新高考数学解答题预测秒杀：第06讲 数列的综合（学生版+解析版）

第06讲数列的综合

高考预测一：数列不等式的证明

形式1:fq.<g(〃)或者1I21Vg(〃)

1.已知函数/(x)是在(0,~)上每一点处可导的函数，若/(x)>/(x)在(0,位)上恒成立.

(I)求证：函数g(x)=©在(0,e)上单调递增；

X

(II)当X]>0,9>0时，证明：/(凡)+/(工2)</(%+工2)；

(III)已知不等式加(1+X)<%在x>-1且x¥O时恒成立，证明：

-47«22+4加3?+4■防42+…+—5—ln(n+1)2>-----------------(〃eM).

223242(〃+1)22(〃+1)(〃+2)

2.若％=\/lx2+\/2x3+...+/〃(〃+1)(〃为正整数),

求证：不等式竽C”<婚i对一切正整数〃恒成立.

3.(1)求证：1+就+亨+...五+'+薪

求ilt:—1I--1---11-----+...4-----1-<—1—1

416364n~24门

I1.31.3.51・3・5...(2〃-1)

(3)求证:---1-------1---------F...4--------------------<y/2n+\-\

22M24-62U6..2"

111

(4)求证:2(V«+T-1)<14—FH—=+…H—=<限/24+1-1)

V2V3vn

4.等比数列｛凡｝的前〃项和为S”，已知对任意的〃wN"点(〃,S“)均在函数)二b'+，3>0且〃#1,b,r

均为常数)的图象上.

(1)求/•的值；

(2)当人=2时，记以=2(摩3凡+l)SeN"),证明：对任意的不等式且土1刍土L…生1>屈开

仄瓦bn

成立.

5.已知曲线群+丁=0,(〃=i,2,...).从点P(—1,0)向曲线C”引斜率为/(勺>0)的切线小

切点为巴(4，片).

(1)求数列｛%｝与｛)，,｝的通项公式；

(2)证明：玉•马•玉…%-i<户<®COS2.

W+X”3%

6.已知函数/。)=松-"+上望(«>1).

x2

(I)当曲线y=/(x)在(2,f(2))史的切线与直线/:y=2x+l垂直时，求实数a的值;

(II)求函数”力的单调区间;

(III)求证：—+-+—+-■■+---〈历(〃+1)<1+―+一+…+—N")•

234w+l23n

7.已知函数/(x)=仇¥-履+1.

(1)求函数的单调区间；

(2)若恒成立，试确定实数Z的双值范围；

/I、--run历2加3Innn(n-l).5..

(3)证明：——+—+…+----<------(n^N,n>1)

34n+14

8.已知函数/（幻=竺出（4>0,。£&）为奇函数，当x>0时，/（X）的最小值为2.

X+C

（1）求函数的解析式

⑵若g(x)="x)-…CNU..2,求证：*,g(22)+g(32)+g(42)+...+g(〃2)<?.

9.已知三次函数/⑴=3加+；加+以（或，h»ceR,aw0）的导数为/（r）满足条件：

（i）当xwR时，/,（X-4）=/,（2-X）,且T（x）..x;

当xe（0,2）时，（21>；

（沆）r（x）在R上的最小值为0.数列｛凡｝是正项数列，｛q｝的前〃项的和是S",且满足S.=r（qJ.

（1）求f\x）的解析式；

（2）求证：数列｛〃“｝是等差数列；

.la,C：C；C：C；Qy+6J.

（3）求ut：-JL+-2-+-2-+...+—2-„2"~四■.

qa2%an.\

形式2：24<b或者

/=!

10.已知数列｛可｝满足递推式：〃用-2=%-2（〃..2）吗=1,々=3

an%

（1）若包—，求数列也｝的通项公式：

(2)求证：14—21+16—21+…+1%—2]<3,(〃cN).

11.有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A、B、C）,在A杆

自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如图）.游戏的目标：把人杆上的金盘仝部移到C杆上，并保

持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在

下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、。任一杆上.记〃个金盘从4杆移动到C杆需要的最少

移动次数为

（1）求生，a3»并直接写出/与为_I（〃..2,〃£N‘）的关系式;

/八十4+1a+1a+1,

（2）求证：」——+二2一+•••+-2n——<1.

