新高考数学解答题预测秒杀：第11讲 立体几何中的探索性问题（学生版+解析版）

第11讲立体几何中的探索性问题

高考预测一：翻折问题

1.图①是矩形48C。和以边48为直径的半圆。组成的平面图形，将此图形沿48折叠，使平面48CO垂

直于半圆0所在的平面，如图②，若点E是半圆。上异于4,3的点.

⑴证明：平面£4£>_L平面EBC；

⑵若AB=2AD=2,且异面直线BE和。C所成的角为名求平面OCE与平面AEC所成的锐二面角的余弦

值.

2.如图①，在平面四边形A8CO中，ZABC=N4DC=90°,BC=CD=2AB=2AD=W,E,尸分别为8C,

。的中点，H为AC与EF的交点,将图形沿虚线AE,AF,E尸折叠，使得B,C,O三点重合于点0,得

到一个三棱锥A-0E尸，如图②所示.

D

(1)证明：AOA.EFi

⑵求二面角4-斯—O的余弦值.

3.如图甲，正方形44'A'A边长为⑵AAJIBBJICC,,AB=3tBC=4,A4分别交叫，因于点乙Q,

将正方形4rA4沿B/CG折叠使得的与4%重合，构成如图乙所示的三棱柱AUG，点用在该

三棱柱底边AC上.

RB,

(1)若AM='，证明：8M〃平面4PQ；

(2)若直线与平面APQ所成角的正弦值为巫，求4M的长.

15

4.如图1,在，3丫中，AC=BC=CV=[,AC_LVS于C.现将“8V沿AC折叠，使V—AC—8为直二面

(1)证明：平面018_L平面VCD：

(2)若棱48上有一点E满足8石=：胡，求二面角的余弦值.

5.如图，菱形A8co的边长为2,对角线AC=26,现将菱形A8C。沿对角线AC折叠至6',使90=1.

(1)求证：AC_L&O；

(2)求二面角AO-9平面角的余弦值.

6.如图，在平面多边形AB尸COE中，石是边长为2的正方形，OCFE为等腰梯形，G为CD的中点,

且DC=2尸石，DE=CF=EF,现将梯形0CFE沿EF折叠，使平面。CFE1平面4卯E.

(1)求证：EG_L平面30尸；

(2)求直线8D与平面C877所成角的大小.

高考预测二：存在性问题的探究

7.如图，在三棱柱ABC-%国G中，AB=AC=2,。为的中点，平面BB£CJ"平面48c.

(1)证明：AD1BB{.

(2)已知四边形BBC。是边长为2的菱形，且/用8。=60。，问在线段CG上是否存在点E,使得平面以。

与平面EAC的夹角的余弦值为姮，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由.

5

8.如图，在多面体ABC£>£尸中，平面AQEF_L平面四边形AD石尸为正方形，四边形ABCQ为梯形，

且AD//BC,ZB4产=90°,AB=AD=1,5c=3.

(1)求证：BF±AD；

(2)求直线CE与平面3。厂所成角的正弦值;

(3)线段8。上是否存在点使得直线CE//平面片而？若存在，求器的值；若不存在，请说明理由.

DU

9.如国，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCO是边长为2的菱形，ZADC=60，△RU)为正三角形，。为

AO的中点，且平面P4£)_L平面ABCD,M是线段PC上的点.

(1)求证：OMLBC；

(2)当点M为线段PC的中点时，求点M到平面P4B的距离；

(3)是否存在点何，使得直线AW与平面左B的夹角的正弦值为画.若存在，求出此时呼的值；若不存

10人

在，请说明理由.

10.如图，平面平面ABC,AA5c是等边三角形，。为A8的中点，BC=CF=2,FA=FB=20，

EA=EB=41-

(1)证明：DE//CF.

(2)在A8上是否存在一点P,使得二面角P-EC-3为直二面角？若存在，求出点尸的位置；若不存在，请

说明理由.

II.如图，已知四棱锥尸-ABCD的底面为直角梯形，AB//DC,ABLAD,且A8=4。=［。=2,

2

PA=PB=PD=A.

M

(1)证明：平面尸8C_L平面P3O；

(2)直线PC上是否存在一点M使得二面角3-DM-C为直二面角，若存在，求出M点的位置：若不存在,

请说明理由.

