2024-2025学年河南省周口市高二上册10月月考数学阶段检测试题（附解析）

2024-2025学年河南省周口市高二上学期10月月考数学阶段检测试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.图中4条直线中斜率最小的是（）A. B. C. D.2已知向量与平行，则（）A. B. C. D.3.已知直线一个方向向量为，平面的一个法向量为，若∥，则（）A.1 B.2 C.3 D.44.将直线绕点逆时针旋转后所得直线的方程为（）A. B.C. D.5.已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面与的距离为（）A.2 B. C.3 D.6.已知直线与平行，且、之间的距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为（）A. B. C. D.7.如图，在长方体中，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（）A. B.C. D.8.如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若直线不经过第四象限，则实数的可能取值为（）A. B. C.3 D.410.在空间直角坐标系中，已知点，其中，若四边形为菱形，则（）A B.C. D.11.已知点和，是直线上的动点，则（）A.存在，使最小 B.存在，使最小C.存，使最大 D.存在，使最小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，若，则________．13.已知，平面内三点共线，则________．14.已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知空间中三点，设向量，．（1）若，求实数的值；（2）若向量与共线，且，求的坐标．16.已知直线的方程为，直线经过点和．（1）若，求的值；（2）若当变化时，总过定点，求．17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，且，为棱中点．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．18.如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．（1）求直线的倾斜角的取值范围．（2）是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？（3）设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围．19.在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为．（1）若直线与都在平面内，求平面的方程；（2）在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标；（3）若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．2024-2025学年河南省周口市高二上学期10月月考数学阶段检测试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.图中4条直线中斜率最小的是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由题图确定直线斜率的大小关系即可得.【详解】由图易得，故的斜率最小.故选：C.2.已知向量与平行，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据空间向量平行的坐标表示求出、的值，即可得出的值.【详解】因为向量与平行，则，解得，，因此，.故选：D.3.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若∥，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】B【分析】根据线面平行的性质，知直线的方向向量与平面的法向量垂直，从而，代入求解即可.【详解】∥，，，得.故选.4.将直线绕点逆时针旋转后所得直线的方程为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】分析可知，所得直线与直线垂直，可得出所求直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】由题意可知，所得直线与直线垂直，即所求直线的斜率为，因此，所求直线的方程为，即.故选：C.5.已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面与的距离为（）A.2 B. C.3 D.【正确答案】A【分析】平面与的距离即点到平面的距离,利用向量法求点到平面的距离.【详解】平面均以为法向量，则，平面经过点，则平面与的距离等于点到平面的距离，平面经过坐标原点，，点到平面的距离，所以平面与的距离为2.故选：A.6.已知直线与平行，且、之间距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据题意，设直线的方程为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，化简直线的方程，即可得出结果.【详解】因为直线与平行，设直线的方程为，因为、之间的距离与点到的距离均为，则，解得，所以，直线的方程为，即，故直线在轴上的截距为.故选：B.7.如图，在长方体中，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】先计算的长度，得到，接着利用向量数量积的几何意义：等于在上的投影向量与的数量积，逐一分析选项ABCD即可得解.【详解】由题意得，，∴，∴.A.如图，过点作于点，对于A，由向量数量积的几何意义得，由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项A错误；对于B，，由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项B错误；对于C，，由于不是定值，故选项C错误；对于D，由于向量在向量上的投影向量为，所以为定值.故选：D.8.如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】建立适当空间直角坐标系后，可结合正四面体性质得到各点坐标，即可得直线与的方向向量，再利用空间向量夹角公式求解即可得.【详解】取中点建立如图所示空间直角坐标系，设正四面体边长为，则，，，由正四面体性质可得，则，即，则，，，，则，则，即异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若直线不经过第四象限，则实数的可能取值为（）A. B. C.3 D.4【正确答案】BC【分析】由直线过定点，讨论直线斜率范围即可.【详解】直线方程可化为，由，解得，即直线过定点，定点在第二象限，直线不经过第四象限，则直线斜率不存在或斜率大于等于0，时，直线斜率不存；斜率大于等于0，即，解得.综上可知，实数的取值范围为，BC选项符合.故选：BC.10.