新课标高中数学人教A版教案基本初等函数

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备课资料

［备用习题］

1.以下各式中成立且结果为最简根式的是()

A上军=痂

G行

D.(V5-V125)3=5+125V125-2痒V125

答案：B

2.对于a>O,r,sdQ,以下运算中正确的是()

A.a'.aWsB.(ar)s=arsC.(-)'=a'-bsD.a'b-(ab)^

b

答案：B

3.式子、仁2=成立的充要条件是()

Vx-1A/X-1

x—2

A.----->0B.x/1C.x<lD.x>2

x—1

分析：方法一：

要使式子、仁2=成立，需x-l>0,x-2K),即x>2.

Vx-1

右X22,则式子J----=/成".

VX-1yjx-\

lx—2ylx—2

从而x>2是式子、上」=半二成立的充要条件.故选D.

Vx-i

方法二：

Y—2

对A,式子——>0连式子成立也保证不了，尤其x-2<0,x-l<0时式子不成立.

X-1

对B,x-l<0时式子不成立.

对C,x<l时Jx-1无意义.

对D正确.

答案：D

解：-^b-(2-\/b-1)=J(y/lj-])-=yfb-l(l<b<2).

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5.计算V2+V5+V2-V5.

解：令x=#2+百+#2-百,

两边立方得X3=2+75+2Q+3^2+75*V2-V5・(^2+75+^2-75),即

X3=4-3X,X3-3X+4=0.

(X-1)(X2+X+4)=0.

21215

・.x-+x+4=(x+—)+—>0,

24

x-l=0,EPx=l.

V2+V5+V2-V5=1.

第二章基本初等函数（I）

本章教材分析

教材把指数函数、对数函数、基函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象

的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型

的基本过程和方法，学会运用具体的函数模型解决一些实际问题.

本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景，理解有理数指数事的意义，通过具体实

例了解实数指数暴的意义，掌握累的运算;理解指数函数的概念和意义，掌握f（x）=a'的符号及

意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单

调性、值域、特别点），通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数

的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然

对数,通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数，直观了解对

数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f（x）=logux的符号及意义，体会

对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了

解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）；知道指数函数y=a'与对数函数y=logux

互为反函数（a>0,a声），初步了解反函数的概念和f7x）的意义;通过实例了解基函数的概念,

结合五种具体函数y=x,y=x2,y=x1y=x」,y=x2的图象，了解它们的变化情况.

本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质，要在理解定义的基础上，通过几个特殊函数

图象的观察，归纳得出一般图象及性质，这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方

法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点.

教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想

素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能

联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与

指数函数的有关内容作了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想.

建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,

目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓

展.教材对新函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幕函数，并且安排的顺序

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向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指

数函数的动态图象，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑

绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生

认真研读.

本章教学时间约需14课时，具《本分配如下(仅供参考)

2.1指数函数约6课时

2.2对数函数约6课时

2.3幕函数约1课时

本章复习约1课时

2.1指数函数

2.1.1指数与指数塞的运算

整体设计

教学分析

我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幕的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾

平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数.进而推

广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幕的运算性质由整数指数慕推广到实数指数慕.

教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子:GDP的增

长问题和碳14的衰减问题.前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数累，也让学生感

受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,

激发学生探究分数指数幕、无理数指数辱的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫.

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数嘉运算律的推广)、类比

的思想、逼近的思想(有理数指数幕逼近无理数指数幕)、数形结合的思想(用指数函数的图象

研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值.

根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学

情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.

三维目标

1.通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数基的概念，进而学习指数嘉的性质.掌握分数

指数幕和根式之间的互化，掌握分数指数暴的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.

2.掌握根式与分数指数塞的互化，渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学，

一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.

3.能熟练地运用有理指数基运算性质进行化筒、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算

能力.

4.通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数塞的运算性质.展示函数图象，让学生通过观察，

进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美.

重点难点

教学重点：

(1)分数指数基和根式概念的理解.

(2)掌握并运用分数指数基的运算性质.

(3)运用有理指数基性质进行化简、求值.

教学难点：

(1)分数指数基及根式概念的理解.