12.如图，一张边长为4的正方形纸片ABC。，E,尸分别是AO,8c的中点，将正方形纸片沿E尸对折后

竖立在水平的桌面上.

C|--------Y-----5「4=4

11

.用

DEAEA

(1)求证：EFA-AD；

(2)若二面角A-所-。的平面角为45。，K是线段C尸(含端点)上一点，问是否存在点K,使得直线AK与

平面QEF所成角的正切值为：？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由.

13.在四棱锥尸-ABCD中，底面A3CD为直角梯形，AD//BC,NAOC=90°,Q为AO的中点，△240

是边长为2的正三角形，BC=l,CDf,PB=C.

(1)求证：平面Z4£)_L底面ABCQ；

⑵棱PC上是否存在点“，使二面角M-8Q-C的大小为30?若存在，确定点M的位置；若不存在，说

明理由.

高考预测三，开放性问题的处理

14.如图，在正四棱柱A5CO—A4GA中，AA=2A8=2,E,尸分别为核4%，CG的中点，G为棱D»

上的动点.

产四点共面;

(2)是否存在点G,使得平面GEF_L平面比》？若存在，求出DG的长度；若不存在，说明理由.

15.如图，PO垂直于梯形ABCO所在的平面，ZADC=ZBAD=90%F为PA中点,尸。=&,

AB=AD=^CD=\,四边形PQCE为矩形，线段PC交DE于点N.

(1)求平面48c与平面P3C所成角的大小；

(2)在线段族上是否存在一点Q,使得8。与平面8CP所成角的大小为5?若存在，请求出尸。的长；若不

0

存在，请说明理由.

16.如图，四边形4BCD中，AB±AD,AD//BC,AO=6,BC=2AB=4,E,尸分别在3C,A。上，EF//

AB,现将四边形ABC。沿E尸折起，使BEJ_EC.

⑴若BE=1,在折叠后的线段A。上是否存在一点P,使得CP〃平面4加卯？若存在，求出而的值；若不

存在，说明理由.

(2)求三棱锥A-CD尸的体积的最大值，并求出此时点尸到平面ACD的距离.

17.如图，在正三棱柱ABC-AqG(侧楂垂直于底面，且底面三角形A8C是等边三角形)中，BC=CG，

M、N、尸分别是C£,A8,的中点.

(1)求证：平面NPC//平面仞；

(2)在线段8片上是否存在一点。使ABJ平面AMQ?若存在，确定点。的位置；若不存在，也请说明理由.

第11讲立体几何中的探索性问题

高考预测一：翻折问题

1.图①是矩形48C。和以边48为直径的半圆。组成的平面图形，将此图形沿48折叠，使平面48CO垂

直于半圆0所在的平面，如图②，若点E是半圆。上异于4,3的点.

⑴证明：平面E4£)_L平面硝C；

⑵若钻=24)=2,且异面直线BE和。C所成的角为多求平面。CE与平面AEC所成的锐二面角的余弦

值.

【答案】(1)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)根据条件得到8C_LAB,由面面垂直的性质定理得到BC垂直于半圆O所在的平面，6C_LE4,根据

圆的几何性质得到BEJ.EA,故得到E41平面EBC,再由面面垂直的判定定理得到平面E4DJL平面EBC；

(2)由异而直线。上和DC所成的角为g,A0〃£)C知道乙4BE=g,AB=2,BE=1,建立空间坐标系，

33

求得平面OCE的一个法向量，平面AEC的一个法向量，再由向量坐标运算得到两个法向量的夹角的余弦值

即可得到结果.

(1)

•平百ABC。垂直于半圆。所在的平面，两平面的交线为AB,

8Cu平面A8CO,BCLAB,

・・・8C垂直于半圆0所在的平面.

又E4在半圆。所在的平面内，・・・BC_L£4.

・・・A5是半圆。的直径，JNAEB是直角，，跳：，".

而叼8C=8,・・.£4_L平面EBC.

又V£4u平面EAD,二平面EADJ•平面EBC.

（2）

由（1）可知5C垂直于半圆。所在的平面.如图，以点0为坐标原点,

过点。且与A8垂直的直线为x轴，A8所在的直线为y轴，

过点。且与BC平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz.

由异面直线BE和。。所成的角力?，A5〃£>。知道48七=1.

