中国人民大学出版社高数(第四版)一二章习题答案

高等数学习题答案

第一章

习题1-1

★1.求下列函数的定义域：

知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量X的取值的集合；

思路：常见的表达式有①logt,a.（a>0）②N/口，（口工0）③I（>0）

④arcsin(田一口])等

%H0

解：⑴y———Nl-x2=>«=>[-1,0)3。,4

x1-x2>0

X—Ijr-1

(2)y=arcsin---=一1W----<1=—1<x<3；

22

3-x>0x<3

(3)y=J3-x4-arctan—=>«=>=>XG(-x,O)u(O,3)：

Xxw0XH0

lg3r[0<3-xx<3

(4)y=>=>xe(-oo-l)u(13)：

历1。<凶-11<x,or,x<-1

0<x-l

2

(5)j=logv_](16-x)=>^1x-\=>xG(1,2)o(2,4)：

0<16-x2

★2.下列各题中，函数是否相同？为什么？

（l）/（X）=Igf与g（x）=21gx：（2）y=2x+l与x=2y+l

知识点：函数相等的条件：

思路：函数的两个要素是f（作用法则）及定义域D《作用范围），当两个函数作用法则/相同（化简

后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同：

解：⑴/（x）=lg/的定义域D={MrwO,xwR},8。0=怆%的定义域0={小;>0,工€/?},

虽然作用法则相同lg/=21gx,但显然两者定义域不同，故不是同一函数;

（2）y=2x+\,以，I为自变量，显然定义域为实数R；

x=2y+l,以】为自变量，显然定义域也为实数R；两者•作用法则相同“2口+1”

与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数;

sin

X,w<fTTTT

*3.设w(x)=«求W。）,W（一）»叭-----），奴一2），并做出函数

0,W-f44

y=0（x）的图形

知识点：分段函数；

思路：注意自变量的不同范围:

/兀、.711

解：<?>(—)=sin—=-

662

0(一2)=0；如图:

3

★4.试证下列各函数在指定区间内的单调性：

<1）y=X（―oo,l）（2）y=2x+\nx（0,-t-oo）

1-x

知识点：单调性定义。单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查定义域的

某个子区间上函数的单调性的问题.

思路：利用单调性的定义即可。

解：（1）设％],x2e（—OO,1）.当时，

%一52=77-=/y2―i<。’由单调性的定义知是单调增函数;

1—X]1—X2\1—A])(1—x2/

(2)设％],x2e(0,+co),项v%2.

,Xj-y2=(X)+In^)-(x24-Inx2)=(%1-x2)+In-

x2

由x2G（o,-w）,X,<x2.知三~vl,故M工<0（对数函数的性质），则有

y—>2v°，得结论是单调增函数；

★5.设/（x）为定义在（一/,/）内的奇函数，若/（x）在（0,/）内单调增加，证明：f（x）在

（-/，。）

内也单调增加

知识点：单调性和奇偶性的定义。

思路：从单调增加的定义出发，证明过程中利用奇困数的条件：

证明：设X1,x2G(―/,0),xl<x2»则一“2G(。，，)，—X2<—Xj»

由/(X)在(0,/)内单调增加得，/(-%2)</(-^)«(1)»又/(X)为定义在(一/,/)内的奇

函

数，则(1)式变形为一/(七)〈一/(项)，即f(x2)>/(项)，则结论成立。

★6.设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：

(2)两个偶函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数：

(3)两个偶函数的乘枳是偶函数，两个奇函数的乘枳是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。

本题可作为结论应用。

思路：按定义证明即可。

证明：设函数/(x),g(x)定义域分别是D2(D,,是关于原点对称区间)；

(1)设尸(x)=/(x)+g(x)，定义域为Die。？，显然七CD2也关于原点对称，

当/(K)，8(*)均为偶函数时，/(一“)=/(一人)十8(一X)=/(")+8(*)=尸(X)，得

尸(X)为偶函数；

当/(X)，g(x)均为奇函数时，F(-X)=/(-x)+g(-x)=-/(x)-1g(x)=-F(x)，得

户(x)为奇函数；

(2)令G(x)=/(x)g(x)，定义域为RCE>2，CD2关于原点对称，

当/(x),g(x)均为奇函数时，G(-x)=/(-%)g(-x)=-/(x\-^(x))=G(x)，得

尸(X)为偶函数；

当/(x),g(x)均为偶函数时，G(—X)=/(—x)g(—x)=/(x)^(.v)=G(x)>得广(外为

偶函数；

当/(x)，g(x)为一奇一偶时，G(-x)=/(-x)g(-x)=-/(x)g(x)=-G(x)，得G(x)

