2024-2025学年高中数学第一章1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理课后课时精练新人教A版必修5

PAGE1-1.1.2余弦定理A级：基础巩固练一、选择题1．在△ABC中，若lgsinA－lgcosB－lgsinC＝lg2，则△ABC的形态是()A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形答案D解析由已知条件，得eq\f(sinA,cosBsinC)＝2，即2cosBsinC＝sinA.由正、余弦定理，得2·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)·c＝a，整理，得c＝b，故△ABC为等腰三角形．2．在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形态为()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形答案B解析∵sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(c－b,2c)，∴cosA＝eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC为直角三角形．3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2，则角C为()A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(2π,3)答案B解析∵a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2，∴a2＋b2－c2＝－eq\r(2)ab，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－\r(2)ab,2ab)＝－eq\f(\r(2),2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(3π,4).4．钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围为()A.eq\f(3,2)<a<3 B.eq\f(3,2)≤a<3C.eq\f(3,2)≤a≤3 D.eq\f(3,2)<a≤3答案B解析设钝角三角形的最大角为α，则依题意90°<α≤120°，于是由余弦定理得cosα＝eq\f(a2＋a＋12－a＋22,2aa＋1)＝eq\f(a－3,2a)，所以－eq\f(1,2)≤eq\f(a－3,2a)<0，解得eq\f(3,2)≤a<3.二、填空题5．在△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.答案30°解析由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋42－2×2×4×cos60°＝12，∴c＝2eq\r(3).由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，解得sinA＝eq\f(1,2).∵a<c，∴A<60°，A＝30°.6．三角形三边长分别为a，b,eq\r(a2＋ab＋b2)(a>0，b>0)，则最大角为________．答案120°解析易知eq\r(a2＋ab＋b2)>a,eq\r(a2＋ab＋b2)>b，设最大角为θ，则cosθ＝eq\f(a2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋ab＋b2)))2,2ab)＝－eq\f(1,2)，∴θ＝120°.7．如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3eq\r(3)，BD＝5，sin∠ABC＝eq\f(2\r(3),5)，则CD的长度等于________．答案4解析由题意知sin∠ABC＝eq\f(2\r(3),5)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋∠CBD))＝cos∠CBD，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC×BD×cos∠CBD＝27＋25－2×3eq\r(3)×5×eq\f(2\r(3),5)＝16.∴CD＝4.三、解答题8．在△ABC中，AB＝eq\r(2)，BC＝1，cosC＝eq\f(3,4)，求eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))的值．解在△ABC中，由余弦定理，得|AB|2＝|CA|2＋|CB|2－2|CA||CB|cosC，即2＝|CA|2＋1－2|CA|×eq\f(3,4).∴|CA|2－eq\f(3,2)×|CA|－1＝0.∴|CA|＝2.∴eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(CA,\s\up6(→))|cos(180°－C)＝－|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(CA,\s\up6(→))|cosC＝－1×2×eq\f(3,4)＝－eq\f(3,2).9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9).(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．解(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又已知a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9)，∴ac＝9.由a＋c＝6，ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，∵cosB＝eq\f(7,9)，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4\r(2),9).由正弦定理，得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(2\r(2),3)，∵a＝c，∴A为锐角，∴cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(1,3).∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝eq\f(10\r(2),27).10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－eq\f(1,4).(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．解(1)因为cos2C＝1－2sin2C＝－eq\f(1,4)，及0<C<π，所以sinC＝eq\f(\r(10),4).(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得c＝4，由cos2C＝2cos2C－1＝－eq\f(1,4)及0<C<π，得cosC＝±eq\f(\r(6),4)，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±eq\r(6)b－12＝0，解得b＝eq\r(6)或2eq\r(6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(6)，,c＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2\r(6)，,c＝4.))B级：实力提升练1．假如将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形态是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度确定答案A解析设直角三角形的三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所对的最大角变为锐角．2．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试推断三角形的形态．解由余弦定理，知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，代入已知条件，得a·eq\f(b2＋c2－a2,2