中考数学二次函数与几何图形综合压轴题类型（解析版）

中考数学二次函数与几何图形综合压轴题类型

类型一二次函数中的最值问题

（1）自变量范围与最值问题

1.（绍兴）已知函数y=-x2+bx+c（b,c为常数）的图象经过点（0,-3）,（-6,-3）.

（1）求b,c的值.

（2）当-4WxgO时，求y的最大值.

（3）当mgxWO时，若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.

思路引领：（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可:

（2）根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y的最

大值即可；

（3）根据对称轴为x=-3,结合二次函数图象的性质，分类讨论得出1n的取值范围即可.

（1）把（0.-3）,（-6,-3）代入v=-~x2+bx+c,

得b=・6,c=-3.

⑵,.・y=.x2.6x.3=.（x+3）2+6,

又-4WxW0,

・・・当*=-3时，y有最大值为6.

（：3）什）当一3<mW0H、f,

当x=0时，y有最小值为-3,

当x二m时,y有最大值为-m2・6m・3,

・・・

・•・，=-2或m=-4（舍去）.

②当mW・3时，

当x=-3时y有最大值为6、

♦y的坡大值与最小值之和为2

最小值为一4

「・-（m+3）2+6=-4,

一m二・3.71。或m=-3-J10（舍去）.

综匕所述，m=-2或-3-J10

总结提升：此题主要考杳了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分

类讨论得出m的取值范围是解题关键.

2.（安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点.例如：

点（1，1），修求（-J2,-J2）,……都是和谐点.

(1)判断函数y=2x+l的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

⑵若一次函数尸的图象上有且只有一个和谐点亭

①求AC的值；

邮^WxWm时，函数产aF+6x+c+：(g0)的最小值为-1,最大值为3,求实数m的取值

范围.

思路引领：(1)设函数y=2x+l的和谐点为(x,x),可得2x+l=x,求解即可；

⑵将点金-)代入y二再由ax2+6x+c=x有且只有一个根，△=25-4ac=(),两

个方程联立即可求a、c的值；

②由①可知y=-x2+6x-6=-(x-3M+3,当x=l时;尸-1,当x=3时，k3,当x=5

时，y=-l,则3WmW5时满足题意

解：(1)存在和谐点，理由如下，

.=2x+l=x,

解得x=-l、

・••和谐点为（-1,T）；

⑵①；点(乌，士)片是二次函数尸ixyx+qa#))的和谐点，

.5254一

••二=-u+15+c,

-24----------------

.2525

“一次函数Y=ax2+6x+c(a#))的图象匕有且只有一个和谐点，

・，.ax?+6x+c=x有旦只有一个根，

・1公

②由①可知尸*+6x-6=-（x-3）2+3,

当x二1时，y=-L

当x=3时，尸3、

当x=5时，v=L

“函数的最大值为3,最小值为-1:

总结提升：本题考查二次函数的图象及性质,熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并

与二次函数的性质结合解题是关键.

(2)胡不归问题

3.(淮安)如图(1),二次函数y=-x?+bx+c的图象与x轴交了A、B两点，与y轴交T，C点，点

B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),直线1经过B、C两点.

(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标;

(2)点P为直线1上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点再过点M

作"由的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N,当PW=夕/N时，求点P的横坐标；

(3)如图(2),点C关于x轴的对称点为点D,点P为线段BC上的一个动点，连接AP,点Q

连接DQ,当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长.

⑴用待定系数法求函数的解析式即可；

(2)设P(t,-t+3),贝ljM(t,-t2+2t+3),N(2-t,-t2+2t+3),则PM=|t2-3t|,MN=|2

-2t|,由题意可得方程7-3l|=*-2Z,求解方程即可；

(3)由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G,由QG〃BC,求出

点G(2,0),作A点关于GQ的对称点A',连接AD与AP交于点Q,则3AP+4/)0=4(/)0+*4P：

=4(DQ+AQ)N4A'D,利用对称性和N0BC=45°,求出A'(2,3),求出直线DA'的解析式

和直线QG的解析式，联立方程组｛:£1；，可求点Q年款再求迎二苧

解：(1)将点B(3、O)、C(O、3)代入、=-x2+bx+c.

3b+c=0

=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

・•・顶点坐标(1,4);

(2)设直线BC的解析式为y-kx+b.

设P(L4+3，则M(t「l2+2i+3),N(2-L-t2+2t+3),

/.PM=\t2-3t\,MN=l2-2t\.