VAB=2»BE=\>E-^-，―,0,4（0,—1,0）.

X/

AB=2AD=2,AC（0,l,l）,D（0,-l,l）,

...祝隹到,叫坐刊,叫祟卜1）.

设平面OCE的一个法向量为P=（X，N],zJ,

昌十|y_4=o,

DE•p=0,

得

CEp=0冬4…i

乂=0取％=2,得马=石，,万=（2,0,6了

设平面AEC的一个法向量为4=（毛,％*2），

x--y-z2=^

喉晨得22

得出=-75%，马=一2力

々+5%=。，

取、2=-1，得9二石，Z2=2,

-/I—\］一p,q45/3J42

・・・仪石,7,2)..25力丽=〒

故平面OCE与平面4EC所成的锐二面角的余弦值为叵

7

2.如图①，在平面四边形A4c。中，ZABC=ZA£JC=90°,BC=CD=2AB=2AD=10,E,尸分别为8C,

CD的中点，”为AC与E尸的交点，将图形沿虚线AE,AFtE尸折叠，使得B,C,。三点重合于点0,得

到一个三棱锥A—0EF,如图②所示.

A

(1)证明：A01EF；

(2)求二面角A-EF-0的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

尾

【解析】

【分析】

(1)由题意,EF1AH,EFLCH,故在三棱锥中，EFA.AH,EF1OH,从而根据线面垂直的判断定

理可得即_L平面A。"，进而有A0_LE尸.

(2)在平面49〃内，过H作OH的垂线HD,则由(I)所_L平面AO”知M,OH,，。两两垂直如图，

分别以BE,H0,〃。在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求出平面。£/与平面AE产的法向量，利

用向量法即可求出二面角A-EF-O的余弦值.

(1)

证明：在平面图形中，EF±AH^EF1CH,

故在三棱锥中，EF1AH,EFLOH,

而A凡O”u平面AO",AHcOH=H.故EF_L平面A0”，

又AOu平面A。”，故AO_LM.

⑵

解：在平面40“内，过”作OH的垂线HD,则由（1）平面AO"知E产，OH,”。两两垂直如图,

分别以HE,HO,加在直线为x,»z轴建立空间直角坐标系.

在平面四边形45C。中，易得EH=FH=；HC=^,AH=3也，

则”（0,0,0）,£（75,0,0）,0（0,2技0）,

由于40=5,所以27/2-0H?+A。？AOA-OH.故4（0,2石,5）.

则屉二（6,0,0）,7M=（0,25/5,5）,

因为40_LM,AOLOH,EFcOH=H,

所以AO_L平面OEF,则平面。七户的一个法向量为次=（0,0,5）.

设平面AE尸的法向量为3=（x,y,z）,

nl[n-77E=O加1后=0

则--，即〈L»

fl-HA=0[2V5y+5z=0

令丫=旧,则丸=0,z=-2,从而〃=（0：K,一2）,

设二面角A-所-。的平面角为J,由图可知。为锐角,

OAn_|02

则cos6=^jpr=—=-.

OA^n5x33

3.如图甲，正方形AA'AA边长为12,AAJIBB\HCC\,AB=3,BC=4,A4：分别交叫，因于点P,Q,

将正方形44AA沿B4,CG折叠使得与4A重合，构成如图乙所示的三棱柱A8C-AMG，点何在该

三棱柱底边AC上.

(1)若AM=—,证明：8M〃平面4PQ；

7

(2)若直线8W与平面APQ所成角的正弦值为巫，求AM的长.

15

【答案】(1)证明见解析；(2)AM=3或

【解析】

【分析】

(1)在图乙中，过M作MN//CQ,交AQ于N,连接PN,证明四边形MNP8为平行四边形，然后得到

BM//PN即可;

(2)分别以明，BC,BB、为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，然后算出平面4P。的法向量坐标，设

前=4/，得M(3—32,42,0),然后由条件建立方程求解即可.

【详解】

(1)证明：在图乙中，过M作MN〃CQ,交A。于N,连接PN,

则MNHPB,/.MNPB共面且平面MNPB交平面APQ于PN,

VAB=3,BC=4,

AAC=5,又AVA'A为正方形，

-715

QC=7,tanQAC=—,由AA/二了，有MN=3=BP,

，四边形MNP8为平行四边形，BMHPN,

又PNu平面4PQ,凡”6平面4PQ,

・•・〃平面APQ.

