浙江省全国高中数学联赛模拟练习十一

在国数学联赛模拟试题一

1、已知函数f(x)对一切实数x满足f(2-x)=f(2+x),f(5+x)=f(5-x),且f(0)=0,

则函数f(x)在上至少有个零点。

2、已知关于x的不等式lx+3l+lx-5l<a的解集非空，则a的取值范围是。

3、已知P是直线y=x+l上一点，M、N分别是圆(x-3)2+(y+3)?=1与圆(x+1)2+(y-4)

2=1上的点，则IPMI-IPNI的最大值为。

343437r34

4、将四个数sin(cos——),cos(sin--),cos(cos—),sin(sin—)按从小到大的顺序

8888

排列，结果是。

5、已知多项式的展开式俨^+苫缴'2户”=旬+。/+。2/+—+。,1，

mila\a2，“4"54〃ai“8*......一

则n为丁彳+n「-"-耳-万+--------------°

6、正四棱锥P-ABCD中，斜高为1,侧面与底面成60°角，E、F分别是BC、CD的中点，

则底面中心0到截面PEF的距离为。

7、已知方程X3-7X2+1=0的最大实根为t,则「叫被7除的余数为。

8、设n23,Sn是集合｛1,2,3,……，n｝的具有下面性质的子集的个数：这些子集至少为二

元子集，同一子集中的任两个元素的差的绝对值大于1，则$0的值为。

aa+a

9、数列｛%｝定义为：&=0，%=的=1，n+t=nn-\(n2N*),求出噂与“1998的公约

数。

10^已知定点M(-1,2),直线小y=a(x+l),曲线C：y=Jx2+l,与C交于A、B两点,

N为线段AB的中点，直线/2经过M、N两点,且在x轴上的截距为m,将m表示为a的函

数m=f(a),设g(m)=----,求g(f(a))的值域。

m+1

11＞二次函数f(x)=ax?+bx+c满足条件：

③当xW(0,2)时，f(x)W

①f(-1)=0；②当xWR时，f(x)2x；(%+1

4

若X1、X2、x3S(0,2),且■^•+[*+'•=3,求f(x()f(x2)f(x3)的最小值。

全国数学联赛模拟试题二

1、方程=28$、的解是。

2、从数字1,2,3,4,5中随机抽取3个数字(允许重复)，组成一个三位数，这个三位数

的各位数字之和等于9的概率为。

3、从1至144的自然数中任意取出3个数构成以整数为公比的递增等比数列，不同的取法种

数是o

4、已知a、b为正实数,。为参变量，则满足xsin。-ycos。=Jx?+灯和

星吸+=㈣=一二的点(x,y)的轨迹方程是____________o

erbx+y

5、整数(1+V2)，，，)O的个位数字是。

6、若实数。使得不等式|2x-a+|3x-2HNa2对任意实数x恒成立，则实数。的取值范围是

_____O

7、设函数f(x)：RfR,且满足：对任意的x,y£R,f(x)f(y)=f(2xy+3)+3f(x+y)

