2024中考专题相似三角形

2024中考数学专题相像形

(共40题)

1.如图，ZXABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

点P为射线BD,CE的交点.

(1)求证：BD=CE；

(2)若AB=2,AD=1,把4ADE绕点A旋转，当/EAC=90。时，求PB的长；

2.如图，直角ZXABC中，ZBAC=90°,D在BC上，连接AD,作BF_LAD分别交

AD于E,AC于F.

(1)如图1,若BD=BA,求证：△ABE0Z\DBE；

(2)如图2,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于M,求证:①GM=2MC；

②AG?:AF・AC.

3.如图，在锐角三角形ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，AG_LBC于点G,

AF_LDE于点F,ZEAF=ZGAC.

(1)求证：△ADEs^ABC；

(2)若AD=3,AB=5,求逆的值.

AG

Y

B

GC

4.如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE,过顶点B作BF

IDE,垂足为F,BF分别交AC于H,交CD于G.

(1)求证：BG=DE；

(2)若点G为CD的中点，求生的值.

GF

5.(1)如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，AE_LBF于点M,

求证：AE=BF；

(?)如图2,将(1)中的正方形ABCD改为矩形ABCD,AR=2,AFIRF

于点M,探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论.

图1图2

6.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD,AC平分/BAD,点P是AC延长线上一

点，且PDJ_AD.

(1)证明：ZBDC=ZPDC；

(2)若AC与BD相交于点E,AB=1,CE：CP=2：3,求AE的长.

7.AABC和4DEF是两个全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZEDF=90°,Z\DEF的

顶点E与4ABC的斜边BC的中点重合，将4DEF绕点E旋转，旋转过程中，线

段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.

(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP二AQ时，求证：△BPEgZ^CQE；

(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPEs/\CEQ；并求当

BP=2,CQ=9时BC的长.

8.如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分NDEB,F为CE的中点,

连接AF,BF,过点E作EH〃BC分别交AF,CD于G,H两点.

(1)求证：DE=DC；

(2)求证：AF1BF；

(3)当AF・GF=28时,请干脆写出CE的长.

9.在RtAABC中，ZBAC=90°,过点B的直线MN〃AC,D为BC边上一点，连

接AD,作DE_LAD交MN于点E,连接AE.

(1)如图1,当NABC=45°时，求证：AD=DE；

(2)如图2,当NABC=30。时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由.

10.如图1,边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB,点

P从点D动身，以每秒1个单位长度沿D玲C1B向终点B运动，直线EP交AD

于点F,过点F作直线FG_LDE于点G,交AB于点R.

(1)求证：AF=AR：

(2)设点P运动的时间为3

①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？

11.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,延长CB至点F,使CF=CA,

连接AF,NACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.

(1)已知BD二加，求正方形ABCD的边长；

(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.

12.将两块全等的三角板如图1摆放，其中NAiCB产NACB=90°,ZAi=ZA=30°.

(1)将图1中△AiBiC绕点C顺时针旋转45。得图2,点Pi是AiC与AB的交点,

点Q是AiBi与BC的交点，求证：CPi=CQ：

(2)在图2中，若AP产a,则CQ等于多少？

(3)将图2+AA1B1C绕点C顺时针旋转到AAzB2c(如图3),点P2是A2c与

APi的交点.当旋转角为多少度时，有△APiCs^CPiPz?这时线段CPi与PH之

间存在一个怎样的数量关系？

13.把RQABC和RtADEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F

在同一条直线上.已知：ZACB=ZEDF=90°,ZDEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,

EF=10cm.如图（2）,aDEF从图（1）的位置动身，以lcm/s的速度沿CB向4

ABC匀速移动，在4DEF移动的同时，点P从aABC的顶点A动身，以2cm/s的

速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，4DEF也随

之停止移动.DE与AC交于点Q,连接PQ,设移动时间为t（S）.

（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围：

（2）连接PE,设四边形APEQ的面积为y（cm2）,摸索究y的最大值;

（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形.

（1）如图①，若DE将aABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用

a、b^c表示）

（2）如图②,若AC=3,AB=5,BC=4.DE将AABC分成周长、面积相等的两部

分,求AD；

(3)如图③，若DE将^ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE〃BC,则a、

b、c满意什么关系？

15.已知：如图，四边形ABCD是正方形，ZPAQ=45°,将NPAQ围着正方形的

顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角NEBC和NFDC的平分线分别交于

点M和N,连接MN.

(1)求证：△ABMsaNDA；

(2)连接BD,当NBAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以iE明.

16.如图，在锐角^ABC中，D,E分别为AB,BC中点，F为AC上一点，且N

AFE=ZA,DM〃EF交AC于点M.

(1)点G在BE上，且NBDG=NC,求证：DG»CF=DM»EG；

(2)在图中，取CE上一点H,使NCFH=NB,若BG=1,求EH的长.

17.AABCAB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC上，ZEDF=ZB.

