材料力学作业解答

2.9题图2.9所示中段开槽的杆件，两端受轴向载荷P的作用，试计算截面1-1

和2-2上的应力。已知：P=140kN,b=200mm,加=100mm,t=4mm。

题图2.9

解：（1）计算杆的轴力

N]=%=0=140kN

（2）计算横截面的面积

4=bxt=200x4=800mm2

2

A2=(Z)-Z>o)xz=(200-100)x4=400mm

（3）计算正应力

N.140x1000

<7,=—=-------=175MPa

14800

140x1000……

------------=350MPa

4400

（注：本题的目的是说明在一段轴力相同的杆件内，横截面面积小的截面为该段

的危险截面）

2.10横截面面积A=2cm2的杆受轴向拉伸，力P=10kN,求其法线与轴向成30°

的及45°斜截面上的应力1及乙,并问/ax发生在哪一个截面?

解：（1）计算杆的轴力

N=P=1QkN

⑵计算横截面上的正应力

N10义1000

<7=一=50MPa

A2x100

⑶计算斜截面上的应力

=…。=2=37.5

CTMPa

30°

27

r=£sin(2x30°)=—x—=21.6MPa

30222

「亚Y

=crcos245°=50x——=25MPa

450

\J

=-1sin(2x45°)=yxl=25MPa

(4)%ax发生的截面

dT

''—-=crcos(2tz)=0取得极值

da

cos（2（z）=0

因此：2a=工，a=—=45°

24

故：/ax发生在其法线与轴向成45°的截面上。

（注：本题的结果告诉我们，如果拉压杆处横截面的正应力，就可以计算该处任

意方向截面的正应力和剪应力。对于拉压杆而言，最大剪应力发生在其法线与轴

向成45°的截面上，最大正应力发生在横截面上，横截面上剪应力为零）

2

2.17题图2.17所示阶梯直杆AC,P=10kN,/i=/2=400mm,Ai=2A2=100mm,

E=200GPa。试计算杆AC的轴向变形/L

题图2.17

解：（1）计算直杆各段的轴力及画轴力图

P

AC

拉

尸1o1\

--1kN7

N2=-P=-10kN(压)

iokN

（2）计算直杆各段的轴向变形

W110x1000x400

A/]==0.2mm（伸长）

EA1200x1000x100

Nl-10x1000x400…

22----------------------=-0.4mm（缩短）

EA2200x1000x50

(3)直杆ZC的轴向变形

（缩短）

A/=A/j+A/2=-0.2mm

（注：本题的结果告诉我们，直杆总的轴向变形等于各段轴向变形的代数和）

2.20题图2.20所示结构，各杆抗拉（压）刚度切相同，试求节点A的水平和

垂直位移。

题图2.20

（a）解：

（1）计算各杆的轴力

以A点为研究对象，如右图所示，由平衡方程

可得

XX=O，N[=P（拉）

门=0,M=0

（2）计算各杆的变形

A/1二0

P//cos45°_41PI

N2I2

M=EAEA—EA

（3）计算幺点位移

以切线代弧线，A点的位移为：

A/,2PI

Ax4——

cos45°EA

Wa=0

(b)解：

(1)计算各杆的轴力

以A点为研究对象，如右图所示,由平衡方

程可得

、4P

Zx=o,N[=4ip(拉\J.1

=0,N2=-P(压

tJV2

(2)计算各杆的变形

,N,l,CP义亚a2Pa/

AA/i==-------------=------(伸长)

EAEAEA

47NlPxaPa,

A/=??=-------=—(缩短)

2EAEAEA

(3)计算N点位移

41

以切线代弧线，A点的位移为：

—--,A/.2yHpaParzPa

Ax.=AB+CA=----------FA/=----------1-----=(2-v2+1)—

cos45°7EAEAEA

.Pa

=-％=-—

EA

［注：①本题计算是基于小变形假设（材料力学的理论和方法都是基于这个假设），

在此假设下，所有杆件的力和变形都是沿未变形的方向。②计算位移的关键是以

切线代弧线。）

2.15如题图2.15所示桁架，a=30°,在A点受载荷。=350kN,杆AB由两根

槽钢构成，杆AC由一根工字钢构成，设钢的许用拉应力6』=160MPa,许用

压应力［（7C］=100MPao试为两根杆选择型钢号码。

解：（1）计算杆的轴力

y

以幺点为研究对象，如上图所示，由平衡方程可得

XX=0,N2COSa-NXCOSa=0

X丫=0，N]sina+N?sina—0=0

N、=P=350kN（拉）

N[=N[=350kN(压)