-3f(x)+6x,则f(x)=o

8、一棱长为1的正方体封闭盒子中放有一半径为r的小球(2rVl),若将盒子任意翻动，则

小球达不到的空间的体积是o

2

9、已知数列｛为｝满足。产的=7，a,,.,an+1=a„+2009(n22),试求々“。+“2期的值。

_^2010^2009_

c

10、已知。i，a2,a3,b、,b2,/£N*,且q+的+的=4+4+4，%a2h=瓦b2b3,

%a2+%。3+a2a3*瓦b2+ab?+b2b3,求max{%,a2,a3,4,b2,&}的最小值。

11、已知椭圆*■+亲■=1(。＞b〉0)的焦点在x轴上，过椭圆的右焦点F(c,0)作互相垂

直的弦AC和BD,若四边形ABCD的面积的取值范围是，求椭圆的方程。

全国数学联赛模拟试题三

1、已知sin（a+20）=3sina,且B#竺，a+B#〃万+工，n、k£Z,则3n（。+夕）=____。

22tanP

2、已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是4SBC的垂心,SA=1,

则此三棱锥的体积的最大值是o

3、若（尸+—2）。=a。+。］（x—1）+—1）+…+a1］（x—1）,

贝！J（q+3%+…+11%］I—（2。）+4%+••,+1（I。］。=。

4、斜率为1的直线/与椭圆/+匕=1交于A、B两点，P为线段AB上一点，且IAPI=2IPBI,

4

则点P的轨迹方程是O

r\

’2+x,x>0

5、已知r（x）=h，记/（x）=r（/"T（x）i〃=2,3「・・，用表示不超过x的最大

—,x=0

111

整数，则------+—+•••+------

i+/'（o）i+/2（o）i+r（o）

6、已知/（a,。）=a；+2asin6>+2,则6）的最大值为

a+2。cos。+2

22

7、已知不等式log,［\lx+ax+5+l）-log5（x+ax+6）+log„3>0有且只有一个实数解,

则实数a的值为。

卜2+22+…+

8、设正整数n22,则使得J---------------为整数的最小正整数n为。

Vn

9、设边长为1的正AABC的边BC上的n等分点沿点B到点C的方向依次为口，P2,

Pn-i9若Sn=AB•APy+APy•A舄+....+APn_y,AC，求SnO

10、已知椭圆E：=+5=l(a>b〉0),A、B是上半椭圆E上的两点。

ab

(1)求证：椭圆E上点A(X”力)处的切线方程是誓+绰=1；

a~h2

(2)设A、B两点处的切线相交于点P,OP交椭圆E于点Q。求证：直线OP经过弦AB的

中点，且Q点处的切线平行于弦AB。

11、已知函数/(x)=ln(x+02

+—g(x)=lnx<>

X

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)如果关于x的方程g(x)=gx+m有实数根，求实数m的取值集合；

(3)是否存在正数k,使得关于x的方程f(x)=kg(x)有两个不相等的实数根？如果存在,

求k满足的条件；如果不存在，说明理由。

全国数学联赛模拟试题四

1、点O为^ABC的内心，AB=6,BC=7,CA=8,非零实数x、y、z满足

xOA+yOB+zOC=0,则x：y：z=。

2、已知正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是AB、AA|的中点,则平面CEBi与平面DAF

所成的二面角的正弦值为。

TT

3、函数y=sin(§+x)-sin3x的最大值为。

22

4、过椭圆二+匕=1的一个焦点的弦被焦点分成1：2的两段，则此直线的斜率为。

34

5、若方程优=x(a〉0,aw1)有两个不等实根，则实数a的取值范围是。

6、设m、n为正整数，若存在正整数k,使log2m,log2n和log2k这三个数能组成一个三角形

的三边长，则称k为一个“好数”。现已知恰存在100个“好数”k,则mn的最大值为o

37911

7、已知正项数列｛。“｝满足为=士，——v一一T，则数列｛4｝的前n项和

2(〃+2)〃

Sn=o

8、设集合S=｛1,2,3,4,……,15｝,A=｛a,b,c｝是S的子集，且lWaVb〈cW15,

c-bW6,则满足条件的子集A的个数为o

9、设。为实数，记函数/(x)=aJl+Jl+r+Jl-x的最大值为g(\),求g(〃)及

g(a)的值域。

10、设点P(xo,y0)在直线x=m(y#±m,0<m<l)上，过点P作双曲线x2-y2=l的两条

切线PA、PB,切点为A、B,定点

(1)求证：三点A、B共线；

(2)过点A作直线x=y的垂线，垂足为N,试求aAMN的重心G所在曲线的方程。

+,

11、在数歹U{%}中，%=2,an+1=/h„+Z+(2-2)2",其中2>0,问是否存在kGN*,

使得4包4&±L对任意nGN*均成立？证明你的结论。

anak

全国数学联赛模拟试题五

1、已知函数/(x)=ox2+bx+c,对于任意XG,恒有|/(》一2)区2,则XG时12ax+2/?-44

的范围是。

2、已知抛物线y2=4x及其上一点P,焦点F(l,0)和A(5,2后)，则|尸产「+归1的最

小值为«

3、正三棱柱ABC-A|B|G中，其高与底面边长相等，AB的中点为M,AiG的中点为N,则

过Bi、M、N三点的截面将三棱柱分成两部分的体积之比的值为«

“2_"

4、已知数列｛%｝满足%=1,4=2,且n己2时,2nan_2-(n-1)an=------，

a

n-i

贝Ia6a7-o

x2-y2=2(xz+yz+x+y)

5、方程组，>2一z?=2(yx+zx+y+z)的解的个数是。

z2-无2=2(zy+xy+z+x)

