专题18. 1 8 平行四边形-折叠问题（专项练习）

专题18.18平行四边形-折叠问题（专项练习）

一、单选题

1.如图，将。ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F,若/ABD=48°，

NCFD=40。，则4为（）

A.102B.112°C.122°D.92'

2.如图，已知平行四边形ABC。，NA8C=6（r,将平行四边形沿直线3。折叠，点A

落在点E处，连结AE，CE,若=90.则：SMCE的值为（）

A.73-1B.72-1C.6+1D.及+1

3.如图，AACD和"EB都是等腰直角三角形，ZCAD=ZEAB=90，四边形ABCQ

是平行四边形，下列结论错误的是（）

A.沿AE所在直线折叠后，△ACE和△/!£）£重合

B.沿AO所在直线折叠后，△AD3和AADE重合

C.以A为旋转中心，把△ACE逆时针旋转90后与△AQ8重合

D.以A为旋转中心，把△ACB逆时针旋转270°后与△D4C重合

4.有一张平行四边形纸片ABCD,已知NB=65。，按如图所示的方法折叠两次，则ZBCF

的度数等于（）

A.55°B.50°C.45°D.40°

5.如图，在平行四边形A8CD中，E为边CD上一点,将AADE沿AE折叠至△ADE处,

AD与CE交于点F，若NB=55°,ZDAE=20°,则NFEZy的大小为（)

A.20°B.30°C.35°D.45°

6.如图，在平行四边形ABCD中，E为边CO上一点，将AADE沿AE折叠至△45'E，

7.在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=8,/B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点

D落在△ABC所在平面内的点E处.如果AE过BC的中点，则平行四边形ABCD的面积

等于（）

A.48B.1076C.12币D.240

8.有一张平行四边形纸片ABCD,已知/3=75°，按如图所示的方法折叠两次，则N8CF

的度数等于（）

A.60°B.55°C.50°D.45°

9.如图，在平行四边形A8CD中，E为边CD上一点,将AADE沿AE折叠至△AOE处,

AZ7与CE交于点尸.若NB=54°,ZDAE=20°,则4EZ7的大小为（）

10.如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将AADE沿AE折叠至AADE处,

AD'与CE交于点F,若/B=52°,/DAE=20°，则4ED'的度数为（）

11.如图，将平行四边形纸片A8C。折叠，使顶点。恰好落在AB边上的点M处，折痕

为AN,那么对于结论：①MNHBC,②=.下列说法正确的是（）

A.①②都错B.①对②错C.①错②对D.①②都对

12.如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN,

A.MN〃BCB.MN=AMC.AN=BCD.BM=CN

二、填空题

13.如图，平行四边形纸片ABC。中，AC=4A/3,NC46=30°,将平行四边形纸片ABC。

折叠，使点A与点。重合，则下列结论正确的是.

①NZM8=6O；②MN=4；③④S四边形.NO=

D

C

14.如图，平行四边形纸片ABCD中，AC=20，/CAB=30。，将平行四边形纸片ABCD

折叠，使点A与点C重合，则折痕MN=

15.如图，在用AOAB中，ZA=90°,点3的坐标为(4,0),NOB4=30°,尸、。分

别是射线、线段08上的点，且OP=,以OP、OQ为邻边构造平行四边形OPMQ,

①若线段尸M与A8交于点。，当也=,时，则3Q=；②把APM。沿着PQ进

PD2

行折叠，当折叠后APMQ与AOPQ的重叠部分的面积是平行四边形0PM。的,时，则

4

BQ=.

16.如图，平行四边形ABCD,将四边形CDMN沿线段MN折叠，得到四边形QPMN,已

知N5NM=68°，则.

17.如图，先将一平行四边形纸片ABCD沿AE,EF折叠，使点E,B',C在同一直线上,

再将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，则NAEG=—度.

18.如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处，N1=N2=48°,

则NA'的度数为.

19.如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点。落在2，

折痕为EF，若ZBAE=55°，则NRAD=

20.如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点/处.若Nl=N2=50°,

则ZA'为•

21.如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处.若Nl=50。,

则/BDA=.

22.如图，在平行四边形ABCD中，E为边上点，将沿AE折叠至△AZXE处,

AD与CE交于点F，若N5=42。，ZDAE=15°,则N庄。的度数为.

23.如图，在平行四边形ABC。中，点E在边上，将八钻石沿AE折叠得到△AFE,

点F落在对角线AC上.若AB,AC，AB=3,AD=5,则△CEF的周长为.

