的中点．求证：平面【巩固练习3】如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，的边长为2．求证：：平面；【题型3】由中位线得出平行关系涉及中点条件时考虑利用三角形中位线找线线平行.【例1】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且，求证:平面MCD【巩固练习1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且.求证：平面【巩固练习2】（2024·浙江金华·一模）如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点.

求证：平面；【巩固练习3】已知在正四棱柱中，，，点是的中点，求证：平面【题型4】由线面平行得出线线平行（反推找线）解析：模型铺垫：AB∥平面βAB∥DE【例1】如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形．点为的中点，点为AB的中点．

证明：平面【例2】如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点.证明：平面.【例3】（2024·浙江·一模）如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面【巩固练习1】（2024·山东济南·三模）如图所示，为矩形，为梯形，平面平面，.若点为的中点，证明:平面；【巩固练习2】在直三棱柱中，已知D为的中点.求证：平面.

【巩固练习3】（24-25高三上·福建泉州·期中）如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，是的延长线与CB的延长线的交点．(1)求证：平面；(2)若点在线段AP上，且点E为靠近点A的三等分点，求直线与平面所成的角的正弦值．【巩固练习4】如图，三棱柱中，E，P分别是和CC1的中点，点F在棱上，且，证明：平面EFC．【题型5】由面面平行得出线面平行本法原理：已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行思路比较简单不过书写步骤会繁琐一些，一般不做第一选择【例1】如图，已知三棱柱为直三棱柱，为AC的中点.证明：平面【例2】（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.

求证：平面；【巩固练习1】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考开学考试）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角的大小为，，，，．（1）求证：平面；【巩固练习2】（2024·四川达州·二模）如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点．证明：平面；【巩固练习3】（2024·江苏南京·二模）如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.求证：平面；

【题型6】两个平面交线相关的平行证明两个平面交线相关的平行证明可以考虑补全图形得到交线，也可以先找一个线面平行，得出线线平行来代换交线，原理是由线面平行得出线线平行【例1】如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，且PD⊥面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．证明：l∥CB【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，且，，且，且，平面，,设平面与平面的交线为，求证：；【巩固练习1】在圆柱中，是圆的一条直径，是圆柱的母线，其中点与不重合，是线段的两个三等分点，且．若平面和平面的交线为，证明：平面.【巩固练习2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，，侧面为矩形.记平面与平面交线为，证明：；【巩固练习3】如图，四棱锥的底面为平行四边形，设平面与平面的交线为m，分别为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：.【题型7】证明线线平行利用线面平行和面面平行证明线线平行【例1】如图，平面ABCD,平面ADE，．求证：．【例2】如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，，，平面与平面所成角的正切值为．证明：.【巩固练习1】如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为和为圆台的两条不同的母线.分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且为等边三角形.求证：.

【巩固练习2】（2024·甘肃·一模）如图，空间六面体中,,，平面平面为正方形，平面平面.求证：；【题型8】通过平行证明四点共面通过线线平行得出四点共面【例1】如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点(1)求证：平面；(2)求证：、、、四点共面；【巩固练习1】（2024·内蒙古包头·一模）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．证明：∥平面，且，，，四点共面；【巩固练习2】如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由．【巩固练习3】如图，在长方体中，点分别在棱上，2DE＝ED1，BF＝2FB1，证明：点在平面内．【题型9】平行关系的应用：等积变形求体积等积变形求体积，即形状改变但体积不变。通过计算变形前后的体积相等【例1】已知正方体的棱长为是线段上的一个动点，则三棱锥的体积是否为定值？请说明理由【例2】如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则三棱锥的体积为________【例3】（多选）如图,在正方体中,,为线段上的动点,则下列说法正确的是（

）A．B．平面C．三棱锥的体积为定值D．的最小值为【巩固练习1】在正方体中，为的中点，点满足，，则三棱锥的体积与的值是否有关？请说明理由.【巩固练习2】如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，三棱锥的体积为________【巩固练习3】如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内，则三棱锥的体积为________.

【题型10】平行的存在性问题（确定点的位置）平行存在性问题：过定点构造出平行平面（过相关点作2次平行）通过面面平行的性质来得到线面平行【例1】如图1，是边长为3的等边三角形，点分别在线段上，且，沿将翻折到的位置，使得，如图2.在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【例2】（2024·四川乐山·三模）在三棱柱中，点在棱上，满足，点在棱上，且，点在直线上，若平面，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【例3】在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则点为正方形内一点，当平面时，的最小值为（

）A． B． C． D．【例4】如图，在正方体中，点为线段上的动点，，分别为棱，的中点，若平面，则．【巩固练习1】在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值.【巩固练习2】在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（

）A．3 B．4 C． D．【巩固练习3】在三棱柱中，点在棱上，且，点为的中点，点在棱上，若平面，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【巩固练习4】如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【题型11】平行的存在性问题（确定动点轨迹）动点轨迹即为两个平面的交线【例1】如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，若平面，则动点的轨迹长度为________【例2】如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（

）A．2 B． C． D．【例3】（23-24高三上·北京朝阳·期末）如图，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为（

）

A． B． C． D．【巩固练习1】如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（

）

A．1 B．2 C． D．【巩固练习2】（2023高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，为的中点，是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为（）A． B． C． D．4【巩固练习3】如图，在棱长为1的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且∥截面，则线段长度的取值范围是（

）A． B．C． D．【题型12】截面问题（通过作平行线或延长线补全截面）一、如何做截面？作出过EFG三点的截面法一：作平行线并标出棱上的交点法二：作延长线并标出棱上的交点 二、如何确定截面是否已经“搞定”？题目所要求的点是否都用上？你所画的线是否围成了一个封闭图形？这个封闭图形的边是否都在几何体的表面(不能在几何体内部)？【例1】（23-24高三下·甘肃·开学考试）如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明）【例2】如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，平面BMN截正方体所得截面为________【例3】（2024·江西赣州·一模）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，过且平行于平面的平面截正方体所得截面面积为（

）A． B． C． D．【例4】如图，正方体的棱长为4，E为的中点，F为线段上的动点，过点A，E，F的平面截该正方体所得截面记为S，当时，截面S与，分别交于M，N，则.【巩固练习1】在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）.当Q是中点时，画出过A，Q，的截面；【巩固练习2】（多选）如图，