(2)有理指数基性质的灵活应用.

课时安排

3课时

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教学过程

第1课时指数与指数幕的运算(1)

导入新课

思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它

们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题

我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指

数函数——指数与指数基的运算.

思路2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方

根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题:指数函数——指数与指数事的运算.

推进新课

新知探究

提出问题

(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？

(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢？

(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？

(4)可否用一个式子表达呢？

活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类

比平方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题②的结论进行引申、推广，相互交流讨论后

回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维.

讨论结果：

(1)若x2=a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如:4的平方根为±2,

负数没有平方根，同理，若x3=a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如:-8的立方根

为-2.

(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根.一个数的五

次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.

(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.

(4)用一个式子表达是，若xn=a,J)llJx叫a的n次方根.

教师板书n次方根的意义：

一般地，如果x“=a，那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n>l且nGN.

可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

提出问题

(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?(多媒体显示以下题目).

①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；

⑥0的7次方根；⑦战的立方根.

(2)平方根，立方根,4次方根,5次方根,7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特

点?4,±8,16,-32,32,0"分别对应什么性质的数,有什么特点？

(3)问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零,结论有一个的，也有两个

的，你能否总结一般规律呢？

(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢？

活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的

n次方等于a,及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点,对问题

(2)中的结论,类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生

提示引导考虑问题的思路.

讨论结果：

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(1)因为±2的平方等于4+2的立方等于8+2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5

次方等于-32,0的7次方等于0"的立方等于a2所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32

的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a$的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,az.

(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看，这些数包括正数，负数和零.

(3)一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次

方根都是0.

(4)任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶

次方是一个负数.

类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：

①当n为偶数时,a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用标表示,如果是负数,

负的n次方根用-标■表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成土板(a>0).

②n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用

符号磊表示.

③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零.

上面的文字语言可用下面的式子表示：

[〃为奇数,a的〃次方根有一个为伍

a为正数•〈

.〃为偶数，。的〃次方根有两个担标.

小谷物[〃为奇数。的〃次方根只有一个为万，

a为负数

[〃为偶数，。的〃次方根不存在

零的n次方根为零,记为我=0.

可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例.

思考根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况？

活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根,零的任

何次方根，这样才不重不漏,同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根,立方根,4次

方根等，看是否有意义,注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题.

解答：答案不唯一，比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为卬-27,而-27

的4次方根不存在等.其中加币也表示方根，它类似于Va的形式，现在我们给式子'4a一个

名称——根式.

根式的概念：

式子F叫根式，其中a叫被开方数,n叫根指数.

如之一27中,3叫根指数,-27叫被开方数.

思考

也”表示a"的n次方根，等式一定成立吗？如果不一定成立,那么此等于什么？

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活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号，充分让学生多举实例，分组讨论.教师点拨,

注意归纳整理.

(如y(-3)3=百工7=-3,#(-8)4斗8|=8).

解答：根据n次方根的意义，可得:(布)"=a.

通过探究得到：n为奇数，叱=a.

n为偶数?二同二卜”20'

a,a<0.

因此我们得到n次方根的运算性质：

①(④')n=a冼开方，再乘方(同次)，结果为被开方数.

②n为奇数,也"=a.先奇次乘方,再开方(同次)，结果为被开方数.

n为偶数先偶次乘方,再开方(同次)，结果为被开方数的绝对值.

-a,a<0,

应用示例

思路1

例1求下列各式的值：

32

⑴V(-8)；(2)7(-10);(3)y(3—万)4；(4)J("份2(a>b)

活动：求某些式子的值,首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识,关键是

啥,搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况，让学生展示结果,抓住学

生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运

算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还

是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数.

解：(1)而于=-8;

(2)J(-10)2=10；

(3)1(3-万)"=71-3;

点评：不注意n的奇偶性对式子^的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解

的基础上，记准，记熟，会用，活用.

变式训练

求出下列各式的值：

(l)V^；

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⑵V（3a—3）3（aSl）;

⑶」（3。-3）4.