24.如图，将平行四边形ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF.若/A=45。，AD=

472-AB=8,则AE的长为.

25.如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B，处.若Nl=/2=44。,

则ND=度.

三、解答题

26.如图⑴，折叠平行四边形ABC。，使得良。分别落在BC,8边上的点,

AE,AF为折痕

(1)若AE=AF,证明:平行四边形ABCD是菱形；

⑵若288=110°，求NB'AD'的大小；

(3)如图(2),以为邻边作平行四边形AEGE,若AE=EC,求NCGE的大小

27.如图，在平行四边形ABCD中，AB=8,4)=5,NA=60°,DEA.AB,垂足

为E，在平行四边形的边上有一点。，且AO=3.将平行四边形折叠，使点。与点。合,

折痕所在直线与平行四边形交于点M、N.

(2)请补全图形并求折痕MN的长.

28.如图，在平行四边形A3CD中，AB=，BC=8,ZB=60°,将平行四边形A8C£>

沿EF折叠，点。恰好落在边AB的中点。处，折叠后点C的对应点为C,交8c于点

G,NBGD，=32。.

(1)求NOE尸的度数；

(2)求线段AE的长.

29.如图，AC为长方形ABC。的对角线，将边A6沿AE折叠，使点3落在AC上的点M

处.将边CO沿折叠，使点。落在AC上的点N处。

(1)求证：四边形AEC尸是平行四边形;

⑵若AB=6,AC=10,求四边形AECE的面积。

30.如图，AC为矩形ABC。的对角线，将边AB沿AE折叠，使点8落在AC上的点M

处，将边8沿CF折叠，使点。落在AC上的点N处.

(1)求证：四边形AECE是平行四边形；

(2)若A8=6,AC=10,求BE1的长.

31.已知，如图，把平行四边形纸片ABC。沿50折叠，点。落在。处，5C'与A3相

交于占p

Jz»v\JLy,

(1)求证：EB=ED；

(2)连接AC,求证：AC'//BD.

32.如图，在平行四边形A8CD中，ADJ.DB，垂足为点。，将平行四边形ABCO折叠,

使点8落在点。的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF.

(1)求证：MDE竺AGDF；

(2)若AE=BD，求NC/G的度数；

(3)连接CG,求证：四边形8CG。是矩形.

D

33.己知：将。A8C。纸片折叠，使得点C落在点A的位置，折痕为EF,连接CE.求

证：四边形AFCE为平行四边形.

AD'

34.如图,将矩形沿石F折叠，使用点落在4。边上的B点处;再将矩形44GA

沿8G折叠，使R点落在D点处且BD过F点.

(1)求证:四边形8EEG是平行四边形；

(2)当/用EE是多少度时,四边形8EFG为菱形?试说明理由.

35.如图，AC为矩形ABCO的对角线，将边A8沿AE折叠，使点8落在AC上的点M

处，将边CO沿C/折叠，使点。落在AC上的点N处.

(1)求证：四边形AECE是平行四边形；

(2)若A8=6,AC=1(),求四边形AECF的面积及AE与CF之间的距离.

36.如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交

AB于点E.

(1)求证：ZEDB=ZEBD；

(2)判断AF与BD是否平行，并说明理由.

37.如图，将平行四边形A6CO沿防折叠，恰好使点。与点A重合，点。落在点G处,

连接AC、CF.

(1)求证：AABEMAGF.

(2)判断四边形AEC户的形状，说明理由.

38.如图，在平行四边形ABCD中，AB=9，4)=13,tanA=—,尸是射线A。上

一点，连接心，沿必将三角形AP3折叠，得三角形APB.

DC

』AB/

(1)当N£>P4'=10°时，ZAPB=度；

(2)如图，当B4'_LBC时，求线段Q4的长度;

(3)当点A落在平行四边形ABC。的边上时，直接写出线段B4的长度.

39.如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点。重合，点。落在点G

处，折痕为EF.求证：

(1)ZECB=ZFCG；

(2)AEBC=AFGC.

DC

40.如图，将。ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落到AB边上的点D'处，折痕交CD

边于点E,连接BE.

(1)求证：四边形BCED'是平行四边形；

⑵若BE平分NABC：

①则四边形BCED'是；（填哪一种特殊的平行四边形）

②求证：AB2=AE2+BE2-

41.如图，将oABC。沿过点A的直线/折叠，使点。落到A5边上的DC处，折痕交C。

边于点E，连接BE.

