贵州省黔西南自治州兴仁市凤凰中学2024届高三第二次教学质量检查数学试题

贵州省黔西南自治州兴仁市凤凰中学2023届高三第二次教学质量检查数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（）A． B． C． D．2．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）.A．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D．2016年与2019年艺体达线人数相同3．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈AB．3BC．A∩B=BD．A∪B=B4．若集合，，则（）A． B． C． D．5．已知，是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于，两点，若，则△的内切圆的半径为（）A． B． C． D．6．在中，，则=（）A． B．C． D．7．已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是(

)A． B． C． D．8．是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．9．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则10．已知正项数列满足：，设，当最小时，的值为()A． B． C． D．11．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为、、元）．甲、乙租车费用为元的概率分别是、，甲、乙租车费用为元的概率分别是、，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（）A． B． C． D．12．已知函数满足，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.14．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________15．已知集合，则____________.16．数据的标准差为_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）底面为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若，.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.18．（12分）2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：分组频数（1）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为，求的分布列及数学期望.19．（12分）如图，在四棱锥中，，，.（1）证明：平面；（2）若，，为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：处罚金额（单位：元）5101520会闯红灯的人数50402010若用表中数据所得频率代替概率.（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为类市民的概率是多少？21．（12分）某市调硏机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：月收入（单位：百元）频数51055频率0.10.20.10.1赞成人数4812521（1）若所抽调的50名市民中，收入在的有15名，求，，的值，并完成频率分布直方图．（2）若从收入（单位：百元）在的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，选中的2人中恰有人赞成“楼市限购令”，求的分布列与数学期望．（3）从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民，恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这3名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果．22．（10分）已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）经过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，点与点关于坐标原点对称．连接．求证：存在实数，使得成立．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解.【详解】甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共1种，所以甲第一个到、丙第三个到的概率是.故选：D【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2．A【解析】

设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.【详解】设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，2016年高考不上线人数为，2019年不上线人数为，故A正确；2016年高考一本人数，2019年高考一本人数，故B错误；2019年二本达线人数，2016年二本达线人数，增加了倍，故C错误；2016年艺体达线人数，2019年艺体达线人数，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.3．C【解析】试题分析：集合考点：集合间的关系4．A【解析】

用转化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可．【详解】解：由集合，解得，则故选：．【点睛】本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题．5．B【解析】

设左焦点的坐标，由AB的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点，由题意可得，由，可得，所以双曲线的方程为:所以，所以三角形ABF2的周长为设内切圆的半径为r，所以三角形的面积，所以，解得，故选：B【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.6．B【解析】

在上分别取点,使得,可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案．【详解】如下图，，在上分别取点,使得,则为平行四边形，故,故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．7．A【解析】=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当,

当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.8．D【解析】

根据是定义在上的增函数及有意义可得，构建新函数，利用导数可得为上的增函数，从而可得正确的选项.【详解】因为是定义在上的增函数，故.又有意义，故，故，所以.令，则，故在上为增函数，所以即，整理得到.故选：D.【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题.9．D【解析】试题分析：，,故选D.考点：点线面的位置关系.10．B【解析】

由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由递推公式求出.【详解】由得，即，，当且仅当时取得最小值，此时.故选：B【点睛】本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.11．B【解析】

甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得．【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是，∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为．故选：B．【点睛】本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．12．B【解析】

构造函数,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.【详解】设,则函数的导数,，，即函数为减函数,,，则不等式等价为，则不等式的解集为,即的解为，，由得或，解得或,故不等式的解集为.故选:.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．2【解析】

求出焦点到渐近线的距离就可得到的等式，从而可求得离心率．【详解】由题意，一条渐近线方程为，即，∴，由得，∴，，∴．故答案为：2.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于的等式．14．0.35【解析】

根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来．【详解】解：由题意知本题是一个对立事件的概率，抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，，抽到不是一等品的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题．15．【解析】

根据并集的定义计算即可.【详解】由集合的并集，知.故答案为：【点睛】本题考查集合的并集运算，属于容易题.16．【解析】

先计算平均数再求解方差与标准差即可.【详解】解：样本的平均数,这组数据的方差是标准差,故答案为：【点睛】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）见解析；（2）【解析】

（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再证明线线垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量与平面的一个法向量，再利用向量数量积运算即可.【详解】（1）证明：连接，由平行且相等，可知四边形为平行四边形，所以.由题意易知，，所以，，因为，所以平面，又平面，所以.（2）设，，由已知可得：平面平面，所以，同理可得：，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，为的中点，所以平行且相等，从而平面，又，所以，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，，，由平面几何知识，得.则，，，，所以，，.设平面的法向量为，由，可得，令，则，，所以.同理，平面的一个法向量为.设平面与平面所成角为，则，所以.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重点考查了空间向量的应用，属中档题.18．（1），乙公司影响度高；（2）见解析，【解析】

（1）利用各小矩形的面积和等于1可得a，由导游人数为40人可得b，再由总收人不低于40可计算出优秀率；（2）易得总收入在中甲公司有4人，乙公司有2人，则甲公司的人数的值可能为1，2，3，再计算出相应取值的概率即可.【详解】（1）由直方图知，，解得，由频数分布表中知：，解得.所以，甲公司的导游优秀率为：，乙公司的导游优秀率为：，由于，所以乙公司影响度高.（2）甲公司旅游总收入在中的有人，乙公司旅游总收入在中的有2人，故的可能取值为1，2，3，易知：，;.所以的分布列为：123P.【点睛】本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望，考查学生数据处理与数学运算的能力，是一道中档题.19．（1）证明见解析（2）【解析】

（1）利用线段长度得到与间的垂直关系，再根据线面垂直的判定定理完成证明；（2）以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，计算出结果.【详解】（1）∵，，∴，∴，∵，平面，∴平面（2）由（1）知，，又为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，∵，∴，设是平面的一个法向量则，即，取得∴∴直线与平面所成的正弦值为【点睛】本题考查线面垂直的证明以及用向量法求解线面角的正弦，难度一般.用向量方法求解线面角的正弦值时，注意直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值.20．（1）降低（2）【解析】

（1）计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率，和不进行处罚时行人闯红灯的概率，求解即可；（2）闯红灯的市民有80人，其中类市民和类市民各有40人，根据分层抽样法抽出4人依次排序，计算所求的概率值.【详解】解：（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率为；不进行处罚，行人闯红灯的概率为；所以当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低；（2）由题可知，闯红灯的市民有80人，类市民和类市民各有40人故分别从类市民和类市民各抽出两人，4人依次排序记类市民中抽取的两人对应的编号为，类市民中抽取的两人编号为则4人依次排序分别为，，，，，，，，，，，，共有种前两位均为类市民排序