,:PM三领N,

.••产-3/1=，2・2儿

解得1=1±d2或1=1・42或1=2±也或【=2-也,

，P点横坐标为1+52或1-J2或2+J3或2-V3;

(3)・.・C(O,3),D点与C点关于x轴对称，

・・・D(0,-3),

令丫=0,则-x2+2x+3=0,

解得x=-l或x=3、

/A0=3P0,

・・・0点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G,

「•OG//BC

.丝_竺

•2=空

气二7。

・：AG=3,

•・'OB=OC,

,/ORC=45°

作A点关于GO的对称点A：连接A，D匕AP交于点O.

：NO=4O,

・：XO+Z)O=4O+QO》'D

.：34P+4。。=4(D0+；4P)=4(。5/。月44'D,

A'AG=45°

AGS'G,

・・・A'(2.3),

设宜.线DA'的解析式为y=kx+b:

.(b=-3

+b=31-

幽浮3二

；・y=3x-3,

同理可求汽线0G的解析式为y=-x+2,

总结提升：本题考查二次函数的图象及性质,熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求

最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键.

4.(梧州)如图，在平面直角坐标系中，直线分另g轴交于点A,B,抛物线丫=泞十收气

恰好经过这两点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点C的坐标是(0,6)，将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到AECF,点A的对应点

是点E.

①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；

②着点P是y轴上的任一点,求弱八夕取最N直时，点P的坐标

思路引领：(1)根据直线解析式可得点A、B的坐标，代入二次函数解析式，解方程即可；

⑵①由旋4%的性质可得E(6,3)»当x=6时，卷x62—[x6-4=3,可知点E在抛物

线上；

②过点E作EH1AB,交y轴于P,垂足为H,sin//BO=*=霁=：,贝|j〃p=渺彳瞋BP+EP

=HP+PE,可知IHP+PE的最小值为EH的长，从而解决问题.

解：(1)与x,v轴交于点A.B,

・••当产0时，尸4当尸0时，x=3.

・・・A(-3.0)B0，-4),

:抛物线v=2+hx+c恰好经过这两点.

⑵①:将aACO绕着点C逆时针旋转90°得至IJaECB

当工=6时，尸三x62-x6-4三3,

18Z

・••点E在抛物线匕

②过点E作EH_LAB,交y轴于P,垂足为H,

.：())=3d、

...//DC加%3

.sinZJ£/C?=—=-r=T»

--------------------AB.RR5-

:.HP三抑，

:.胡P/EP=HP+PE,

・•・当EPH二点共线时，HP+PE有最小值，最小值为EH的长,

作EGLv轴于G,

*/GEP=NABO,

・：Um/GEP=icmNABO,

•・一=—,

——EG-BQ-

•叫_3

，。尸曷二3三宗

：.P(0,--)

总结提升：本题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角

函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将2B辟专化为HP的长是解题的关键

5.(济南)抛物线＞，=加+与-6与x轴交于A(t,0),B(8,0)两点，与y轴交于点C,直线

y=kx-6经过点B.点P在抛物线上，设点P的横坐标为m.

⑴求抛物线的表达式和t,k的值;

⑵如图1,连接AC,AP,PC,若△APC是以CP为斜边的直角三角形,求点P的坐标;

(3)如图2,若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQLBC,垂足为Q,求C0+，。

思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可求解：

⑵作PM_Lx轴交于M,可求PM=，尸-争〃+QAM=m-3,通过证明△COAS/\AMP,利

用”=生，求的值即可求p点坐标；

OCAM1n

(3)作PN_Lx轴交BC于N,过点N作NE_Ly轴交于E,通过证明△PQNoAiBOC,求出0N=gPN

PQ=再由△CNEo^CBO,求出CN=抑=氢则CQ+梦。=CN+PN=-泞-孕?+果

即可求解.

解：⑴将B(8,0)代入尸ax2±二~6,

64a+22-6=(),

+4-6,

当尸0时，二手十斗・6=0,

解得L3或L8(舍)，

••・仁3,

.\8k-6=0,

解得k="

4

(2)作PM■Lx轴交于M,

VP点横坐标为明

:・P(加.二-/w2±—m-6)>

，PM三+尸二中机+6,4W=a-3，

在Rt/\COA和RtAAMP中，

•/OAC+/QAM=9。。，/APM+/PAM=9U0、

，ACOASAAMP.