%%%%4。的

rni::::

A杆SHC杆

12.已知函数/（x）=竺吆的图象经过原点，且关于点成中心对称.

X+1

（1）求函数/（X）的解析式；

（2）若数列｛〃“｝满足a”>0,4=1,求数列｛a“｝的通项公式;

（3）在（2）的条件下，设数列｛4｝的前连项和为S”，试判断S”与2的大小关系，并证明你的结论.

13.已知数列｛4｝的前〃项和为S.，且4=±4川=四（.

22/1

（1）求｛为｝的通项公式；

（2）设"=〃（2-S”），weAT,若冗，恒成立，求实数2的取值范围.

(3)设C.=%&,〃wN*,7；是数列｛C,J的前〃项和，证明：-„7；<1.

〃(71+1)4

14.已知数列｛an｝满足：anan_x+2an-an_｛=0,(几.2,〃eN),4=I,前〃项和为S„的数列电｝满足：伪=1,

CC,

bn=.2,〃eN),又3=3("..2,”wN).

1一2q。,1bn

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

111Q

(2)证明：2京Q+—)(1+—)...(]+—)<?(〃2,〃wN).

15.已知函数/(x)=e\g(x)=~x2-x,(其中aeR,c为自然对数的底教，^=2.71828...).

(1)令〃(x)=/(x)+g<x),若力(x)..O对任意的xwR恒成立，求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，设〃，为整数，且对于任意正整数〃，£(」)〃<加，求刖的最小值.

16.已知函数/(x)=ae'-x-1的最小值为0.

(1)求a的值；

(2)若〃?为整数，且对于任意的正整数…l+g)(l+Jx…x(l+£)<m,求m的最小值.

17.已知/(x)=f+2x,数列｛《,｝满足。=3,an+｛=f\an)-n-\,数列也J满足4=2,bn+l=f(bn).

(1)求证：数列｛凡-〃)为等比数列；

I2

(2)令c“=-------,求证：c2+c3+...+cn<-i

⑶求证：—!—+—!—+...+-!—<-

31+乙\+b21+包2

18.已知函数=-X,数列仅“｝满足条件：avA,an+v.f(an+V),

(1)证明：明.2"-l(〃wN*)

(2)试比较…与1的大小，并说明理由.

1+41+%1+

19.设函数/(%)满足/(0)=。且对任意X,yeR,Wf(xy+1)=f(x)/(j)-/(y)-x+2.

(I)求/(©的解析式;

+

(ID若数列｛%｝满足:an+[=3f(an)-UneN)f且q=l,求数列｛《｝的通项;

41

(HD求证：(1+—--)/<n-0<2,(〃wN+)

22/(n-l)

第06讲数列的综合

高考预测一：数列不等式的证明

形式1：之q.<g(〃)或者121Vg(〃)

1.已知函数/(x)是在(0,~)上每一点处可导的函数，若/(x)>/(x)在(0,位)上恒成立.

(I)求证：函数g(x)=13在(0,+oo)上单调递增；

X

(II)当％>0,々>0时，证明：/(%)+/(工2)<f(M+W)；

(III)己知不等式加(1+%)<%在x>-1且X/O时恒成立，证明：

1222

二Ini+-VIni+4rZz/4+...+——!-7历(〃+1)>-----------------5eN.).

2232425+1)22(〃+1)(〃+2)+

【解答】证明：(I)・.・g(x)=&,.卬(幻=生与出

x1

,/才(x)>/(x)，g，(x)>0在(0,+oo)上恒成立，

从而有g。)=®在(0,400)上单调递增；

X

(H)由(I)知，内>0,马>0时，有:(<+w)>&2,&±&2>四2,

“I+W菁Xl+X2X2

于是有：/(%))<——/(%+£)，/(x2)<—/(X)+x2),

X]+x2X]+x2

两式相加得：f(xx)+f[x2)<f(x14-x2)；

(III)由于—!--ln(n+1)2=-----!--In——!-7,设/(x)=xlnx,则xf\x)>/(x)在(0,+oo)上恒成立.