(2)由(1),AC2=AB2+BC2,AABLBC.

由题图知，PB=AB=3,QC=7,分别以BA,BC,8耳为x,J,z轴，建立空间直角坐标系,

则4(3,0,0),C(0,4,0),P(0,0,3),。(0,4,7),

BC=(0,4,0),AP=(-3,0,3),AQ=(-3.4,7),

设平面APQ的法向量为。=(x,y,z),

则,,｛w-一AP=-3x+3z=0,

ri-AQ=-3x+4y+7z=0,

令x=l,得为=(1,-L1),

设戒=4恁，得“(3-3/1,440),

•・•直线BM与平面APQ所成角的正弦值为叵,

15

.师臼_|3-72|—而

・1网・同］(3-3；＞+16片.415，

3315

解得;1=：或兀=a，即4M=3或AM=点.

4.如图1,在中，AC=BC=CV=l,AC_LV8于C.现将△ABV沿AC折叠，使V-AC-B为直二面

角(如图2),£)是棱A8的中点，连接8、VB、VD.

VB

B

图1图2

(1)证明：平面018_L平面VCO；

(2)若棱A8上有一点E满足8七=：朋，求二面角C-VE-A的余弦值.

4

【答案】(1)证明见解析；(2)叵.

15

【解析】

【分析】

(1)在图2中易证CD1AB,再由V-AC-B为直二面角，VC1AC,得到VCJL底面ABC,则VCJ,A3,

然后由线面垂直的判定定理证得A8_L平面VCD即可.

(2)以C4、C8、CV所在的宜线分别为)轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面

鼎求解.

VCE的一个法向量7和平面必W的一个法向量2,再由cosgl)

【详解】

(1)在图2中，•.•4C=8C,。是A8的中点,

:.CDLAB,

又V一47一。为百二面角.VC1AC,

.•.VC_L底面ABC.

而A8i平面ABC,

:.VCLAB^且VCcCD二C,

所以AB_L平面VCD.

又A8i平面E48,

平面VAB±平面VCD.

(2)以C4、C8、CV所在的直线分别为工轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则C（0,0,0）,A（1,O,O）,8（0,1,0）,V（0,0,1）,

所以9=（0,0」），因为"月=所以则分=（；.（.0

设平面VCE的个法向量，=（，〃,〃,〃），

nJcv.f=onJP=。

则｛一八，叫13八.

CE=0-tn-\—n=0

144

令〃=1,贝IJ7=（-3,1,0）.

同理可以求得平面必3的一个法向量1=(1,1,1).

年匚/j;\一同一卜产|一同

所以8sm-抑-6庖的「5.

又二面角C-VE-A为锐角，所以二面角C-VE-A的余弦值为画.

15

【点睛】

方法点睛：利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平

面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角

5.如图，菱形48co的边长为2,对角线AC=2百，现将菱形A8CO沿对角线AC折叠至B',使&0=1.

（1）求证：AClffD；

（2）求二面角C-AO-&平面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析.（2）坐

【解析】

（1）证明£E_LAC,。£_1,47进而得到小;_1平面&七0与4。_1,8'。即可；

（2）建立以AC中点E为坐标原点的空间直角坐标系七一不n,再分别求解平面9AD与平面ACD的法向量,

再求解二面角C-AD-8'平面角的余弦值即可.

【详解】

（1）如图所示，取4c的中点为E,连接OE、BE，

因为48'=8'C,AO=C£）,所以8'E_LAC,DEIAC,

又BEcDE=E,所以AC>1•平面夕瓦）,

又因为87）u平面B'ED，所以AC_L8'O：

（2）在等腰△9AC中，可求得8E=1,同理DE=1.

又因为夕。=1,所以△9即为等边三角形.

建立外图所示的空间直角坐标系E-型，

则C（>/3,0,0）,A（-疯0,0）,。（0,1,0）.9吗,当，

所以而=（6J0）,前=（O,g,_g）.

设平面BAD的一个法向量为n=(x,y,z),

出x+y=0

则1G，不妨取3=卜1,在力

—y------z=0

[22

易知平面ACD的一个法向量为m=(0,0,1),则cos<m,n>=——=—,

5/5x15

所以二面角C-AO-&平面角的余弦值为g

【点睛】

本题主要考查了线面垂直证明线线垂直的问题，同时也考查了建立空间直角会标系求解二面角的问题.属于

中档题.