（1）求证：四边形BCEZ）'是平行四边形；

（2）若BE平分NA8C,求证：AB2=AE2+BE1.

参考答案

1.B

【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出NADB=/BDF=NDBC，由三角形

的外角性质求出NBDF=NDBC=-^DFC=20。，再由三角形内角和定理求出/A，

2

即可得到结果.

【详解】

-.AD//BC,

.♦./ADB=ZDBC，

由折叠可得ZADB=NBDF，

.♦2DBC=4DF，

又/DFC=40，

SBC=NBDF=zfADB=20”，

又•.•/ABD=48。，

.•.△ABD中，/A=180°-20°—48°=112°，

.,./E=/A=112°，

故选B.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和

定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出NADB的度数是解决问题的关键.

2.A

【分析】

延长DE,BC相交于点F,由平行四边形性质，以及/A£>E=9(T，得到NEFC=90。，则

5DE

EF是小BCE的高，贝lj,由ZEDB=45°,贝UDF=BF,又DE=AD=BC,则EF=CF,

SABCEEF

设EF=CF=x,由NFDC=30。，则CD=2x,由勾股定理，求得DF=A,得至ljDE-(^-l)x，

即可得到答案.

解：延长DE,BC相交于点F,如图,

：AD〃BC,ZADE=903-ZABC=ZADC=60°

ZEFC=90°,ZEDC=90°-60°=30°,

由折叠性质，得至ljDE=AD=BC,ZEDB=ZADB=45°,

...△DFB是等腰直角三角形，

；.DF=BF,

.\DF-DE=BF-BC,

即EF=CF,

在直角三角形DCF中，ZEDC=30°,

设EF=CF=x,则CD=2x,

•••DF=7（2X）2-X2=瓜，

DE=DF-EF=（V3-l）x，

Ap

...5会1.小=DE=（百-l）x

S\BCELBC.EFEFx

2

故选择：A.

【点拨】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，30。角所对直角边等于斜

边的一半，以及勾股定理，解题的关键是根据题意找出边的关系，以及角的关系，掌握底边

相等的三角形，面积比等于高之比.

3.D

【解析】本题通过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断.

解：A、根据题意可知/EAC=135。，ZEAD=360°-ZEAC-ZCAD=135°,AE=AE,AC=AD,

△EAC^AEAD,正确：

B、根据题意可知NBAD=135°,ZEAD=360°-ZBAD-ZBAE=1350,AE=AB,AD=AD,

△EAD^ABAD,正确.

C、根据题意可知AE=AB,AC=AD,ZEAC=ZBAD=135°,△EAC^ABAD,旋转角

ZEAB=90°,正确;

D、因为平行四边形是中心对称图形，要想使△ACB和^DAC重合，AACB应该以对角线

的交点为旋转中心，顺时针旋转180。，即可与aDAC重合，错误；

故选D.

此题主要考查平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交

点.

4.D

【分析】由折叠可得/CGD=9(r=NBCG,即可得到NDCG=25。，由折叠可得

NGCF=2x25*50。，即可得到NBCF=40。.

【详解】

解:如图:

由折叠可得，ZCGD=90°=ZBCG,

XVZD=ZB=65°,

AZDCG=90°-ZD=25°,

由折叠可得，ZGCF=2x25°=50°,

ZBCF=90°-ZGCF=40°,

故选：D.

【点拨】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质的运用，折叠是一种对称变换，它

属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

5.B

【分析】先根据平行四边形的性质求出ND的度数，再根据三角形的内角和定理和平角定义

求出NAED和/AEF的度数，再由折叠性质得NAE£)'=NAED,进一步计算即可解答.

解：：四边形ABCD是平行四边形，

/D=/B=55°,

NDAE=20°,

，ZAED=1800-ZDAE-ZD=180°-20°-55°=105°,

ZAEF=1800-NAED=180°-105°=75°,

由折叠性质得：NA£D'=NAED=105。，

ZFED=NAED'-ZAEF=105°-75°=30°,

故选：B.

【点拨】本题考查平行四边形的性质、三角形的内角和定理、平角定义、折叠性质，熟练掌

握平行四边形的性质和折叠的性质是解答的关键.

6.B

【分析】由平行四边形的性质得出ND=NB=52。，由折叠的性质得：ZD-=ZD=52°,

ZEAD'=ZDAE=20°,由三角形的外角性质求出NAEF=72。，由三角形内角和定理求出

NAED，=108。,即可得出/FED，的大小.