(n+1)(w+1)*in+1)

由(i【)可知：/(^)+f[x2)<f[xx+^2).a>o,巧>0)恒成立

由数学归纳法可知：x,.>o(z=l,2,3,…，〃)时，有.：

/(%)+/(』)+/(玉)+...+/(xw)<f(%+占+玉+...x“)(〃..2)恒成立

x.>07=1,2,3,,〃)时，刈叫+毛/)%+—+怎瓦％<(百+毛+—+%)加(％+/+—+七)(〃..2)(*)恒成

人110111

令乙二即'记S-x+x#…%=尹+?+…+f

SG<11+11+・・.+11=,1-11，

1・22・3w(n+l)n+\

又S„>—+...+---------------------------!-，且ln(x+1)<x

”2.3(〃+1)(〃+2)2n+2

1।।1I〃

(X+X+•••+9)Z/I(X+X2+...+AL)<(X+甬+.・・+4)加(1--)<-,(X+甬+・•・+4)<---(—)-----------I)

“+1n+1'〃+12〃+22(n+l)(n+2)

22

将(**)代入(*)中，可知4-V历22+4M3+-4加42+...+—/ln[n+1)]<-------------------

223242(〃+1尸2(〃+1)(〃+2)

-r加2~+-r加3"+——InAr2,+…+---------ln(n+1)2>------------------

223242(〃+1)22(〃+1)(〃+2)

2.若％=Jlx2+\/2x3+...++为正整数),

求证：不等式幽土包包对一切正整数〃恒成立.

22

【解答】证明：•.•〃＜廊而＜〃+!

1+2+3+...+〃<JiX2+\/zx3+...++1)v(1+—)+(2+—)+...+(w+—)

n(n+1)n1+2n

即OI1：———-<x<---------

2"2

・摘+l)c<(〃+以

2n2

...不等式幽土2■对一切正整数〃恒成立..

2

71

3.(1)求证:心!一_>------(几⑵

3252(2〃-1)262(2«-1)

111

(2)求证:—4--4-------1■…+—<-------------

416364n224门

求证：工+尤+上竺+…+1*3*5...(2n—1)

(3)<+

22M2RS2«46..2〃

求证：（衍+专+...+*〈应（由）

(4)2-1

--一

【解答】证明：（1）当〃..2时,—-5—=!(-!

(21)2(2H-1)(2W+1)22n-\2n+\

"k系+..+法二斤＞"那"？+（歹.+.+（不T五71）口+汽一万力飞一元育

,11171,小

1++TT+・・・+e>(〃・・2)・

3252(2〃-1)262(2«-1)

(2)当〃..2时，—5—=-(—---),

4〃~4-1)〃4n-\n

1±'111111I

++

++一<++

4-4-4-2-4-4-2-

16364n2

/c、2n-\2n

(3),/-------<--------,

2n2n+1

.1.3.5...(2n-l)242(/i-l)2/i11

T=-------------------<—x—x...x----------x--------=-x--------

2M6..2”352w+lT2〃+1

22

T<■=——<――=，2/+1-，2建-1，

\j2n+\2\j2n+\J2〃-1+，27?+1

\__U31・3・51・35..(2〃-1)

+・..+।<(、石—I)+(y/s—\/3)+…+32n+1—J2〃-1)=\j2,n+1—1)

2242*4*62M6・.2〃

11.31.3.51・3・5...(2〃-1)

—十----+-------+・・・+<V2n+l-l.

22*42M«62*46..2〃

22

(4)先证明左边：>.*—j=『/-3=----1------------=----2(J〃+1—,

y/n2yjnyjn+yu+1

1+—=H—产+...H—f=>2[(>/2—I)+(5/3—\/2)+…+(J/i+1—>/w)]=2(JM+1—1).

V2v3

证明右边：•••二./2&=&(42〃+1—，2〃-1).

\Jn\/2/?+1+>J2n—1

1+—7=4—f=+...H—F<>/2[(\/3-1)+(\/5-^3)+...+(J2〃+1—,2〃-1)]=+1—1).