6、钝角AABC中，(2sinC-l)sin2A=sin2C-sin2B,则sin(A-B)=。

7、£4c：的值为。

k=0

8、方程Y+(2。-3)盯-=0表示的两条直线的夹角的取值范围是

9、x、y、z、,B.tanx+tany+tanz+tanw=1,

2222

求证：sinx+siny+sinz+sinw>—0

——-----(0<pVl且pW,)，求lim疯"的值。

10、数列｛凡｝满足:。I=1,an+i

pan+1-p2"I-

11、已知两定点A(I,0),B(0,-2),O为坐标原点，动点C满足反=。方+/无，其

22

中a、pER,且a-2B=l,若点C的轨迹与双曲线3■一2r=1(。＞0,匕＞0)相交于M、N

ab

两点，且以MN为直径的圆经过原点，若双曲线的离心率不大于百，求a的取值范围。

2010全国数学联赛模拟试题六

,ln（x2-3）

1、lim—x----L=___________o

x-2x-2

2、£=（1,血），彳=若正数k和t满足向量7=1+（产+15与欧=—女7+；彳垂

直，则当k取最小值时，t=。

3、在AABC中，已知AB=®6,cosB=—,AC边上的中线BD=JF,则sinA=

36

4、设a、beR,关于x的方程（x2-ax+l）（x2-bx+l）=0的4个实根构成以q为公比的等比数

列，若qG-,2,则ab的取值范围是。

5、已知非等边三角形aABC中，以点B、C为焦点，过A作一支双曲线，以点C、A为焦点,

过B作一支双曲线，以点A、B为焦点，过C作一•支双曲线，则这三支双曲线的公共点的个

数为。

6、•个五位数是凸数当且仅当。<b<c>d>e,则凸数的个数为。

7、一个球外接于四面体ABCD,另一个半径为1的球与平面ABC相切，并且两球内切于点D,

4V2

若AD=3,cosZBAC=-,cosZBAD=cosZCAD=—,则四面体ABCD的体积为_______。

52

8、直角坐标平面内直线即=以+2006!+6中的。、b取自（1+4）°°°展开式中x的整数次

寨前的系数，则各组（。，匕）可确定的不同直线的条数为。

2

9、设X］、X2、X3G,X1X2X3=,试求X1X2X3的最大值。

10、一种排卡游戏规则如下：将写有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张卡片随机地排成一

行，若第一张卡片（左起）上的标数为k,则将前k张卡片逆序排过来称为一次操作，无法操

作时（即第一张卡片上为“1”）游戏停止。如果一个排列无法操作，且恰好由唯一的另一个

排列经过1次操作得到，则这个排列称为“二次终止排列”，在所有可能的排列中，求“二次

终止排列”出现的概率。

11、已知椭圆C1：=+与=1(。>6>0),动圆C2：x1+y2=R',其中b<R<。，若A

ab

是椭圆G上的动点，B是动圆C2上的动点，且使AB与椭圆C,和动圆C2均相切，求A、B

两点的距离IABI的最大值。

2010全国数学联赛模拟试题七

X

1、已知x>%>0,攵为常数，则/(%)二——的最小值是

x-k

2、已知数列｛a〃｝满足(n+1)an+i=an+n,且。[=2,则。

3、方程组[应-2)"=3共有_______组整数解。

[xt+yz=1

4、已知Q是锐角，P是钝角，且sec(a-2B),seca,sec(a+2P)成等差数列，则

cosa

-------=_____________o

COS0

5、已知正方体ABCD-A]B|GD|的棱长为1,在对角线AC上取一点P,过P、A|、B1三点作

平面与底面所成的二面角为a,过P、B|、G三点作平面与底面所成的二面角为B,

则(a+B)min=。

6、已知集合A=｛zlz2"T=2,zGC,ndN,n22｝,在复平面上，以A中的复数的对应点为

顶点可构成f(n)个直角三角形，则f(n)=.

7、平面上整点到直线y=+的距离的最小值为o

2

8、数列｛｝定义如下：a,=2010,---,nGN,n22,则lima“=.