为奇函数；

★7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？

ex-e~x

(1)y=tanx-secx+]；(2)y=-------:(3)y=|xC0SA|eC0SX；

(4)y=x(x—2\x4-2)o

知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质：

思路：按定义证明，尤其先判断函数定义域是否关于原点对称，并利用基本初等函数的性质：

解：(1)f(—x)=tan(—x)—sec(—x)4-1=—tanx—secx+1»显然既不等于/(x)，也不

等于一/(x)，故是非奇非偶函数；

下面三个函数的定义域为全体实数R.关于原点对称

⑵/J+咨二,故是偶函数：

(3)/(-X)=|-XCOS(-X^C0S(_Jr)=f(x),故是偶函数；

(4)f(—x)=—x—2X—x+2)=—f(x)♦故是奇函数：

★8.下列各函数中哪些是周期函数？并指出其周期：

r3

-

X0<x<50,0<x<50

//\I

\(X/1=<23020

--50+(x-50)^1

’50cx-x—550<x

L204

★11.收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购超过100台

的，

每多订一台，售价就降低一分，但最低价为每台75元

a)将每台的实际售价p表示为订购量工的函数；

b)将厂方所获得利润L表示成订购量I的函数：

c)某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？

知识点：函数关系的建立，以及经济函数：f\x)=0<=>f(x)=co

思路：分清变量及函数关系，经济函数关系总利润L=(总收入)R-(总成本)C。

解：售价恰好降到75元时需订购的台数位竺上+100=1600,则

001

0(<JC<

⑴:。p=-⑨-前期励<%<

75,x>1600

(2)：

90x-60x,0<x<100

90-(x-100)-^

L=R—C=px—60x=<x-60.r,100<x<1600

75x-60x,x>1600

30x,0<x<100

-----x2+3lx,100<JV<I600

100

15x,犬>1600

(3)£(1000)=-—10002+31x1000=21000(元，

100

习题1-2

★1.求下列函数的反函数:

1-x

(1)y

1+X

知识点：反函数求法；

思路：解出工的过程即为求反函数的过程，直接函数的因变量变为反函数的自变量:

1—x/.\1I-yI-x

解：(i)y=——=>(l+x)y=l-x=>x=-——=>y=-—(习惯上自变量用字母i表示)

l+x\+yl+x

X

2xxX

(2)y=———=>y2+y=2=>2==>x=log2

2、+li-yi-y

X

=>y=flog----。

2l-x

Ix<0

x=0,求/(x—l),/(X2-l)：

★2.设f(x)=<0

-I0<x

知识点：分段函数的定义:

思路：代入即可：

I,x-k01a<

解:41)=0,工_+♦f(x-0%=

,x-卜0[-1

-1

1,x2-l<01，凶<1

22

0,A；-1=0=>/(X-1)=^o,凶=1

-1,公一1〉0T，W>1

★3.设函数/(X)二97,Hx)=sin2x，求了,/{/[/(0B

知识点：复合函数定义:

思路：逐层代入即可：

/(i)=o./(/(1))=/(0)=03-0=0,/｛/[/(1)])=/(o)=o

★★4.设/(%)=]匚，求/[/(x)]和/｛丹/(x)]｝。

1-X

知识点：函数的复合：

思路：同上题，逐层代入即可。

X

解:(X*\,x^—)：

/[/W]=l-2x2

X

小网]}<言卜尸=言，

1-五

xX11

定义域D：X¥1,¥1,—:——#1=>。：xwl,XR—,X¥一。

\-x\-2x23

★5.已知/[o(x)]=l+cosx»@(x)=sin；，求/(x)。

知识点：函数复合：

思路：换元法①令9(<)=，=>%=97("(此种方法要求I易解)，X、分别用0"(/)、f代:

换元法②将/b(x)]的表达式化成用表达的式子(需要技巧)，再令0(x)=f代换；

用法②:/[夕(刈=小呜I

解:=1+cosx=2cos2—=2-2sin2—,

22

令sin土=f=/(/)=2-2r'f>f(x)=2-2x2(自变量与用何字母表示无关)。

★6.设/(*)的定义域是01],求：

⑴fQ~);(2)/(sinx)：(3)f(x+a)+f(x—a)<0<<2)(4)f(^l1—X2j

知识点：复合函数的定义域：

思路：/(x)的定义域是[0,I]，表明若有/(A)，则Ae[0,1]：

解：⑴/w[o,l]=>xe[-l,1];