V2V3G

综上可得：2(Jn+1-1)<14—产+—=+…+—=<+1—1).

垃。4n

4.等比数列｛%｝的前〃项和为S.,己知对任意的〃eM,点(〃,S.)均在函数了="+"6>0且bwl,b,「

均为常数)的图象上.

(1)求r的值；

(2)当人=2时，记年=2(log3a”+1)(〃eN*),证明：对任意的〃£“，不等式』十一“十1•…区±1>而T

b\b2bn

成立.

n

【解答】解：(1)由题意,Sn=b+r,当〃..2时，Sn.,=^-'+r,

•-4=—”1)

且bRl,所以几.2时，｛4｝是以。为公比的等比数列，

Xo)=b+r,a,=b(b-\),%~=b,即^——=b,解得厂二一1,

4b+r

「的值T;

(2)证明：当6=2时，由(1)知a“=2i,因此"=2〃(〃€N*),

不等式为2^1>而T

24In

①当〃=1时，左式=?,右式二正，左式》右式，所以结论成立

2

②假设〃时结论成立，即2+1.4+1•丝Ll>历T,

242k

出上・邛+1.2n3>后?坦2攵+3

则当〃=&+1时,

242k2(2+1)2(k+1)2A/T+T

24+3

要证当71=左+1时结论成立，只需证>〃+2成立,

只需证:442+3+9>44二+122+8成立,显然成立,

2+14+12&+12A+3

，当〃=氏+1时,2,4*■2k,2(2+1)(攵+1)+1成立,

综合①©可知不等式I+/2+；>而y成立.

瓦瓦bn

5.已知曲线。“：/一2世+丁=0,（〃=i,2,...）.从点P（TO）向曲线C”引斜率为左（尤>0）的切线小

切点为匕（当，然）・

（1）求数列｛%｝与｛”｝的通项公式;

(2)证明：x.x3x5...x,.<1^—<—•cos—.

V1+Xn3”

【解答】解：（1）设直线/“：y=%（x+l）,联立丁-2,a+y2=o,

得(1+&；)x2+(2%-2n)x+片=0,

则△=(2%-2研一4(1+1尼=0,

,n

k=-j~（负值舍去）,

x/l+2〃

n

-z~^蟹,.、njl+2n

可r得Bnz

（2）证明:层】用二用

1+

w+1

2〃一11

由4n2>4n2-1,即为<-----

472n+l

即喈后

1352n-\fI352n-l

^^••••«2n-l=2X4X—X...X-----------<—X—X—X...X-----------

62n3572w+12〃+l

可得%占凡•••天”-1<

由"扃二展’设/3=X/COSX'

小)=1+争nx,由0<层冷,

可得sinx>0,即/")>0,/㈤在(0,乎］递增，

由/(())=_包<(),八直)=正一且cos^=^(cosX-cos3XO,

33333343

可得x<迈cosx,

3

BRWJ—?—<—cosj—!—,即匕纥。s工

\%+l3、2〃+lW+x“3”

1-/11

6.已知函数/(x)=/zu-or+----(a>-).

x2

(I)当曲线y=/(x)在(2,f(2))处的切线与直线/:y=2x+l垂直时，求实数a的值：

(II)求函数/(X)的单调区间；

(III)求证：-+-++1)<1+-+-+••+-(/7GAT*).

234n+\23n

I一〃I

【解答】解：(I),/f(x)=bvc-ax+----(a>—),曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线与直线Z:y=2x+l

x2

垂直，

，，/XI/1-a..1131

•J(i)L=2=(一一a--^-)〔0=彳一：—;a=一不，

xJT2442

\-a-ax2+x-(\-a)11—ac1八

(IDf\x)=-(〃>一),1-----=2->0»

X2aa

.•.当」＜a＜l时，0＜上±,f(x)在区间(0,tq),(l,+oo)单调递减，在区间d二1)上单调递增;

2aaa

当a」时，上空,,0,/(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(l,+oo)上单调递减；

综上所述，当,＜。＜1时，增区间为(-＞1)＞减区间为(0,-),(1,-Ko);

2aa

当a..l时，增区间为(0,1),减区间为(1,钙)：

(Ill)证明：由(II)知当a=l时，f")=lnx—x,并且/(幻2=/(1)=—1，

因此有x-1在(0,+co)上恒成立：,

用,替换x得加L4一1，即九j1一4在(0,内)上恒成立，

XXXX

因此，当xe(0,+co)时，1」额。工一1恒成立，

X

用替换x得〃(4+,

kk+\k.

