中考数学8大最值模型

专题1将军饮马模型与最值问题

【模型导入】

什么是将军饮马？

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《士从军行》里的一句诗。而由此却引申出一

系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顽《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系

列非常有趣的数学问题，通常称为“招■军饮马

【模型描述】

如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？

8军营

■

将军4

■

河

【模型抽象】

如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？

这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间,

线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段.

【模型解析】

作点A关于直线的对称点A',连接PA',则PA'=PA,所以PA+PB=PA'+PB

当A'、P、B三点共线的时候,PA'+PB=A'B,此时为最小值（两点之间线段最短）

B

A端点

【模型展示】

【模型】一、两定一动之点点

在OA.OB上分别取点M、N,使得ZiPMN周长最小.

此处M、N均为折点，分别作点P关于0A（折点M所在直线）、0B（折点N所在直线）的对称点，化折线

段PM+MN+NP为P'M+MN+NP'',当P'、M、N、P''共线时，ZXPMN周长最小.

【例题】如图，点P是NAOB内任意一点，ZA0B=30°,0P=8,点M和点N分别是射线0A和射线OB上的

动点，则△PMN周长的最小值为.

【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB.OA对称点P'、

P'',化PM+PN+MN为P'N+MN+P''M.

【解析】

当，、N、M、P'，共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P'P”长，连接OP，、OP'，，可得△OP，P一

为等边三角形,所以P'P''=0P'=OP=8.

【模型】二、两定两动之点点

在OA.OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类以，分别作点P、Q关于OA.OB对称，化折

线段PM+MN+NQ为P'M+MN+NQ',当P'、M、N、Q'共线时，四边形PMNQ的周长最小。

【模型】三、一定两动之点线

在OA.OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P',将折线段PM+MN转化为P'M+MN,即过点P'作OB

垂线分别交OA.OB于点M、N,得PM+MN最小值（点到直线£勺连线中，垂线段最短）

题型一将军饮马中两定一动模型与最值问题

【专题说明】

这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为

两点之间线段最短问题。

1.如图，在川是/的两条中线,/是/上一个动点，则下列线段的长度等于/最小值的是（）

A./A/C/D/

【解析】

在/中,/,AD是/的中线，可得点B司点D关于直线AD对称，连结CE,交AD于点P,此时/最小、为EC的长,

故选B.

2.如图.在iF方形ABCD中.E是AB卜一点,BE=2.AB=8.P是AC卜一动点.则PB+PE的最小值.

【解析】如图:

连接DE交AC于点P.此时PD=PB.PB+PE=PD+PE=DE为其最小值,

丁四边形ABCD为正方形，且BE=2,AB=8,

AZDAB=90°,AD=AB=8,AE=AB-BE=6,

在Rl^ADE中，根据勾股定理，得DE===10.

AFB+PE的最小值为10.

3.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边交轴于点，轴，反比例函数的图象经过点，点的坐标为,.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点为轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标.

【解析】

（1）•・•是矩形，.•・,

••••

•，••，••，

又*•轴，・•・，・•・，

•・・・・・，即

把点代入的得，••・反比例函数的解析式为:.

（2）过点作垂足为，

则点关于轴的对•称点，直线与轴的交点就是所求点，此时最小,

设直线AB1的关系式为，将，，代入得，

解得:，，

工直线的关系式为，当时，，，点

4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线产ax2+2x+c与x轴交于A(-1,O)B(3,0)两点，与y轴交于点C,点

D是该抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式和直线4c的解析式；

(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A.P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形？若存

【解析】

(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),

即y=ax2-2ax-3a,-2a=2,解得a=-1,

••・抛物线解析式为广-W+2什3；

当x=0时，y=-x2+2x+3=3,则C(0,3),

设直线AC的解析式为y=px+q,

把A(-1,0),C(0,3)代入得,解得,

・•・直线AC的解析式为.y=3x+3；

(2)Vy=-x2+2x+3=-(x-I)2+4,J顶点D的坐标为(1,4),

作B点关于y轴的对称点B，,连接DB'交y轴于M,如图1,则B'(-3,0).

「MB二MB',，MB+MD=MB'+MD=DB',此时MB+MD的值最小,

而BD的值不变，，此时aBDlVI的周长最小，

易得直线DB，的解析式为y=x+3,

当x=0时,y=x+3=3,・••点M的坐标为(0,3)；

(3)存在.