解：（l）V（-2）7=-2,

⑵y（3a-3）3（a<l）=3a-3,

（3）V（3a-3）4=<3Q-3,Q21,

3-3a,a<1.

点评：本题易错的是第⑶题，往往忽视a与1大小的讨论，造成错解.

思路2

例1下列各式中正确的是()

(l)V^'=a;

(2)V(-2)2=V72;

⑶a』；

(4)'V(V2-1)5=7(V2-1).

活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义

和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数,严格按求方根的步骤，体会方根运算的

实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答.

解：⑴叱=a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写后7=|a|,故本题错.

(2)在方，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论

为［(-2)2=正，故本题错.

(3)a°=l是有条件的，即a川,故本题也错.

(4)是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故本题正确.所以答案选(4).

点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错，选四个答案的情况都会

有，因此解题时千万要细心.

例73+272+73-272=

活动：让同学们积极思考，交流讨论,本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容

是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,

因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方公

式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路.

解：73+272=71+2V2+(V2)2=7(1+V2)2=V2+1.

73-2V2=7（V2）2-2V2+1=7（V2-1）2=V2-1.

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所以)3+2直+73-272=272.

点评：不难看出)3-2/与)3+2后形式上有些特点,即是对称根式，是以±2诟形式

的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.

思考

上面的例2还有别的解法吗？

活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的

特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是+,一个是去掉一层根号后,相加正好抵消.同时

借助平方差，又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可,探讨得另一种

解法.

另解：利用整体思想,x=)3+24+，3-24,

两边平方得X2=3+2V2+3-2V2+2(飞3+26)(，3-2拒)=6+27fW=6+2=8,所

以x=2V2.

点评：对双重二次根式,特别是形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子

化成一个完全平方式，问题迎刃而解,另外对+2诟±以-2赤的式子，我们可以把它

们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解.

变式训练

若yja2-2a+l=a-l,求a的取值范围.

解：因为Va2-2a+l=a-1,而Ja?-2a+1=Q(a-1)2=|a-1|=a-1,

即a-l>0,

所以吟1.

点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号，是解题的关键.

知能训练

(教师用多媒体显示在屏幕上)

1.以下说法正确的是()

A.正数的n次方根是一个正数

B.负数的n次方根是一个负数

C.0的任何次方根都是零

D.a的n次方根用我'表示(以上n>l且neN).

答案：C

2.化简下列各式：

(1)V64;(2)V(-3)2;(3)叱；(4)；(5)(仅7尸.

答案：⑴2;(2)M;(3)X2;(4)|X|77；(5)|x-y|.

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3.计算77+740+"屈=______.

解：g+VZU+J7-痂

=7（V5）2+2V5•V2+（V2）2+7（V5）2-2V5•V2+（V2）2

=-J（V5+V2）"+（V5—V2）-

=45+42+45-4^2

=2y/5.

答案：2Vs

拓展提升

问题：叱=2与（标）1'=2（n>l,neN）哪一个是恒等式，为什么?请举例说明.

活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论,解决这一问题要紧扣n次方根的定

义.

通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零,n为偶数时,n为奇数时讨论一下.再对a是负数,n为

偶数时,n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论.

解答：①（后）n=a（n>l,n£N）.

如果x"=a（n>l,且nGN）有意义，则无论n是奇数或偶数,x="Z一定是它的一个n次方根,

所以（底）n=a恒成立.

例如：（W）4=3,（V-5）3=-5.

②厢1当〃为奇魏

1|a|,当〃为偶数

当n为奇数时,a6R,M»=2恒成立.

例如：VF=2，V（-2）5=-2.

当n为偶数时,aeR,a）0,加7表示正的n次方根或0,所以如果a也那么也F=a.例如疗=3,

V0=0；如果a<0,那么标=|a|=-a,如而了=籽=3.

即（八'na）"=a（n>l,nGN）是恒等式，也F=a（n>l,nGN）是有条件的.

点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解.

课堂小结

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学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上.

1.如果xn=a,那么x叫a的n次方根，其中n>l且n^N.用式子后表示,式子后叫根式，其中

a叫被开方数,n叫根指数.