解：：四边形ABCD是平行四边形，

.*./D=/B=52°,

由折叠的性质得：ND，=ND=52。，NEAD，=NDAE=20。，

NAEF=ND+/DAE=52°+20°=72°,NAED'=18O°-NEAD'-ND'=1O8°,

AZFED'=1080-72o=36°；

故选：B.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和

定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出NAEF和/AEP是解决问题的关键.

7.C

【解析】设4E与BC交于。点，。点是BC的中点.

:四边形A8C。是平行四边形，AZB=ZD.AB//CD,

又由折叠的性质推知CE=CD

：.ZB=ZE.CE=AB

：.^ABO和4ECO中

，ZA0B=ZE0C

•BA=EC，

tZB=ZE

所以△ABO也△CEO(AAS),所以AO=CO=4,OE=OB=4.

：.AE=AD=S.

...△AED为等腰三角形，又C为底边中点，故三线合一可知N4CE=90。，

从而由勾股定理求得AC=j82-62=2j7―

平行四边形ABCD的面积=4CXC£>=125/V.

【分析】如图，由折叠可得/CED=9(T=/BCE,即可得到NDCE=15。，由折叠可得

ZDCF=2xl5°=30°,即可得至lJ/BCF=60°.

【详解】

如图，

解：由折叠可得，ZCED=90°=ZBCE,

又"D=NB=75°,

ZDCE=15°,

由折叠可得，ZDCF=2xl5°=3O°,

/BCF=60°.

故选A.

【点拨】本题考查折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称,

折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

9.B

【分析】根据平行四边形以及折叠的性质即可得出答案.

解：：四边形ABCD是平行四边形，/3=54。

/.ZD=ZB=54°

又NDAE=20°

ZAED=180°-ZD-ZDAE=106°

根据折叠可得：NA£D'=NAEO=106°

又NAEF=180°-NAED=74°

•••ZFEiy=ZAED-ZAEF=32°

故答案选择B.

【点拨】本题考查的是平行四边形的综合，涉及到「折叠的性质、三角形的内角和以及平角

的性质，难度适中.

10.B

【分析】由平行四边形的性质得出/D=/B=52°，由折叠的性质得：/D'=/D=52l

/EAD'=/DAE=20'，由三角形的外角性质求出NAEF=72°，与三角形内角和定理

求出/AED'=1()8"，即可得出上FED'的大小.

解：•.•四边形ABCD是平行四边形，

..4=/B=52°，

由折叠的性质得：ND'=/D=52°，/EAD'=NDAE=20°，

/AEF=ND+/DAE=520+20°=72°，

/AED'=180。-AAD'-ND'=108%

.-.^FED'=108-72°=36°.

故选B.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和

定理，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出/AEF和NAED是解决问题的关键.

11.D

【解析】

【分析】根据折叠重合图形全等，已经平行四边形的性质，可以求证①②均正确.

解：•.•折叠后点。落在AB边上的点A/处

AAA©=AAW.AD=AM,ZADN=ZAMN

又•.•平行四边形ABC。中，ZD=ZB

：.ZAMN=ZB，：.MN\\BC

又•.•平行四边形ABC。中，AB//CD

:.BMPCN,..BCNM是平行四边形，「.MN=8C=4)=40.故选D.

【点拨】本题综合考查全等三角形的性质、平行四边形的性质、平行线的判定、平行四边形

的判定.

12.C

【解析】

【分析】根据平行四边形ABCD,可得NB=ND,再根据折叠可得ND=NNMA,再利用等

量代换可得NB=/NMA,然后根据平行线的判定方法可得MN〃BC；首先证明四边形

AMND是平行四边形，则BM=CN,AD=BC,再根据折叠可得AM=DA,则四边形AMND

为菱形，再根据菱形的性质可得MN=AM.由以上可做出选择.

解：..•四边形ABCD是平行四边形，

.\ZB=ZD,

•••根据折叠可得ND=NNMA,

，NB=NNMA,

，MN〃BC；故A正确；

,/四边形ABCD是平行四边形，

；.DN〃AM,AD〃BC,

VMN//BC,

，AD〃MN,

四边形AMND是平行四边形，

；.BM=CN,AD=BC,

根据折叠可得AM=DA,

...四边形AMND为菱形，

；.MN=AM；故B、D正确；

故选C.

【点拨】本题考查翻折变换，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解题的关键是

找准折叠以后哪些线段是对应相等的，哪些角是对应相等的.

