2021北京重点校高一(上)期中数学汇编：单调性与最大(小)值

1/12021北京重点校高一（上）期中数学汇编单调性与最大（小）值一、单选题1．（2021·北京·清华附中高一期中）设偶函数f(x)在区间(-∞，-1]上单调递增，则（

）A．<f(-1)<f(2) B．f(2)<<f(-1)C．f(2)<f(-1)< D．f(-1)<<f(2)2．（2021·北京师大附中高一期中）下列函数中，在区间（0，＋∞）上不是单调函数的是（

）A．y＝ B． C． D．3．（2021·北京市第十三中学高一期中）函数的单调减区间为（

）A． B．C． D．4．（2021·北京八十中高一期中）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（

）A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．5．（2021·北京·101中学高一期中）下列函数中，在区间上为增函数的是（

）A． B．C． D．6．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）下列函数中在上单调递增的是（

）A． B． C． D．7．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（2021·北京市第十三中学高一期中）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数9．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（

）A． B． C． D．10．（2021·北京四中高一期中）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题11．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）设定义在R上的函数满足：（1）当时，；

（2）；

（3）当时，，则在下列结论中：①②在R上是递减函数；③存在，使④若，则，．其中正确结论的命题为__________．12．（2021·北京市第十三中学高一期中）能够说明“若对任意的都成立，则函数在是增函数”为假命题的一个函数是_________.13．（2021·北京市十一学校高一期中）写出“函数在区间上单调递减”的一个充分不必要条件：___________.14．（2021·北京市十一学校高一期中）已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是_________.15．（2021·北京·人大附中高一期中）若不等式对一切恒成立，则实数x的取值范围是______.16．（2021·北京市十一学校高一期中）已知函数，若对于，，，都有，则实数的取值范围为________.17．（2021·北京·清华附中高一期中）函数的值域是_______________18．（2021·北京八十中高一期中）己知，若对，使得，则实数m的取值范围是________．19．（2021·北京八十中高一期中）写出函数的单调递增区间________．20．（2021·北京·101中学高一期中）用表示两个实数中的最大值.设，则函数的最小值是________21．（2021·北京·人大附中高一期中）函数的值域是__________22．（2021·北京市第十三中学高一期中）已知函数在上单调递增，若，则满足的实数的取值范围是______23．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）已知是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是___.三、解答题24．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）已知函数(1)用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；(2)解不等式．25．（2021·北京·101中学高一期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数.且函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”(1)判断函数和函数是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）(2)如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值；(3)如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围.26．（2021·北京四中高一期中）已知函数．(1)应用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增；(2)求在区间上的最大值与最小值．注：证明（1）只能用函数单调性定义证明．27．（2021·北京·北师大二附中高一期中）己知函数(b，c为常数)，f(1)=4，f(2)=5.(1)求函数f(x)的解析式；.(2)用定义证明∶函数f(x)在区间(0，1)上是减函数.28．（2021·北京·101中学高一期中）已知二次函数满足：①；②当时，函数取得最小值2.(1)求的解析式；(2)记.①若是定义域上的单调函数，求在的取值范围；②记的最小值为，求方程的解集.29．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知函数，（其中）.(1)若对任意，都有恒成立，求的值；(2)设关于x的函数的最小值为.①若，解不等式，并直接写出的值；②试判断是否为的函数？若是，直接写出的函数表达式（用分段函数形式表示）；若不是，说明理由.30．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）已知函数定义在区间上，其中.（1）若，求的最小值；（2）求的最大值.