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,

•・•直线AC的解析式为y=3x+3,

，直线PC的解析式可设为y=-x+b,

把C(0,3)代入得b=3,

・•・直线PC的解析式为y=-x+3,

解方程组，解得或，则此时P点坐标为(，)；

过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=-/x+b,

JCA(-1,0)代入得+b=0,解得b=-,

・•・直线PC的解析式为y=・x-,

解方程组，解得或，则此时P点坐标为(，・).

综上所述，符合条件的点P的坐标为(，)或(，-).

5.如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）是抛物线对称轴上的•点,求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；

（3）在第四象限的抛物线上是否存在点，使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形？若存在，请求出

点坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）

【解析】

根据点，的坐标设二次函数表达式为:，

•・•抛物线经过点，则，解得：，

抛物线的表达式为：，函数的对称轴为：；

连接交对称轴于点，此时的值为最小，设BC的解析式为：，

将点的坐标代入一次函数表达式：得：解得：

直线的表达式为:，当时,，故点：

存在，理由：

四边形是以为对角线且面积为的平行四边形，则，

点在第四象限，则，将该坐标代入二次函数表达式得:，或

故点的坐标为或.

题型二将军饮马中一定两动模型与最值问题

【专题说明】

一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。关键是作定点（或动点）

关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。

【模型展示】

【模型】三、一定两动之点线

在OA.OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

P'

又

ON

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P',将折线段PM+MN转化为P，M+MN,即过点P'作OB

垂线分别交OA.OB于点M、N,得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

【例题】

1.如图，在边长为的菱形中,，将沿射线的方向平移得到，分别连接,，则的最小值为一.

【解析】

如图，过C点作BD的平行线，以为对称轴作B点的对称点，连接交直线于点

根据平移和对称可知，当三点共线时取最小值，即，

根据勾股定理得,，故答案为

2、点P是定点，在OA、OB上分别取M、N,使得PM+MN最小。

A

【解析】作点P关于0A对称的点P',将折线段PM+MN转化为P，M+MN,即过点P，作0B垂线分别

交OA.OB于点M、N,得PM+MN最小值（垂线段最短）

3.点P是定点，在OA.OB上分别取点M、N,使得△PMN周长最小.

【解析】分别作点P关于0A（折点M所在直线）、0B（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP

为P'M+MN+NP'',当P'、M、N、P''共线时，△PMN周长最小.

3.如图，抛物线y=ax2・5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点,其中A(-3,0),C(0,4),点B在x轴

上,AC=BC.过点B作BD±x轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上的动点，且CM=BN,连接

MN,AM,AN.

(1)求抛物线的解析式及点。的坐标；

(2)当ACMN是直角三角形时，求点M的坐标；

(3)试求出AM+AN的最小值.

【解析】(1)把A(-3,0),C(0,4)代入y=ax2-5ax+c得，解得，

工抛物线解析式为y=-x2+x+4；又YAOBC,C01AB,/.0B=0A=3,AB(3,0),

VBI)±x轴交抛物线于点D,・•・【)点的横坐标为3,

当x=3时，y=-X9+X3+4=5,・・・D点坐标为(3,5)；

(2)在RdOBC中,BC=5,

设M(0,m),贝ljBN=4-m,CN=5-(4-m)=m+1,

VZMCN=Z0CB,・•・当时，△CMNsZ\C0B,则NCMN=NCOB=90°,

即，解得m;，此时M点坐标为(0,)；

当时，△CMNs/XCBO,则NCNM=NCOB=90°,

即,解得m=,此时M点坐标为(0,)；

综上所述,M点的坐标为(0,)或(0,)；

(3)连接DN,AD,jin®,VAC=BC,CO±AB,AOCZACO=ZBCO,

VBD//OC,AZBC0=ZDBC,

VDB=BC=AC=5,CM=BN,AAACM^ADBN,.*.AM=DN,AAM+AN=D?HAN,

而DN+AN2AD(当且仅当点A、N、D共线时取等号)，JDN+AN的最小值二，

4.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边AD,BC的中点，连接DF,过点E作EH_LDF,垂足为H,EH

的延长线交DC于点G.

（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；

（2）过点H作MN/7CD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点，求

△PDC周长的最小值

【解析】

(1)结论：CF=2DG.