(2)计算横截面的面积

根据强度条件：cr=—<[<?],有

maxA

24>丛="°xl。。。=2187.5mm2,A>1093.75mm2

[a,]1601

350x1000

=3500mm2

100

（3）选择型钢

通过查表，杆AB为No.10槽钢，杆BC为No.20a工字钢。

（注：本题说明，对于某些材料，也许它的拉、压许用应力是不同的，需要根据

杆的拉、压状态，使用相应得许用应力）

2.25题图2.25所示结构，AB为刚体，载荷P可在其上任意移动。试求使CD杆

重量最轻时，夹角a应取何值?

题图2.25

解：（1）计算杆的轴力

载荷P在B点时为最危险工况，如下图所示。

X

以刚性杆AB为研究对象

=0,NCDsin6Z-/-P-2/=0

2P

NCD=--

sincr

（2）计算杆CD横截面的面积

设杆CD的许用应力为[切，由强度条件，有

「N_NCD_2P

XX---

[cr][a]团sina

（3）计算夹角a

设杆CD的密度为P，则它的重量为

2pPlpPl

W=pV=pA-CD=pA-

cosa[er]sinacosa[cr]cos2a

从上式可知，当a=45°时，杆CD的重量力最小。

（注：本题需要注意的是：①载荷P在AB上可以任意移动，取最危险的工作状

况（工况）；②杆的重量最轻，即体积最小。）

2.34题图2.34所示结构，AB为刚性梁，1杆横截面面积4=1加2,2杆，2=2纳2,

a=lm,两杆的长度相同，E=200GPa,许用应力[。t]=160MPa,[ob]=100MPa,

试确定许可载荷[尸]。

题图2.34

解：(1)计算杆的轴力

以刚性杆AB为研究对象，如下图所示。

=0,Nx-a+N2-2a-P-3a=0

即：N1+2N2=3P(1)

该问题为一次静不定，需要补充一个方程。

2A=A12(2)

(3)计算杆的变形

由胡克定理，有

M春

代入式(2)得：

2N{aN2a

EA[EA2

即：生=坦

44⑶

(4)计算载荷与内力之间关系

由式⑴和(3),解得：

(4)

或

⑸

(5)计算许可载荷

如果由许用压应力[。4决定许可载荷，有：

A4>44-1-4/1

因]=WJ=[^]-4=-(4+44)E]

34343

=I(100+4X200)X100=30000(N)=30(kN)

如果由许用拉应力[。门决定许可载荷，有：

A-i-A.AAA.A1

M]=7(4+44)。]

646N26

=-(100+4x200)x160=24000(N)=24(kN)

6

比较两个许可载荷，取较小的值，即

[P]=min{[P6],[P,]}=24(kN)

(注：本题需要比较由杆1和杆2决定的许可载荷，取较小的一个值，即整个结

构中，最薄弱的部位决定整个结构的许可载荷。)

6

2.42题图2.42所示正方形结构，四周边用铝杆(Ea=70GPa,aa=21.6X10-℃力.

对角线是钢丝(Es=70GPa,as=2L6Xl(TcT),铝杆和钢丝的横截面面积之比为

2:lo若温度升高/T=45℃时，试求钢丝内的应力。

解：(1)利用对称条件对结构进行简化

由于结构具有横向和纵向对称性，取原结构的1/4作为研究的结构如下图所

示，

(3)变形协调关系

Ala

如上图所示，铝杆与钢丝的变形协调关系为:

M=V2A/fl

钢丝的伸长量为：(设钢丝的截面积为⑷

M=^Tasls+-=—(A"+汉)

ESAS2'ESA

铝杆的伸长量为：

NI1NI

M=^Taala一一"二-QkTaJ――°)

EaAa公EaA

由①②③④式，可解得:

2微纥凡

M=(a“-a}M-A

2年“+凡s

(4)计算钢丝的应力

N、242EaEs

A2亚E0+用

=2］义70x103x200x1036><1()_617x10-e)x45=44.3(MPa)