(1)如图1,求证：DE*CD=DF*BE

(2)D为BC中点如图2,连接EF.

①求证：ED平分NBEF；

②若四边形AEDF为菱形，求NBAC的度数及延的值.

AB

18.如图，在4ABC中，点P是AC边，的一点，过点P作与BC平行的直线PQ,

交AB于点Q,点D在线段BC上，联接AD交线段PQ于点E,且生胆，点G

CDBD

在BC延长线上，NACG的平分线交直线PQ于点F.

(1)求证：PC=PE；

(2)当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形.

19.如图，已知aABC中，AC=BC,点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点,

BF、ED的延长线交于点G,连接GC.

(1)求证：AB=GD；

(2)如图2,当CG二EG时，求幽的值.

AB

20.如图，在^ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O,

且NDCB=NEBC=LNA.

2

(1)求证：△BODs/XBAE：

(2)求证：BD=CE；

(3)若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P,交AC于Q,线

段AP、AQ相等吗？为什么？

21.如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8,BC=6,PE=2,PG=4.PE与AC

交于点M,EF与AC交于点N,动点P从点A动身沿AB以每秒1个单位长的速

度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从

点P动身沿折线PE--EF以每秒1个单位长的速度匀速运动.点P、K同时起先

运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止.设点P、K运动的时诃是

t秒(t>0).

(1)当时，KE=,EN=；

(2)当t为何值时，△APM的面积与aMNE的面积相等？

(3)当点K到达点N时，求出t的值；

(4)当t为何值时，△PKB是直角三角形？

22.如图(1),在△ABC44,AD是BC边的中线，过A点作AE〃BC与过D点作

DE〃AB交于点E,连接CE.

(1)求证：四边形ADCE是平行四边形.

(2)连接BE,AC分别与BE、DE交于点F、G,如图(2),若AC=6,求FG的

23.己知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线，.的点，且BE=DF,

联结AE、AF、DE、DE交AB于点M.

(1)如图1,当E、A、F在始终线上时，求证:点M为ED中点;

(2)如图2,当AF〃ED,

图2

24.已知，如图1,点D、E分别在AB,AC上,且AD_AE

AB-AC

(1)求证：DE〃BC.

已知，如图2,在^ABC中，点D为边AC上随意一点，连结BD,取BD中

点E,连结CE并延长CE交边AB于点F,求证：见型

AFAC

(3)在(2)的条件下，若AB=AC,AF=CD,求更的值.

AF

点E,F在直线AB上，ZECF=ZA.

(1)如图1,点E,F在AB上时，求证：AC2=AF»BE；

(2)如图2,点E,F在AB及其延长线匕ZA=60\AB=4,BE=3,求BF的长.

E

E

26.如图，正方形ABCD,ZEAF=45°.交BC、CD于E、F,交BD于H、G.

(1)求证：AD2=BG*DH；

(2)求证：CE=&DG：

(3)求证：EF=V2HG.

27.如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC,DE=DB,

连接AD、AC>BE,过B作AD的垂线，垂足为F,连接CE、EF.

(1)求证：AC*DF=A/2BF*BD；

(2)点C运动的过程中，NCFE的度数保持不变，求出这个度数；

(3)当点C运动到什么位置时，CE〃BF?并说明理由.

28.如图，在aABC中，点D在边AB上(不与A,B重合)，DE〃BC交AC于点

E,将aADE沿直线DE翻折，得到△内口£,直线DA\EA，分别交直线BC于点M,

N.

(1)求证：DB=DM.

(2)若他=2,DE=6,求线段MN的长.

DB

(3)若延n(n#l),DE=a,则线段MN的长为(用含n的代数式表示).

DB

29.如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A、

D、G在同始终线上，且AD=3,DE=1,连接AC、CG、AE,并延长AE交OG于点

H.

(1)求证：ZDAE=ZDCG.

30.如图，Z^ABC中，点E、F分别在边AB,AC±,BF与CE相交于点P,且N

l=Z2=-i-ZA.

2

(1)如图1,若AB=AC,求证:BE=CF；

(2)若图2,若ABWAC,

①(1)中的结论是否成立？请给出你的推断并说明理由;

②求证:

CE-AC

31.如图1,在锐角^ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且

满意NAFE=NA,DM〃EF交AC于点M.

(1)证明：DM=DA；

(2)点G在BE上，且NBDG=NC,如图2,求证：△DEGS^ECF；

(3)在图2中，取CE上一点H,使得NCFH二NB,若BG=5,求EH的长.

图1图2

32.如图，正方形ABCD中，边长为12,DE_LDC交AB于点E,DF平分/EDC

交BC于点F,连接EF.

(1)求证：EF=CF；

(2)当幽=工时，求EF的长.

33.如图，已知在AABC中，P为边AB上一点，连接CP,M为CP的中点，连

接BM并延长，交AC丁点D,N为AP的中点，连接MN.若NACP=NABD.