理由：•・•四边形ABCD是正方形，・・・AD;BC=CD=AB,ZADC=ZC=90°,

•J〕E=AE,.\AD=CI)=2DE,

VEG±DF,/.ZDHG=90°,

.\ZCDF+ZDGE=90°,ZDGE+ZDEG=90°,AZCDF=ZDEG,AADEG^ACDF,

,ACF=2DG.

（2）作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,

此时APDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.

由题意:CD=AD=10.ED=AE=5.DG=,EG=.DH==,

.,.EH=2DH=2,,♦・HM==2,.\DM=CN=XK==1,

在RtADCK中,DK===2,

/.△PCD的周长的最小值为10+2.

5、如图，在正方形ABCD中,AB=9,点E在CD边上，月.DE=2CE,点P是对角线AC上的一个动点，则

PE+PD的最小值是（）

A.B.C.9D.

【解析】

如图，连接BE,设BE与AC交于点P',•・,四边形ABCD是正方形，，点B与D关于AC对称，・・・P'D二P'

B,・・・P'D+P'E=PrB+P'E=BE最小.即P在AC与BE的交点上时,PD+PE最小,为BE的长度.二•直角

△CBE中，ZBCE=90°,BC=9,CE=CD=3,ABE==故选A.

6.如图，NAOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N(3,0)是OB上的一定点，点M

是ON的中点，ZAOB=30°,要使PM+PN最小，则点P的坐标为.

【解析】

解：作N关于OA的对称点N',连接N'M交OA于P,则此时,PM+PN最小，：0A垂直平分NN',，

ON=ONZ,NN'ON=2NAON=60°,•••△NON'是等边三角形，;点M是ON的中点，，N'M±0N,V

点N(3,0)，,ON=3,•・•点M是ON的中点，・・・OM=1.5,・・・PM=,・・・P(,).故答案为：(,).

题型三将军饮马中两定两动模型与最值问题

【专题说明】

运用平移变换，把保持平移后的线段与原来线段平行且相等的特性下，把无公共端点的两线段移动到具有

公共端点的新位置，从而转化为两点之间线段最短问题求解最值。

【模型展示】

【模型】二、两定两动之点点

在OA.OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

0

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA.OB对称，化折

线段PM+MN+NQ为P'M+MN+NQ',当P'、M、N、Q'共线时，四边形PMNQ的周长最小。

【例题】

I.如图所示抛物线过点，点，且

(I)求抛物线的解析式及其对称轴；

(2)点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长最小值；

(3)点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的血枳分为3：5两部分，求点的坐标.

【解析】

(1)TOB=OC,・••点B(3,0),

则抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a,

故・3a=3,解得：a=-l,

故抛物线的表达式为:y=x2+2x+3…①；

对称轴为：直线

(2)ACDE的周长=AC+DE+CD+AE,其中AC=、DE=1是常数,

故CD+AE最小时，周长最小，

取点C关于函数对称点C(2,3),则CD=C'D,

取点A'(-1,1),则A'D=AE,

故：CD+AE=A/D+DC',则当A'、D、C三点共线时,CD+AE=A'D+DC'最小，周长也最小,

四边形ACOE的周长的最小值二八。+。石+。。+人£＞痴+1+4'。+。。'=加+1+4。=痴+1+VB：

(3)如图，设直线CP交x轴于点E,

直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，

XVSAPCB:SAPCA=EBX(yC-yP):AEX(yC-yP)=BE:AE,

则BE:AE.=3:5或5:3,则AE=或,

即：点E的坐标为(,0)或(，0),

将点E、C的坐标代入•次函数表达式：y=kx+3,解得：k=-6或-2,

故直线CP的表达式为:y=-2x+3或y=-6x+3oo②

联立①②并解得：x=4或8(不合题意值已舍去)，

故点P的坐标为(4,-5)或(8,-45).

2.如图，在矩形中，，，为的中点，若为边上的两个动点，且，若想使得四边形的周长最小，则的长度应为

【解析】

如图，在AD上截取线段AF=DE=2,作F点关于BC的对称点G,连接EG与BC交于一点即为Q点，过A

点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点.

•E为CD的中点，・・・CE=2

.G11=DF=5,EII=2i4=6,Z1I=9O°,

•BC//GH

.♦QCE—GHE,

CQ_EC

，CQ二,

ABP=CB-PQ-CQ=7-2-.