(1)当n为偶数时,a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用后表示,如果是负数,

负的n次方根用-后表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±42(a>0).

(2)n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用

符号爪表示.

(3)负数没有偶次方根.。的任何次方根都是零.

2.掌握两个公式：n为奇数时，(底)"=a,n为偶数时，""*=一'”"

-a,a<0.

作业

课本P59习题2.1A组1.

补充作业：

1.化简下列各式：

(1)V81;(2)甲二变;(3)V?；(4)^a2b4.

解：(1而=疗=疗=莎；

(2只/岳-行~亚；

⑶―V^¥=X2；

(4)田齐阈(I。")?=五|・。・

2.若5<a<8,则式子Jm-5)2-J(a-8)2的值为.

分析:因为5<a<8,所以J(a-5)2-J(a-8/=a-5-8+a=2a-13.

答案：2a-13.

3."5+2斯+75-276=.

分析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出,由此提

示我们想办法去掉一层根式，

不难看出75+276=7(3+2)2=V3+V2.

同理75-276=7(3-2)2=6-JL所以45+2布+加-2庭=273.

答案:2百

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设计感想

学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式

的概念和性质难以理解,在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例,根式爪的讲

解要分n是奇数和偶数两种情况来进行,每种情况又分a>O,a<O,a=O三种情况，并结合具体例子

讲解，因此设计了大量的类比和练习题目,要灵活处理这些题目，帮助学生加以理解，所以需要

用多媒体信息技术服务教学.

(设计者：路致芳)

第2课时指数与指数募的运算(2)

导入新课

思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳

后进入所有活组织，先为植物吸收,再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸

收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14,其组织内的碳14

便以约5730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的

含量，便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间，变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数

幕的运算之分数指数事.

思路2.同学们，我们在初中学习了整数指数累及其运算性质，那么整数指数累是否可以推广

呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数与指数塞的运算之分

数指数幕.

推进新课

新知探究

提出问题

(1)整数指数累的运算性质是什么？

(2)观察以下式子，并总结出规律：a>0,

___________10

①=2f=a2=a5;

_______8

②好=7^?=a4=a5;

___________12

③叱=加斤=2&了；

________

®y[a^==a，=a2.

(3)利用(2)的规律，你能表示下列式子吗？

疗而，版,VF(x>0,m,nGN：且n>1).

(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？

(5)你能推广到一般的情形吗？

活动：学生回顾初中学习的整数指数事及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步

的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类

比(2)的规律表示，借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励

提示.

讨论结果：⑴整数指数塞的运算性质：an=aaa；.a,a°=l(a#0);0°无意义；

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-n1/mnm+n/m、nmn/n、mmn/\nn«n

a=—(a邦);a-a=a;(a)=a;(a)=a;(a।b)=ab.

an

⑵①a?是3°的5次方根；②是@8的2次方根；③a?是的4次方根；④a$是3°的2次

_____m8_____庄___20

方根.实质上①讶=a3，②"=ak③叱=2了，④0=a^结果的a的指数是2,4,3,5

分别写成了形式上变了，本质没变.

5245

根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以

写成分数作为指数的形式(分数指数塞形式).

357____m

(3)利用(2)的规律,VF=5\V7?=7\Va?=a\VF=x".

357

(4)53的四次方根是57,75的三次方根是7),a7的五次方根是atx111的n次方根是x

结果表明方根的结果和分数指数基是相通的.

7

(5)如果a>0,那么胪的n次方根可表示为后m=a7,即a=Va"W^nGN^l).

综上所述，我们得到正数的正分数指数幕的意义，教师板书：

规定:正数的正分数指数基的意义是一=UZm(a>o,m,nWN*,n>l).

提出问题

①负整数指数幕的意义是怎样规定的？

②你能得出负分数指数幕的意义吗？

③你认为应怎样规定零的分数指数募的意义？

④综合上述，如何规定分数指数基的意义？

⑤分数指数累的意义中，为什么规定a>0,去掉这个规定会产生什么样的后果？

⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数基的运算性质是否也适

用于有理数指数累呢？

活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幕的意义和负

整数指数事的意义来类比,把正分数指数基的意义与负分数指数塞的意义融合起来，与整数指

数累的运算性质类比可得有理数指数幕的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具

体的实例说明a>0的必要性,教师及时作出评价.