在空间直角坐标系中，已知点，其中，若四边形为菱形，则（）A. B.C. D.【正确答案】ABD【分析】由菱形的对角线互相垂直且互相平分，利用中点坐标公式和向量数量积的坐标运算，求的值.【详解】四边形为菱形，则有对角线和互相平分，由中点坐标公式，有，得，，，AB选项正确；可得，四边形为菱形，对角线和互相垂直，，，，解得，D选项正确；时，时，C选项错误.故选：ABD.11.已知点和，是直线上的动点，则（）A.存在，使最小 B.存在，使最小C.存在，使最大 D.存在，使最小【正确答案】ACD【分析】A：先求点关于直线的对称点为，根据直线与直线的交点坐标即可判断；B：为线段的垂直平分线与直线的交点；C：根据绝对值的特点得出为直线与直线的交点；D：设出点坐标，根据二次函数的性质求解出取最小值时点坐标.【详解】在平面直角坐标系中作出点和直线，由图可知，点和在直线同侧，设点关于直线的对称点为，则有，解得，得，，当且仅当为直线与直线的交点时有最小值，直线的斜率为，方程为，由，解得，存在，使最小，A选项正确；最小值为0，当且仅当，即为线段的垂直平分线与直线的交点，的中点坐标为，直线的斜率为，则线段的垂直平分线方程为，即，，解得，存在，使最小，B选项错误；，当且仅当为直线与直线的交点时有最大值，直线的方程为，即，，解得，存在，使最大，C选项正确；设，，当时有最小值，此时，所以存在，使最小，D选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，若，则________．【正确答案】【分析】根据向量数量积公式及夹角公式可得方程，解方程即可.【详解】由，，则，，，，则，解得，故答案为.13.已知，平面内三点共线，则________．【正确答案】【分析】由求解即可.【详解】解：因为三点共线，所以，又因为，所以，整理得：，即，又因为，解得.故14.已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是________．【正确答案】##【分析】由题意可计算出该正四棱锥底面边长及高，建立适当空间直角坐标系后可表示出的方向向量及的坐标，即可表示的方向向量，要使线段的长度最小，则为的公垂线，通过空间向量计算即可得解.【详解】设该正四棱锥底面边长为，高为，则由题意可得，解得，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则有、A2,0,0、、，则，，则可设，，，，则，要使线段的长度最小，则为的公垂线，即有，解得，符合题意，此时，则.即线段长度的最小值.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知空间中三点，设向量，．（1）若，求实数的值；（2）若向量与共线，且，求的坐标．【正确答案】（1）（2）或.【分析】（1）求出、后，借助向量坐标形式的线性运算与数量积公式计算即可得；（2）借助向量共线定理可得，借助模长公式计算即可得.【小问1详解】，，则，由，故，解得；【小问2详解】，，向量与共线，且，则，即或.16.已知直线的方程为，直线经过点和．（1）若，求的值；（2）若当变化时，总过定点，求．【正确答案】（1）或；（2）.【分析】（1）表示出直线和的斜率，利用斜率乘积为求解即可；（2）将直线方程变形，解方程组求出定点坐标，利用两点间距离公式求长度.【小问1详解】由题意得，，的斜率为，的斜率为.∵，∴，即，解得或.【小问2详解】方程可改写为：，由，得，∴过定点，∴.17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，且，为棱的中点．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）取中点，利用等边三角形证明，利用勾股定理证明，通过线面垂直证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求平面法向量，结合公式求直线与平面夹角的正弦值.【小问1详解】如图，取中点，连接.∵为等边三角形，∴.设，则，，，∴，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.【小问2详解】取中点，连接，由（1）可知两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，∴，，.设平面的法向量为，则，可得，取，则，，可取.设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.18.如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．（1）求直线的倾斜角的取值范围．（2）是否存在直线，使得点关于直线对称点在线段上？（3）设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围．【正确答案】（1）（2）不存在，理由见解析（3）【分析】（1）观察点运动时，直线与线段（不包括端点）有无公共点，数形结合可得出直线的倾斜角的取值范围；（2）假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上，求出直线的斜率，由题意可知，求出直线的斜率，结合（1）中的结论判断即可；（3）对直线斜率是否存在进行分类讨论，当轴时，直接求出的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，求出点、的坐标，可求出面积的取值范围，进而可得出的取值范围，综合可得出结论.【小问1详解】解：由图可知，点在第一象限，设点，因为，，则，所以，，解得，即点，由题图可知，当点从原点沿着轴的正方向移动时，直线的倾斜角在逐渐增大，当直线与直线重合时，设直线交轴的交点为，如下图所示：当点在线段上运动时，直线与线段（不包括端点）没有公共点，当点在线段（不包括点）上运动时，直线与线段（不包括端点）有公共点，且直线的斜率为，直线的倾斜角为，综上所述，直线倾斜角的取值范围是.【小问2详解】解：由（1）可知，、，则直线的斜率为，假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上，此时，，则，此时，直线的倾斜角满足，不合乎题意，因此，不存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上.【小问3详解】解：当轴时，此时，为线段的垂直平分线，此时，；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，其中，直线的方程为，即，联立可得，即点，联立可得，即点，所以，，所以，，因为，则，所以，，综上所述，的取值范围是.关键点点睛：本题第（3）问在求解三角形面积的取值范围时，要注意对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在设出直线的方程后，关键要求出点、的坐标，再利用三角形的面积公式以及函数思想求范围.19.在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为．（1）若直线与都在平面内，求平面的方程；（2）在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标；（3）若集合中所有点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所