2024-2025学年湖南省常德市高二上册10月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年湖南省常德市高二上学期10月月考数学检测试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的一个方向向量是（

）A． B． C． D．2.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若OM=25OA+16OB+λOC，则A．λ=1730B．λ=13303.直线l过圆C：的圆心，并且与直线垂直，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．4.在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直且相等，E是AB的中点，则异面直线AC和PE所成角为（

）A． B． C． D．5.两条平行直线和间的距离为，则，分别为（

）A．， B．，C．， D．，6.已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为()A．－6或eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)或1C．－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)D．0或eq\f(1,2)7.空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．8.直线：，点，，若与线段相交，则的范围为（

）A．B． C． D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.下列说法正确的是（

）A．过，两点的直线方程为B．点关于直线的对称点为C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为10.已知，，，，则下列说法正确的有（

）A．与夹角的余弦为 B．的面积为C．平面的一个法向量 D．四面体的体积为11.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连结PC，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A．PC与平面BCD所成的最大角为45°B．存在某个位置，使得PB⊥CDC．当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，PCD．存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则____.13．已知直线，当变化时，点到直线的距离的取值范围是____.14．平面直角坐标系上有两点，直线的方程为，直线上有一点P，最短，则P点的坐标为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知：，，，求：(1)；(2)与所成角的余弦值．16.（15分）已知直线.（1）若直线过点，且，求直线的方程；（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.17.（15分）已知△ABC的顶点C（2，﹣8），直线AB的方程为y＝﹣2x+11，AC边上的高BH所在直线的方程为x+3y+2＝0．（1）求顶点A和B的坐标；（2）求△ABC外接圆的一般方程．18.（17分）如图，在四棱锥中，面．，四边形满足，，，点为中点，点为边上的动点（Ⅰ）求证：平面．（Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由．19.（17分）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合如图所示将矩形折叠，使点A落在线段DC上．（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程（2）当时，求折痕长的最大值．2024-2025学年湖南省常德市高二上学期10月月考数学检测试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的一个方向向量是（

）A． B． C． D．【正确答案】A因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，故选：A.2.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若OM=25OA+16OB+λOC，则A．λ=1730B．λ=1330【正确答案】BO是平面ABC外任意一点，且OM=若A，B，C，M四点共面的充要条件是25+16+λ=13.直线l过圆C：的圆心，并且与直线垂直，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．【正确答案】D由圆C：，则，又直线l与直线垂直，即，∴直线l的方程为，即.故选：D4.在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直且相等，E是AB的中点，则异面直线AC和PE所成角为（

）A． B． C． D．【正确答案】A由于是的中点，取的中点，则，则或补角即为异面直线与所成的角．可设，由于、、两两垂直，且均相等，则，，，即有，，，则有．故选：．5.两条平行直线和间的距离为，则，分别为（

）A．， B．，C．， D．，【正确答案】D两直线平行，，解得，将化为，.故选：D.6.已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为()A．－6或eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)或1C．－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)D．0或eq\f(1,2)【正确答案】Aeq\f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋12）＝eq\f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋12），即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或eq\f(1,2).故选：A.7.空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【正确答案】B因为平面的方程为，故其法向量为，因为直线的方程为，故其方向向量为，故直线与平面所成角的正弦值为，故选：B.8.直线：，点，，若与线段相交，则的范围为（

）A．B． C． D．【正确答案】C直线方程变形得.由得，∴直线恒过点，，，由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又，∴或，即或，又时直线的方程为，仍与线段相交，∴的取值范围为.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.下列说法正确的是（

）A．过，两点的直线方程为B．点关于直线的对称点为C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为【正确答案】BC对于A：当，时，过，两点的直线方程为，故A不正确；对于B：点

(0,2)

与

(1,1)

的中点坐标，

满足直线方程,

并且两点的斜率为：

−1,

所以点

(0,2)

关于直线

y=x+1

的对称点为

(1,1)

，所以

B

正确；对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为：

2,−2,

直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C

正确；

对于D：经过点

(1,1)