(2)sinxe[0,1]=>xe[O"]u....u\lkn,(2k+1)^]--•=>\2k7r,(2Z+1)乃]

X+«G|O,11fxe|-£Z,\-a\i

<3)；；；，当々<1一a时，即Ova<一时，结果为

x-ae[O,1][xG[+J,1+a\2

[a,1-6/]：当aN，时，结果为0；

★7.设f(x)=dx+E,求：(1)/(x)的定义域；(2)1{/[/(x)]}2

知识点：函数定义域及函数复合：

思路：略。

x+y[x^>0^>y[x^>-x=>xeR,故定义域为全体实数H：

解:(1)

(2)/[/M]

=>；｛/[/（x）F=；（，23+五）2='x+行

★8./（x）=sinx,/（^（x））=l-x2,求0（x）及其定义域；

知识点：函数的复合及定义域：

解：/（夕（功=sin（dM）=1-fn3（x）=arcsin（l-x2）+2k冗,

Mr）的自然定义域为一141—YA]，即一直工工“直

习题1-3

★1.观察一般项％如下的数列卜〃｝的变化趋势，写出它们的极限:

=(一*⑶怎=2+5；..n-2

<1)x=-⑵匕⑷%=-----

n”3〃〃〃+2

⑸x〃=(T)”〃

知识点：数列定义。

思路：写出前几项，观察规律。

111J_

解：⑴f0；

?5'27,81

(2)——>0；

'2y~34,5

1r1cle1

(3)2+1,22+—,2+—,2-2；

2764+岳'

4.4.44.1

(4)=>1——,1——.1——,・・•]------->1

n+2345100

(5)—1,2—3,4,----->oo

★★2.利用数列极限定义证明；

（1）（攵为正常数）：（2）limits=2.（3）Um二12_sin〃=0。

知识点：极限定义。

思路：按定义即可。

证明：（1）lim=0：对任意给定的正数J要使*<〃，只要取

M->00〃*n

1V<£，即lim4=0

N=,则对任意给定的£>0，当n>N时，就有

n—>c©

（注，只要保证N的取值能够让N以后的所有项的值满足*式即可，因此Nn：取大于或等于

的整数）;

3〃+137

（2）lim=-：对任意给定的正数£,要使*<£,只要

"廿4〃-144n-l44(4/j-l)

7+4e3〃+13

”簧一•.取N=,则对任意给定的£>0,当〃〉N时，就有<£,

16e4n-l4

1+3〃3

・・lim-------=—

4〃-14

,八vn+2.

(3)lim-......sin/i=0

"f%n-2

n+2.〃+2

证明：由于.sinn0<

n2-2n2-2

〃"+2.八1

因此对任意给定的正数%要使f一~-smn-0<£,只要一-<£,即〃>，+2

n2-2n-2

（计算时为方便不妨设〃>2,因为前面的有限项对极限无影响）

..1_〃+2.八

UzN=-+2,则对任意给定的£>0,当">N时，就有二一~-sinn-0<£,

£n--2

〃+2

・•・lim-y^=-sin/z=0

〃廿n-2

★3.设数列kJ的一般项=1cos问limx”=?求出N,使得当时，血与其极

n2-

限之差的绝对值小于正数当£=0001时，求出N。

知识点；数列极限定义

思路：按极限定义即可

解：观察可得：lim^cos”=0,证明该结果如下:

n2

1<£，只用

由于一cos,因此对任意给定的正数£,要使<£，即

nn

取N=［：］（N取大于或等于［g］的整数都可以）

,则对任意给定的£>0,当n>N时,

1nKJin7r

就有一cos—q<£,/.lim—cos—=0。

n2|f〃2

当£二0001时，可取N=1000。

i1.〃万

★4.设。〃=1+-sin—,证明数列｛〃J没有极限。

nJ

知识点：判定数列极限不存在的方法

思路：若某数列极限为A,则其任意子列的极限都为A,因此，若某两个子列极限不同，则说明原数列

极限不存在。

(1).2ATF、

证明：令〃=23kwN、则得子列。2A=1+—sin---,当“Too时，左一>00；

I2k)2

.I,1\.2k%

则lim]+—|sin-2-=0：

kTBI2k

取另一个子列〃=44+1,kQN,

.(4k+1)万sin2k7r+—i,

得a4k+\1H--s-i-n------1+----

4Z+1J2依+1【2

当〃Tco时，2—>8,贝ijlim1+=lim1+^—=1

AT8I4)1+1；2k*4k+1

综上，原极限不存在。

★5.设数列｛%J有界，又limy”=0,证明：limxnyn=0«

知识点：数列有界及数列极限定义

思路：有条件可知kJ<M:［笫|<£］，如何让两者结合，证明|怎切<£成立，是解决问题的关键。

证明：①数列｛五｝有界,则存在正常数M,使对任意〃，都有闻4M,则|盟为14MM;

