2024-2025学年高中数学课时分层作业1实数大小的比较不等式的性质含解析北师大版选修4-5

PAGE1-课时分层作业(一)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．设a，b，c，d∈R且a＞b，c＞d，则下列结论正确的是()A．a＋c＞b＋d B．a－c＞b－dC．ac＞bd D．eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)[解析]∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d.[答案]A2．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[解析]当a＞0且b＞0时，肯定有a＋b＞0且ab＞0.反之，当a＋b＞0，ab＞0时，肯定有a＞0，b＞0.[答案]C3．设角α，β满意－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则α－β的范围是()A．－π<α－β<0 B．－π<α－β<πC．－eq\f(π,2)<α－β<0 D．－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)[解析]∵α<β，∴α－β<0.①又－eq\f(π,2)<α<eq\f(β,2)，－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，∴－π<α－β<π，结合①得－π<α－β<0，故选A.[答案]A4．若x≠2或y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M与N的大小关系是()A．M＞N B．M＜NC．M＝N D．不能确定[解析]M－N＝x2＋y2－4x＋2y－(－5)＝(x－2)2＋(y＋1)2.∵x≠2或y≠－1，∴x－2≠0或y＋1≠0，∴(x－2)2或(y＋1)2均非负且至少一个大于零，∴M＞N.[答案]A5．设a，b为非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是()A．a2＜b2 B．a2b＜ab2C．eq\f(1,ab2)＜eq\f(1,a2b) D．eq\f(b,a)＜eq\f(a,b)[解析]取a＝－2，b＝1时，有a＜b，明显A，B，D错误．对于C，∵eq\f(1,ab2)－eq\f(1,a2b)＝eq\f(a－b,a2b2)＜0.∴eq\f(1,ab2)＜eq\f(1,a2b)总成立，C正确．[答案]C二、填空题6．若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的取值范围是________．[解析]∵－4＜b＜2，∴0≤|b|＜4，∴－4＜－|b|≤0.又1＜a＜3，∴－3＜a－|b|＜3.[答案](－3,3)7．给出四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.能得出eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)成立的有________．[解析]eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)⇔eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＜0⇔eq\f(b－a,ab)＜0，∴①②④可推出eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)成立．[答案]①②④8．若a＞1，b＜1，则ab＋1与a＋b大小关系为ab＋1________a＋b.[解析]ab＋1－a－b＝a(b－1)－(b－1)＝(a－1)(b－1)，∵a＞1，b＜1，∴(a－1)(b－1)＜0，∴ab＋1－a－b＜0，ab＋1＜a＋b.[答案]＜三、解答题9．若a，b，c满意b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，试比较a，b，c的大小．[解]b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0.∴b≥c.由题意可得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝3a2－4a＋6，,b－c＝a2－4a＋4，))解得b＝2a2－4a＋5，c＝a2＋1.∴c－a＝a2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up7(2)＋eq\f(3,4)＞0，∴c＞a，∴b≥c＞a.10．已知a，b，x，y都是正数，且eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，x＞y，求证：eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b).[证明]因为a，b，x，y都是正数，且eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，x＞y，所以eq\f(x,a)＞eq\f(y,b)，所以eq\f(a,x)＜eq\f(b,y).故eq\f(a,x)＋1＜eq\f(b,y)＋1，即0<eq\f(x＋a,x)＜eq\f(y＋b,y)，所以eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b).[实力提升练]1．设a，b为实数，则“0<ab<1”是“b<eq\f(1,a)”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]∵0<ab<1，∴a，b同号，且ab<1.∴当a>0，b>0时，b<eq\f(1,a)；当a<0，b<0时，b>eq\f(1,a).∴“0<ab<1”不是“b<eq\f(1,a)”的充分条件．而取b＝－1，a＝1，明显有b<eq\f(1,a)，但不能推出0<ab<1，∴“0<ab<1”不是“b<eq\f(1,a)”的必要条件．[答案]D2．若a>b>0，则下列各式中恒成立的是()A．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b) B．eq\f(b2＋1,a2＋1)>eq\f(b2,a2)C．a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b) D．aa>bb[解析]选取适当的特别值，若a＝2，b＝1，可知eq\f(2a＋b,a＋2b)＝eq\f(5,4)，eq\f(a,b)＝2，由此可知选项A不成立．利用不等式的性质可知，当a>b>0时，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，由此可知，选项C不恒成立．取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)，则a>b>0，则aa＝bb，故选项D不恒成立．故选B.[答案]B3．设x，y为实数，满意3≤xy2≤8,4≤eq\f(x2,y)≤9，则eq\f(x3,y4)的最大值是________．[解析]由4≤eq\f(x2,y)≤9，得16≤eq\f(x4,y2)≤81.又3≤xy2≤8，∴eq\f(1,8)≤eq\f(1,xy2)≤eq\f(1,3)，∴2≤eq\f(x3,y4)≤27.又x＝3，y＝1满意条件，这时eq\f(x3,y4)＝27.∴eq\f(x3,y4)的最大值是27.[答案]274．已知m∈R，a＞b＞1，f(x)＝eq\f(mx,x－1)，试比较f(a)与f(b)的大小．[解]f(a)－f(b)＝eq