讨论结果：①负整数指数基的意义是:晨三二但却加右寸.

②既然负整数指数基的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数累的意义可得正数的负分

数指数塞的意义.

上1I

规定:正数的负分数指数累的意义是am----=,——(a>O,m,neN,n>l).

Jw7

③规定:零的分数指数基的意义是:零的正分数次基等于零，零的负分数指数事没有意义.

④教师板书分数指数基的意义.分数指数累的意义就是：

n__

正数的正分数指数基的意义是ai=M/(a>O,m,nCN,n>l),正数的负分数指数'幕的意义是

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」一=rL(a>O,m,nGN*,n>l),零的正分数次幕等于零，零的负分数指数累没有意义.

a'"=

⑤若没有a>0这个条件会怎样呢?

12

如(一1)5=3一1=一1,(一1~=6(-11=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分

数指数事在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零,

2

如无a>0的条件，比如式子3a2=|a|彳,同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时,应把负

号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数累，也就是说，负分数指数慕在有意义的情况

下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上.

⑥规定了分数指数幕的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.

有理数指数累的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质：

(1)ar-as=a'+s(a>O,r,seQ),

(2)(ar)s=ars(a>O,r,seQ),

(3)(a-b)r=arb'(a>O,b>O,reQ).

我们利用分数指数哥的意义和有理数指数塞的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题.

应用示例

思路1

f-11|6—

例1求值:①83;@252③(一尸;①(—)4.

281

活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用塞的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题

目要求，把底数写成事的形式,8写成23,25写成52,1写成2","写成(2))利用有理数事的

2813

运算性质可以解答，完成后,把自己的答案用投影仪展示出来.

222

解：①8H=(23户=23=22=4;

②25"=(5?)《=5二5三-；

③(；尸=(2"尸=2"x(-5)=32;

,、16424x(-2)2327

④(一)4=(一)4=(-)-3=—.

81338

点评：本例主要考查基值运算,要按规定来解.在进行基值运算时，要首先考虑转化为指数运算,

2

而不是首先转化为熟悉的根式运算，如8三=除=厢=4.

例2用分数指数基的形式表示下列各式.

a3-4a;a2-(a>0).

活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幕,再由幕的运算性质来运算,

根式化为分数指数累时,要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的

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解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结.

解：^-4a=^-a1=a+1=a1■,

22+』?

a2-=a2a=a;

______1I412

Ja\a=(a-aW)5=(a))5=a3.

点评：利用分数指数幕的意义和有理数指数幕的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根

式化为分数指数累，再由嘉的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表

示,没有特别要求，就用分数指数累的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式,也不能

既有分母又有负指数.

例3计算下列各式(式中字母都是正数)：

211115

(1)(2a3b2)(-6a2b3)+(-3a6b3)；

(2)(m4n8产

活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析,四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除,

最后算加减，有括号的先算括号内的，整数基的运算性质及运算规律扩充到分数指数幕后，其

运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交

流,其中要注意到(1)小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注

意符号，第(2)小题是乘方运算,可先按积的乘方计算，再按基的乘方进行计算,熟悉后可以简

化步骤.

21£_5

解：(1)原式=[2x(-6)+(-3)]a3+26b2+36=4ab()=4a；

1--L1x8--x8//

(2)(m4n8)8=(m4)8(n8)8=m4n8=m2n、'=——.

n

点评：分数指数暴不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法.有了分数指数累，就可把根式

转化成分数指数嘉的形式，用分数指数事的运算法则进行运算了.

本例主要是指数基的运算法则的综合考查和应用.

变式训练

求值：

⑴明,正;

⑵3

11]+2」+!

解：⑴3市•次.小=3.35.3,3&=3+2+3+6=32=9；

44

cr34々334©3"(加3"_92

27m-3m-m92-4

⑵=(Wz=(Wz=­mn

ii25/?25

(53)6(〃6尸

例4计算下列各式:

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(1)(V25-V125HV25;

2

(2)―^-=(a＞0).

y[a

活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底.利用分数指数累计算，在第(1)

小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数事再计算,这样就

简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数基后再由运算法则计算，最后写出解答.