9、设可，0A2,……，西是平面上的n个向量，且满足卫|西卜1。

求证：在上述n个向量中必可找到若干个向量，它们的和的模不小于工。

4

10、求所有的a°eR，使得山区川=2"—3a"(nCN)所确定的数列凡是递增的。

11、在抛物线y2=2Px(p>0)的对称轴的正方向是否存在一点K,使得对于经过点K的抛物

线的任意一条弦AB,总有」y为定值？证明你的结论。

|心『

2010全国数学联赛模拟试题八

1、已知函数f(x)=a/+bx+c(a、b、。6口且。*0),满足条件：对任意实数x都有

f(x)22x,且当0<xV2时，总有f(x)W&业成立。则f(-l)的取值范围是o

2

2、已知。、b、ceR+,Rabc=8,则。1082。+匕1。82。+。1。82。的最小值为

2x

22

3、过圆O：x+y=-上任意一点P(xo,yo)(xoyo^O),引圆O的切线1,1与椭圆另+产=[

32

交于A、B两点，则NAOB=o

4、多项式(1+X+/+……+%必丫的展开式在合并同类项后，的系数为。

5、一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触，小球上有一点到这三个面的距

离分别是3、3、6,则这只小球的半径是。

6、设4=1,an+i=1+—(n&N*),则lim^==_________

annf841tl

3”万

7、已知f(x)=-----------,记=f\,则4+。］+%+…+”2009

cosx+cos2x

8、设集合A={1,2,3,4,5,6},f是A到A上的---映射，若对任意的x£A,

有f(f(f(x)))=x，则这样的映射有个。

22

9、A、B是椭圆C：二+乙=1的短轴两端点，P是椭圆C上任意一点(异于C的顶点),

43

PA、PB分别与x轴交于M、N两点,记过M、N两点的圆为E。过O作圆E的一条切线,

切点为F,求点F的轨迹方程。

10、定义域为R的函数f(x)同时满足以卜3个条件：

①x>0时，f(x)>0；②f(1)=2；③对任意的m、nWR都有f(m+n)=f(m)+f(n)»

设集合人={(羽+(3/)+/(4力v24},8={卜%0/©)+/(3)=0},

(x,"(x)=g/(产)+/(办

c=《o若AABW①且ACCW中，试求实数。的取值范围。

1。

II、已知数列｛4“｝的首项%=-,an+l=—(〃eN)。

22an+1

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)求证:a£+qC+…+%玛2、一

2010全国数学联赛模拟试题九

1、设f(x)是连续的偶函数，且当x>0EI寸，f(x)是单调函数，贝IJ满足f(x)=/［三g)的

所有x之和为。

2、ZiABC的三边长a、b、c均为整数，且a+c<3b,若b为常数,则满足条件的三角形

有个。(结果用b表示)

3、若实数x,y,z满足+y+z=1，则xy+3yz的最大值为。

4、设数列｛。“｝满足女一ln〃，若出和的两项中至少有一项是数列｛4｝的最小值，则实

数k的取值范围是o

5、在空间四边形ABCD中，AB=J7,BC=4,CD=11,AD=12,则正・前=。

6、已知抛物线X?—圭)和直线x-y+n+l=O,n依次取1,2,3,……时，直线截抛物

线所得的弦长为\AnBn\,记an=二,S”为｛。“｝的前n项和，则S2oio=。

冗

7、函数y=sin4xcosx+sinxcos4x,0<x<—,的最大值为。

8、已知f(x)=2010,-2011+2010-x,设乂、m分别为f(x)的最大值和最小

2010'+1fc2010+x

值，则M+m=o

9、数列｛g｝定义如下：q=l,3“+1=)1+。；数列｛2,｝定义为a=2"。”。

(1)求｛。“｝的通项公式;

7T

(2)证明对一切ndN*,有5<b“W2。

TTx=l+8cos。

10、过点p(-1,-1)且倾斜角为一的直线交曲线G：L（。为参数）于A、B

3y=4v2sin^

2

两点，Q为圆C2：(x-1-8cos^>)+(y-4A/2sin=2上的一点，由点Q向圆C3：

々一1)2+丁=8引两条不同的切线，分别切圆C3于M、N。

(I)求点P到A、B两点的距离之积；

(2)求西•丽的最小值。

11、证明：任给4个两两不同且绝对值小于1的实数，其中必存在两个实数x、y满足

0<-丁-yj]―/<等。

2010全国数学联赛模拟试题十

23

1、方程logVx+log,x+log4x+log8x+logl6=40的解是

2、设数列｛%｝满足3a用+%=4,且％=9,前n项和为S”则满足不等式⑹“-〃-6|〈茂

的最小正整数n是„

3、已知。、b-CGR+,则max，。,26,3。，7^=卜］勺最小值为。

1AC

4、已知四面体ABCD的体积为一，且满足NACB=45°,AD+BC+——=3,则CD=______。

6V2

11「21「9

5、用表示不超过x的最大整数，若实数r满足r+—+r+—+…+r+—=122,则

6、过椭圆工+二=1内一点(后行)作两条弦AB和CD,过A、B作椭圆的两切线交于E,

过C、D作椭圆的两切线交于F,则直线EF的方程是。

7、甲和乙轮流掷一个均匀的硬币，谁先掷出正面谁获胜，他们玩了n次，而目前一场的输家

下一场先掷，若甲第一场先掷，则甲赢得第5场的概率为.