ET77<力(颌+1)-1/)<，

hl长十1Jt=lhlK

BP—+-+—+-!—</w(z?+l)<1+—+-+•••+—(??eA^*)(证毕).

234〃+123n

7.已知函数/(x)=。比—心:+1.

(1)求函数/(%)的单调区间；

(2)若/(%)„0恒成立，试确定实数上的双值范围;

«-rnn/〃2/〃3Innn(n-1)八

(3)ut明：——+—+...+----<------z(n&N

34n+\4

【解答】解：(1)函数/(X)的定义域为(0,”),/'(")='—%,当上,0时，r(x)=’—上>0,/(%)在(0,+oo)上

XX

是增函数，当欠>0时，若xw(O，!)时，wf(x)=--k>0,若时，W/V)=--^<0,则f(x)

kxkX

在(0,g)上是增函数，在，,+00)上是减函数.

(2)由(1)知鼠0时，/(%)在(0,+o。)上是增函数，而/(1)=1-^>0,/(幻„0不成立，故女>0，又

由⑴知/(幻的最大值为了(，，要使/*),,0恒成立，则/(6,,0即可，即T成,,0,得女..1.

(3)由(2)知，当上=1时，有/(戏,0在(0,位)恒成立，且/*)在(l,go)上是减函数，/(1)=0,即加x<x-l,

22

在XE[2,4-oo)上恒成立，令4=〃2,则inn<n,即2/〃〃v(〃一1)(〃+1)»从而

Innn-\ln2/〃3/〃4Inn123+...+上1=迎a得证.

----<,——+——+——+…+<-+—+-

〃+1--2345〃+122224

2«

8.已知函数/(幻=竺±(。>0"€/?)为奇函数，当x>0时，/(%)的最小值为2.

X+C

(1)求函数的解析式

(2)若g(x)=/(x)-x,〃eN"且〃..2,求证：^(22)+^(32)+^(42)+...+^(/?2)<--.

2/1n

【解答】解：(1)由函数/(%)=竺旧3>0,。£/?)为奇函数,

X+C

-rzsc,\ax2+\乙、ax2+\

可得f(-x)=------=-fix)=--------

-x+cx+c

:.c=0，

、ax2+1

”r(z“)=------，

X

再由x>0时，f{x}=ClX=ax+—..2\/a=2

XX

w+]

故"(4)=土二。=0)...(4分)

X

证明：(2)g(x)=f(x)-x=—,

X

要证：)+g(42)+...+g(n2)<—―.

2nn

w-1I111n-\

需证:W"齐『不+…’/：­

一方面:…+—^=」+」+」+…+-L」=」=H

22324-n21x22x33x4(n-l)xw22334n-\nnn

(10分)

另一方面：由r...-------(A..2)得:

k22k(k-l)

…+—?—A-L+-L+-L+……+-L/ki

2x2x12x3x22x4x32xn>(n-l)21x22x33x4(rt-l)xn222334n-1n2n

n-l1111

0即rl五'3+示+不+…+/<Y'

故F”g(22)+g(32)+g(42)+…+g(/)〈曰…(12分)

2〃n

9.已知三次函数/(3)=：加+：加2+“3,b,ceR,。/0)的导数为r(x)满足条件:

(i)当xeR时，r(x-4)=/'(2-x),且r(x)..x；

(")当xe(O,2)时，

(茄)广@)在K上的最小值为0.数列｛%｝是正项数列，｛%｝的前〃项的和是且满足S“=r(%).

⑴求广。)的解析式;

(2)求证：数列｛4｝是等差数列；

(3)求证：£+4+£...+邑2"+%.

4%

【解答】解:

证明：（1）由，（%）=,加+,取2+5知，f\x）=ax2+bx+c.