WAMA二。。PM

3(ffl-3)=6(点户二单力+6）,

解得m=3（舍）或m=l。

：.P(10,-j)；

:.PN=一初2+斗力・6・-6)=-^nr±2nb

TPNL轴,

・・・PN〃OC

・：NPNO=NOCB、

•••^△PONsR(4BOC.

，出NQEQ

■,

——K-Q£,-QR-

•・・OB=&OC=6.BC=](),

・,.°N=*MPQ方N,

由△CNEs/XCBO,

:・CN三诬三射,

・•・C0土：PO=CN+NQ±¥()=CN+PN,

・；C2±把。三3二那+2次三二储土斗”三二汕2yl2±詈

当m三yflL_C2±+0的最大值是祟.

本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的

判定及性质是解题的关键.

类型二二次函数中的面积问题

6.（内蒙古）如图，抛物线^aW+x+c经过B（3,0）,。（-2,一»两点，与x轴的另一个交

点为A,与y轴相交于点C.

（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；

（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B,C不重合），求使AMBC面积最大时M

点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）

（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，

求所有满足条件的点P的坐标.（请在图2中探索）

⑵作直线BC,过M点作MN〃y轴交BC于点N,求出直线BC的解析式，设伏加,一，八〃

则N3“，一）+夕可得必伙=?MY・O8=-：（刖-力2+养，再求解即可；

⑶设Q（O,t）,P（/〃，-加力〃+：）分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时;

乙4

②当AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对

角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可.

是代入y=ax2+x+c;

（9以+3+。=0

A（4ff-2fc=-1L-

（a=^

解的

.••比

令XFO,则心右

AC（o,2）;

(3k+b=Q

-

解得，

上E声打

没A/（加，-：）,则N（m，一~w~l~~）»

一那+飙

：7-1^;12±1

.S.MBC=斗ZM1N*OB2=

肖/〃三为寸，Z\MBC的面积有最大值口，

216

此时例世-

（3）令i，=0.则一2』土：=0,

-----------------------------------u2-------

解得x=3或x=T,

•••AG1.O).

设0（0,/）,P（阳，二5",如土?，

②当AO为平行四边形的对角线时，3+m=-l.

解得m=4

“二江

解得m=4.

・・・P(%今

总结提升：本题考查二次函数的图象及性质,熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的

性质，分类讨论是解题的关键.

7.(淄博)如图，抛物线y=-x?+bx+c与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧)，顶点D(l,

4)在直线1:产挈籁上，动点p(inn)在X轴上方的抛物线上.

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；

(2)过点P作PM_Lx轴于点M,PN_L1于点N,当1cm<3时，求PM+PN的最大值；

(3)设直线AP,BP与抛物线的对称轴分别相交于点E,F,请探索以A,F,B,G(G是点E

关于x轴的对称点)为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个

四边形的面积；若变化，说明理由.

(2)如图，设直线1交x轴于点T,连接PT,BD,BD交PM于点J.设P(用,-球+2m+3).四

边形DTBP的面积=△PDT的面积+△PBT的面0二:XDTXPN+—TBXPM="PM+PN、,,推

出四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，求出四边形DTBP的面积的最大值，可得结

论；

⑶四边形AFBG的面积不变.如图，设P(m,-m2+2m+3),求出直线AP,BP的解析式，

可得点E,F的坐标，求出FG的长，可得结论.

(2)如图，设百线1交x釉于点T,连接PT,BD,BD交PY于点J.设P5,一相十2nl十3).

点D(l,4)在直必U：尸孑十/上，

.一8

二直线DT的解析式为4沁乳

••・T(20)

・：。7=2,

:B(3,0),

・・.0B=3,

「.BT=5,

：'DT=、32+42

第13页共61页

.TD=TB,

*PM上BT,PNd_DT、

，四边形。76?的面积=△尸。7的面积的面积=|xDTXPN+1xTBXPM=|(尸M+/W),

，四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，

*D(I,4),B(3,0),

・•・宜线BD的解析式为y=-2x-6,

-2m+6),

•:己/〜〃2+4〃?_3._____

•・•四边形DTBP的面积=Z\DTB的面积+Z\BDP的面积

=(x5X4+：x(-"产+4第-3)X2

=也2+4/〃+7

-1<0,

・・・m=2时，四边形DTBP的面积最大，最大值为11,

:.PM+PN的最大值=弓x11=刍：

4.a

片抖落

sinZCLO=I，

由LO//H、

・•・ZNHM=ZCLO、

----------------------------5-

・'・PH三土曰士用2・2川・3=而二,二

JPN三:PH,

：.PM+PN=・〃/+2用+3+7(涧2—&〃l=)=-7(〃L2)?+当

・・・m=2时，PM+PN的值最小，最小值为争

理由：如图，设D(m.-m2+2m+3).

