专题04 以抛物线为情境的最值或范围问题（解析版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

抛物线必会十大基本题型讲与练04以抛物线为情景的最值与范围问题典例分析类型一、以抛物线为情景的点线最值问题1．抛物线上的一动点M到直线距离的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】对求导可求与直线平行且与抛物线相切的切线方程，再利用两平行线的距离公式可得所求的最小距离．【详解】因为，所以，令，得，所以与直线平行且与抛物线相切的切点，切线方程为，即，由两平行线的距离公式可得所求的最小距离.2．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，则的中点到的准线的距离的最小值为（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】设出直线的方程，联立后利用弦长公式表达出，求出长度的最小值，再利用抛物线的定义来进行转化，得到的中点到的准线的距离为的一半，进而求出点到的准线的距离的最小值.【详解】如图，分别过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，则设直线的方程为，，，，.联立，整理得，则，.，.3．已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，即直线是抛物线的准线.抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和，也即是到直线与焦点的距离之和，最小值为到直线的距离，即.4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，cos∠MFO＝（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，d1+d2＝|MF|+|MN|，当M、F、N三点共线时，d1+d2最小，再结合点到直线的距离公式，以及直角三角形中的锐角的余弦值即可求出结果.【详解】由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，∴d1+d2＝|MF|+|MN|，当M、F、N三点共线时，d1+d2最小，∵抛物线C：y2＝4x，∴焦点F（1，0），∴|FN|＝d＝，设直线l'与x轴的交点为D，令y＝0，得，即FD＝2+1＝3，在Rt△DNF中，cos∠MFO＝cos∠NFD＝．类型二、以抛物线为情景的斜率最值问题1．已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线上，若存在点B，满足，则OB的斜率的最大值为（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设点，，表示出，考虑的正负情况，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意：，，设点，，A在抛物线上，故，，，由得，即，，当时，；当时，，当且仅当即时，等号成立，2．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】设出，P点坐标，根据及抛物线方程，得到，从而表达出直线OM的斜率，利用基本不等式求出最大值.【详解】因为，设，显然当时，，当时，，则要想求解直线OM的斜率的最大值，此时，设，因为，所以，即，解得：，由于，所以，即，由于，则，当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为.∴k有最大值，3．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点到F的距离为3，(1)求抛物线C的方程和点A的坐标；(2)设过点且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N．若，求斜率k的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据题意求出p，得抛物线方程，代入点即可得解；（2）设直线，联立抛物线方程得出根与系数的关系，得出的范围，再根据，求取值范围即可.【解析】(1)由题意知，得，所以抛物线C的方程为．将点代入，得，所以点A的坐标为．(2)直线与抛物线联立，消去y得，，解得或．设，则有，则，即，又．所以，则因为，设，则，因为，则，所以因为或，所以k的取值范围是。类型三、有关抛物线焦点的最值问题1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，且l过点，M在抛物线C上，若点，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】先求出抛物线的方程，根据抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离，结合图象，即可求出结果．【详解】抛物线的焦点为，准线为且l过点，抛物线的准线方程是，则抛物线的方程为，因为，点在抛物线内，过点作准线的垂线，垂足是，在抛物线上，是抛物线的焦点，，当三点共线时，（图中虚线位置），取到最小值，即最小值为，2．（多选题）已知抛物线焦点为，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为3 B．的最大值为7C．的最小值为-2 D．的最大值为3【答案】ACD【分析】画出图象，根据抛物线的图象可得，，当，，三点共线时即可求解．过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，此时取最小值.【详解】如图1，点在抛物线外，，故的最小值为，A正确；如图2，只有当，，三点共线时最大，最大值为，如图3，过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，，此时有最小值.3．已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（