6.如图，在平面多边形中，河石是边长为2的正方形，为等腰梯形，G为CD的中点,

且DC=2尸E,DE=CF=EF,现将梯形OCFE沿石尸折叠，使平面DCFE_L平面在:.

(1)求证：EGL平面BDF；

(2)求直线30与平面C8/7所成角的大小.

【答窠】(1)证明见解析

(2)60°

【解析】

(1)先证明EG_LOF、BFLEG,然后证明EG_L平面BO尸即可;

(2)取所的中点。，连接G。，过点。在平面ABEE内作所的垂线OH,以OHOFQG所在直线分别

为乂y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后再利用空间向量的运算求解即可.

【详解】

解：(1)连接

由已知，得DG"EF,DG=EF,DE=DG=2,

则四边形OEFG为菱形，

故EG_LD/.

因为平面DCFE_L平面ABFE,平面ZXKEc平面ABFE=EF,BF1EF,

所以5尸_1_平面OCFE.

又EGu平面0CFE,

所以M_LEG

又5/n。尸=尸，

所以EGJL平面8。尸.

(2)取E尸的中点0,连接GO,

则易知GOJ■平面ABFE，

过点0在平面ABEE内作Ek的垂线O“，以O”,OF,OG所在直线分别为乂、"轴建立如图所示的空间直

角坐标系，

则B(2,1,0),F(0,1,0),C(0,2,6),0(0,-2,回

所以丽=(2,0,0),FC=(0,1,V3),丽=(2,3,一6).

设平面的法向量为〃=(x,y,z),

加丽=0,2x=0,

则即则x=0,

n-FC=0,y+6z=0,

取y=-73,则z=1,

故：=(0,-石,1)为平面CBF的一个法向量.

设直线8。与平面CM所成的角为6.

|丽内_46二石

则sin0=|cos(DB,n)|=

从而直线5。与平面CBr所成的角为60。.

【点睛】

本题考查了面面垂直的性质定理,重点考查了空间向量的应用，属中档题.

高考预测二：存在性问题的探究

7.如图，在三棱柱ABC—A.4G中，AB=AC=2,。为8c的中点，平面_L平面4BC.

(1)证明：AD上BB］；

(2)已知四边形8800是边长为2的菱形，且/8产。=60。，问在线段CG上是否存在点E，使得平面£4。

与平面E4C的夹角的余弦值为姮，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由.

5

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，1

【解析】

【分析】

(1)由面面垂直证明线面垂直，进而证明线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.

⑴

•：AB=AC,且。为BC的中点，AADIBC,

因为平面平面ABC,交线为6C,AD.LBC,AZ>J面A8C,

所以4)_1面88℃,

因为381U面B8CC，

所以AOJ.8&.

(2)

假设存在点E,满足题设要求

连接£。，80,・・•四边形84CC为边长为2的菱形，且/48。=60。,

：“BiBC为等边三角形,

•・•。为8C的中点

:.B、D工BC,

•.•平百平面A8C,交线为BC,4/)匚面88℃,

所以4OJL面A8C,

故以。为原点，DC,DA,。4分别为k,)，，z轴的空间直角坐标系.

则D(0.0,0),A(0,>/3,0),C(l,0,0),G(2,0询,西=(1,0词.

设区=4可(0W4K1),AC=(l,-x/3,0),AE=AC+CE=(l+2,-AV3/l).

..n,AE-0(1+Z)x-\/3v+\/3Az—0

设面AEO的一个法向量为〃=(x,y,z),则，_=>\-

')n-DA=0J5V=0

令z=l+/,则〃=卜有40,1+4).

—fn-AE=0(1+A^x—>/3y+\j3Az=0

设面4EC的一个法向量为/w=(x,y,z),则{——八={r，

I，力)[mAC=0x-y/3y=0

令z=-l,则而二(G/,—1).

〃?•〃|一34—1—川>/r5

设平面EAD与平面EAC的夹角为2则cos。=\「=当.

22

可〃V5XA/3A+(1+2)5

解得：2=1,故点石为CG中点，所以8=1.