•「EG关于x轴对称,

・：直线PB的解析式尸-(时1)x+3(m+1),

.,.GF=2m+2-(2m-6)=8,

...四边形AFBG的面积=-xABXFG=工x4X8=16.

__--------2T-----------------2----------------------

・•・四边形AFBG的面积是定值.

总结提升：本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题

的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.

类型三二次函数与角度问题

8.(荷泽)如图，抛物线y=ax2+bx+c(aW0)与x轴交于A(-2,0)、B(8,0)两点，与y轴

交于点C(0,4),连接AC、BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)将AABC沿AC所在直线折叠，得到点B的对应点为D,直接写出点D的坐标，

并求出四边形OADC的面积：

(3)点P是抛物线上的一动点,当NPCB二NABC时,求点P的坐标.

思路引领；(1)利用待定系数法解答即可:

⑵过点D作DE_Lx轴于点E,利用轴对称的性质和三角形的中位线的性质定理求得线段OE,

DE,则点D坐标可得；利用四边形OADC的面积:SAOAC+SACD,SADOSABC,利用三角形的

面积公式即可求得结论;

⑶利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点P在BC上方时，利用平行线的判

定与性质可得点C,P的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；②当点P在BC下

方时，设PC交x轴于点H,设HB=HC=m,利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得m

值，则点H坐标可求；利用待定系数法求得直线PC的解析式，与抛物线解析式联立即可求得

点P坐标；

解：(1):丁旭物线y=ax?十bx+c(aHO)与x轴交于A(20)、B(8,0)两点，与V轴交于

点C(0.4).

A(2。)、B(8O).C(0.4).

・：0A=2Q3=&0C=4

.QA1Q£1

-Q€-Z2—QJl-Z

.QA_QL

工0£=

1/AOC二人()B=9()。

・：ZUOCsZ\CO及

/RCO=/CBO.

•NCB0+N0CB=9Q。

・：/ACO+/OCB=90。

・：4C8=90。

•；将AABC沿AC所在宜线折叠，得至U/^ADC,点B的对应点为D、

・••点D,CB三点在一条宜线上.

山粕国J称的件质得：BLCD,AB-AD.

ocAB.DE.LAB,

.DE//OC,

丁.PC为z^BDE的中位线，

・・・OE=OB=&DE=2OC=&

・・・D(-8.8);

由题意得：SAC—SABC?

，1四边形OADC的面积二SZM3AC+SADC

^_OAC±S^ABC

=^xOC*OA±^xAB*OC

~2---------------1-2--------------

=-x4X2^^xlOX4

-2-----------2------------

二4+20

=24;

•ZPCB=NABC

，PC〃AB、

，点P的纵坐标为4,

令）=4,则二与2+4+4=4.

^42

解得：x=0或x=6,

②当点P在BC下方时，如图,

•/PCB二/ABC、

・：HC=HB.

殳HB=HC=m,

.：()H()H-HS8-/“

在RtZXCOH中,

*OC2+OH2=CH?,

.•・42+(8-m)2=m2、

解得：rrr5

・：OH=3、

.'.H(3.0)

设直线"的解析式为y-kx+n,

.[n=4

工1孔+n=0匚

I

解得:__

n=4

y=——4x4I-4A

----3-

31

匕三9曲三工

解得:

10(F—

必三1二Xz

综上，点P的坐标为（6,41）或得二詈）.

总结提升：本题主要考查了二次函数图象的性质,待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线

上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，

利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.

9.(鞍山)如图，抛物线产-吴+及与x轴交于A(-1Q),B两点，与y轴交于点CQ2),

连接BC.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D,4BCD的面积为12,求点P

的坐标.

(3)在(2)的条件下，若点E是线段BC上点，连接0E,将AOEB沿直线0E翻折得到△OEB'

当直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°,时，求点B'的坐标.

思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；

(2)先由4BDC的面积求出0D的长，从而确定D点坐标为(0,-4),再由待定系数法求出

直线BD的解析式，直线BD与抛物线的交点即为所求；

(3)当B'在第一象限时，由/0DB=45°,可知EB'〃CD,求出直线BC的解析式，可设E(t,

=多跟在R^OHB“中，BHHg则+在RSBHE中，由勾股

定理得(析了+、-2六(全/g上Q4求出t的值即可求B'坐标；当B'在第二

象限时，B'G/x轴，可得四边形B'OBE是平行四边形，则B”(上4,1手率由折叠的性质可

判断平行四边形OBEB'是菱形，再由BE=。8,可寻J(4一。？+(一1+2产=4,求出t的值即

可求B'坐标.