）A．抛物线C的准线l的方程为B．的最小值为4C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6D．的最小值【答案】ACD【解析】【分析】由焦点到准线的距离可得的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B不正确；过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的性质可得，可判断C正确；由两根之积及均值不等式的性质可得的最小值为，判断D正确．【详解】由焦点到准线的距离为4可得，所以抛物线的方程为，A中，由抛物线的方程为，所以可得准线方程为，故A正确；中，过焦点的直线为，则，整理可得，可得，，所以，时取等号，最小值为8，所以不正确；中，满足，可知点在抛物线内部，过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故正确；中，由B的分析可知：由抛物线的方程可得：，所以，当且仅当时取等号，所以正确；类型四、以抛物线为情景的参数范围问题1．已知抛物线，直线，且在上恰有两个点到的距离为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设与平行且与抛物线相切的直线方程，利用判别式等于零求得，再根题意得两直线间的距离，解不等式可得答案.【详解】设直线与抛物线相切，联立，得，，∵，∴,由题意得，直线与直线的距离，即，解得，∴,2．已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则实数p的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】存在关于直线对称的相异两点，第一步设出直线方程，联立方程根与系数的关系，求出中点坐标，代入抛物线方程求解即可.【详解】设抛物线上关于直线对称的两点是，设直线的方程为．将代入抛物线方程，得，则，则的中点P的坐标为．因为点P在直上，所以，即．又，将代入得，即，解得3．已知动直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于两点，且点M在x轴上方，O为坐标原点，线段的中点为G.(1)若直线的斜率为求直线l的方程;(2)设点，若恒为锐角，求的取值范围.【答案】(1)或(2)【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，表达出G点坐标，由直线OG的斜率列出方程，求出直线方程；（2）将恒为锐角转化为，等价于对任意的恒成立，根据二次函数根的分布，列出不等式组，求出的取值范围.【解析】(1)由题意得，设直线的方程为，线段的中点．联立方程，整理得：，由韦达定理得：．，即．∵直线的斜率为，，解得：或，∴直线l的方程为：或．(2)为锐角，等价于．设，则，故恒成立．令，则，原式等价于对任意的恒成立，即对任意的恒成立．令．①，解得：；②，解得：．又，故．综上所述，的取值范围是．【点睛】圆锥曲线中求解取值范围的题目，通常要设出直线，与圆锥曲线联立，根据两根之和与两根之积进行代入化简，最后利用基本不等式，二次函数根的分布或导函数等进行求解.类型五、以抛物线为情景的面积范围与最值问题1．已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2．(1)求抛物线N的方程；(2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，可得，得到，求得，即可求得抛物线的方程；（2）设，直线AB的斜率为，得到，得到直线的方程，联立方程组得到，结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得面积，令，得到，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【解析】(1)由题意得抛物线的焦点为，在方程中，令，可得，所以弦长为，即，解得，所以抛物线C的方程为．(2)由（1）知抛物线的方程为，设，直线AB的斜率为，因为线段的中点在直线上，由可知直线OM的方程为，设，所以，所以，又，所以，即得，设直线的方程为，即，联立方程组，所以，所以，即，由根据与系数的关系得，则，又由点到直线的距离为，所以，记，因为，所以，所以，令，可得，令，可得，当时，；当时，，所以当时，取得最大值，即有最大值为.2．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与y轴、抛物线C相交于P，A，自下而上，记△、△的面积分别为、．(1)求AB中点M到y轴距离d的取值范围；(2)求的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）问题需求的取值范围，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理转化为求解二次函数的值域；（2）将用A，B两点的横坐标表示，从而结合韦达定理建立函数关系式，由满足的不等关系求解．【解析】(1)联立消去y，得，设，，则，，∴；(2)由，由（1）知：，由得：，解得或，又，故，由得：，解得，∴，故的取值范围为3．如图所示，已知抛物线：，过点的直线与抛物线有两个交点，若抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，记的中点为.(1)求点的轨迹方程；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）设直线，，，，，，将，的坐标代入抛物线方程得到，再代入直线方程化简即可；（2）联立直线的方程和抛物线方程，将在面积表示出来，再利用求解即可．【解析】(1)由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线，，，，，，如图，由可得：，所以，所以，代入直线方程得：，又当时，由得，在抛物线开口方向内，，点的轨迹方程为：；(2)由（1）可知直线：，由