参考答案1．B【解析】利用偶函数的性质可得出，再由函数在区间上的单调性可得出、、的大小关系.【详解】因为函数为偶函数，则，由于函数在区间上单调递增，且，，即.故选：B.2．C【解析】由基本函数的性质分析判断即可【详解】对于A，在（0，＋∞）上单调递增，所以A错误，对于B，在（0，＋∞）上单调递增，所以B错误，对于C，在（0，＋∞）上不是单调函数，所以C正确，对于D，在（0，＋∞）上单调递增，所以D错误，故选：C3．D【解析】根据反比例函数的单调性即可得出答案.【详解】解：由函数，定义域为，得其单调减区间为.故选：D.4．B【解析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为且在上单调递增，所以，解得，即故选：B5．C【解析】利用解析式结合函数图象逐项判断即可.【详解】解：对A，，为反比例函数在第一象限的图象，所以是单调递减，故A错误；对B，，该函数为开口向上，对称轴为，所以在上先减再增，故B错误；对C，，为单调递增的一次函数，故C正确；对D，，为单调递减的一次函数，故D错误.故选：C.6．B【解析】由函数的单调性逐一判断即可求解【详解】对于A：在上单调递减，故A错误；对于B：在上单调递增，故B正确；对于C：在上单调递增，故C错误；对于D：在上单调递减，故D错误；故选：B7．A【解析】由题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】由于函数是上的减函数，则函数在上为减函数，所以，对称轴，解得.且有，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.8．C【解析】利用函数单调性定义即可得到答案.【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，等价于对于任意两个不相等的实数，总有.所以函数一定是增函数.故选：C9．D【解析】根据函数解析式直接判断函数的奇偶性和单调性可得解.【详解】函数不是奇函数，故A不正确；函数是奇函数，但不是增函数，故B不正确；函数是奇函数，但不是增函数，故C不正确；的图象如图：所以函数是奇函数且是增函数.故选：D10．A【解析】根据二次函数对称轴位置可构造不等式求得结果.【详解】由二次函数性质知：对称轴为，，解得：.故选：A.11．①②③【解析】通过赋值可得，进而可判断①，再根据单调性的定义及条件可判断②，由②得单调性和可判断③，由可判断④.【详解】当时，令时，，因为，所以，所以，所以①正确；由①知，，所以有，任意的且，因为，则，所以，，所以，所以在R上是递减函数，②正确；因为，在R上是递减函数，所以当时，，③正确；由，结合①得，，④错误.故答案为：①②③.12．（答案不唯一）【解析】根据题意函数可为，说明此函数在上不是增函数即可.【详解】解：根据题意函数可为，则对于任意的都有，函数在上都是增函数，又，则函数在上不是增函数，所以函数能够说明题中命题为假命题.故答案为：.（答案不唯一）13．（答案不唯一）【解析】由函数在区间上单调递减可得，再利用充分条件、必要条件的定义即得.【详解】由函数在区间上单调递减可得，所以“函数在区间上单调递减”的一个充分不必要条件为.故答案为：（答案不唯一）14．【解析】根据题意可知，由此即可求出结果.【详解】因为函数在R上单调递减，所以，解得.故答案为：.15．【解析】利用变换主元法将看成自变量，将看成参数即可求解.【详解】解：不等式对一切恒成立将看成自变量，将看成参数，将不等式化为：对一切恒成立令即对一切恒成立等价于即解得：或所以实数x的取值范围是：【点睛】关键点睛：当所给不等式或者等式有两个变量时，将已知变量看成自变量，所求变量看成参数，即变换主元法进行求解.16．【解析】先求出，进而求出与的解析式，，，都有，等价于，有，对进行分类讨论,求出实数的取值范围【详解】因为，令，则所以，故所以，令，，，都有等价于，有当，即时

与在上单调递减，故，所以，解得：结合得：当，即时在上单调递减，在单调递增；在上单调递减，，所以，化简：，解得结合得：当，即时在上单调递增，在上单调递减，，所以，解得结合得：当，即时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且对称轴更靠近，故，所以，解得结合求得：当，即时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且对称轴更靠近，故，所以，解得结合得：当时