②limy”=0,则对任意正数%,存在N,当">N时，有

W->30

则对于任意正数£,取与=菅，由②可知：存在自然数N,当〃>N时，有|)"三与=焉，

£

从而有：<Mx--=e

1"niM

=°

n—>oo

★6.对数列卜四〃},若limx2Kt=〃，lim=。，证明limx=〃。

Jt-KOk-w—w—>oon

知识点：子列极限和原数列极限的对应关系;

思路：对\/£>0,根据条件，寻找使卜“一《<£成立的〃的范围。

证明：对于X/£>0,由lim=〃，则存在N「当2k-l>N1时,

k-yx>

由limx=a,则存在Na,当2k>N2时，<£：

k-yx>2k

取2V=max{/V],7V2}»当〃〉N时，（无论九=2左一1还是〃=2々）

习题1-4

★1.在某极限过程中，若广(X)有极限，g(x)无极限，试判断：/(x)g(x)是否必无极限。

知识点：函数极限性质

思路：举例说明即可

解：/(x)g(x)可能有极限，举例如卜.：

令/(x)=x，P(X)=sin—»limx=0.limg(x)不存在，但limxsin，=0；

Xv-*O.r->0x-»O*

★★2.用函数的极限定义证明：

2x+32sinx

(1)lim=-；(2)rIim=0

3x3fa〃

2

Irx-1

(3)lim-----=1：(4)lim------=2

x->2无_1】TlX"-X

知识点：函数极限定义

2x+32

思路：对于Ve>0,找出符合要求(比如〈1)中要求<c)的I范围，即找到描述自变

3x3

量范围的X或b：为了找到X或3,有时需要对不等式作适当的放缩。

证明：⑴任意正数£,要使/(1)一d-------==<£,即同〉L

3x3l.xi£

1।J..2x+322X+32

只要取X=2,当X>X时，有丁-----；，即］淅=W

£113x3A23x3

(2)任意正数鼠

11sinx

工当丁<£,即时,-0<£,

4x

srnx

.•.取X=与，当x>X时(因为已知x>0),有<£即hm-0

1x-2

(3)由于=一--1=——(为找到0<,一2|<6中的5不妨将I范围限制在

XIXr1

以一2|<；内，因为当时/(x)的极限,只和毛附近的工所对应的函数值f(x)有关)

1

不妨设上一2|<—>

2

对任意正数£，要使彳,一2|<£,只要卜一2|V]£

取6=面艮」三<衿2|与如2|

,当0<x-Z时,<£同时成立,

22X-]JD

x-22

・•・有|〃x)-小<—\X-2\<£,lim-^―=1

X-13Kf2x-1

心）十犯-2X-113

(4),不妨设—,则上v<<』,则

X22

x-\lx-11..

<丁丁=半一1

/2

对任意正数鼠要使2|工一1|<£,只要卜一1|<£/2,

取6=11±1.1，；｝,当0<卜_1|<3时，]/(力_.=x-\

<2|x-l|<f,

X

・・・lim4^=2

XT1X-X

★3.当X-2时，y=/一>4,问b等于多少，使得当0<,一2|<方时，卜一4|<0・001?

知识点：函数极限定义

思路：由于考察的是x-2时函数的极限，所以不妨在卜一2|<1（即l<x<3）范围内讨论，这样

的方法在极限证明中经常用到。

解：（不妨设则

2要使一只要

|y-4|=|x-4|=|x-2|-|x+2|<5|x-2|,5,2|<0・001,_2|

.,.取8=°,=0.0002,则当0<,一2|<5时，卜一4|<0001

（注：b还nJ•选取比0.0002小的数，只要保证|了一4）<0-001即可）

★4.求/（+崛除

知识点：数列极限：

0,x=0

0,x=0

解：/(x)=lim—?—lim-%,xw0=«1（所用到的性质见第六节）;

八)…加+2

X+-

z\1x1

★5.讨论函数/（1）=」当x—0时的极限。

X

知识点：左右极限：

思路：求分段函数在分段点处的极限，首先要分别求出左右极限:

又lim/（x）=A<=>lim/（了）=4且limf（x）=A

XTXlXT%/XT-.q.