)代入上—与,

・'•尸一夕2土尹2；

(2)令y-O,则一#+衬2—0,

解得或X=4,

・・・B(4,0),

・・・()B=4,

・・・S"*X4X(2+0。)=12,

.♦・0D=4,

・・・D(0「4).

设直线BD的解析式为Y二kx+b,

y=x-4.

fy=x-4

・・・PG3「7);

(3)如图1,当B'在第•象限时，

设直线BC的解析式为y-kx+b；

・”=一3+2,

设?a,一?十2),

：.0H=3E，=-*2,

•・・D(0/4).B(4,0)

・：OB=OD,

・：/ODB=45。

•・•直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°

/.EB7/CD,

由折叠可知，OB'=BO=4,BE=BE,

任中,B，H=716-2

；・B，E三，16一筐（丁~，16-注土}-2,

・・・8£=、16—正+加2,

在RtzW/EU」，（、16—隹+}・2）2=（47）?+（一扣2）

解存*土华,

5-

如图2,当B'在第二象限，NBGB'=45。时，

•「NABP=45。、

/,B'G//x轴,

“将ZXOEB沿直线0E翻折得到△OEB：

「・NBOE=/BEO,

；・BR/B。

VB'E=BO,

••・四边形BOBE是平行四边形，

「・BE=4,

・・・8'（f・4.二扣2）,

由折叠可知OBuOB'u4

・•・平行四边形OBEB'是菱形，

「.RE=OB,

A±£-

解得l4土焙或Z二4二皑

..国（二限_*

综上所述：B’的坐中拓或（二军，¥）•

方法2:在Rl^BCO中，BC=2d5,CO:OB:BC=l:2W5,

,'.B'FIOB,

/CBA=NOBE

•:八ORTSACBO,

,♦・“。三竽，87=等，

・・・夕（竽用

「BFLOFBE//OB、

BE和BE关于0E对称,0B和OB'关于0E对称,

VZFOB'=ZOBC,

・••△OB"ABCO,

「BF:FO:OB=1:2:J5,

*OB=OB'=4、

*巡

,

F=5一

B'

总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的

性质，折叠的性质，勾股定理的应用是解题的关键.

类型四二次函数与圆综合

10.(扬州)如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB

=8dm,外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度0C=8dm.现计划将此余料进行切

割：

(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；

(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；

(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由.

思路引领：(1)先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面

积最大，先根据GH=20G计算H的横坐标，再求出此时正方形的面积即可；

⑵由⑴知：设H(八一缶十8)(t>0),表示矩形ETCH的周长，再根据二次函数的性质

求出最值即可；

(3)解法一：设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线相交，设交点为N,求出点N的坐标，

并计算点N是|员1M与抛物线在y轴右侧的切点即可.

解法二：计算MN?,配方法可得结论.

解法三：同解法二得\股，利用换元法可解答.

解：(1)如图1,由题意得：A(-4,0),B(4,0(0,8)

把B(4、0)代入得：0=16a+8、

，抛物线的解析式为：尸一32+8,

四边形EFGH是正方形,

设“。，二芋⑻6>0),

,二?2+8=2，，

解得；t=2+2d5,L2245(舍)，

・••止匕正方形的面积=FG2=(2l)2=4t2=4(-2+2Y5)2=(96-32d5)dm2：

，矩形EFGH的周长=2FG+2GHHl+2(=P+8)=P+41+16=G2)2+20,

-1<0,

・・・当匚2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值是20dm:

如图3,N为QM上一点，也是抛物线上一点，过N作QM的切线交y轴于0,连接MN,过点

则

设二全户+8),

由勾股定理得：PMP+PN2=MN2.

，加斗(―L〃/+8・3)占3?,

-----------2---------------------------

解得：m-2\2nL2\；2(舍)，

・・・N(242.4),

.・.cosZ,NmMeP=—m=—m.=-i

-----------MN-OM-3'

二"7。二3.MV=9.