故答案为.

3.已知直线11/712,11.12之间的距离为8,点P到直线H的距离为6,点Q到直线12的距离为4,PQ二,在直线

11上有一动点A,直线12上有--动点B,满足AB112,且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=.

【解析】作PE_L11于E交12于F,在PF上截取PC=8,连接QC交12于B,作BA_LU于A,

此时PA+AB+BQ最短.作QDJLPF于D.在RdPQD中，二'ND=90°,PQ=/,PD=18,・・.DQ=/=/,;

AB=PC=8,AB〃PC,・•・四边形ARCP是平行四边形，，PA=BC,CD=IO,，PA+BQ=CB+BQ=QC=/=/=16.故

答案为16.

4.如图，在Rt^ARC中，NACB=90。，AC=6.AB=12,AD平分NCAB,点F是AC的中点，点E是AD上的

动点，则CE+EF的最小值为//

A.3B.4C./D./

【分析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C'在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF

为C'E+EF,当C'、E、F共线时得最小值,C'F为CB的一半，故选C.

5.如图，在锐角三角形ABC中，BC=4,ZABC=60°,BD平分NABC,交AC于点D,M、N分别是BD,BC

上的动点，则CM+MN的最小值是//

A./B.2C./D.4

【分析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN'.

因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值，选C.

A

C

BN

专题2胡不归中的双线段模型与最值问题

【专题说明】

胡不归模型问题解题步腺如下；

1.将所求线段和改写为“PA+PB”的形式（vl）,若＞1,提取系数，转化为小于1的形式解决。

2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度Q,使得sina=

3.最后利用两点之间线段最短及至线段最短解题

3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题

【模型展示】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为VI,在直线MN上运动的速度为V2,且VYV2,A.B为定点，点

C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小.

,记，

即求BC+kAC的最小值.

构造射线AD使得sinZDAN=k,CH/AC=k,CH=kAC.

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH1AD交MN于点C,交AD于H点，此时BC+CH取到最小

值，即BC+kAC最小.在求形如“PA+kPB”式子最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”

型问题转化为“PA+PC”型.

【例题】

I.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物

线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)—经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另

一个交点为，的面积为5.

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值.

【解析】

(1)将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为,

•・•，，点的坐标为，

代入抛物线的解析式得,，・•・，

・•・抛物线的解析式为，即.

令，解得,，・•・，

*

••，

丁的面积为5,・•・，・•・，

代入抛物线解析式得,，解得,，・•・，

设直线的解析式为，

解得:»

••・直线的解析式为.

(2)过点作轴交于,如图，设,则,

・•・当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为.

(3)作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点,

、关于轴对称，

,此时最小,

.，的最小值是3.

2、如图，ZXABC中,AB=AC=10,tanA=2,BEJ_AC于点E,D是线段BE上的一个动点，则的最小值是

）

B

【解析】

如图，作DH1AB于H,CM1AB于M.

VBE1AC,.\ZAEB=90d,

•・TanA==2,设AE=a,BE=2a,

则有：100=a2+4a2,・・.a2=20,・・・a=2或-2（舍弃）,ABE=2a=4,

VAB=AC,BE±AC,CM±AB,ACM=BE=4（等腰三角形两腰上的高相等））

VZDBH=ZABE,NBHD=NBEA,，，

ADH=BD,

，CD+BD=CD+DH,

•••CD+DH2CM,

•••CD+BD24,

•••CD+BD的最小值为4.

故选B.

3.已知抛物线过点，两点，与y轴交于点C,.

(I)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)过点A作，垂足为M,求证：四边形ADBM为正方形；

(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标；

(4)若点Q为线段0C上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由.

【解析】

⑴函数的表达式为:，即:，解得:，

故抛物线的表达式为:，则顶点；

⑵,，

VA(LO),B(3,0),AOB=3,OA=1.AAB=2,

又1・D(2,-1),・'・AD=BD=,

AAM=MB=AD=BD,A四边形ADBM为菱形,

又,：,菱形ADBM为正方形；

(3)设直线BC的解析式为y=mx+n,

将点B.C的坐标代入得:，解得:，

所以直线BC的表达式为:y=x+3,

过点P作y轴的平行线交BC于点N,

设点，则点N,

则，

,故有最大值，此时，故点；

(4)存在,理由:

如图，过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点E过点A作，垂足为H,交y轴于点Q,此时/,

则最小值，

在RtZ\COF中，NCOF=90°,ZFOC=30°,0C=3,tanZFCO=,

.\0F=,・・・F(-,0),

利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：…①，

VZCOF=90°,ZFOC=30°,AZCFO=90°-30°=60。，

VZAHF=90°,AZFAH=90°-60°=30°,

.•.OQ=AO-tanZFAQ=,/.Q(0,),

利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：…②，

联立①@并解得:，故点，而点

则，即的最小值为

4.已知抛物线（为常数，）经过点，点是轴正半轴上的动点.