13.②④

【分析】根据平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含30。角的直角三角形

的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等进行推理证明即可得解.

解：♦.•将平行四边形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合

根据翻折的性质可知，Rt^ONC^Rt^OMA

OA^0C=-AC^2y/3,NOW=ZAC。=30。，ADONABOM

2

在Rt^ONC和Rt^OMA中，CN=AM=2ON=2OM

：.（20N『-ON2=（2南，（2OM-OM2=（26丁

/.OM=ON=2

:.MN=OM+ON=4（故②正确）

,SAOM=SCON=OA.OM=巫2=2币（故③错误）

ZkCCz/V22"

•••四边形ABC。是平行四边形

AOA=OC<OB=OD

**SAAOD=SAAOB=SABOC=SROD=aSoABCD

,:RtQNgRtQMA,ADON'BOM

,•SQON+SJOM=SJOB=SACOD=1S口ABCD

=

•・S|JI|边形4MM）+SGON+^AAOM=2SJJOC（故④正确）

;折痕MN与对角线8D没有事合，MN±AC

对角线和AC不垂直

DABCD不是菱形

•••ZDAC^ZCAB

ZDAC^30°

：.ZDAB^60°（故①错误）.

故答案是：②④

【点拨】本题考查了平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含30。角的直角

三角形的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等知识点，体现了逻辑推理的

核心素养.

14.2

【解析】

【分析】根据翻折变换，可知△ONC丝△AOM,且是RtA,在AONC中解得NO即可得

【详解】

根据翻折变换，可知AONC丝△AOM,且是RS,

•：AC=26，NCAB=30。，

.•.在RtAONC,

解得ON=1,

.♦.MN=2,

故答案为2.

【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，解题的关键是要注意折叠

是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.

4Q

15.11或Q

JD

【分析】①根据NA=90°,点5的坐标为（4,0）,NO84=30°,四边形平行四

边形，得到。8=4,OA=2,?AOP1OBA30。设ZW=a,则由!得尸M=2a,

PD2

PA=a,则利用。8=OQ+3Q=尸。+OM+8Q.OA^OP+PA,即可得”=1,即可得

出结果；

②分两种情况讨论（1）当P点在线段。4之间时，（2）当p点在射线04上时，分别进行

求解即可.

解：①:NA=90°,点8的坐标为（4,0）,NQBA=30°,

.•.08=4,04=2,

又•:四边形OPMQ平行四边形，

/.PMHOB，

，?ADP?OBA300

人DM1

^DM=a,则由----=一，

PD2

*'•PM=3〃，

・•・在心中，PA=a,

则有：OQ+3Q=PD+ZW+3Q=3〃+8Q=4①,

OA=OP+PA=BQ+a=2②，

即可得：2〃=2,

BQ=2-a=2-1=1；

②把APMQ沿着PQ进行折叠，折叠后得图形是DPAT。

(1)如图示，当P点在线段0A之间时，9'交08于O'点,

即PD,把bPOQ分成了面积相等得两部分，

，PO是。。的中线，

OD'=D'Q

又•••四边形0PMQ平行四边形，PMHOB,

?MPQ?PQD',

•.•折叠APMQ得到DPM'Q,

：.?MPQ?M'PQ,

：.?PQD'?M'PQ

DPQ。是等腰三角形，

PD'=D'Q

VZA=90°.NO84=30。，

NPOQ=60。，

DPO。是等边三角形，

即有OP=D'Q=QB,

013=3BQ=4,

4

8Q=于

(2)如图示，当P点在射线。4上时，QM'交。4Tzy点,

♦.•折叠后\PMQ'3\OPQ的重，普相分的面积是平行四边形OPMQ的L

4

R|]Sy/pQp,——SyOpMQ>

••^VPQIX~SyntD'

即尸。'把分成了面积相等得两部分，

，P£>'是M'。的中线，

M'D'=D'Q=^M'Q,

乂•••四边形。PMQ平行四边形，POHQM,

?PQM?OPQ,

•.•折叠APM。得到DPM'Q,

：.?PQM?PQM',RM'?M60°,PM'=PM

：.?OPQ?M'QP

DPQZT是等腰三角形，

PD'=D'Q

：.PD'=M'D'

DAVTZ)'是等边三角形，

PM'=M'D'=-M'Q

2

即有OQ=PM=PM'=M'D'=-M'Q=-BQ,

22

013=0Q+BQ=-BQ+BQ=4

•♦•时［•

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，中线的性质，等腰三角形，等边三角

形的判定等知识点，熟悉相关性质是解题的关键.