32

..•/。-4）=八2-幻，.•.函数r（x）的图象关于x=-l对称，-2=-1,b=2a；

2a

由（正。知，x=-l时，y=Oi即a-O+c,=O

由⑴得r（1）..i,由（2）得/（1）,,i.

:.r（1）=1，即a+6+c=l,又a-Z?+c=O=O.

,111

b=一,a=-,c=——

244

、1，11

・“㈤丁+产屋

（2）证明：由（1）知S.=r（4,）=；d+ga“+；.

当〃=1时，4=S[=-a；+—%+一,即一a：—4+—=0，

114121441214

即（4-1/=0,即q=1.

当九.2时，4-2=（%；+（凡+；）=；（"：_"；-）+；（%-^-i）

；（%+%）（4-%）-]（4+%）=0

）[；（&_a”T）_g]=0

因为数列｛七｝是正项数列

；（q一%）-；=0

所以可一4T=2

数列｛〃”｝是正项等差数列.

（3）由（2）知，数列｛4｝是首项为1、公差为2的等差数列，

/.a”=1+（〃-1）x2=2〃-1.

C°C'C2Cn„.4+aI依〃C1C2Cn（w+l）2n

..._£_+_2.+-2■+…+—2-融Kn"T——"L等价于T二C°L+-2.+—2_+…+—£-1---L—

4a2%an+iqa”+i1352n+\2n+\

=2（字+0+与+...+昌、,2c+C+G+..C）.瑞

I352w+12〃+1

。牛枭+争白…(条令君辛

为此，只需证明0-+禺“，，细土12c二伏=1,2,3…〃+1)

2k-\2〃-2%+32〃+1"

-1,12(〃+1)

2A-12〃一2左+3'2n+\

即i正町(2、-1)+(2〃-21+3)2(n+1)

(2--1)(2〃-2%+3)”2n+l

a2(〃+1)2(〃+1)

(2k-1)(2〃-2k+3/2w+l

11

o------------------，，-----

(2k-l)(2n-2k+3)2/1+1

<=>2n+K,(2k-1)(2/?一2左+3)

<=>4①一4〃+8左一软:-4..0

。伏一])[〃・伏一])]..0

上式显然成立.

.••原不等式成立.

形式2：tai<b^V\<b

r--lIf°l

00

10.已知数列｛q｝满足递推式：an+l---=an-----(〃-2),4=l,a,=3

%％

(1)若〃,=」一,求数列也｝的通项公式；

1+4

(2)求证：|6一2|十|%-2|十…十1%-2|v3,(ne?7*).

7999

【解答】解：(1),.,4+I---=cin-----=a2----=3-2=1,二.a".]----=1

a”%44

••4=H力(5分)

)知7-L-=1n-(4n

(2)由

1+q32

「J4-21+1-21+…+1-21+1%_2-2K3(—+—+---+T^7)=3(1--<3

而|q-2|+|生-2|+...+|〃2&_2|+|。2八1-2|<3(1_/)+22*，+]=3(1+22,+]一±)

2t+,2

2+1>2*>，22A+I+[<于F，-J-21+1iij—21+...+1t?n-21<3

11.有一种被称为汉诺塔（〃加H）的游戏，该游戏是一块铜板装置.匕有三根阡（编号A、B、C）,在A杆

自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保

持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在

下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、8、C任一杆上.记〃个金盘从A杆移动到C杆需要的最少

移动次数为凡.

（1）求生，的，并直接写出％与。“_|（几2〃£”）的关系式；

（2）求证：0+竺±1+…+幺11<1.