2V2X70X103+200xl03

3.8题图3.8所示夹剪，销钉B的直径d=5mm,销钉与被剪钢丝的材料相同，剪切

极限应力q,=200Mpa,销钉的安全系数n=4,试求在C处能剪断多大直径的钢丝。

解：设B,C两点受力分别为G，用。

剪切许用应力为：H=%=50Mpa

n

对B点，有力矩和为零可知：£此=0,即：片=4P

由力平衡知：G+p=g

L5L

二g吗片

其中：&=卜］•A=12・5

故：耳=10万屋

又由强度要求可知：47

工厂

即：d<j=V5=2.24mm

3.11车床的转动光杆装有安全联轴器，当超过一定载荷时，安全销即被剪断。已

知安全销的平均直径为5mm,其剪切强度极限q=370Mpa,求安全联轴器所能

传递的力偶矩m.

解：设安全销承受的最大力为，贝U：F=%x-nd1

4

那么安全联轴器所能传递的力偶矩为：m=F.D

其中i：6=370Mpa,b=5mm,D=20mm,

代入数据得：

力偶矩m=145.2N-m

■求题图4,7中各个图形对形心轴z的惯性矩//。

3

AK/,、a—ry八T800x204

解：(1)对I部分：I=-------mm"

z,12

A-幽辿2

+|50--Ix20x80mm1=287.57cm

zizi122

八20x12()34

对II部分：Ir=-------mm

囱12

/「/+/A=^©+120+20-521x20x120mm4=476.11cm4

一"212

所以：，乜,+£=763.73加

对完整的矩形：I,=—=120x2003=8000cm

Z11212

'-T~\4、

对两个圆：L=2卫

"I64J

=2x+502xx202

I64)

=653.12cm4

所以：（=4一£,=7346.88。田

|.,题图4.9所示薄圆环的平均半径为r,厚度为t(r>t).试证薄圆环对任意直径

的惯性矩为1="”,对圆心的极惯性矩(=o

解：(1)设设圆心在原点，由于是圆环，故惯性矩对任意一直径相等，为:

其中

2r-t4

所以：/=—x(2r+r)41-

641)2r+/

'：r>t

・・1=——x8r2x^rt=7lVt

64

3

(2)由一知：极惯性矩,=2/=2乃/t

■(1)用截面法分别求题图5.7所示各杆的截面和3-3上的扭矩，并画

出扭矩图的转向；

(2)做图示各杆的扭矩图

解：(1)mx=m2=-2kN,m,m3=3kN-m

扭矩图

(2)Tx=-20kN-m,T2=-\QkN-m,T3=20kN-m

V

扭矩图

-20

■一阶梯形圆轴如题图5.11所示。已知轮B输入的功率Ne=45kW,轮A和轮

C输出的功率分别为Nz=3OKw,7Vc=15kW；轴的转速n=240r/min,dx=60mm,

d2=40mm;许用扭转角网=2（。）/加,材料的[T]=5OMpa,G=8OGpa.试校核轴的强

度和刚度。

解：（1）设AB,BC段承受的力矩为7],4.计算外力偶矩：

%=9549=1193.6N•加

n

加c=9549^^=596.8N•加

n

那么AB,BC段的扭矩分别为：T=-mA=-X\93.6N-m

=-m=596.8

(2)检查强度要求

rp_j3

圆轴扭转的强度条件为：「max=,《H可知：(其中“=H，4=60mm,

d2=40mm)

T

代入7_[max和g得:

他人0max-2max

w/

%ax=28.2Mpa,t2max=47.5Mpa

故：[ax=47-5Mpa

(3)检查强度要求

圆轴扭转的刚度条件式为:

180。_X幽测

emax

%71G--d471

32

]QQO

工max

所以:了------

4max=0.67Ym

G兀戋71

32

T

Imax蟠=l"m

乃靖n

(,r-----

32

故：

■■题图5.13所示，汽车驾驶盘的直径为520mm,驾驶员作用于盘上的力

P=300N,转向轴的材料的许用剪应力[t]=60Mpa。试设计实心转向轴的直径。

若改用a=@=0.8的空心轴，则空心轴的内径和外径各位多大？并比较两者的

D

重量。

解：(1)当为实心转向轴时

外力偶矩m=pxl=156N-m

则扭矩T=156N•冽

圆轴扭转的强度条件为:

%期=/4团可知：(其中”=於)

d>3(=23.6N-m

(2)当改为a=a=0.8的空心轴时

D

圆轴扭转的强度条件为:

%,=仔三国可知：(其中叱=噜

-a")

・.D>28.2mmd>22.6mm

故：空心轴D=28.2mm,d=22.6mm

(3)实心轴与空心轴的质量之比就应该是两者的横截面积之比，即:

■・题图5.16所示钻探机钻杆的外径D=60mm,内径d=50mm,钻入的深度

l=40m;A端输入的功率N，=15Kw,转速n=180r/min,B端钻头所受的扭转力矩

MB=300kN・m；材料的[t]=40MPa,G=80GPa,假设土壤对钻杆的阻力沿杆

长度均匀分布，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力距m。

（2）作钻杆的扭矩图，并校核其扭转强度。

（3）A,B两端截面的相对扭转角。

解：（1）钻探机A端的偶矩为：

MA=9549乂=795.75N-m

n

那么单位长度的阻力矩为:

M-M

m=-----------=12.4N/m

:

4卜］得：（其中叫=^-4

（2）圆轴扭转的强度条件为：T.max-a))

叱

Tmax=362Mpei<40MPa

所以满足强度要求

iT

（3）由两截面之间的相对转角为：有一小

J。GIp

其中，。二点（。4一屋）=L59x10一0

49575

,Tan795.75-------X

[------dx=[-----------------------dx=0.416rad

所以：（p=Jo

GIpJoGIp

A,B两端截面的相对扭转角为0.416rad

6.6求题图6.6中各梁的剪力方程和弯矩方程，作剪力图和弯矩图，并求

IQImax和|M|max。

b)

解:

支座反力：XB=0,YB=P=200N,MB=950N,

剪力方程：Q(x)=-200N.

弯矩方程：

AC段：M(x)=-PX=-200X1(0«X42m)；

CB段：M(x)=-PX-Mo=-(200X+150)(2m<X2^4m)

M

因此：

|Q|max=200N；

|M|max=950N-m

(0

Y

YAB

Aq4

2a

解：

支座反力：

39

X[=0，%=-Qa,YB=

剪力方程：

3

AB段：Q(x)=-qa-qx,(0<%<2a)

BC段：。(％)=g(3a-x),(2a«%43a)

弯矩方程：

、312

AB段：M(x)=~qax--qx,(0<%<2a)

12

BC段：M(x)=--q(3a-x),(2a<x<3a)

9

因此：l0Lx=L25qa；Mmax="M

J乙

6.10不列剪力方程和弯矩方程，作题图6.10中各梁的剪力图和弯矩图，并求出

|Q|max和|M|max°

(b)

2

P=qaMo=qa

Y1Ac

ACBE

Dnrnnnni

aa

解：

支座反力:

7

YA=~Qa^

Q

qa

M

因此：|QL=q。；Mnax="2

AX/\CttYuni,”ri；i[Hiiiriirt

解:

支座反力:

y5▽13

B—~^~qa

Q

6.12作题图6.12中各构件的内力图

(b)

犍◎

a

二DC

三

三

二

二

三

二

三

三

B1

13.设梁的剪力图如题图6/3所示，试做弯矩图和载荷图，已知梁上没有作用

集中力偶。

(b)

Q

10KN

解:

2.5KNm

10KN

2oKN/m

2oKN/m

10KN

6.14已知梁的弯矩图如题图6.14所示，是做梁的载荷图和剪力图。

(b)

M

解:

Q

1KN

1KN

1-►SKNm3KNmA

1

7.920a工字钢梁的支承和受力情况如题图7.9所示。若

[a>160Mpa,试求许可载荷P的值。

P

七

图7.9

解:

(1)求支座反力

(3)求许可载荷

查表，20a工字钢的%=237x103加加3

,•,心二勺臼引

P<-^[(T]=56.9W

7.11题图7.11所示一铸造用的钢水包。试按其耳轴的正应力强度

确定充满钢水时所允许的总重量。已知材料的许用应力[a]=100MPa,

d=200mm

解：

Mmax=Pl=^Gl

—也应上里.23m

7.14题图7.14所示轴直径D=280mm,跨长L=1000mm,l=450mm,

b=100mmo轴材料的弯曲许用应力［R=100NPa,求它能承受的

最大轧制力。

图7.14

解:

(1)求支座反力

RA=RB*

(2)画出弯矩图

qblqb2

----+-----

(3)求最大轧制力41ax

w32U

•q<-L[------—=9069N/mm

,blb2blb2

--1--------1---

2828

因此：Pmax<qb=9Q6.9kN

7.15铸铁梁的载荷及横截面尺寸如题图7.15所示。许用拉应力

[b』=40MPa,许用压应力[b」=160MPa。试按正应力强度条件校核梁

的强度。

解:

（1）支座反力

RDR=30KN7,RUn=10KN

(2)画弯矩图

^rrnTlTTHTTY^

2GKN・m

由上面弯矩图可知，B,D两个点可能为危险截面。

\MB\=20kNm;Me=\QkNm

(3)强度校核

yc=*4%=-157.5mm

4+4

1a9

Iz=，zi+/z2=—*20cm*(3cm)+20cm*3cm*(20-15.75+1.5)

13

+丘*3加*(3喇+3*20所—

=6012.5而

B截面下边缘aBc=~=52AMPa

1Z

B截面上边缘°瓦=匕)=2^AMPa

C截面下边缘，t二号”=26.2MPa

1z

(230—y)

C截面上边缘0'sc=----------------c---=n.05MPa

所以/max=52.4([a]Cmax=26.2<[b]

安全

题图7.19所示梁由两根36a工字梁钾接而成。钏钉的间距为

s=150mm,直径d=20mm,许用剪应力[r]=90Mpa。梁横截面上的剪

力Q=40KN,试校核钏钉的剪切强度。

解:

查表，单个工字梁的截面参数为：

42

Iz=15760cm；A=76.3cm；h-36cm

两个工字梁重叠以后对中性轴的惯性矩

24

1z=2Iz7.1+、(G-)，A=8096.2cm

两个工字梁重叠后对中性轴的静矩

S：=^ydA-yA-1373.4cm2

A

设工字梁翼板的宽度为b,则中性层上的剪应力为

/.QS；

°F

每一对钏钉分担的剪力为

f

Q'=Tbs=S^-=10.2kN

钾钉的剪应力为

二君=\62MPa<[r]=90MPa

所以安全

用积分法求题图8.5中各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的

转角和挠度。已知抗弯刚度EI为常数。

(1)求支座反力

此=中,向上，4=牛，向下。

(2)以A为原点，写出弯矩方程：

M(x)=^-x

(3)求挠曲线方程

EIv=^x3+Cx+D

•61

带入边界条件为=%=0得

c=_也0=0

6

故转角方程和挠曲线方程为

M。14.M°lM°『

6EI'133EI，yc16EI

8.7写出题图8.7所示各梁的边界条件。其中(b)图的k为弹簧刚度

(N/m)o

(a)

q

Axnnninmnnninniinnnnninnnninnni

B

题图8.7

解：

ql

力=°，及4=弓

"E2

RBq〃i

A/1

EA2EA

当日时,yB=-A

边界条件：=°，y=-

B2EA

8.12用叠加法求题图8.12所示各梁截面A的挠度和截面B的转角。

已知EI为常数。

(f)

先假设，CD段为刚性，则AC段可视为在C段固定的悬臂梁。

〃_qrqal

在/=〒作用下，=777；

z-EJLmi

再将AC视为刚性，则查表可得：

Ml_ql3ql3

%=

C224EI

因此:O=3,+0=——

cCC224EI

al2

BM+Sa+51)

由于截面C的转动，使截面A有一向上挠度，为:

5qal2

yA2~1%+

24EI

qal2，二

因此：^^^l+^2=^7（6^+5Z）

ZQ乜］

8.15一直角拐如题图8.15所示。AB段横截面为圆形，BC段为矩形;

A端固定，B端为滑动轴承，C端的作用力P=60N；已知材料的

E=210GPa,G=80GPa。试求C端的挠度。

解:用叠加法，首先P在C点引起的直接挠度由表查得:

Pll

yi—c

C13EI

5xl031250

1T—1T------------=-------mm4

7123

60x3003…

Jci=1250=6.17mm

3x210000

3

然后P在B点的等效转矩下引起AB杆发生扭角为:

所以,C点的总挠度为

一夕1

yc=TeiBC=-832mm

8.19如题图8.19所示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度均为

£/=24*106Nm2,由钢杆CD相连接。CD杆的/=5m,4=3*20力

£=200GPa。若尸=50kN,试求悬臂梁AD在D点的挠度。

)D

2m

题图8.19

解：设CD杆上的轴力为R则由b引起C和D点的挠度分别为:

yc1

3EI

由尸引起D点的挠度为:

CD杆的伸长为:

Fl

AI=CD

CDEA(4)

几何相容关系为：

ZCD~yci+J;CI—yD(5)

将式(1)—(4)式代入式(5)得：

FlCD(3x1BF—1BC)Fl\cFI[D

EA―6EI3EI3EI

5呜5x23尸

SEI_______-6x24x106_______=二

〔CD_21BC5____________ZU_11

EA3EI3X10-4X2X109-3x24xl06

因此:

FI3=5°x1°3X2：=—o0505=505mm

W=_ADm

3EI33EI33x24xl06

8.21题图8.21所示四分之一圆环，其平均半径为R,抗弯刚度为EL

试用用莫尔定理求截面B的垂直位移与水平位移。

解：

（1）求弯矩方程

在四分之一圆环上取一截面m-m,求截面上的弯矩方程。

在外力作用下：=-PR（1-Cosa}

水平单位力作用下：M（a）=—R（l—Cos。）

水平单位力作用下：而2（。）=~RSina

（2）用莫尔积分求位移

水平位移：

PR?712,ccu/PR，

XBIOil——da=0.356-----(向右)

力EIEIEI

垂直位移：

%=产喝2(%/=詈£(]_Cosa)Sinada=祟(向下)

叩ElblW，&/

8.23外伸梁受力作用如题图8.23所示，梁的抗弯刚度为EI,使用图

形互乘法计算外伸端D的挠度。

题图8.23

解:

(1)求支座反力

RA+RB=qa,59

<R=--qa,R=-qa

2AB

EM(B)=2aRA+2qa+qa--0

、2

(2)画弯矩图

实际载荷和在D点单位力的弯矩图如下所示:

(3)图形互乘法

a153

--qa

=3'°i=28

3a13293

此2二彳,电--------qa--qa

25440

1412a121,3

MC3=—6Z.①2---------qa=—qa

15325210

3a11213

=5。4=^qa

1,a5qa3a93a1Iqa

/.y——(------------------qa3■+-----qa,3

nEI385404624EI

9.7在题图9.7所示各单元中，使用解析法和图解法求斜截面ab上的

应力，应力单位为MPa。

(C)

4=100MPa,ay=5QMPa

解：如图所示,

T=0,(7=60°

Az

（1）解析法

篙Reos2fsm2a

◎a

2

100+50100-50COS120Q-0)MPa=62.5MPa

=(

2

<y-cr100-50

Ta=-------sin2a+Txycos2cr=(----------sinl20°+0)MPa

=217MPa

（2）图解法

作应力圆如下图所示。从图中可量的点的坐标，此坐标便是心

和%的数值。

9.8已知如题图9.8所示各单元的应力状态（应力单位为MPa）。试求

（1）主应力之值及其方向，并画在单元体上;

（2）最大剪应力之值。

丁

(b)

解：

bmax_b%+by+1x-)2

bmij2-V2

30

-V

-20

所以6=30M%,%=0，（r3=-20MPa,方向如上图所示。

2*20_4

tan2ao=-----------

-10-20-i

c4

2a=arctan—

3

30+20

=25MPa

max22

9.11钢制受力构件，其危险点应力状态如题图9.11所示，已知

[a>160MPa,试用第三强度理论校核其强度。

如题图9.11

解：

T

<7X=-AOMPa,XV=-40MPa

b,=40Mpa

由图可知，%是主应力（剪应力为。）

二¥±«¥)2+4。2

_j24.72Wa

一1-64.72Wa

所以，臼=40A/Pa,丐=24.72A/P”,%=-64.72A/Pa

按照第三强度理论%-%=104.72M尸a<160AfPa合格。

9.14设地层为石灰岩，如题图9.14所示，泊松比u=0.2,单位体积

重Y=25kN/m3o试计算离地面400m深处的主应力。

解：

%=-/(W/m3)x400(m)=-1.0xl07(^/m2)=-10(7l^Ptz)