设ON的解析式为：y-kx十b,

,仁12

-l2s/2/c4-b=4^-

•[L=ZL2V^2

~lb=12

，0N的解析式为：r=-<2x+12,

一1?+8=・2岳+12,

¥-2&x+4=0,

圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点,

解法二：如图3,取点M(0,3),在抛物线上取力N(/M,-52+3),曰0<mv4,

则肋十二加“(二、*+8—3)2三］(加2-8)49,

，当m=2e时，MN有最小值为3,此时抛物线上除了点N,N(点N.N关于v轴对称)外,

其余各点均在以点M（0,3）为圆心，3dm为半径的圆外（铁皮底部边缘中点（）也在该圆上），

・•・若切割成圆,能切得半径为3din的圆.

解法三L如图8取点M（o,m）,在抛物线上取点N吃鸵a<4'

则何▽二〃斗（二夕耳8-m）工

令1，=标，则叫冲=叶（二5二8・川）2三，（H2m・14）?+15-2m,

•••MV的最小值是15-2m;

当MN的最小值二0M二.时，Q0与抛物线相切，此时0M最大工

V15-2hHn,

.•・畔一5（舍）或3,

・•・若切切成圆，能切得半径为3dm的圆，

总结提升：本题是二次函数与与,四边形的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次

函数的解析式，圆的切线的性质，矩形和正方形的性质，二次函数的最值问题，综合性较强，

并与方程相结合解决问题是本题的关键.

11.（盐城）【发现问题】

小明在练习簿的横线上取点。为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间

距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规

律.

【提出问题】

小力通过观察，提出猜想；按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上

【分析问题】

小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点。且垂直于

横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示.当

所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为（-3,4）或（3,4）

【解决问题】

请帮助小明验证他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明继续思考：设点P(O,m),m为正整数，以OP为直径画QM,是否存在所描的点在QM

上.若存在，求m的值；若不存在，说明理由.

思路引领：【分析问题】根据题意可知:该点的纵坐标为4,利用勾股定理，即可求出该点的横

坐标，进而可得出点的坐标；

【解决问题】设所描的点在半径为n(n为正整数)的同心圆上，则该点的纵坐标为(n-1),

利用勾股定理可得出该点的坐标为(-V2n-l,n-1)或(结合点横、纵坐

枷可蹴系，可得出该点在二次蹒=¥一弊匕进而可证出小明的猜想正确

【深度思考】设该点的坐标为(土V2n-l,n-l),结合QM的圆心坐标，利用勾股定理，即

可用含n的代数式表示出m的值，再结合m,n均为正整数，即可得出m,n的值.

【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y=5-l=4,

・.•横坐标x=±V52=42二±3,

・・・点的坐标为(-3,4)或(3,4).

【解决问题】证明：设所描的点在半径为n(n为正整数)的同心圆上，则该点的纵坐标为(n

T),

,该点的横坐标为±JM-1)2二土J2rrl,

・・・该点的坐标为(二J2n-Ln-1)或(V2n-l,n-l)

・•・该点在二次函数片文》2一|)二我一抽图象上，

，小明的猜想正确.

【深度思考】解：设该点的坐标为(±J2n・l,n・1),QM的圆心坐标为(0,/

Uz(n-l-l-n2(n-l)242(n-l)+l

..m=—-=---------==n-1+2±

------n=ln=l-nnln=l-

又..hn均为止整数，

・\n-1=1,

・・・m=l+2+l=4,

・••存在所描的点在OM上，m的值为4.

本题考查了勾股定理、二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系，解

题的关键是：【分析问题】利用勾股定理，求出该点的横坐标；【解决问题】根据点的横、纵坐

标间的关系，找出点在二次函数尸畀勺图象上；【深度思考】利用勾股定理，用含n的代数

式表示出m的值.

类型五二次函数中的定值问题

12.（巴中）如图1,抛物线y=ax?+2x+c,交x轴于A、B两点，交y轴于点C,F为抛物线顶点

直线EF垂直于x轴于点E,当在0时，-1Wx<3

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是线段BE上的动点；（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D.

①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；

②如图2,直线AD,BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点.试问，EM+EN是否为定值?如

图1图2

思路引领：⑴由当在0时，-l^x<3,可知xi=l,x2=3Sax2+2x+c=0的两根，代入

方

程可得a,c,从而得解；

⑵现x=2代入抛物线解析式可得D点坐标，再将跖0代入抛物线解析式可得C点坐标，

从而得知线段CD//x轴，利用配方法可知点F坐标，从而利用S四边形

go。5一力）求面积；

②设D(m,-m2+2m+3)(Km<3),用待定系数法求出直线AD与直线BD的解析式，再令

X=1得yn,yx,从而得出ME,NE的长，从而得到NE+ME是定值8

解：(1)・・•当归)时，TWx03,

，xi=-l,x2=3是ax2+2x+c=0的两根，A(-1,O),B(3,O),

.华一2+c=0

T9a+6+c=0—

；・抛物线的表达式为：尸x^-Zx+S:

⑵①把x=2代入尸-x?+2x+3得：y=3

•・D⑵3).