与在上单调递增，故，所以，解得结合得：综上所述：故答案为：17．##【解析】利用双勾函数的单调性可求得函数的值域.【详解】任取、且，即，则，，，所以，函数在上单调递减，同理可证函数在上单调递增，所以，，又因为，，，所以，，因此，函数的值域为.故答案为：.18．【解析】根据对，使得，由求解.【详解】，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为4，当，即时，，因为对，使得，所以，解得，此时；当，即时，，因为对，使得，所以，解得，此时；当，即时，，因为对，使得，所以，解得，此时；综上：实数m的取值范围是，故答案为：19．和【解析】先化简函数函数得，再画出函数的图像得到函数的单调递增区间.【详解】由题意，函数，作出函数的图象如图所示：由图象知，函数的单调递增区间是和．故答案为：和20．3.【解析】将函数的图像画在一个坐标系中，根据题干知取该图中中靠上的部分就是的图像，在这个图像中找到最低点，最低点的纵坐标就是函数的最小值.【详解】根据题意在一个坐标系中画出两个函数的图像，得到图像如上图，取其中靠上的部分，即曲线，线段，曲线这三部分所构成的分段函数，就是的图像，再取这部分图像的最低点，由图知应该是点，该点的纵坐标即函数的最小值.联立或，由图知，代入函数表达式得到，即函数的最小值为3.故答案为：3.21．【解析】由根式内部的代数式大于等于0求出函数的定义域,再由函数的单调性求得答案.【详解】由,得，又在上的增函数,在上也是增函数,

在上是增函数,

则函数的值域为故答案为:22．【解析】由题意可得，再根据单调性去掉，解不等式即可.【详解】因为，所以，因为函数在上单调递增，所以，可得，所以满足的实数的取值范围是，故答案为：.23．【解析】利用函数在上是减函数，可列出不等式组，由此求得a的取值范围.【详解】由于是定义在R上的减函数，∴，求得，故答案为：.24．(1)见解析(2)【解析】（1）通过计算，证得在区间上为增函数.（2）利用的解析式，化简不等式，由此求得不等式的解集.(1)设任意的且，则，且，，，即，即，即对任意的，当时，都有，在区间上是增函数；(2)由，可得，所以有或，解得或，所以不等式的解为：25．(1)存在优美区间是，不存在优美区间；(2)(3)【解析】（1）由函数的单调性及值域及新定义求解；（2）由新定义及函数定义域，确定相应方程有两个同号的不等实根，由此求得参数范围；（3）由函数的单调性，分类讨论：，，，确定函数的最大值和最小值，转化为一元二次方程的根的分布，可得结论．(1)，在上单调递增，由得或1，存在优美区间是，是增函数，若存在优美区间，则，无解，不合题意，不存在优美区间；(2)在和上都是增函数，因此优美区间或，由题意，所以有两个同号的不等实根，，，，，或，，同号，满足题意，，，因为或，所以当，即时，．(3)函数在上存在“优美区间”，设得其一个优美区间，在上递减，在上递增，若，则，即有两个不等的非负根，，，，，，则，所以；若，则，即，两式相减得，，，所以方程有两个不等的非正根，方程整理为，，，满足题意，，，所以；若，则，因此，所以，，，，即时，，，，即时，，，，，一正一负，取正根为，，时，成立，时，不等式变为，，，即，综上，的取值范围是．【点睛】本题考查函数的新定义，解题关键是理解新定义，解题难点是新定义的应用，解题方法是利用新定义把问题转化为一元二次方程根的分布，注意分类讨论的应用．对学生的逻辑思维能力运算求解能力要求较高，属于难题．26．(1)证明见解析(2)最大值为，最小值为【解析】（1）设，计算得到证明.（2）根据函数的单调性计算最值得到答案.(1)设，则，，，故，即.故函数在区间上单调递增.(2)在区间上单调递增，故，.27．(1)(2)证明见解析【解析】(1)结合已知条件利用待定系数法求解即可；(2)首先设任意的，，且，然后利用作差法比较和大小，再结合函数单调性的定义即可证明.(1)由题意可知，，解得，，故函数f(x)的解析式为：.(2)设任意的，，且，则，因为，，且，所以，，即，从而，即，故函数f(x)在区间(0，1)上是减函数.28．(1)(2)①；②【解析】（1）依题意设，，再根据，代入求出，即可求出函数解析式；（2）①首先求出的解析式，求出函数的对称轴，函数在区间单调，则对称轴不在区间内，即可