=<x>0

解：:/W=—

X1x<0

:.lim/(x)=lim1=1：limf(x)=lim-1=-1；

x->0+x->0+x->0--x->Q-

limf(x)不存在

x->0

★6.证明：如果函数/（x）当Xf%时的极限存在，则函数/（x）在工（）的某个去心邻域内有界。

知识点：函数极限和局部有界的定义

证明：设lim=A,则对于任意正数£,存在正数6,当0<卜一玉时，有|/（。一4|<£,

Kf殉

即A—<A+E,取M=rmx{|A—£|,|A+£|卜则:

・,.当0<卜一为|<5时，

★7.判断lime”是否存在，若将吸限过程改为x->0呢？

知识点：函数极限，以及指数函数性质（图像）

解：Xf+8n'f（）+=>lime乂=1；（严格来说要再用极限定义证明，但可省略，下同）

xip

x—>0+=>——>4-co=>lim屋=4-00；

xif

11/

X—>0=>--->-oo=lim=o,

x

故lime'不存在

习题1-5

★1.判断题：

（1）非常小的数是无穷小；（2）零是无穷小：（3）无穷小是一个函数；（4）两个无穷小的商是无穷小；

<5）两个无穷大的和一定是无穷大；

知识点：无穷小，无穷大的定义和性质；

思路：略。

解：（1）错，因为无穷小是指极限为。的变量，而不是非常小的数。

（2）对，因为。的极限为0,所以。是无穷小，只有零作为常函数的的时候才是无穷小，其他常数都不可

能是无穷小

（3）对

X

（4）错，两个无穷小的商未必是，例如］imx=O=lim-=l

x->0

（5）错，如：Xf+oo时，X）及一X、2x都是无穷大，但x+（-x）是无穷小，而x+2x是无

穷大

★2.指出下列哪些是无穷小量，哪些是无穷大量

（1）—㈠）（…8）.（2）smx（x-»0）：⑶岩「2）

n14-cosx

知识点：无穷小，无穷大的定义：

思路：求出极限即可（并利用无穷小倒数是无穷大的结论）

x2—4

解：（1）姑无穷小量：（2）是无穷小量：（3）------>0,则学->2）是无穷大量:

X+1x--4

★3.根据极限定义证明：y=xsin，为Xf0时的无穷小：

x

知识点：函数极限定义：

思路：按定义证明；

证明：即要证limxsin^=o：

sOX

由于xsin一一0〈凡・•・对任意正数比当|目<£时，就有xsin-<£,则取b

xX

当0<N<b时，xsin'<£,证毕。

★4.求下列极限并说明理由：

3x+2V厂一4

⑴lim二三：（2）hm-----：(3)lim--------

XBxJ。x—2X->O1-COSX

知识点；无穷小和无力大的关系；

思路：先将函数作一定的化简；

解：⑴lim注E=lim3+2=0

（依据无穷大的倒数是无穷小）

x->oo4月一>oo%

1.x2—4.(x—2)(x+2)....

(2)lim------=lim-----------=limx+2=2

x->0X—2x->0x—2x->0

（3）x0cosx—>1=>1-cosx->0,乂无穷小的倒数是无穷大,故lim-=--O-O--O--

.ioi-cosx

★★5.函数y=xcosx在（一8,+8）内是否有界？当xf时，函数是否为无穷大？为什么？

知识点：函数有界的定义及无穷大的定义；无穷大一定是无界的，但无界未必无穷大；本题为无界变

量不是无穷大的典型例子。

思路：证明不是无穷大，只需要找到/—>+不时，函数y=xcosx的一个无穷子列，其极限不是无穷

大即可。

解：•.,对任意M>1,总可以取％=2加k，有/cos/=2也卜>财

・•.y=xcosx在(-8,+oo)上是无界的：

又因为当％=2人用+工时，％—+<x>nxf+8：此时lim2抬r+：cos：=0,

272)(2)