8、已知函数f(x)=log,(ax2—x+；)在上恒正，则实数a的取值范围是。

9、设函数/(外=羽工一疝，其中人＞0。

(1)求人的取值范围，使得函数f(x)在上严格单调递增。

解不等式f(2x+l)

2

全国数学联赛模拟练习十一

1、已知定义在闭区间上的两个函数：g(x)=2X3+5X2+4X,f(x)在的值域为。若对于任意的

X|G,总存在X2W,使得g(X2)=f(X|)成立,则k的取值范围是O

2、设周期函数f(x)是定义在R上的奇函数，且=若f(1)>-2,

3

f(2009)=m——,则m的取值范围是。

m

3、已知数列｛4｝的通项公式是一1,若对于所有的正整数n,恒有不等式

cos------sin—>3mcos----------3msin-------成立,则实数m的取值范围是.

ana„33

4、一座31层高的办公大楼，最下层叫0层，最上一层叫30层。一部载人电梯在工作时间开

始时在第。层，开了一段时间，电梯停在第11层，此时，有一段时间在各层均没有人上下，

电梯服务员有了一些休息时间，她在思索：“如果电梯把下的楼层都改为上的楼层，此时电梯

会停在哪一层呢？"她有四个答案：

①可能停在第30层；②可能停在第28层；③不可能停在第30层；④不可能停在第29层。

这位电梯服务员的正确答案是。

5、一个半径为26-2的球放在桌面匕桌面上的一点Ai的正上方有一个光源A,AAI与球

相切，AA,=4,球在桌面上的投影是一个椭圆，则该椭圆的离心率等于。

2—►—►—►

6、已知0为AABC的外心，AB=2a,AC=-,ZBAC=120°,若40=a46+B4C，则

a

a+B的最小值等于o

7、若nWN*,则1+f(-咪C,"+号=----。

k=\(1+nx)