又当x=0,y=3,

C((),3),

・・・线段CD//x轴.

・[v=-x2+2x+3=-(x-1)2+上

・J(L4)，Spq边形ACFD—土鼠皿三二Xj)~4;

②设D(m,一疗+2川+3)(1〈水3),

直线AD:y=kx+bi、BD:y=4x+d._____

*麓23=k,.m+朋㈡/3=k即+Q

旬田磁景，

・：贪线AD:y=(3-m)x-^-(3-m)fBD:y=-(m+J)x+3(m+1j.

令K=1得ym=6-2m,yv=2m+2,_______

/•ME=6-2m,NE=2m+2,

「・NE+ME=8.

总结提升：本题考查二次函数与一次函数综合,涉及匹边形的面积求法，待定系数法等知识，

掌握待定系数法和面积求法是解题的关键.

类型六二次函数中几何图形的存在性问题

13.(枣庄)如图①,已知抛物线L:y=x?+bx+c经过点A(0,3),B(1,0),过点A作AC〃x

轴交抛物线于点C,NAOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点.

⑴求抛物线的关系式；

(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO,当AOPE面积最大时，求出P点坐

标；

(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在AOAE内(包括△

OAE的边界)，求h的取值范围：

(4)如图②，F是抛物线的对称轴1上的一点，在抛物线上是否存在点P,使APOF成为以点

P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，

请说明理由.

酸醐②

思路引领：(1)利用待定系数法可得抛物线的解析式:

(2)过P作PG//y轴，交OE于点G,设P(m,m2-4m+3),根据OE的解析式表示点G的

坐标，表示PG的长，根据面积和可得AOPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；

(3)求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与0E的交点坐标、与AE的交点坐标，用

含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；

(4)存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMPgAPNF,根据|OM|=|PN],列

方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标.

解：⑴・「抛物线L:y=x?+bx+c经过点A(0.3),B(l,0),

｛导

，抛物线的解析式为：y=x?-4x+3;

(2)如图，过P作PG//y轴，交0E于点G,

TOE平分NAOB、NA()B=90°

・：./AOE=45。,

•••△AOE是等腰直角一角形，

•\PG=m-（in2-4m+3）=-m2+5m-3,

/.SOPE=SOPG+SAEPC

=%G-4E

=（x3X（-川+5由-3）

=-；（标-5/n+3）

△OPE面积故大，

此时，P点坐标

(3)由尸xZ4x+3=(x-2)2-1,得抛物线1的对称轴为宜线x=2,顶点为(2,-1),

抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F(2,7+h).

设直线x=2交0E于点M,交AE于点N.则E(3.3).

•・•直线0E的解析式为：y=x,

・・・M(2,2),

•・•点F在△OAE内(包括△0AE的边界)，

・・,2&1+但3、

解得3《hW4;

(4)设P(m,m2-4m+3),分四种情况：

①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN_Ly轴，交y轴于M,交1于N,

，N0MP=NPNF=9Q。

•「△OPF是等腰直角三角形,

・・・OP=PF,/OPF=900

・：/0尸M+6PF=NPFN+ZNPF=90。

NOPM=/PFN,

•工OMP。4PM%US),

・：OM=PN,

^■/n2+4m-3=2-m,

解得；加三竽（合_

・・7的坐标为（上空，地）：

-------—2—2-

②当P在对前轴的左边，且在X轴上方时，

同理得：2-m=m2-4m+3,

解!得：如三方包（之）或m三号走，

・・.P的坐标为（总与逗i）：

--------2J2人

③当P在对称轴的右边，且在X轴下方时，

同理得AONPt△PMF.

・・・PN=FM、

则-m2+4m-3=m-2,_____

解得：如三或"12=（舍）:

尸的坐标为（出1

④当P在X撇轴的右边，且在X轴上方时，如图,

同理得m2-4m+3=m-2,_____

解得:"三警彼乎（舍），

（5±巫

女是：（竽，竽）或（竽，等）或（苧，野）或白¥5,<F+）.