8.如图，在多面体A5C£)E9中，平面4)斯_1_平面A3/.四边形ADE"为正方形，四边形A8CD为梯形,

且AD//BC,NBA产=90°,AB=AD=1,BC=3.

(1)求证：BF工AD；

(2)求直线CE与平面3。尸所成角的正弦值；

(3)线段BD上是否存在点用，使得直线CE〃平面4根？若存在，求黑的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)讦明见解析

⑵4

3

(3)存在点M,使得CE〃平面且f=：

【解析】

【分析】

(1)由面面垂直的性质可得4)_L平面再由线面垂直的性质可证得结论，

(2)可证得AB,ARA"两两垂直，所以分别以48,4DA尸为x轴，》轴，z轴建立空间直角坐标系，利用

空间向量求解，

(3)设桨=%，然后利用空间向审求解

(1)

证明：因为xn瓦'为正方形，

所以AF_LAD.

又因为平面4)£尸_L平面A8厂，

且平面ADEFD平面ABCD=AF,

所以4。_1_平面尸.

8户u平面

所以5/_LA£＞；

(2)

由(1)可知，AD_L平面A3尸，所以AB_LAD,AF^AD.

因为NBA尸=90。，所以A&AD,A尸两两垂直.

分别以48,A£),A尸为x轴，＞轴，z轴建立空间直角坐标系(如图).

因为AA=4力=1.BC=3,

所以4(0,0,0),3(1,。0),。(1,3,0),。(0,1,0),现0,1,1),尸(0,0,1),

所以旃=(一1,0,1),丽=(一1,1,0),CE=(-1,-2,1)

设平面尸的一个法向量为♦=",)，,z),

小丽=0-x+z=0,

则《即＜

ri-BD=0'-x+y=0/

令％=1,则y=i,z=i；

所以3=(iji).

设直线CE与平面5。尸所成角为。,

则sin9=|cos<n,CE)|=!一；2.1=%=旦.

>/3X763应3

直线CE与平面80厂所成角为的正弦值为也；

3

(3)

设警=%，易知4e(0,D

BD

设㈣不如马),则(％-1,%马)=4(一1,1,0),

所以％=1-4,=九马=0,所以M0—440),

所以丽=(1一4,40).

设平面AFM的一个法向量为m=(.%,%,z0)，贝lb而?

m-AF=0

（1一义）%+4%=0,

因为通=(0,0,1),所以，

,zo=0,？

令/=%,则%=2-1,所以正=（九4-1,0）.

在线段班>上存在点M，使得CE〃平面等价于存在&(0,1),使得而•诙=0.

因为屈=(一1,一2,1),由正.屈=0,

所以*2(4_1)=0,

2

解得7=§w(0,l),

所以线段8。上存在点“，使得CE//平面AFM,且黑=羡.

BD3

9.如国，在四棱锥P-ABCO中，底面ABCD是边长为2的菱形，ZADC=60,△R4O为正三角形，。为

AO的中点，且平面P4O_L平面ABC。，M是线段PC上的点.

(1)求证：OMJ.BC；

⑵当点”为线段PC的中点时，求点M到平面的距离：

(3)是否存在点M,使得直线4W与平面丛6的夹角的正弦值为噜.若存在，求出此时黑的值；若不存

在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

⑵孚；

⑶存在，且警=;.

【解析】

【分析】

(1)连接0。、AC,证明出AD_L平面P0C,利用线面垂直的性质可得出A0_LPC,再结合A0//BC可

证得结论成立；

(2)推导出P01平面A3CZ),然后以点。为坐标原点，0C、0D、0P所在直线分别为工、y、z轴建

立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点M到平面的距离；

(3)设丽=4定，其中0W4W1,利用空间向量法可得出关于4的方程，结合0W4W1可求得义的值，

即可得出结论.

(1)

证明：连接0C、AC,

因为囚边形48CD为菱形，则4)=8,因为NAOC=60"则ZXACO为等边三角形，

因为。为AO的中点，故OC_LAO,

因为△以£)为等边三角形，。为AO的中点，则P0_LAD,

•••PO\OC=O,.•.AO_L平面产。。，•.•尸。<=平面产。。，则人。12。，

QBCI/AD,故BC上PC.