8、定义/(〃)=£，］，其中表示不超过实数x的最大整数，贝”(2010)1(2009)=。

9、已知点P„(an,bn)满足a“+i=anbn+l,bn+i-bn=4a^bll+l,且点P,(1,-1)»设对任

意的nCN*点P”均在同一条直线L上。

⑵若对任意nGN*,不等式在(1+《)文———成立，求实数k的最大值。

10、已知抛物线x?=4y,过定点Mo(0,m)(m>0)的直线L交抛物线于点A、B,当m>2

时，在抛物线上存在不同的两点P、Q关于直线L对称。问弦长IPQI中是否存在最大值？若存

在，求其最大值(用m表示)若不存在，请说明理由。

11、已知曲线C：>=6衣卜>0)。点A、B是x轴上关于坐标原点对称的两点，过A、B作x

轴的垂线交曲线C于点P、Q,过点P、Q作曲线C的切线，P、Q为切点。证明：两条切线

的交点的横坐标是正数。

全国数学联赛模拟练习十二

1、若满足7](a+b+c)的奇三位数次的个数为S,偶三位数赤的个数为T,则S-T=o

2、正三棱锥V-ABC的侧棱长为3,底面边长为2,过底边AB的截面交侧棱VC于点D,则

截面ABD面积的最小值是。

3、使函数y=-4x+3“？TT取得最小值的正数x=。

4、cos550cos65°sin85°=。

5、若经过点pf-3,-的直线L被圆x2+y2=25所截得的弦长为8,则直线L的方程为。

6、已知正数x、y、z满足9x?+12y2+5z2=l,则3x+6y+5z的最大值是。

7、将集合M=｛1,2,3,……，24｝分成A、B、C、D四个六元子集，使得每个子集的元素之

和S(ASS(B)、S(C)、S(D)均为平方数。记S(A)=a2,S(B)=b2,S(C)=c2,S

(D)=d2,其中a、c>dGN*,贝ija+b+c+d=«

8、将小于100的九个互异的正整数分别填入一个3X3的

方格表中，使得表格的每行三数、每列三数都成为勾股数组。

在右图中填出你的填法。

9、数列｛a.｝满足％=2,出=7，a”+2=3a“+i+2a”。

证明对任意的nWN*,%,一可表为两个正整数的平方和。

22

10、给定椭同I----F--=1以及点D(10,0)(>

16925

(1)求r的值，使得对于椭圆的长轴顶点A(-13,0),存在椭圆上的另两点Mi、M2,满足

以D为圆心、r为半径的圆D是△AM1M2的内切圆；

(2)证明对于椭圆短轴顶点C(0,5),也存在椭圆上的另两点N|、N2,使得圆D是△ANN?

的内切圆，并确定此时直线NIN2的方程。

11、・平面与一正四棱锥V-ABCD的五个面都相交，得到一个边长为1的正五边形截面，试

求正四棱锥的体积。

全国数学联赛模拟练习十三

1、设S=[J1]+卜历]+卜8]+…+[V20W],其中表示不超过X的最大整数，则[fs\=0

2、设x>-l,y=在数轴上若y比X更接近血，则X的取值范围是。

x+1

3、在正三棱台ABC-A|B|Ci中，上底面△AIBCI面积为12,下底面4ABC面积为27,若底

边BC到截面ABCi的距离等于三棱台的高，则AAB|G的面枳为.

4、设正数仇c满足3/+2/+6。3=6,则2a+3/7+c的最大值为。

nn

5、在极坐标平面内，曲线P=l+cos|■与夕=COS,（P，9GR）的公共点个数是0

CSXCS

6、已知归,E，Zi=°2+°i<且匕|=血，若Z2=x+yi,当x、y

V2V2Jsinysinx

变化时，H-Z2I的最大值与最小值之积为。

7、设乂={1,2,3,4,5},从M中任取四个数（允许相同）作积，则不同的积的值有

个。

8、从等差数列2,5,8,……中取k项，使其倒数之和为1,则k的最小值是。

9、设q=3,+求{4}的通项公式。

an-an-\

10、设4，。2，。3,…，。2010£[-2,2],且q+。2+。3+・一+。2010=0，

试求+生^+UyH-----F^201Q3的最大值。

11、P]、P2是椭圆，+方=1（。>8>0）上任意不同的两个点，动点P在以线段PF2为直径

ab

的圆上。证明：|OP|4卜+/。

全国数学联赛模拟练习十四

1、方程万(X+工一1]=2x—1的实数解的个数为。

2、已知函数/(x)=av(优一/+3)(。>0且在区间上是减函数，则实数。的取值

范围是o

3、已知x,y,z,te(0,1),且x+y+z+t=2,则xy+yz+zt+tx的取值范围是。

4、将M={1,2,3,9}中的任意三个互不相同的数作乘积，则所有这些乘积的和S为

5、设数歹ij{4}满足q=5,a,.=屋—2,neN*,则lim—四一=__________。

28aya2---an

6、设方程xZ3x-l=0的三个实根是X],X2,X3(X[VX2Vx3),则代数式(x3+x2)(x3-x2)-(x3-

XI)的值是»

7、棱长为2的正方体在空间移动，但始终保持点A、B分别在x轴、y轴上移动，则点C1到

原点O的最远距离为。

一

8、在平面直角坐标系中，定点B在y轴负半轴匕过B的动直线L交椭圆万+>2=1于点

C、D,以CD为直径的圆恒过x轴上方的定点A,则A的坐标为.