E（l「l）是D点（2,0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小J2倍得到，

易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°,且到O点距离缩小J2倍的轨迹，

解得上I三一1

同理可得X3三号^或心三号」

（空遮上金）或（空鸟2（1旦）或产吟上渔）或25_上比

------------------------------------21-2—2251—2-2・早'22-2~235t-2

本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性

质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和

方程的思想解决问题的关键.

14.(攀枝花)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交了0(0为坐标原点)，A两点，且二

次函数的最小值为-1,点M(l,m)是其对称轴上一点，y轴上一点B(0,l).

(1)求二次函数的表达式：

(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P,连结PA,PB,设点P的横坐标为LaPAB的面

积为S,求S与t的函数关系式；

(3)在二次函数图象上是否存在点N,使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若

存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由.

思路^领：(1)根据题意知,二次函数顶点为(1,-1),设二次函数解析式为y=a(x-l)2

-1,将点B(0,0)代入得，a-1=0,即可得出答案；

(2)连接OP,根据题意得点A的坐标，则S=SoB+SoAp-SoBP,代入化简即可；

(3)设N(n,n2-2n),分AB或AN或AM分别为对角线，利用平行四边形的性质和中点坐标

公式，分别求出产的值，进而得出答案.

解：(1)・“二次函数的最小值为-1,点是其时称轴.上一点，

・••二次函数顶点为(1,-1)

设二次函数解析式为y=a(x・1)2・1,

将点0(0,0)代入得，a-1=0,

・・・y=(x-l)2-l=x2-2x

(2)连接OP,

当

・・・x=0或2,

，A(2,0),

•・•点P在抛物线Y=X2.2X上，

，点P的纵坐标为仔-21,

「・S=SAOB+SOA>SOBP

三张2X1+^X2(・"2八二勺

=-z2+-t+l：

---------2~~

(3)设N(n、n22n),

当AB为对角线时，由中点坐标公式得，2+0=1+n、

当AM为对角线时，由中点坐标公式得，2+1=n+(),

•：〃=3

*n=-L

・・・N(-L3),

综上：N(l,T)或(3,3)或(-1,3).

总结提升：本题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，平

行四边形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键.

15.(阜新)如图,已知二次函数y=-x?+bx+c的图象交x轴于点A(-l,0),B(5,0),交y

轴于点c.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)如图1,点M从点B出发，以每秒J2个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从

点0出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段0B向点B运动，点此N同时出发.设运动时

间为t秒(0<t<5).当t为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？

(3)已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q,使以A,C,P,Q为顶点的四边形

是平行四边形?若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由.

思路引领：(1)用待定系数法可得二次函数的表达式为尸-x2+4x+5;

(2)过点M作MEJ_x轴于点E,设△BMN面积为S,由ON=l,BM=&t,可得BN=5-l,

=岳・当=t,即得S=g8v・仞5制(5-(/一”+个由二次函数

性勇口J得当t秒时，△B'M的面积最大，最大面积；展年审

(3)[tlB(5,0),C(0,5)得直线BC解析式为y=-x+5,设Q(m,-ni+5),P(n,-r?+4n+5),

有•（m+71=-1+0

分三种情况：①当PQ,AC是对角线,I-m+5-"+471+5=0+5解得Q(-7,⑵；

②当QA,PC为对角线，行匕2M”力””，解得Q（7「2）;③当QC,

,IIIIJIVZIII»fII口I，

PA为对角线,有｛常+工2+25+。，解得Q(l,4)或（2,3）

解：(1)将点A(-L0).B(5,0)代入丫=-x2+bx+c中，

^[0=~1-d+c

^10=-254-+c—

・••二次函数的表达式为丫=-x?+4x+5;

(2)过点M作ME±x轴于点E,如图:

根据题意得：ON=l,BM=v

・・・BN=5x

在v=・x2+4x+5中，令x=0得Y=5

，c（o.5）.

/.OC=OB=5,

列OBC=45。

.♦・M£=BA/sin45。三瓜广=3

:.S三如N・ME三之（5一）•一羊琦三（（马）2土1

*当I三%寸，△BMN的面积最大，最大面积是等;

(3)存在点0,使以ACT.0为顶点的四边形是平行四边形，理由如下:

由B(5.0)C(0,5)得直线BC解析式为v=-x+5,

设O(m.Tn+5),P(〃,力2+4〃+5),J64(-/,0),CY0,5),

①当POAC是对角线，则POAC的中点重住

(m+n=-l+O

-m+5-n2+4n+5=0+