4a24%

rHi::::

CTI：：：：

A杆B杆CFF

【解答】（1）解：当〃=1时，金盘从A杆移到C杆需要的最少移动次数为1次，即4=1：

当〃=2时，将第一层（自上而下）金盘从A杆移到8杆需要的最少次数为1次，将第二层（自上而下）金

盘从A杆移到C杆需要的最少次数为1次，再将已移动到8杆.上的金盘从3杆移到。杆需要的最少次数为

1次，所以％=3；

当〃=3时，将第一层、第二层（自上而下）金盘从A杆移到8杆需要的最少次数为%=3次，将第三层（自

上而下）金盘从A杆移到C杆需要的最少次数为1次，再将已移动到8杆上的金盘从8杆移到。杆需要的

最少次数为6=3次，所以%=2《+1=2X3+1=7；

依此类推：a”=2%_]+l（〃..2,〃eN"）

（2）证明：i己S,f=^^+^^+…+

4出44加

由(1)知=2an_t+l(n..2,neN')即an-\=2(an_}+1)(”..2,〃eN'),

由于4+1=1+1=2,所以1T+1wO(〃..2,〃wN*),

所以&!l_=2(〃..2,〃eN*).

%+1

即数列｛《,+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以％+1=2X2"T=2",即勺=2"-1,

所以％+J2".(2”+—)-(2.-1)_1_______」

a'(2"-1)(2向-1)(2n-l)(2n+,-l)2,f-l2n+,-1

山211111111,1

fyT以S=----------------F----------------+•••H-------------------=------------------=1-----------

"2'-122-122-123-12"-12""一121-!2n+,-l2n+,-1

所以，＜1.

12.已知函数也的图象经过原点，且关于点(-1,1)成中心对称.

x+l

(1)求函数的解析式；

(2)若数列｛q｝满足勺＞0,q=l,%巾(疯)了,求数列｛〃“｝的通项公式；

(3)在(2)的条件下，设数列｛《,｝的前〃项和为S.,试判断S”与2的大小关系，并证明你的结论.

【解答】解:(I)因为函数/(%)="心的图象经过原点，

x+1

所以/(0)=0,即8=0.所以/。)=里=.

x+1

因为函数=—=的图象关于点(-1,1)成中心对称，

x+\x+l

所以a=l.所以/(©=上.

X+1

(2)因为%+]="()2♦且%＞。，

也+1

所以凡二信即亡

1

是首项为j==i,

所以数列公差为1的等差数列.

lilA

所以-^!==1+(〃-l)xl=〃，所以a”UfSwN").

hn

(3)当〃=1时，S|=a}=1<2；

1111

当〃..2时,—<---=----

n~n(n-1)n-\n

所以=4+4+43+…+4=1+—T+-7+..+—2<1+(1——)+(———)+..+(--—)

2'3"n"223n-\n

综上所述，Sn〈2(nwN、.

13.己知数列｛4｝的前〃项和为S“，且《=_1间向=叶1勺.

2In

(1)求｛凡｝的通项公式；

(2)设。=〃(2-S“)，〃wN*,若2”％,♦恒成立，求实数4的取值范围.

(3)设C=QY)”M,7；是数列｛£』的前〃项和，证明：-^Tn<\.

〃(〃+1)4

【解答】解：(1)由已知得也=其中〃eN水

71+12n

，数歹吟)是公比吗的等比数列,

又首项4=!,则％.4分

2n22

(2)由(1)知s”=(+最•+提■+...+矣

1c_123n

=9+亨+文・+广

两式相减得：；s”=；+最+/+…+/一日

.亭=1竽，:J=2-*...7分

.•也=〃(2-S”)，•••〃,="(；：2),

(n+1)(〃+3)〃(〃+2)-n2+3

2〃2"+1

则当k=1,b2-/?!>0,即4〉片,

当儿.2,么+1-〃,<0，即"+1<2，4是最大项且=2,

2........9分

证明：(3)由(1)得,小2="2」(山一屿=2(」——L_),

7i(n+1)2”・〃(〃+1)Tn71+1lir(n+l)2n+,

T=2(-：-------；—+-r---------：—+...+------------------------)=1--------------

"2'122-22”22匕3小2”(w+l)-2n+,2"(〃+1)

又令〃〃)=2”；+])'显然/(〃)在〃eN”时单调递减，

■0</(«)„/(1)=-»

4

3

故己…13分.

14.已知数列｛可｝满足：+2an-an_i=0»(〃..2,〃eN),4=1,前n项和为Sn的数列｛"｝满足："=1,

bn=(九.2,〃€N),又C”=上■(〃..2,〃©N).

1-2。“*