16.44°

【分析】根据平行四边形的性质得AD//BC,得NNMD=68°，根据折叠的性质得

NPMN=NNMD=6%，根据平角的性质即可求解.

【详解】

V四边形ABCD是平行四边形

AD//BC

NNMD=/BNM=6U

.••将四边形CDMN沿线段MN折叠，得到四边形QPMN

'NPMN=ZNMD=68°

•••ZAMP=180°-ZPMN-NNMD=44"

故答案为44。.

【点拨】本题考察了平行四边形的性质，平行线的性质，和利用平角求解未知角的度数：其

中两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.

17.45.

【解析】

试题分析：利用翻折和平角定义易得组成/AEF的两个角的和等于平角的一半，得出

/AEF=90。，再利用将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，得出NAEG=NGEA，进

而得出答案.

试题解析：根据沿直线折叠的特点，4ABE咨AAB'E,△CEFr△CEF,

.,.ZAEB=ZAEB\/CEF="EF,

,/ZAEB+ZAEB,+ZCEF+ZC,EF=180°,

NAEB'+/C'EF=90°,

:点E,B\C，在同一直线上,

ZAEF=90°,

•••将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，

，ZAEG=ZGEA,=—ZAEF=45°

2

考点：翻折变换（折叠问题）.

18.108°

【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出NADB=NBDG=NDBG,由三角形的外

角性质求出NBDG=NDBG=，/1=24。，再由三角形内角和定理求出/A,即可得到结果.

2

解：'JAD//BC,

NADB=NDBG,

由折叠可得NBDG,

:.NDBG=NBDG，

又：/1=NBOG+/Q8G=48°,

：.ZADB=ZBDG=24°,

又；/2=48°,

.,.△A8D中，N4=108°,

NA=NA=108°,

故答案为108°

【点拨】此题考查平行四边形的性质和折叠问题，解题关键在于利用折叠性质进行解答

19.55°

解：••・四边形ABCD是平行四边形，

NBAD=NC,

由折叠的性质得：ZZ）,A£=ZC,

RAE=NBAD,

NRAD=NBAE=55".

20.105°.

【详解】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出NADB=NBDG=NDBG,由三角形的外

角性质求出NBDG=NDBG=』NI=25。，再由三角形内角和定理求出/A,即可得到结果.

2

：AD〃BC,.,.ZADB=ZDBG,

由折叠可得/ADB=NBDG,/.ZDBG=ZBDG,

又•.•/l=/BDG+NDBG=50°,AZADB=ZBDG=25°,

又•.•/2=50°,.;△ABD中，ZA=105°,AZA'=ZA=105°,

故答案为105。.

考点：平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理.

21.25°

【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质可得AD〃BC,ZBDA=ZBDG,即可求解.

解：：将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，

；.AD〃BC,NBDA=NBDG,

，/1=NADG=50°,且NADG=ZBDA+ZBDG,

；./BDA=25。，

故答案为：25°.

【点拨】本题考查了翻折变换，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用折叠的性质是本

题的关键.

22.66°

【分析】由平行四边形的性质得出ND=NB=42。，又由折叠的性质得：ND=ND=42。，

NEAD=NDAE=15。，再由三角形的外角性质得NAEF=ND+NDAE=57。，然后由三角形内

角和定理可得NAED=108。，最后由角的和差即可解答.

解：•••四边形ABCD是平行四边形，

ZD=ZB=42°,

又ND=ND=42。，NEAD，=NDAE=15。（折叠的性质）

ZAEF=ZD+ZDAE=42°+15°=57°,

ZAED'=180°-ZEAD'-ND'=123°,

.".ZFED'=1230-57O=66°.

故答案为66。.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和

定理；掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键.

23.6.

【分析】先根据平行线的性质求出BC=AD=5,再根据勾股定理可得AC=4,然后根据折叠的

性质可得AF=AB=3,EF=BE,从而可求出△CEF的周长.

解：:四边形A8CQ是平行四边形，

；.BC=AD=5,

,/ABA.AC，

=22

•-AC7BC-AB=后-3』

•・.AA55沿AE折叠得到AA^E，

AAF=AB=3,EF=BE,

ACEF的周长=CE+EF+FC=CE+BE+CF

二BC+ACAF

=5+4-3=6

故答案为6.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形的周长计算方法,

运用转化思想是解题的关键.