（I）当时，求抛物线的顶点坐标；

（II）点在抛物线上，当，时，求的值；

（III）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值.

【解析】

（I）•・•抛物线经过点，.即.

当时,，

••・抛物线的顶点坐标为.

（n）由（I）知，抛物线的解析式为.

•・•点在抛物线上，

由,得,,

•••点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧.

如图，过点作轴，垂足为，则点.

，.得・

・•・在中,.・•・.

由已知,，・•・.・•・.

(III)•・•点在抛物线上，

*

可知点在笫四象限，且在直线的右侧.

考虑到，可取点，

如图，过点作直线的垂线，垂足为，与轴相交于点,

有，得,

则此时点满足题意.

过点作轴于点，则点.

在中,可知.

■

••,・

丁点，

・•..解得.

5.如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交与点A,B（点A在点B的左侧）交y轴于点C,点

D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.

（1）连结BD,点M是线段BD二一动点（点M不与端点B,D重合），过点M作MN±BD交抛物线于点

N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH_Lx轴，垂足为H.交BD于点F,点P是线段OC上一动点，当

MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值;

（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，，把点P向上平移个单位得到点Q,连结AQ,

把aAOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度（0。«360°）,得到AACQ,其中边AQ交坐标轴于点C在旋转

过程中，是否存在一点G使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）如图1

•・•抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A,B(点A在点B的左恻),交y轴于点C

・••令y=0解得：xl=-I,x2=3,令x=0,解得：y=-3,

AA(-1,0),B(3,0),C(0,-3)

•・•点D为抛物线的顶点，且-4

工点D的坐标为D(1,-4),・,•直线BD的解析式为:y=2x-6.

由题意,可设点N(m,m2-2m-3),则点F(m,2m-6)

，=(2m-6)-(m2-2m-3)=-m2+4m-3

・•・当m==2时,NF取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF=2,

此时,N(2,-3),F(2,-2),H(2,0)

在x轴上找一点K(,0),连接CK,过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P,

/.sinZOCK=,直线KC的解析式为：，且点F(2,-2),

・・・PJ=PC,直线FJ的解析式为：，，点J(,)

••・FP+PC的最小值即为FJ的长,且,・•・；

(2)由(1)知，点P(0,),

•・•把点P向上平移个单位得到点Q.・••点Q(0,-2)

・••在Rt^AOQ中，NAOG=90。，AQ=,取AQ的中点G,连接0G,则OG=GQ=AQ=,此时，ZAQO=

ZGOQ

把aAOQ绕点O顺时针旋转一定的角度a(00<a<360°),得到4A'OQ',其中边A'Q'交坐标

轴于点G

①如图2

G点落在y轴的负半轴,则G(0,过点Q'作Q7上x轴交x轴于点1,且NGOQ，=NQ，

则NIOQ'=ZOA'Q'=ZOAQ,

•・•sinNOAQ===,・•・，解得：|IO|=

.••在RtZ\OIQ，中根据勾股定理可得QI|=，，点Q的坐标为Q，(，-)：

②如图3,

③如图4

当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q，(・，)

④如图5

当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q，(-,-)

综上所述，满足条件的点Q'坐标为：,(,),(,(,-)

专题3阿氏圆中的双线段模型与最值问题

【专题说明】

“阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PABs^CAP推出PA2(,即：半径的平方=原有

线段(构造线段。

“阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PABs/\CAP推出PA2(,即：半径的平方;原有

线段(构造线段。

“阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PA^s/XCAP推出PA2=PB^PC即：半径的

千方二原有线段X构造线段。

【模型展示】

如下图，已知A.B两点，点P满足PA:PB=k(kWl),则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.

(1)角平分线定理：如图，在aABC中,AD是NBAC的角平分线，则.