112^231

解：⑴原式=(253-1252)+254=(53-52)4-52

23_21

=532-522=56-5^^5-5;

思路2

例1比较J5,朗IV而的大小.

活动：学生努力思考，积极交流，教师引导学生解题的思路，由于根指数不同，应化成统一的根指

数,才能进行比较，又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式，然后，只看被开方数的

大小就可以了.

解：因为==而125＞123＞121,所以包庄＞为为＞心而.

所以后＞vi》＞vn.

点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法.

例2求下列各式的值：

(2)2V3XVL5XV12.

活动：学生观察以上几个式子的特征，既有分数指数累又有根式，应把根式转化为分数指数累

后再由运算法则计算，如果根式中根指数不同，也应化成分数指数累,然后分析解答，对(1)应由

里往外481x6=心、(33"，对⑵化为同底的分数指数累，及时对学生活动进行评价.

解：(/lx正

,_L_L4+Z11417

=[34x(33)2]4=(3%)4=(33)4=36=3桁;

q!1]+!+!111

(2)243xVk5xV12=2x32x(1-)3x(3x22)6=2+^3-32+3+6=2x3=6.

例3计算下列各式的值:

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3111

⑴[(a2bV-(ab-3)2(b2)7]3;

1+aQy[a+a*

2--

(3)(Va3后+“3.

活动：先由学生观察以上三个式子的特征，然后交流解题的方法,把根式用分数指数累写出,

利用指数的运算性质去计算，教师引导学生,强化解题步骤，对(1)先进行积的乘方，再进行同底

数基的乘法，最后再乘方，或先都乘方，再进行同底数基的乘法，对(2)把分数指数化为根式,

然后通分化简，对(3)把根式化为分数指数，进行积的乘方，再进行同底数基的运算.

-2.11>Z11_111+1_2_1+Z12

解：⑴原式=(a2b2)3(ab-3)6-(b2)3=a2b3a5b2b6=a26b326=a3b°=a3;

3J__371

另解：原式=(a2b2a2b2-b

31.37112

=/工h8户=渝。)。3;

11/—,1

1H—广7at--1=I-

(2)原式=_旦_______Ya+1=」______________〃+l=-L(「%)=

1+y/uQ-]4a(a-l)4a4aa-\

-2_24a

y[a{a-1)a(l-a)

_L21_2_1_3£]

(3)原式=(a2b3)^(bV)2=a5b52a2=a^b~2+2=a'=-.

a

例4已知a>0,对于0夕0,1'6+,式子(g'严(上)，能化为关于a的整数指数幕的情形有几

yja

种？

活动：学生审题，考虑与本节知识的联系，教师引导解题思路，把根式转化为分数指数幕后再由

运算法则计算，即先把根式转化为分数指数幕，再进行哥的乘方，化为关于a的指数塞的情形,

再讨论，及时评价学生的作法.

[8-rr8-rr16-3r

解：(产♦(77=),=a2.a*=a4”=a4.

16-3r能被4整除才行，因此r=0,4,8时上式为关于a的整数指数幕.

点评：本题中确定整数的指数塞时，可由范围的从小到大依次验证，决定取舍.利用分数指数累

进行根式运算时，结果可以化为根式形式或保留分数指数累的形式.

例5已知f(x)=ex—e-x,g(x)=ex+e'x.

(1)求[f(X)]2—[g(x)]2的值；

(2)设f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,求g('+))的值.

g*-y)

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活动：学生观察题目的特点，说出解题的办法,整体代入或利用公式，建立方程，求解未知，如果

学生有难度，教师可以提示引导，对(1)为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简，对(2)难

以发现已知和未知的关系，可写出具体算式，予以探求.