得：，直线与抛物线交于，两点，即则，

，，又，令，

，，由得（负根舍去），知当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，当时，取得最大值，时，.4．如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上．(1)求点的纵坐标的取值范围；(2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）设直线的方程为，则，将直线的方程与椭圆的方程联立，可求得点的坐标，将点的坐标代入抛物线的方程，可得出，结合可得出的取值范围，进而可求得的取值范围，即可得解；（2）设点，计算得出的面积，令，记，则，求导，分析可知函数在内有唯一的极值点，且为极大值点，结合已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即可得出点的横坐标的取值范围.【解析】(1)由题意可设直线的方程为，则，联立，可得，，可得，①设点、，由韦达定理可得，，设点，则，，将点的坐标代入抛物线的方程得，则，代入①可得，可得，解得，因此.因此，点的纵坐标的取值范围是.(2)设点，则点到直线的距离为，，故的面积，②将代入②得，令，记，则，则，因为在上单调递减，所以，函数在内有唯一的极值点，且为极大值点，所以，，可得，③，因为点在椭圆的左上方，则，④由③④可得，因此，点的横坐标的取值范围是.【点睛】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．巩固练习1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】作辅助线，利用抛物线的定义可知直角梯形的两底分别等于，利用梯形的中位线定理表示出d，进而表示出，再根据基本不等式求得最小值.【详解】如图示：设AB的中点为M,分别过点作准线l的垂线，垂足为C，D，N，设，则，MN为梯形ACDB的中位线，则，由AF⊥BF．可得，故，因为当且仅当a=b时取等号，故，2．已知P为抛物线上一动点，F为E的焦点，点Q为圆上一动点，若的最小值为3，则（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】【分析】过过点作抛物线的准线的垂线，为垂足，则，结合圆的性质可得答案.【详解】可转化为，则圆心为，半径为1.因为的最小值为3，点Q为圆上一动点，设抛物线的准线为，则的方程为：过点作,为垂足，则如图，则.由，可得，3．已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，点，，设取最小值和最大值时对应的点分别为，，且，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】【分析】如图所示，与抛物线相切时，最小，与抛物线相切时，最大.设切点为，切线的斜率为，由切线方程得到，即得到韦达定理，设，化简代入韦达定理得解.【详解】如图所示，与抛物线相切时，最小，与抛物线相切时，最大.由得，所以.设切点为，切线的斜率为，所以切线方程为,因为切线过点，所以，即.因为有两个切点，所以，设，则有，所以，所以，代入韦达定理得或.因为，所以.4．已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）A．16 B．20 C．24 D．32【答案】C【解析】【分析】设出直线，的方程，可知，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦性质，即可得，利用基本不等式的性质，即可求得的的最小值.【详解】解：抛物线C：的焦点，设直线l1：，直线l2：由题意可知，则，联立整理得：设，，则，设，，同理可得：由抛物线的性质可得：，∴，当且仅当时，上式“＝”成立．∴的最小值24.5．已知过的直线与抛物线交于，两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则两点、纵坐标的比值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】首先设出直线，与抛物线方程联立，利用韦达定理求得中点的坐标，并求出直线的方程，与抛物线联立，求得点的纵坐标，即可求得的范围.【详解】设直线，代入得，，，，直线，代入得，.6．（多选题）若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则（

）A．B．准线方程为C．当时的面积为D．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是【答案】BCD【解析】【分析】结合抛物线上的点到焦点的距离的最小值求得，进而求得准线方程，结合抛物线的定义来求得的面积，结合抛物线的定义来求得到、的距离之和的最小值.【详解】到焦点的距离等于到准线的距离，到焦点距离最小时，到准线的距离最小，即为原点时，到焦点的距离最小为，也即，抛物线的准线方程为，A选项错误，B选项正确.抛物线方程为，对于C选项，，则，，，C选项正确.对于D选项，直线为抛物线的准线，所以到的距离等于到焦点的距离.所以到直线和直线的距离之和的最小值为“到直线的距离”，焦点，则最小值为，D选项正确.7．（多选题）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（

）A．抛物线的准线方程是B．当轴时，取最小值C．若，则的最小值为D．以线段为直径的圆与轴相切【答案】ACD【分析】A：标准方程是y2＝2px的抛物线的准线方程是x＝－；B：设P点坐标，用两点间距离公式表示|PF|，结合P点坐标的范围，即可求|PF|的最小值；C：数形结合，P为动点，根据几何关系，当P、A、F三点共线时取最小值；D：求出圆的半径与圆心，比较圆心横坐标和半径即可知是否与y轴相切﹒【详解】A：抛物线的准线为x＝－＝－1，故A正确；B：设，则，则，当时取得最小值，此时在原点，故B错误；C：作图分析：A在抛物线外部，故当P、A、F三点共线时|PF|取最小值，故C正确；D：根据题意，可得抛物线的焦点为，设的中点为，可得，由抛物线的定义，得，，即点到轴的距离等于以为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与轴相切，故D正确﹒8．（多选题）已知抛物线与圆的公共点为A，B，点P为圆C的劣弧上不同于A，B的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线l交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是（