且在

x

轴和

y

轴上截距都相等的直线方程为

x+y−2=0

或

y=x

，所以

D

不正确；故选：BC.10.已知，，，，则下列说法正确的有（

）A．与夹角的余弦为 B．的面积为C．平面的一个法向量 D．四面体的体积为【正确答案】ACDA：，，则，正确；B：由A知：，错误；C：若是面的一个法向量，则，令，有，正确；D：，则到面的距离，所以四面体的体积为，正确.故选：ACD11.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连结PC，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A．PC与平面BCD所成的最大角为45°B．存在某个位置，使得PB⊥CDC．当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，PCD．存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为【正确答案】BC选项A，取BD的中点O，连接OP、OC，则OP＝OC．由题可知，△ABD和△BCD均为等边三角形，由对称性可知，在翻折的过程中，PC与平面BCD所成的角为∠PCO，当PC时，△OPC为等边三角形，此时∠PCO＝60°＞45°，即选项A错误；选项B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，有PQ⊥平面BCD，BQ⊥CD，∴PQ⊥CD，又BQ∩PQ＝Q，BQ、PQ⊂平面PBQ，∴CD⊥平面PBQ，∵PB⊂平面PBQ，∴PB⊥CD，即选项B正确；选项C，当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，平面PBD⊥平面BCD，∵PB＝PD，∴OP⊥BD，∵平面PBD∩平面BCD＝BD，∴OP⊥平面BCD，∴OP⊥OC，又OP＝OC，∴△POC为等腰直角三角形，∴PCOP，即选项C正确；选项D，∵点B到PD的距离为，点B到CD的距离为，∴若B到平面PDC的距离为，则平面PBD⊥平面PCD．平面CBD⊥平面PCD，则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾．故选：BC．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则____.【正确答案】.13．已知直线，当变化时，点到直线的距离的取值范围是____.【正确答案】由题意知直线过定点，且不与轴垂直，当直线经过点时，，点到直线的距离最小为0，当过点的直线垂直于x轴时，点到该直线的距离最大,最大值为3，如图示：由于的斜率存在，故点到直线的距离小于3，即点到直线的距离的取值范围是14．平面直角坐标系上有两点，直线的方程为，直线上有一点P，最短，则P点的坐标为.【正确答案】设点关于直线l的对称点，则，线段中点在直线l上，所以，整理得，解得，即.因为点在一条直线上时最短，所以点P的坐标是直线与直线l的交点，

由得直线的方程为，所以，解得，即.故答案为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知：，，，求：(1)；(2)与所成角的余弦值．【正确答案】(1)(2)（1），，解得，故又因为，所以，即，解得，故（2）由(1)可得设向量与所成的角为，，,则．16.（15分）已知直线.（1）若直线过点，且，求直线的方程；（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.【正确答案】（1）（2）或.（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.因为，所以直线的斜率为.因为直线过点，所以直线的方程为，即.（2）因为直线与直线之间的距离为，所以可设直线的方程为，所以，解得或.故直线的方程为或.17.（15分）已知△ABC的顶点C（2，﹣8），直线AB的方程为y＝﹣2x+11，AC边上的高BH所在直线的方程为x+3y+2＝0．（1）求顶点A和B的坐标；（2）求△ABC外接圆的一般方程．【正确答案】（1）A（5，1）B（7，﹣3）（2）x2+y2﹣4x+6y﹣12＝0．（1）由y=−2x+11x+3y+2=0可得顶点B（7，﹣3又因为AC⊥BH得，kBH所以设AC的方程为y＝3x+b，将C（2，﹣8）代入得b＝﹣14，由y=−2x+11y=3x−14可得顶点为A（5，1所以A和B的坐标分别为（5，1）和（7，﹣3），（2）设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，将A（5，1）、B（7，﹣3）和C（2，﹣8）三点的坐标分别代入得5D+E+F+26=07D−3E+F+58=02D−8E+F+68=0则有所以△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2﹣4x+6y﹣12＝0．18.（17分）如图，在四棱锥中，面．，四边形满足，，，点为中点，点为边上的动点（Ⅰ）求证：平面．（Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由．【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，．（Ⅰ）因为平面，所以，，又，所以，，两两垂直．以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示．则，，，点为中点，故故，又，所以所以，，为共面向量，平面，所以平面．（Ⅱ）设，,依题意可知平面的法向量为，，设平面的法向量为，则，令，则．因为二面角的余弦值为，所以，即，解得或．所以存在点符合题意，当或时，二面角的余弦值为．19.（17分）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合如图所示将矩