解：(1)[f(x)]2-Eg(x)]2=[f(x)+g(x)].Ef(X)-g(x)]

=(e、-e"+e'+e-")(eX-e'-eX-e')=2e"(-2e'x)=—4e°=-4;

另解：⑴[f(x)]2-[g(x)]2=(ex-ex)2-(ex+es)2

=e2x-2exe-x+e2x-e2x-2exex-e-2x

=-4e,-x=-4e°=-4;

(2)f(x)-f(y)=(e'—e')(ey—e-y)=ex+y+e'<x4>l—e'-y—-g(x+y)—g(x—y)=4,

同理可得g(x)g(y)=g(x+y)+g(x—y)=8,

得方程组p+y)-g(X7)=4,解得g(x+y)=6,g(x-y)=2.

g(x+y)+g(x-y)=8,

g(x+y)6

所以=-=3,

g(x-y)2

点评：将已知条件变形为关于所求量g(x+y)与g(x-y)的方程组，从而使问题得以解决,

这种处理问题的方法在数学上称之为方程法，方程法所体现的数学思想即方程思想，是数学中

重要的数学思想.

知能训练

课本P54练习1、2、3.

[补充练习]

教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答，教师巡视，启发，对做得好的同学给予表

扬鼓励.

1.(1)下列运算中，正确的是()

A.a2a3=a6

2332

B.(-a)=(-a)

C.(Va-l)0=0

D.(-a2)3=-a6

(2)下列各式①y(—4)2",②](一4产十|③疗，④V7(各式的nCN,aGR)中，有意义的是

()

A.①②B.①③C.①②③④D.①③④

(3)(总序)2・(W7)2等于(

)

A.aB.a2C.a3D.a4

(4)把根式一2y(。-切/改写成分数指数累的形式为()

2_5

A.-2(a-b)5B.-2(a-b)2

2_2_5_5

C.-2(a5-b5)D.-2(a2-b2)

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2111115

(5)化简(a3b2)(-3a2b3)-(-a6b6)的结果是()

3

A.6aB.-aC.-9aD.9a

-i12

2.计算：(1)0.0273—(--)-2+2564-3"+(2-1)°=,

7

⑵设5'=4,5'=2,则5"y=.

11

、一一/

3.已知x+y=12,xy=9且xVy,求一j-----的值.

x2+

答案：l.(l)D(2)B(3)B(4)A(5)C2.⑴19(2)8

LLL111

2解.%2y2_Q2y2)(x2y2)_%2*2y2+y

------x-y

/+y2(%2+y2)Q2_,2)

因为x+y=12,xy=9,所以(x-y^=(x+y)2-4xy=144-36=108=4X27.

12-6A/3

又因为x<y,所以x-y=-2x33=-63.所以原式上言=-奇

拓展提升

x-x3

.化简,:—

1-7-

X3+X3+1X3+1-—1

活动：学生观察式子特点，考虑X的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分

解，根据本题的特点，注意到：

1121

x-l=(x3)3-l3=(x3-l)-(x3+x3+1);

J2[

x+l=(x3)3+l3=(x3+l)・(x3-X3+1);

!J1111

X-X3=x3[(x3)2-!]=x3(x3-l)(x3+l).

构建解题思路教师适时启发提示.

II11\_2

地X-lX+lX-X^(一)3—广(%^)3+I3—X^

解：----j—+-----------7—------T+7----------------T-------

/+/+1/+1户-1卢+户+1/+1--1

121121111

(—―1)(—++1)+1)(--户+1)/―1)(户+1)

=-------------------------------1-------------------------------------------------------------

21

+X*+1+1(犬§—1)

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2£211_

=x3-1+x3-X3+1-X3-x3=-x3.

点拨:解这类题目，要注意运用以下公式，

£££|

(a2-b)(a2+b")=a-b,

1£J.J.

(a2±bi)2=a±2a2b2+b,

1I2112

(a§土b3)(a§+ab+b)=a±b.

2.已知ai+a^=3,探究下列各式的值的求法.

33

(l)a+a';(2)a2+a'2;(3)-^j~~巴了.

a?-。,

解：⑴将a2+a2=3,两边平方，得a+a/+2=9,即a+a=7;

⑵将a+ai=7两边平方，得a2+a-2+2=49,EPa2+a2=