20

24.—

3

【分析】作CMLAB于M,由平行四边形的性质得出BC=AD=4夜，BC//AD,得出

ZCBM=ZA=45°,利用勾股定理求出BM、CM,设AE=CE=x,则BE=8-X,EM=12—九,

根据勾股定理得出方程，解方程即可求出AE的长.

解：作CMLAB于M,如图所示：

D'

A

则NM=90°,

•..四边形ABCD是平行四边形，

，BC=AD=4拒，BC〃AD,

ZCBM=ZA=45°,

...BM=CM,

由勾股定理得：BM2+CM2=BC2.即28M2=卜啰）一，

，BM=CM=4,

由折叠的性质得：AE=CE,

设AE=CE=X,贝ijBE=8-X，EM=BE+BM=12—X,

EM2+CM2=CE2，即（12-xp+42=f,

解得：％=竺

3

即AE=—.

3

故答案为：—

3

【点拨】本题考查了平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质,

并能进行推理计算是解决问题的关键.

25.114

【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出NACD=/BAC=/B，AC,由三角形的外

角性质求出/BAC=/ACD=NB，AC=1/1=22。，再由三角形内角和定理求出NB,再

2

根据平行四边形的性质求出/D即可.

解：•••四边形ABCD是平行四边形，

.,.AB//CD,

.•.ZACD=ZBAC,

由折叠的性质得：ZBAC=ZB,AC,

.-.ZBAC=ZACD=ZB,AC=-Z1=22°,

2

.,.ZB=180°-Z2-ZBAC=180°-44°-22°=114°,

/D=NB=II4°.

故答案为：114.

【点拨】此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，题中由折叠得到

NBAC=/B，AC,从而得到/BAC=NACD=/B，AC是解题的关键.

26.(1)详见解析；(2)30。；(3)45°.

【分析】3)利用面积法解决问题即可.

(2)分别求出/BA。，ZBAB',/D4ZX即可解决问题.

(3)如图2中，延长4E到〃，使得EH=E4,连接C”，HG,EF,AC.想办法证明E,

H,G,C四点共圆，可得NEGC=NE”C=45。.

【详解】

(1)证明：如图1中，

图⑴

;四边形A8C£)是平行四边形，AE1BC,AF1CD,

=

***S।行四边形ABCDBC*AE=CD*AFt

'：AE=AF,

；・BC=CD,

，平行四边形ABCD是菱形；

(2)解：如图1中，

•・・四边形ABCD是平行四边形，

.*.ZC=ZBAD=110°,

•:AB"CD、

/.ZC+ZB=180°,

；・NB=ND=70。,

\'AE±BCfAFICD.

：.ZAEB=ZAFD=90°,

.\ZBAE=ZDAF=20°f

r

由翻折变换的性质可知：ZBAB=2ZBAE=40°tNOAO=2ND4/=40。,

・・・N8ZO=110。-80°=30°.

(3)解：如图2中，延长NE到“，使得EH=EA,连接C”，HG,EF,AC.

H

VE4=EC,NAEC=90。,

JNACE=45。,

ZA£C+ZAFC=180°,

♦A,B,C,尸四点共圆，

/.ZAFE=ZACE=45°f

四边形AEGF是平行四边形，

：.AF//EG,AE=FG,

：.NAFE=NFEG=45。,

:・EH=AE=FG,EH//FG,

・・・四边形EHGF是平行四边形，

:・EF〃HG,

：・NFEG=NEGH=45。

•：EC=AE=EH,NCE”=90°,

；・/ECH=/EHC=45。,

；・/ECH=NEGH,

H,G,C四点共圆，ZEGC=ZE//C=45°.

【点拨】本题属于儿何变换综合题，考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，翻

折变换，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用四点

共圆解决问题，属于中考压轴题.

27.(1)DE^-y/3；(2)补全图形见解析；折痕MN的长为5或9J7.

23

【分析】

(1)在RSADE中，AD=5,ZA=60°,求得AE=—,再根据勾股定理即可求解；

2

(2)分点。在4B和两类讨论，当点。在AB上时，可得A5CM是等边三角形.求得

例N=5；点点。在AO上时，过点N、。分别作NK_LCO，OHLCD,

垂足分别为K、H，连接OA/,C7V.求出QD=2，OH=6CH=9，

OG=CG='oC=&T根据折叠性质，结合勾股定理，求出CM=OM=匕，进而求

23

出NK=DE=，6利用面积法即可求得MN=2J7.

