2.1 一元二次方程（能力提升）（解析版）

2.1一元二次方程题型一由一元二次方程的解求参数1．已知x=2是关于x的一元二次方程x2+kx-6=0的一个根，则k的值为（A．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】C【详解】解：∵x=2是一元二次方程x2∴22解得k=1．2．若x=2是关于x的一元二次方程ax2+bx-2026=0a≠0的一个解，则【答案】-1012【详解】解：∵x=2是关于x的一元二次方程ax2+bx-2026=0∴4a+2b-2026=0，∴2a+b=1013，∴1-2a-b=1-2a+b3．已知x=1是关于x的一元二次方程x2+2mx+n=0的解，则4m+2n=【答案】-2【详解】解：把x=1代入方程x2+2mx+n=0得整理得2m+n=-1，∴4m+2n=22m+n4．若x=-2是关于x的一元二次方程x2+mx-m-1=0的一个根，则m的值为【答案】1【详解】由题意，将x=-2代入方程x2得(-2)2整理得4-3m-1=0，即3-3m=0，解得m=1．题型二列一元二次方程1．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（）A．（1﹣x）2＝50% B．（1+x）2＝50% C．1﹣2x＝50% D．（1﹣x）（1+x）＝50%【答案】A【解答】解：根据题意得：（1﹣x）2＝50%．故选：A．2．如图，小红想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的面积为600m2时，AB的长为多少米？设矩形ABCD的边AB＝xm，根据题意所列的方程是（）A．x（62﹣2x）＝600 B．x（60﹣2x）＝600 C．x（58﹣2x）＝600 D．x（60﹣x）＝600【答案】A【解答】解：由题意得，BC＝60+2﹣2x＝（62﹣2x）m，根据羊圈的面积为600m2，得x（62﹣2x）＝600，故选：A．3．《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为．【答案】x（x+12）＝864．【解答】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步，∴矩形的长为（x+12）步．依题意，得：x（x+12）＝864．故答案为：x（x+12）＝864．4．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到507千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为．【答案】300（1+x）2＝507．【解答】解：平均每年增产的百分率为x，根据题意得，300（1+x）2＝507，故答案为：300（1+x）2＝507．1．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2【答案】A【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，∴b2﹣ab+b＝0，∵﹣b≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b，得b﹣a+1＝0，∴a﹣b＝1．故选：A．2．要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，设相框边的宽度为x，则可列出关于x的一元二次方程．【答案】（29+2x）（22+2x）=54【解答】解：设相框边的宽度为xcm，则可列方程为：（29+2x）（22+2x）=54故答案为：（29+2x）（22+2x）=543．在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，则称a是该方程的中点值．（1）方程x2﹣8x+3＝0的中点值是．（2）已知x2﹣mx+n＝0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵（--82）2﹣3＝∴方程x2﹣8x+3＝0的中点值为4；故答案为4；（2）∵m2=∴m＝6，把x＝2代入x2﹣mx+n＝0得4﹣6×2+n＝0，解得n＝8，∴mn＝6×8＝48．4．请阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x=y把x=y2代入已知方程，得化简，得y2+2y﹣4＝0故所求方程为y2+2y﹣4＝0．这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：．（2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．（3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2，﹣1，直接写出一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根为．【答案】（1）y2﹣y﹣2＝0；（2）3y2﹣7y+2＝0；（3）12、﹣1【解答】解：（1）设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，由条件可得y2﹣y﹣2＝0，故答案为：y2﹣y﹣2＝0；（2）设所求方程的根是y，则y=1x，所以由条件可得2(1化简