证明：，，即

(2)外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,贝

证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则△ACD❷△AED(SAS),CD=ED且AD平分NBDE,

则，即.接下来开始证明步骤:

如图.PA:PB=k，作/APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理,.故M点为定点.即NAPB的角

平分线交AB于定点;

作NAPB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理,，故N点为定点，即/APB外角平分线交直

线AB于定点；又NMPN=90。，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆.

【例题】

1.如图，抛物线与轴交于,，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直

线交轴于点，点是轴卜.方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）设点的横坐标为，当时，求的值;

（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值.

【解析】(1)由题意A(,0),B(-3.0),C(0,-3),设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x),把C(0,

-3)代入得到a,・••抛物线的解析式为yx2x・3.

(2)在RtZ^AOC中，tanNOAC,・・・NOAC=60°.

TAD平分NOAC,・・・NOAD=30°,・・・OD=OA・tan300=1,AD(0,-1),

・•・直线AD的解析式为yx・I,

由题意P(m,m2m-3),H(m,m-1),F(m,0).

VFH=PH,Im-I-(m2m-3)

解得m或(舍弃)，，当FH=HP时,m的值为.

(3)如图，・・・PF是对称轴，・・・F(,0),H(/,-2).

VAHXAE,.\ZEAO=60°,AEOOA=3,：.E(0,3).

VC(0,-3),・・・HC2,AH=2FH=4,・・・QHCH=1,在HA上取一点K,使得HK,此时k().VHQ2=1,

HK・HA=1,・・・HQ2=HK・HA,,二

VZQHK=ZAHQ,.,.AQHK^AAHQ,A,AKQAQ,.*.AQ+QE=KQ-EQ,・••当E、Q、K共线时,AQ+QE的值最小,

最小值

2、如图1所示，OO的半径为r点A、B都在。0外,P为。0上的动点，已知尸k・OB.连接PA、PB,

则当“PA+k-PB”的值最小时,P点的位置如何确定？

【解析】1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、0B；

2:计算连接线段OP、0B长度；

3:计算两线段长度的比值；

4:在0B上截取一点C,使得构建母子型相似：

5：连接AC,与圆0交点为P,即AC线段长为PA+K*PB的最小值。

本题的关键在于如何确定“k・PB”的大小，（如图2）在线段0B上截取OC使OC=k・r,则可说明△BPO与

△PCO相似，即k・PB=PCo

・•・本题求“PA+k・PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值,即A.P、C三点共线时最小（如图3）,时

AC线段长即所求最小值。

R

图3

3.如图，在/中,ZACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心,6为半径的圆上有一个动点D.连接AD.BD.CD,

则2AD+3BD的最小值是

【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=,故求最小值即可.

考虑到D点轨迹是圆,A是定点，且要求构造，条件已经足够明显.

当D点运动到AC边时,DA=3,此时在线段CD上取点M使得DM=2,则在点D运动过程中，始终存在.

问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM,BM长度的3倍即为本题答案.

AB

4、如图，已知正方ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，则的最大值为

【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2,根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=1,则在点

P运动的任意时刻，均有PM二，从而将问题转化为求PD-PM的最大值.

连接PD,对于△PDM,PD-PMVDM,故当D.M、P共线时,PD-PM=DM为最大值.

P

专题4费马点中三线段模型与最值问题

【专题说明】

费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。

主要分为两种情况：

(1)当三角形三个内角都小于120°的三角膨，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中

三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题O

(2)当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.

费马点问题解题的核心技巧：

旋转60。构造等边三角形将，京等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用南点之间线段最

短求解问题

【模型展示】

问题：在4ABC内找一点P,使得PA+PB+PC最小.

【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作

对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等.

(1)如图，分别以aABC中的AB.AC为边，作等边aABD.等边AACE.

(2)连接CD.BE,即杓一组手拉手全等：/XADCgZXABE.

(3)记CD.BE交点为P,点P即为费马点.(到这一步其实就可以了)

(4)以BC为边作等边△BCF,连接AF,必过点P,WZPAB=ZBPC=ZCPA=120°.

在图三的模型里有结论：(1)NBPD=60°；(2)连接AP,AP平分NDPE.