%?(1)

由于单元体在地下某平面的四周受到均匀压力，所以，

£x—£2=0

因此：

2=如「"(%+%)=。(2)

由式(1)和(2)解得,

9.17已知圆直径d=10cm,受力如题图9.17所示，今测得圆轴表面的

轴向应变为=3x10：与轴线成45。方向的应变分=—1.375x107,

圆轴材料£=200GRz,〃=0.25,许用应力，［。］=120G尸名试用第

三强度理论校核轴的强度。

由于是拉伸和扭转的组合变形，横截面上仅有正应力和剪应力。

如下图所示

（1）求正应力

在轴向方向放置的单元体上（上图b）,只有％方向上有正应力,

由广义胡克定理：

%。=1［%-4®+%）］

E

解得：crv=£/=2xIO,*3xICT,=60MPa

（2）求剪应力

将单元体旋转45°,如上图(c)所示，由斜截面正应力计算公式:

b"=aCos2a+(7Sina-IzSinaCosa

(jc人y

有：

o-

仁。二x丁%

%35。=3+%

由广义胡克定理：

35。=：[%5。一"735。]=+

乜JDZ

解得：

T=---------[~EsH----(1—//)(T]

450

孙(i+〃)2

=(1+；5)/2x1"x(T375xl0-4)+1(l-0.25)x60]

二40MPa

(3)用第三强度理论校核强度

2222

crr3=Va+4r=V60+4x40=1OOMPa<m=120MPa

强度满足要求。

9.21直径d=10mm的柱塞通过密闭的高压容器（题图9.21）,并承

受扭矩To=8ON.m,容器内压夕=500MPa,其材料的拉伸和压缩强

度极限为。bt=2100MPa,。9=5120MPa。试按莫尔强度理论计算

危险点处的相当应力。

题图9.21

解：由于柱塞处在压力容器中，径向受到压力P,所以，柱塞上某一

点的应力状态如下图所示，

w=-d3

p16

To80xl03

「max=—=----------r=407.6MPa

Wp3.14xlCP

16

°max21

-p_p

---+——)2=22S.2MPa

22yz

_3+4

5nin-2

-p_p

——)2+日=—728.2；mz

2户

所以主应力为:

巧=228.2MPa.%=-500MPa.q=—728.2MPa

由莫尔强度理论得:

(yMr=(y}=228.2-^^(-728.2)=526.9MPa

⑸]5120V

10.9题图10.9所示AB横梁由No.14工字钢制成。已知P=12kN,材

料［司=160Mpa。试校核该横梁的强度。

题图10.9

解：

32

对于No.14工字钢，查表有：W=102cm,A=21,5cm

44

由图易知：Mmax=M=1.2xlONxlm=1.2xlO7V-m

同时杆DC对AC段产生拉应力为2P

M___rnax2_P_|_____l2W-m12.4W

Omax-129Ma4160Mpa=［可

WA102cm321.5cm2

故：满足强度要求

10.10题图10.10所示短柱子，已知4=100kN,£=45kN,b=180mm,

h=300mm,试问巴偏心距为多少时截面上仍不会产生拉应力？

L-^J

题图10.10

解：设偏心距恰好为e时，不产生拉应力，那么由《产生的弯曲力

M=£・e

则产生的弯曲拉应力:

%=瓦M（其中W=丁blr=2.7'10-.3*

由P和鸟产生的压应力：

1.45X1Q52V

P+P,6

冽=2.68xlO2V/m

。2A5.4x10-22

当叫=”时，将不会产生拉应力。即

P2-eP+P2

WA

w

12

故偏心距e为161mm时将不产生拉应力

10.16铁道路标圆信号板，装在外径D=60mm的空心圆柱上（如题

图10.16所示），信号板所受的最大风载p=2kN/m2,材料的许用应力

[o]=60Mpa,试按第三强度理论选定空心圆柱的厚度。