2025年春北师版数学八年级下册教学课件 第1章 1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的特殊性质与等边三角形的性质

第1章三角形的证明1等腰三角形第2课时等腰三角形的特殊性质与等边三角形的性质北师版

八年级数学（下）导入新课已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC.完成下列各题：(1)∵AB＝AC，

∴∠B＝______．根据是_____________；(2)若AD是△ABC的角平分线，BC＝8，

则CD＝______．根据是_____________；(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，

则∠BAD＝______；(4)若BD＝CD，则AD_____BC，

∠BAD＝________.ABCD∠C等边对等角4三线合一20°⊥∠CAD在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？ABC等腰三角形两个底角的角平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等.探究新知探究已知：如图，在△ABC

中，AB

=

AC，BD和CE

是△ABC

的角平分线.证明:等腰三角形两底角的平分线相等.求证：BD

=

CE.〖等腰三角形中的相等线段〗方法一：证明：∵AB

=

AC，∴∠ABC

=∠ACB（等边对等角）.1212∵∠1

=∠ABC，∠2

=∠ACB，∴∠1

=∠2.∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB在△BDC

和△CEB

中，∵∠ACB

=∠ABC，BC

=

CB，∠1

=∠2.∴△BDC

≌△CEB（ASA）.∴BD

=

CE（全等三角形的对应边相等）.方法二：证明：∵AB

=

AC，在△ABD

和△ACE

中，∵∠3

=∠4，AB

=

AC，∠A

=∠A.∴△ABD

≌△ACE（ASA）.∴BD

=

CE（全等三角形的对应边相等）.∵BD，CE是△ABC的角平分线

∵∠ABC=2∠3，∠ACB=

2∠4(角平分线性质)∵∠3=∠4(等式性质)∴∠ABC

=∠ACB（等边对等角）

已知：如图，在△ABC

中，AB

=

AC，BD、CE

是△ABC

的中线.证明:等腰三角形两腰上的中线相等.求证：BD

=

CE.探究探究新知〖等腰三角形中的相等线段〗ABCED证明：

∵AB=AC,BD、CE

是△ABC

的中线.ABCED∴AE=AD.1212∵AD=AC，AE=AB，在△ABD

和△ACE

中，∵AE

=

AD，AB

=

AC，∠A

=∠A.∴△ABD

≌△ACE（SAS）.∴BD

=

CE（全等三角形的对应边相等）.ABCED探究探究新知已知：如图，在△ABC

中，AB

=

AC，BD、CE

是△ABC

的高.证明:等腰三角形两腰上的高相等.求证：BD

=

CE.〖等腰三角形中的相等线段〗证明：∵BD、CE

是△ABC

的高.ABCED∴∠AEC=∠ADB=90°.在△ABD

和△ACE

中，∵∠AEC=∠ADB=90°，AB

=

AC，∠A

=∠A.∴△ABD

≌△ACE（AAS）.∴BD

=

CE（全等三角形的对应边相等）.拓展延伸如图，在△ABC

中，AB=AC，点D，E

分别在边AC

和AB上.(1)如果∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB，那么BD＝CE吗？如果∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB呢？由此你能得到的一个结论是___________；BD＝CEEDABC(3)为什么等腰三角形有这样的特殊性质？因为___________________________．EDABC(2)如果AD＝

AC，AE＝

AB，那么BD＝CE吗？如果AD＝

AC，AE＝

AB呢？由此你得到的结论是_____________；等腰三角形是轴对称图形BD＝CE探究探究新知〖等边三角形的性质〗已知：如图，在△ABC

中，AB

=

BC

=

AC.求证：∠A

=∠B

=∠C

=

60°.ABC证明：∵AB

=

AC，∴∠B

=∠C(等边对等角).又∵AC=BC,∴∠B=∠A(等边对等角)∴∠A

=∠B

=∠C（等量代换）.又∵∠A

+∠B

+∠C=180°∴∠A

=∠B

=∠C=60°.归纳总结

定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.应用举例例1

如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD.【分析】利用等边三角形的性质定理证明△ABE和△CBD全等得到AE＝CD.证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴△ABE≌△CBD(SAS)，ABCDE在△ABE和△CBD中AB＝BCBE＝BD∠ABE＝∠CBD∴AE＝CD.∴∠ABC＝∠CBD＝60°，AB＝BC，BE＝BD.例2如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________．【分析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACD＝120°.又∵CG＝GD，∴∠CDG＝30°，∴∠FDE＝150°.又∵DF＝DE，∴∠E＝15°.15°ABCGFDE随堂练习1．求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数．2．如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数．解：120°.解：60°.ABDEC3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE.(1)求∠ECD的度数；(2)若CE＝