・•・y=xcosx不走xf+oo时的无穷大

★★★6.设Xf/时，g(x)是有界量，/(X)是无穷大量，证明：/(x)±g(x)是无穷大量。

知识点：函数局部有界和无穷大的定义。

思路：可利用不等式|/(x)土g(x)|>|/(x)|-|g(x)|,及已知条件：g3是有界量，/(X)是无穷

大量，证明结论。

证明：时，g(x)是有界量，知存在正常数凡及，当0<卜一小|<5]时，|g(x):

对任意常数M(无论有多大)，不妨设/时，/(X)是无穷大量，

・..对于=2也，存在正常数^2,当0<卜一天)|<&时，|/(工)>“2=2M；

综上，无论M多大，总可以取5=nin(司，3),当0<,一飞|<5时，

|g(x)<Mi和|/(x)>M2同时成立；

则有|/(x)±g(M可/㈤一心国〉心一”1>M成立，即/(x)±g(x)是无穷大量。

★7.设XT/时，|g(x]zM(M是一个正的常数)，/(X)是无穷大量，证明：y(x)g(x)是无

穷大。

知识点；无穷大的定义；

证明：♦・•/(X)是无穷大量，则对任意>0,存在正常数6,当O<k-Xo|<b时，|/(x)>M],

又.♦,这时由历.加1的任意性，知〃x)g(x)是无穷大

习题1-6

★1.计算下列极限:

X2-3%2—2x+1

（1）lim.lim2-l+±.

lim2（3）

x->v3X2+1X->1X~•一巩XX~

..X2+x..—6x+8..—2x^+x

⑷hm（5）hm-....-----（-6-）hm——：--------

x-3x2+1Ix-5x+41°3x~+2x

⑺：1cosx

lim©。⑻(9)lim

、一»s-±1

71TohX八2X)MT"

正舁2

lim..x3+2x2

(10)(11)lim----------；(12)limx\yl+x-x].

32+VxT(X-2)2XT+00''

arctanx3(2x-1严国-2严

(13)(14)lim(15)

lim3lim

X->00X[-xx-»oo(2x+l严

1~+X+1—ylX~—X+1)；

(16)lim

知识点：极限求法

思路：参照本节例题给出的几种极限的求法

.X2-3

解：(1)•・•lim(d—3)=0,lim(/+i)=4，，-=0

,r->V3XT力KT、'3X+1

x~-2x+1..(x—I)?x—\_

(2)hrm------z---------=hm——/~r=lim--------=0：

nx2-1—(x-l)(x+l)xTix+1

(3)lim2--------1—7|=lim2-lim—+lim-Tr=2：

-r-KCVXX")X—x,XXTOOx"

11

V*2Y2+3

(4)lim4=lim厂』二0；

S8X”_3k+1XTOO31

1--2+~

XX

(x-2Xx-4)x-2

..—6x+8=2

(5)lim--------------=lim

x->4)

Ix1-5x+4(x-l)(x-4t->4x-]3

22

r4x3-2x~+XX(4X-2X+1)_(4X-2X+1)]_

(6)lim--------；------------limx(3x+2)=罂(3x+2)

•J。3x+2xx->02

(7)lim♦+可7=lim("+、7)("+'+x)=iim(2x+/i)=2x；

〃一»ohh->oh/J->O

(8)1+lim-I2-lim—=2

X->00—Jr)

(9)vlime~x=0,limex=+00»lim-....-=0，

X-►+<»X->-F<X>g"+"X

说明一!—是无穷小，而cosx是有界量，

ex+e-x

：•lim-----!-----cosx=0

..y/\—X—3(71^-3)(71^7+3)-1+8)

(10)lim-----j=-=lim=蛔（2+五东八一*3）

XT-82+vxx+8(2+Vx)(^x/1—x+3^

--limx3-2x3+4

6x->-8

X3X2

322+2

(IDViim(x+2x)=16Jim(x-2)=0»-,.lim(^F=00;

2X-1

(12)limxlvl+x-xlim_____=;

XT+OO\z柯Vx2+1+x2

工f0,而arctanx是有界量，故山„吧翌±=0：

(13)Xf00,

X38X

1+x+x2-3

13_Hm㈡曾)i

(14)lim

\~X十吧1-x3(x-l)(x2+x+l)

230々20o20

(15)lim本题利用本节有理分式的极限规律，只要找到

.V-KO(2X+1)5022u

分子分母的最高次项比较即可，分子的最高次项由2x的30次方与3x的20次方乘枳所得，即

（2X）3°（3X）”，而分母的最高次项由2x的50次方所得，即（2x）5°：无器确切计算分子分母;

（16）limlVx2+x