9、一个口袋中装有n个红球和5个白球，每次摸奖是从袋中一次性摸出两个球，若两个球不

同色则中奖。每次摸奖后将球放回袋中。记三次摸奖恰有一次中奖的概率为P。试问当n为何

值时，P最大？并求出最大值。

全国数学联赛模拟练习十五

I、在锐角三角形ABC中，边BC=2,ZB=2ZA,则边AC的取值范围是=

2、已知函数f(x)=x2+ax+4+@+b(xGR,x/0),若实数a、b使方程f(x)=O有

xx

实根，则a2+b2的最小值是。

3、已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A|B|CQ|中，ZBAD=60°,长为2的线段

MN的一个端点M在DD|上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨

迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小的体积值为o

4、已知整数a、b、c、d都是偶数，且J-a=90,若a,h,c成等差数

列，且0,c,d成等比数列，贝iJa+6+c+d的值为。

5、椭圆《+亡=1的左、右焦点分别为B、F2,点P在直线L：x—gy+8+2ji=0上,

164

\PF

当/F1PF2取最大值时，~L的值为O

2

6、已知数列｛a“｝的前n项和为S”，Ji.Sn-2Sn-anSn+l=0,nGN*.则S”的表达式为。

7、已知定义在R上的偶函数f(x)的图象关于直线x=l对称，且当OWxWl时,f(x)=2jj=7

若直线y=x+m与曲线y=f(x)恰有三个交点，则实数m的取值范围是。

8、某食品厂制作了四种不同的精美卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入一张卡片，规

定：如果收集齐了四种不同的卡片便可获得奖品。若小明一次性购买该种食品6袋，则小明

获奖的概率是。

9、已知抛物线y2=4x的焦点为E过F作两条互相垂直的弦AB、CD,设弦AB、CD的中点

分别为M、No

(1)求证：直线MN过定点；

(2)分别以弦AB、CD为直径作圆，求证：两圆相交弦所在的直线经过原点。

10、设函数f(x)=x?+ax+b,数列｛a“｝、他,｝定义为％2an+i=/(«„)+15,bn=——

22+a.

已知不等式If(x)忘l2x'+4x-30l对任意实数x均成立。

(1)求实数a、b的值；

(2)若将数列｛2｝的前n项的和与乘积分别记为Sn、1,，

证明：对任意正整数n,2向Tn+Sn为定值；

(3)证明：对任意正整数n,都有2WSn<2。

11、设X|,x2>....，Xn为n(n22,nGN*)个正实数，且xi+x2+...+xn=l,将一^—

1+Xj

--一，……，--------3--------中的最大的数记为S。

1++%21+尤］+々+•**+X”

(1)令yk=l+X］+X2+...+Xk，求证：yi+y2+....+yn>一;

S

(2)对于给定的正整数n(n22),求S的最小值，并求出S取最小值时，X］，x2,…，x),的

值。

全国数学联赛模拟练习十六

1、若7xxyzabc=6xabcxyz，则xyzabc=。

2、有六位演员参加演出，六套服装可供他们选择。规定：每位演员在演出期间必须换一套不

同的演出服装。若他们第一次选择服装的方法数为m,第二次选择服装的方法数为n,则

m+n=o

3、已知P是AABC内一点，且放+2而+3正=6,记4ABP、ZXBCP、ZiACP的面积依

次为Si、S2>S3,则Si：S2：S3=。

4、设OA是球O的半径，M是0A的中点，过点M且与OA成45°角的平面截球O的表面

77r

得到圆Co若圆C的面积等于——，则球0的表面积为。

4

5、若关于x的方程cos2x+4asinx+a-2=0在区间上有两个不同的解，则实数a的取值范围是

已知x-y=l(y>0),则/(x,y)=l+x+二的最小值是.

6^

y

在平面上给定正方形ABCD,O为平面上的任意点，则比值+℃的最小值为«

7、

OB+OD

8、已知曲线C上任意一点到点A(1,0)与直线x=4的距离之和为5,对于给定的点B(b,

0),在曲线上恰有三对不同的点关于点B对称，则b的取值范围是

9、只由三个字母a、b、c组成的长度为n的一些单词将在通信信道上传输，且在传输中应满

足条件：不得有两个a连续出现在任一单诃中。试确定通信信道允许传输的单词个数。

1,1-

10、已知函数f(x)=-/+—+bx在区间内各有一个极值点。

32

(1)求/-4b的取值范围；

(2)当/-46=8时，设函数y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线为L,若L在点A处穿

过函数y=f(x)的图象，求函数y=f(x)的表达式。

2

11、如图，设抛物线C,：y=4mx(m>0)的准线与x轴交于点焦点为F2,以F,和F2为

焦点、离心率为4的椭圆C?与抛物线C1在x轴上方的交点为P。延长PF?交抛物线于点Q,

2

M是抛物线G上一动点，且点M在P与Q之间运动。当APF.F,的边长恰好是三个连续的自

然数时，求AMPQ面积的最大值。

全国数学联赛模拟练习十七

22

1、设函数f(x)=log,(x-2ax+3)(a>0)的值域为(-°°,-1J,g(x)=log2(Ax-lax+2)

2

的定义域为A,集合B=-,1,若ACBW①，则实数k的取值范围是_________。

_2_

2、使得nsinl>l+5co