23

解：(1)；4)=5,ZA=60°,DE±AB,

/.NADE=30。.

AE^-AD^-.

22

/.DE=y/AD2-AE2=-73.

2

(2)如图1所示，当点。在AB上时，

VAB=S,AO=3,

，BO=AB-AO^5.

四边形ABCD是平行四边形，

3C=AD=5,ABI/DC，ZA=NBC£)=60°

B0=BC=5.

•.•将平行四边形折叠，使点C与点。重合，

.••折痕MN垂直平分0C，即NO=NC，

ZOBM=Z.CBM.

折痕MN与平行四边形ABCD的边AB交于点N，

，点B与点N重合.

,/ABI/DC，

；•ZOBM=ZCMB

:.NCBM=NCMB.

：.BC=MC.

,/40)=60°，

.••△BCM是等边三角形.

:.MN=MB=BC=5.

如图2所示，当点。在AD上时,

垂足分别为K、“，连接OM,CN.

•••四边形ABC。是平行四边形，AB=8，

AB=CD=8,AB//DC,24=60°

/.ZODH=ZA=60。，/EDC=ZAED=90°

VAD=5,AO=3,

•••OD=2.

•.,在RtAODH中，ND0H=30。,

HD=\.

OH=^Olf-HD1=73'

CH=CD+HD=9.

在Rt'OCH中，oc=ylOH2-CH2=272?，

由折叠可知，CM=OM.0G=CG=-0C=>/2\.

2

•••在Rt\OMH中，OH2=HM2=0M2

即3+(9-CM?=O”.

...CM=0河=—.

3

/.NK1CD,/EDC=90°,

•••/EDC=/NKD=ADEN=90°.

.••四边形。ENK为矩形.

:.NK=DE二小,

2

,:SACMN*CMNK=*MNCG,

2322

：.MN=-y/l.

3

综上所述，折痕MN的长为5或9J7.

3

【点拨】

(1)见60。角一般转化为直角三角形或等边三角形解决问题；

(2)点。在平行四边形的边上，要根据题意进行分类讨论求解.

28.(1)ND'EF=76°；(2)AE=史士也.

31

【解析】

【分析】(1)根据折叠的性质可得：ZD=Z£D,G=60°,ZDEF=ZD'EF,根据平行线的

性质有等量代换得到/力无尸=/"8,在四边形O'EFG中，根据四边形的

内角和即可求解.

(2)过点E作于点H,设AE=x,根据平行线的性质有/"4。=/8=60。，且

EHLAB,求出4"=！x,HE=3x,根据中点的性质有AD'=LA3=2J5,根据勾股定

222

理即可求解.

解：(1)•••四边形A8CZ)是平行四边形，

.,.ZB=ZD=60°,AD//BC,

：.ZDEF=ZEFB.

•・•将平行四边形ABCD沿E尸折叠，点D恰好落在边AB的中点。处,

,ND=Z£D,G=60%ZDEF=4DEF,

:./D'EF=NEFB,

・・・ZBGD,=32°

AZD'GF=148°

*.•ZDGF+ZEFB+ZD'EF+ZED,G=360°,

148+/D'EF+ZDfEF+60=360°，

:.ND'EF=76。；

设AE=x,

VAD//BC,

；・NHAD=NB=60。,且

・人口_1rjzr_+

,•AH=-x,HE——XJ

22

•••点。'是AS中点，

AD'=LAB=2丘,

2

■:HE+DH^DE,

,%+（2应+gx）=（8-x）",

._112-14^

••X-------,

31

._112-1472

一AE=---------

31

【点拨】考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等，综合性比较强，注意题目中辅

助线是作法.

29.(1)证明过程见解析；(2)四边形AEC户的面积为30.

【分析】

(1)首先证明△ABE丝ZXCDF,则DF=BE,然后可得至ljAF=EC,依据一组对边平行且相

等的四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；

(2)由AB=6,AC=10可得BC=8,由折叠性质可设BE=EM=x,根据

SAABC=SAABE+S“AEC，可以求出x的值，进而求出四边形AECE的面积•

【详解】

(1)证明：；四边形ABCD为矩形

；.AB=CD,AD/7CB,ZB=ZD=90°,ZBAC=ZDCA

由翻折性质可知：ZEAB=-ZBAC,ZDCF=-ZDCA

22

，NEAB=NDCF

在^ABE和4CDF中

"4B=/D

<AB=CD

NEAB=ZFCD

.,.△ABE^ACDF