⑵

解：因为平面R4£>_L平面A8C。，平面PAOPI平面A8c£)=A0,PO1AD,尸Ou平面RAO,平

面ABC。，

因为OC_LAO,以点。为坐标原点，OC、OD、0P所在直线分别为工、V、z轴建立如下图所示的空间

直角坐标系，

设平面的的法向量为/二(x,y,z),而=(6,7,0),而=(0,1,6),

rfiAB=y/3x-y=0

取x=i,可得心=(i,\/5,-1),

ffi-AP=y+V§z=0

AM=g,l,4,所以点M到平面E48的距离为1=4：；|~^=噜=^^

I22)55

(3)

解：设丽=4n=/1(6,0,-@=(&,0,-&),其中OWZ1,

丽=丽+而=(0,1,百)+(百40,-&,|=(&,1,75-疯卜

由题意眄(位⑹卜售*=到丁二芈,

1'71\AM[\m\J6——64+4.石10

整理可得9万+3/1-2=0,因为0W/IW1,解得2=；,

因此，存在点M,使得直线AM与平面丛6的夹角的正弦值为®,此时黑=1

10PC3

10.如图，平面ABE_L平面A8C,“18c是等边三角形，。为A3的中点，BC=CF=2,FAFB=2夜，

EA=EB=y/2.

(1)证明：DE//CF,

(2)在A6上是否存在一点P,使得二面角P-EC-8为直二面角？若存在，求出点P的位置；若不存在，请

说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，点尸在线段人£>靠近A的四等分点处

【解析】

【分析】

(1)利用线面垂直的性质，即证明OE_L平面ABC.CF_L平面48c,即可得到答案；

(2)证明。两两垂直，以。及DC,。后所在直线分别为工釉，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如

图所示)，设P(P,O,O)(〃wO),根据法向量的数量积为0,可得关于〃的方程，即可得到答案；

⑴

证明：因为E4=EB,。为A8的中点，所以

因为平面ABEJ•平面ABC,平面ABED平面ABC=AB，£>£u平面A3E,

所以。E_L平面ABC

因为BC=CF=2,FB=20,所以5C二十C尸1=尸片，所以C〃_L4C,

同理CFJ_AC.

因为ACDBC=C,AC,4Cu平面A8C,

所以CF1平面48C,

所以DE〃CF.

⑵

连接C。，则CQ_LAB,由(1)知OE_L平面ABC,且CDu平面ABC,

所以OE_LCD,所以。两两垂直.

以ZMOCDE所在直线分别为x轴，)，轴，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，则8(1,0,0),C(0,6,0),

^(0,0,1),设P(p,0,0)(pw0),所以配=(0,0一1),丽=(1,0,-1),EP=(p,0,-l).

设平iocE的一个法向量心(7,力则｛篝:

令y=i，得勺=(石,1,百).

设平面PCE的一个法向量心(心必㈤，则｛|案:即惶D

令丫2=P，得后=(右,P，Gp).

一一3

因为二面角P—EC—8为直二面角，所以同运=0,即3+p+3P=0,所以〃二一“

所以点尸在线段A。靠近A的四等分点处时，二面角P-EC-B为直二面角.

11.如图，己知四棱锥F—A68的底面为直角梯形，AB//DC,AB±ADf且AB=4£>==2,

PA=PB=PD=瓜.

(1)证明：平面P3CJ_平面PBD；

(2)直线PC上是否存在一点M使得二面角8-DW-C为直二面角，若存在，求出M点的位置；若不存在,

请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)点M存在，且为PC的中点

【解析】

【分析】

(1)由已知可得8c_L80,取8的中点为Q点，可得四边形A8Q。为正方形，连接AQ、BD,取AQ、

8。的交点为。点，由△PO4咨线面垂直的判断定理可得P0_L平面A8CO及BC1平面

PBD,再根据面面垂直的判断定理可得答案；.

(2)存在，M为PC的中点，过。点作平面ABC。的垂线，以。为坐标原点建立空间直角坐标系，设

PM=ZPC=(-^n-2A),求出平面8QM、平面。M的法向量，由二面角的向量求法可得答案.