有这两个结论便足以说明/PAB=/BPC=NCPA=120°.原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢

何必曾相识！

【例题】

1.如图，四边形ABCD是菱形,AB=4,且NABC=NABE=60°,G为对角线BD（不含B点）上任意-一点，将

△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF,当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）

BC

A.B.C.D.

【解析】如图,

•・•将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到AEBF,

.\BE=AB=BC,BF=BG,EF=AG,

••・ABFG是等边三角形.・•.BF=BG=FG,.

・•・AG+BG+CG=FE+GF+CG.根据“两点之间线段最短”，

・••当G点位于BD与CE的交点处时,AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，

过E点作EF_LBC交CB的延长线于F,

AZEBF=180°-120°=60°,

VBC=4,ABF=2,EF=2,在RtAEFC中,

VEF2+FC2=EC2,.\EC=4.

VZCBE=120°,AZBEF=30°,

VZEBF=ZABG=30°,AEF=BF=FG,

.\EF=CE=,

故选:D.

2、如图，将绕点逆时针旋转60。得到，与交于点，可推出结论:

问题解决：如图，在中，一.点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是

【解析】如图,将△MOG绕点M逆时针旋转60°,得到AMPQ,

显然ZiMOP为等边三角形，・・・OM+OG=OP+PQ.

・••点O到二顶点的距离为：ONIOMIOG=ONIOPIPQ,

，当点N、0、P、Q在同一条直线上时，有ON+OM+OG最小,

此时,ZNMQ=75°+60°=135°,

过Q作QA_LNM交NM的延长线于A,则NMAQ=90°,

.•.ZAMQ=1800-ZNMQ=45°,

VMQ=MG=4,

/.AQ=AM=MQ•cos45°=4,

・・・NQ=,

故答案为：

3.如图，四边形是菱形,B=6,且NABC=60°,M是菱形内任一点，连接AM,BM,CM,则AM+BM+CM

的最小值为.

【解析】

将△BMN绕点B顺时针旋转60度得到△BNE,

VBM=BN,ZMBN=ZCBE=60°,

:.MN=BM

•:MC=NE

・•・AM+MB+CM=AM+MN+NE.

当A.M、N、E四点共线时取最小值AE.

VAB=BC=BE=6,ZABH=ZEBH=60°,

ABH1AE,AH=EH,ZBAH=30°,

・・.BH=AB=3,AH=BH=,

AAE=2AH=.

故答案为.

E

4.如图，AABC中，ZBAC=30°且AB=AC,P是底边上的高AH上一点.若AP+BP+CP的最小值为2,则

BC=.

VAB=AC,AHXBC,AZBAP=zCAP,

VPA=PA,AABAP^ACAP(SAS),JPOPB,

VMG=PB.AG=AP.NGAP=60°,

.•.△GAP是等边三角形，

APA=PG,

・•・PA+PB+PC=CP+PG+GM,

/・•・当M.G,P,C共线时,PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长,

;AP+BP+CP的最小值为2,・・・CM=2,

VZBAM=60°,ZBAC=30°,AZMAC=90°,AAM=AC=2,

作BN_LAC于N.则BN=AB=1,AN=,CN=2-,

ABC=.

故答案为.

5.如图，四边形ABCD是正方形，4ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM

绕点B逆时针旋转60°得至UBN,连接EN、AM、CM.

(1)求证：AAMB空AENB；

⑵①行M点在何处时,AM+CM的值最小；

②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

⑶当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长.

【解析】⑴:△ABE是等边三角形，・・.BA=BE,ZABE=60°.

VZMBN=60°,/.ZMBN-ZABN=ZABE-ZABN„即NBMA=NNBE.

XVMB=NB,AAAMB^AENB(SAS)

⑵①当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小

②如图，连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小

理由如下:连接MN.由⑴知,AAMB^AENB,AAM=EN.

•••NMBN=6(T,MB=NB,是等边三角形，・・・BM=MN.

JHM+8M+CM=EN+MN+CM.

根据“两点之间线段最短"，得EN+MN+CM=EC最短

:.当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长

⑶过E点作EF_LBC交CB的延长线于F,・・・NEBF=90°—60°=30°.

设正方形的边长为x,则BF=x,EF=.

在Rh^EFC中，VEF2+FC2=EC2,()2+(x+x)2=.

解得，x=(舍去负值).

，正方形的边长为行

6.在正方形ABCD中，点E为对角线AC(不含点A)上任意一点,AB