）A．B．点P纵坐标的取值范围是C．点N到圆心C距离的最小值为1D．若l不经过原点，则周长的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】根据题意画出图形，联立圆与抛物线的方程可得A，B的坐标，求得可判断A；由A，B的纵坐标可判断B；由抛物线的定义和图形可知点N到圆心C距离的最小值判断C；利用转化思想可知结合的范围可判断D，进而可得正确选项.【详解】圆的圆心为，半径，与轴正半轴交于点，抛物线的焦点与重合，准线为，对于选项A：联立可得，解得或，即，，所以，故选项A不正确；对于选项B：点为圆的劣弧上不同于A，B的一个动点，所以点P纵坐标的取值范围是，故选项B正确；对于选项C：抛物线的焦点与圆心重合，抛物线上的点到焦点的距离最小值为，所以点N到圆心C距离的最小值为1，故选项C正确；对于选项D：直线l不经过原点，则周长为的取值范围是，故选项D正确；9．（多选题）已知抛物线的焦点为，若为抛物线上一点，直线的斜率为，且以为圆心的圆与的准线相切于点，则下列说法正确的是（

）A．抛物线的准线方程为B．直线与抛物线相交所得的弦长为15C．外接圆的半径为4D．若抛物线上两点之间的距离为8，则该线段的中点到轴距离的最小值为1【答案】ACD【解析】【分析】根据斜率可知，然后根据抛物线的定义可知抛物线方程，可知直线的方程，根据弦长公式可知弦长，并使用正弦定理可知外接圆半径，最后根据可知结果.【详解】过点作垂直于轴，垂足为，，∴直线的倾斜角为120°，，在中，，，又由抛物线的定义可得，，，解得，∴抛物线的方程为，抛物线的准线方程为，故A正确；易知直线的方程为，代入抛物线的方程，得，解得或，∴直线与抛物线相交所得弦长为，选项B不正确；易得，，，，，设外接圆的半径为，根据正弦定理可得，设抛物线上的两点分别为，，则，当且仅当，，三点共线时，等号成立，由抛物线的定义可知，，所以，即，所以线段的中点到轴的距离，选项D正确.10．（多选题）抛物线的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点下列结论正确的是（

