2024-2025学年宁夏回族自治区高三上学期第一次月考数学检测试题

2024-2025学年宁夏回族自治区高三上学期第一次月考数学检测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则3.已知函数为奇函数，为偶函数，当时，.则（）A.0 B. C.1 D.4.随机变量的分布列如下表：-101若，则（）A. B. C. D.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.6.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，）A.85 B.100 C.150 D.2257.某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（）A.124 B.246 C.114 D.1088.已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列运算结果为1的有（）A B. C. D.10.下列说法中正确的是（）A.函数的值域为B.函数的零点所在区间为C.函数与互为反函数D.函数与函数为同一函数11.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则（）A.从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为B.从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为C.从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4D.从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在二项式展开式中，常数项为__________.13.若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______.14.定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数a的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为.（1）求的解析式；（2）设，若在上是单调函数，求实数的取值范围.16.甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立.已知甲答对每题的概率均为，乙答对每题的概率均为，且某道题两人都答对的概率为，都答错的概率为.（1）求，的值；（2）乙回答3题后，记乙的积分为，求的分布列和期望.17.已知函数.（1）试判断的奇偶性，并说明理由；（2）试判断在上的单调性，并用定义证明；（3）求在上的值域.18.已知函数.（1）当时，求的值域；（2）若最小值为-3，求m的值；（3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围.19.“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本.”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律.爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如下：23468101321222324251322314250565868.5686756666当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为.（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.回归模型模型①模型②回归方程182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数，.）（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式；）（3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予奖励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望.（附：随机变量服从正态分布，则，.）

答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【正确答案】B【分析】解指数不等式化简集合A，再利用交集的定义直接求解.【详解】集合，而，所以.故选：B2.【正确答案】C【分析】对于ABD：举反例分析判断；对于C：根据不等式的性质分析判断.【详解】对于选项A：若，则，故A错误；对于选项B：若满足，则，故B错误；对于选项C：若，则，即，故C正确；对于选项D：若满足，则，故D错误；故选：C.3.【正确答案】D【分析】依题意可得是以4为周期的函数，则，从而计算可得；【详解】解：因为为奇函数，所以，①将①中的替换为得.②因为为偶函数，所以，③由②③得，则，所以是以4为周期的函数，故.故选：D4.【正确答案】A【分析】由分布列中概率和为1和期望的值可以计算出的值，代入方差公式可以计算方差.【详解】解：∵，由表中数据可知，解得.又，∴.所以.故选：A5.【正确答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【详解】因为，所以，定义域为；因为，所以，故，所以为奇函数，排除B，当逼近于，逼近于0，排除D，由，，则，排除C，故选：A.6.【正确答案】B【分析】根据给定信息，列出方程，再利用指数式与对数式的互化关系求解即可.