(1)

如图，在直角梯形A8CO中，因为

AB=AD=^CD=2,所以BD=BC=2壶,又因为CZ)=4,

所以BC上BD.取CO的中点为。点，因为A8=4O=gcZ)=2,

所以四边形ABQ。为正方形，连接AQ、BD,取AQ、BD的交点、为O点、,连接P0,

因为P4=PB=P0="，所以△PQA0ZiPOB且△&>£>,

所以尸O_LQ4,POYOB,PO1OD,Q4u平面ABC。，OOu平面ABC。

所以P。J■平面ABC。，BCu平面4BCZ),所以POJLBC,又因为BCJL8。

所以BCI平面PBD,所以平面PBCL平面PBD.

⑵

存在，M为PC的中点.证明如下:

过。点作平面ABC。的垂线，以力为坐标原点

建立幻图所示的空间直角坐标系，

因为48=PA=PB=PD=R，

所以0(0,0,0),8(22,0),C(0,4,0),尸(以,2),

PC=(-1,3,-2),DP=(1J,2),设前=2无=(-434—22),

所以M(l-41+3；l,2-2A),丽=(2,2,0),

DA7=(1-2,1+32,2-22),设平面BDM的法向量工=&,乂凸),

DBn=2xl+2yi=0

DMn=(\-A)xi+(1+32)^+(2-22)Zj=0

所以7=(i,-1,杏)，设平面aw的法向量碗=(%,%,22),

平面CDM即平面C£)P,所以〈____,

DP-n=Xj+y2+2z2=0

所以正=(2,若二面角5—OM-C为直二面角，

221

所以疣•万=2-所以;1=弓，所以点M存在，且为尸。的中点.

1—A2

12.如图，一张边长为4的正方形纸片ABC。，E,尸分别是A。，BC的中点，将正方形纸片沿七尸对折后

竖立在水平的桌面上.

(1)求证：EFLAD；

(2)若二面角A-防-。的平面角为45。，K是线段Cr(含端点)上一点，问是否存在点K,使得直线4K与

平面C。七户所成角的正切值为;？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在；CK的长度为2

【解析】

【分析】

(1)由已知条件可得即_L平面4QE再由线面垂直的性质可证得结论，

(2)方法一：由已知可得NAED是二面角A-EF—。的平面角，即NAEO=45。，过A作AG_LDE,垂足

为G,则由面面垂直的性质可得AGJ■平面8样，连结KG,则NAKG为AK与平面8EF所成的角，然

后在RuAGE,RtAAGAT和RtAKGH中计算即可，

方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，设K尸=/(0"«2),利用空间向量求解即可

(1)

因为EFJ_AE,EFA-DE^AE[}DE=E,

所以MJL平面

因为4Ou平面4DE,所以EVLAO.

Q)

方法一：

因为印_LAE,EF工DE,所以/4皮＞是二面角4一£「一。的平面角，即NAED=45。.

因为EF_L平面AOE,所以平面CDE产，平面AOE.

过A作AG_LD£,垂足为G,因为平面CDMD平面4)£=£＞七，

所以46_1_平面CDEF.

连结KG,则NAKG为AK与平面8£下所成的角，即tan/4KG=§.

在R3AGE中，因为AE=2,ZAED=45°,所以AG=VL

4G1

在Rtz\AGK中，因为tan/AKG=y=；,所以KG=3应.

设KF=《0WfW2),过K作KH_LOE于〃，则

在RSKGH中，由K42+GH2=KG2，得4?+(后-/丫=(30)2,

解之得/=0或.=2及(舍)，所以"=0,即CK=2.

方法二：因为律_LAE,EhDE，所以NA£D是二面角A-E尸一。的平面角，即NAEO=45。.

建立如图所示的空间直角坐标系，设K尸=《0KY2),则

设直线AK与平面8防所成角为。，贝hanJ=g,从而$小夕=盍.

设平面CDEF法向量为＞=(x,y,z),直线AK的方向向量与平面COE尸法向量所成的角为£,则|cos4|=焉.

因为乔=(0,0,4),£0=(72,72,0),

U-EF=4z=0

所以令丁=一1贝iji=(I0)

u•ED-41x+\/2y-0

4i五,

----/t-L9-------1

..221

所以|COS⑼=-------------r—==二,解得f=0.

.序2卜臣16'

此时，点K为点RCK的长度为2.

13.在四棱锥尸一ABC。中，底面48co为直角梯形，AD//BC,NADC=90。，。为的中点，^PAD

是边长为2的正三角形，BC=1