）A．|PM|+|PF|的最小值为3B．抛物线C上的动点到点的距离最小值为3C．存在直线l，使得A，B两点关于对称D．若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2【答案】AD【解析】根据抛物线的性质对每个命题进行判断．【详解】A．设是抛物线的准线，过作于，则，当且仅当三点共线时等号成立．所以最小值是3，A正确；B．设是抛物线上任一点，即，，时，，B错误；C．假设存在直线，使得A，B两点关于对称，设方程为，由得，所以，，设，则，中点为，则，，必在直线上，所以，，这与直线抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C错误；D．设，由即，得，则切线方程为，即，同理方程是，由，解得，由题意在准线上，所以，，所以，所以时，为最小值．D正确．11．已知P为抛物线上任意一点，则点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】将点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和转化为点P到准线的距离与点P到直线的距离之和，再借助抛物线定义求解作答.【详解】抛物线的焦点，准线，抛物线上的点P到y轴的距离等于它到准线距离减去1的差，由抛物线定义知，，令点P到直线的距离为，于是得点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和为，过P作于M，连PF，MF，过点F作于Q，交抛物线于点，如图，显然，，当点P与点不重合时，有：，则当点P是过焦点F作直线l的垂线与抛物线交点时，点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和取得最小值，此最小值为.12．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________.【答案】4【解析】【分析】根据抛物线定义将线段进行转化，数形结合进行求解.【详解】连接PF，根据抛物线定义可知：点P到抛物线的准线距离等于点P到焦点的距离相等，连接圆心与焦点，交圆于点，交抛物线于点，如图所示，此时点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小，其中，故，13．已知抛物线的方程为，圆C：，点A，B在圆C上，点P在抛物线上，且满足，则的最小值是______.【答案】3【解析】【分析】由题可知AB是圆的直径，，问题转化为求抛物线上点P到圆心C的距离的平方减1的最小值.【详解】∵圆的圆心为C(2，0)，半径r＝1，，∴AB是圆的直径，C是AB的中点，连接PC、PA、PB.设.＝，当且仅当m＝0时取等号.14．已知，，O为坐标原点，若在抛物线上存在点N，使得，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】过M作C的一条切线，切点为Q，设，根据在抛物线上存在点N，使得，得到，然后求得当时的即可.【详解】过M作C的一条切线，切点为Q，如图所示：设，因为在抛物线上存在点N，使得，所以，当时，直线MQ的方程为，将代入，可得，由，解得，所以的取值范围为.15．已知点在抛物线上，点在的准线上，线段的中点均在抛物线上，设直线与轴交于点，则的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】设，进而根据题意得是方程的两个实数根，故，进而得，再根据直线与轴交于点得，最后结合对勾函数求解即可.【详解】设，所以的中点坐标为，由于，所以，即；同理得，所以，即是方程的两个实数根，所以，所以，故，由于直线与轴交于点，所以，即，因为对勾函数的取值范围是，所以，16．在平面直角坐标系xOy中，为抛物线上的一个动点.若点到直线的距离大于c恒成立，则实数c的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】先利用求出与平行的抛物线的切线方程，点到直线的最近距离为直线与切线间的距离，求出距离即可得实数c的取值范围.【详解】设与平行的抛物线的切线方程为，与抛物线方程联立，消去得，，直线与的距离是所以点到直线的最近距离为，因此，所以点到直线的最近距离为17．已知直线l1:x－y－5=0和直线l2:y=－4，抛物线x2=16y上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是______【答案】【解析】【分析】由题知直线l2:y=－4为抛物线的准线，则P到直线l2的距离为其到焦点的距离，再利用数形结合即得.【详解】设抛物线的焦点为，则，又直线l2:y=－4为其准线，∴P到直线l2的距离为，设P到直线l1的距离为，如图，可知动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为点到直线l1:x－y－5=0的距离，即.18．已知抛物线与直线相交于两点，线段中点的横坐标为5，且抛物线的焦点到直线的距离为.(1)求，的值；(2)已知点为抛物线上一动点，点为轴上一点，求线段长最小值.【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）由点线距离公式及中点坐标公式有，结合已知求，的值；（2）设，利用两点距离公式有，根据二次函数的性质及抛物线的有界性，讨论、求对应线段长最小值.【解析】(1)由题设，抛物线焦点为，则，联立直线与抛物线可得：，则，综上，，可得或，又，所以.(2)由（1）知：，设，所以，又，要使线段长最小，即最小即可，当，即时，则时最小值为；当，即时，则若，则，则时最小值为；若，则，则时最小值为；综上，时线段长最小值为；时线段长最小值为；19．已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且.(1)求抛物线的方程；(2)如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.【答案】(1)(2)32【分析】（1）设，列方程组，求出，即可得到抛物线的方程；（2）设点，利用是以为斜边的等腰直角三角形，表示出，用坐标表示出利用基本不等式求出的最小值.【解析】(1)设点，由已知，则，即.因为，则，所以抛物线的方程是.(2)设点，直线的斜率为，因为，则直线的斜率为.因为，则，得，①因为，则，即，②因为，则，即③将②③代入①，得，即，则，所以因为，则，又，则，从而，当且仅当时取等号，所以的最小值为32.20．已知点在曲线上.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过原点的直线与（1）中的曲线交于、两点，求的最大值与最小值.【答案】(1)(2)最小值为，最大值为【分析】（1）令，可得，求得，即可求得动点的轨迹的方程；（2）设直线的方程为，联立方程组得到，根据题意转化为方程在上有两解，求得的范围，结合，进而求得的最值.【解析】(1)由题意，点在曲线上，可得，令，可得，设，则，即动点的轨迹的方程.(2)由题意，设直线的方程为，联立方程组，整理得，要直线与曲线交于、两点，则方程在上有两解，设，可得，解得，设，则，且又由，因为，又因为，所以的最小值为，最大值为.21．已知是抛物线上一点，是轴上的点，以为圆心且过点的圆与轴分别交于点、，且当圆与轴相切时，到抛物线焦点的距离为．(1)求抛物线的标准方程；(2)设线段、长度分别为、，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意圆A与轴相切，A到抛物线焦点的距离为，得到A到抛物线准线的距离为，从而求出及抛物线方程；

（2）设A的坐标，由垂径定理可知，设，，求得，，，分、讨论可得答案．【解析】(1)当轴时，圆A与轴相切，点为切点，由题意可知此时点A的横坐标为，因为A到抛物线焦点的距离为，所以A到抛物线准线的距离为，故准线与轴之间的距离为，解得，所以抛物线的标准方程为．(2)设A的坐标，由垂径定理可知，，设，，所以，．所以，当时，则；当时，则，因为，所以，当且仅当时，等号成立.此时．综上所述，．22．如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为.(1)求抛物线方程；(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；(3)令焦点F到直线AB的距离d，求的最大值.【答案】(1)(2)证明见解析，(3)【分析】（1）待定系数法求解抛物线方程；（2）设出直线方程，联立后得到A点纵坐标，同理得到B点纵坐标，从而求出直线AB的斜率；（3）在前