【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，天后，甲、乙的“日能力值”分别、，依题意可得，即，两边取对数得，因此，所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.故选：B7.【正确答案】C【分析】利用分布乘法计数原理，根据排列及间接法计算.【详解】设学校为，先把甲乙两人安排到不同学校，有种，不妨设甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可，利用间接法计算，有种不同安排方法，根据分步乘法计数原理可知，共有6×19=114种不同安排方法.故选：C8.【正确答案】B【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解.【详解】当时，则，且，所以，若函数的值域为，可知当时，则的值域包含，若，则在内单调递减，可得，不合题意；若，则在内单调递增，可得，则，解得；综上所述：实数a的取值范围是.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【正确答案】选：CD.10.【正确答案】ABC【分析】根据函数性质分别判断各选项.【详解】A选项：函数，当时，取最小值为1，所以函数的值域为；B选项：因为函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，且，，所以其零点所在区间为，B选项正确；C选项：，即，可得，所以函数与函数互为反函数，C选项正确；D选项：函数与函数的定义域均为，，，不为同一函数，D选项错误；故选：ABC.11.【正确答案】ACD【分析】根据古典概型公式，结合组合公式，依次判断选项.【详解】A.在第一次取到白球的条件下，则甲袋中还有2个白球和4个红球，所以第二次取到红球的概率为，故A正确；B.从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率，故B错误；C.设红球个数为，，则数学期望，故C正确；D.第一种情况，若是从甲袋中取到2个白球放入乙袋，则概率，第二种情况，若是从甲袋中取到1个白球和1个红球放入乙袋，则概率，第三种情况，若是从甲袋中取到2个红球放入乙袋，则概率，所以从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【正确答案】60【分析】求得二项式展开式的通项为，令，即可求解，得到答案.【详解】由题意，二项式展开式的通项为，令，可得，即展开式的常数项为60.故60.13.【正确答案】【分析】令，由题设易知在上为增函数且恒大于零，根据二次函数的性质列不等式组求的取值范围.【详解】由题设，令，而为增函数，∴要使在上是增函数，即在上为增函数且恒大于零，，可得，∴的取值范围是.故14.【正确答案】【分析】利用给定定义构造不等式，按分类讨论并结合函数大致图象，建立关系式求解即得.【详解】由给定的定义知，为满足的整数解的和，当时，在同一坐标系内作出函数和的大致图象，如图：，，，，因此的解集包含，，不符合题意；当时，，由，解得或，在内有3个整数解1，2，3，即，因此，符合题意；当时，作出函数和的大致图象，如图，若，又，且，所以不等式的整数解为1，2，3.只需满足，即，解得.所以时，实数的取值范围为.故四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）设，代入点的坐标求出的值，即可求出函数解析式；（2）首先表示出，从而确定其对称轴，依题意得到或，解得即可【小问1详解】因为不等式的解集为，所以和1为关于的方程的两根，且二次函数的开口向上，则可设，，即，由的图象过点，可得，解得，所以，即.【小问2详解】因为，对称轴，因为在上是单调函数，所以或，解得或，即实数的取值范围.16.【正确答案】（1），（2）分布列见解析，【分析】（1）借助相互独立事件的乘法公式可得方程组，解出该方程组即可得；（2）得出的所有可能取值后计算相应概率即可得分布列，借助分布列计算即可得其期望.【小问1详解】由题意可得，解得；【小问2详解】的可能取值为0，40，80，120，，，，，则其分布列为：04080120.17.【正确答案】（1）偶函数，理由见解析（2）单调递增，证明见解析（3）【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义即可判断；（2）根据题意，由函数单调性的定义即可判断；（3）根据题意，由函数的单调性代入计算，即可得到结果.【小问1详解】是偶函数.易得，其定义域为.因为，所以是偶函数.【小问2详解】在上单调递增.证明如下，任取，则，因为，所以，则，所以，则，故在上单调递增.【小问3详解】由（2）得在上单调递增，所以，，故在上的值域为.18.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数在定区间求值域问题，根据二次函数的性质计算即可；（2）分类讨论，结合二次函数的性质计算即可；（3）利用分离参数法将问题转化为有解，利用基本不等式计算的最小值解不等式即可.【小问1详解】设，∵，∴，，其对称轴方程为，故函数在上单调递增，所以，故所求值域为；【小问2详解】∵函数的最小值为-3，，若，在上单调递增，没有最小值；若时，可知时，y取得最小值；即，解得或（舍去），综上，；【小问3详解】由题意，有实数解，即，可得，要使此不等式有解，只需即可，∵（当且仅当时取等号），，∴，解得，即实数a的取值范围为.20.【正确答案】（1）回归模型②刻画的拟合效果更好，72.93亿元；（2）答案见解析；（3）2.4305万元.【分析】（1）根据公式比较可得模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好.根据模型②的回归方程计算可得结果；（2）用最小二乘法求出当时，y与x满足的线性回归方程，再通过计算比较可得答案；（3）根据正态曲线的对称性和两个特殊区间的概率求出分布列，根据数学期望公式计算可得结果.【详解】（1）由表格中的数据，有182.4>