(1)求证：AC*MN=BN*AP;

(2)若AB=3,AC=2,求AP的长.

34.如图，已知AC、EC分另lj为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在AABC内,

ZCAE+ZCBE=90°,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF.

(1)求证：ACAE^ACBF：

(2)若BE=1,AE=2,求CE的长.

35.如图①，矩形ABCD中，AB=2,BC=5,BP=1,ZMPN=90°,将NMPN绕点P

从PB处起先按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E,PN交边AD（或

CD）于点F,当PN旋转至PC处时，NMPN的旋转随即停止.

（1）特别情形：如图②，发觉当PM过点A时，PN也恰巧过点D,此时，AABP

△PCD(填或"〜〃)；

（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，四的值是否为定值？若是，恳求出该

PF

36.如图，点M是4ABC内一点，过点M分别作直线平行于4ABC的各边，所

形成的三个小三角形△］、△?、A3（图中阴影部分）的面积分别是1、4、25.则

△ABC的面积是.

A

37.如图，Z^ABC中，ZACB=90°,AC=5,BC=12,COJ_AB于点O,D是线段OB

上一点，DE=2,ED〃AC（NADEV90。），连接BE、CD.设BE、CD的中点分别为

P、Q.

（1）求AO的长；

（2）求PQ的长；

（3）设PQ与AB的交点为M,请干脆写出|PM-MQ|的值.

38.尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF,BE是aABC的中线,

且AF_LBE,垂足为P,设BC=a,AC=b,AB=c.

求证：a2+b2=5c2

该同学细致分析后，得到如下解题思路：

先连接EF,利用EF为4ABC的中位线得到△EPFs^BPA,故里且耳=1,

BPPABA2

设PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分别表示出来，再在RtZ\APE,RtABPF+

利用勾股定理计算，消去m,n即可得证

（1）请你依据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.

（2）利用题中的结论，解答下列问题：

在边长为3的菱形ABCD中，。为对角线AC,BD的交点，E,F分别为线段A0,

DO的中点，连接BE,CF并延长交于点M,BM,CM分别交AD于点G,H,如

图2所示，求MG2+MH2的值.

c

39.如图，在AABC中，点D,E分别在边AB,AC±,ZAED=ZB,射线AG分

别交线段DE,BC于点F,G,且也，L

ACCG

(1)求证：AADF^AACG；

(2)若娼=1,求逆的值.

AC2FG

A

40.如图，四边形中ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，P为对角线AC延

长线上的随意一点，PF交AD于M,PE交BC于N,EF交MN于K.

求证：K是线段MN的中点.

EB

参考答案与试题解析

(共40题)

1.(2024•阿坝州)如图，AABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，Z

BAC=ZDAE=90°,点P为射线BD,CE的交点.

(1)求证：BD=CE；

(2)若AB=2,AD=1,把4ADE绕点A旋转，当NEAC=90。时，求PB的长;

AAB=AC,AD=AE,ZDAB=ZCAE.

/.△ADB^AAEC.

ABD=CE.

(2)解：①当点E在AB上时，BE=AB-AE=1.

ACE=7AE2+AC2=^-

同(1)可证aADB丝AAEC.

.\ZDBA=ZECA.

VZPEB=ZAEC,

AAPEB^AAEC.

.•.IPB-—BE,.

ACCE

.PB.1

2V5

.・.PB=?立..

5

②当点E在BA延长线上时，BE=3.

VZEAC=90°,

ACE=7AE2+AC2=^-

同(1)可证△ADBgZ\AEC.

AZDBA=ZECA.

VZBEP=ZCEA,

/.△PEB^AAEC.

•・•PB.一IBE'•

ACCE

•PB,3

2V5

Z.PB;名叵

5

综上所述，PB的长为结或殳底.

55

2.(2024•常德)如图，直角AABC中，ZBAC=90°,D在BC上，连接AD,作BF

1AD分别交AD于E,AC于F.

(1)如图1,若BD=BA,求证：ZXABE义ZSDBE；

(2)如图2,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于M,求证：®GM=2MC；

@AG2=AF»AC.

【解答】证明：(1)在RSABE和RtADBE中，fBA=BD

BE二BE

/.△ABE^ADBE；

(2)①过G作GH/7AD交BC于H,

VAG=BG,

ABH=DH,

VBD=4DC,

设DC=1,RD=4.

/.BH=DH=2,

VGH/7AD,

.・.,GM一_HD_一2_,

MCDC1

AGM=2MC；

②过C作CN_LAC交AD的延长线于N,则CN〃AG,

.,.△AGM^ANCM,

•・•A・G.—।GM.9

NCMC

由①知GM=2MC,

A2NC=AG,

VZBAC=ZAEB=90°,

/.ZABF=ZCAN=900-ZBAE,

.'.△ACN^ABAF,

・AF_AB>

**CNAC，

VAB=2AG,

・AF_2AG

**CN~AC-，

2CN«AG=AF«AC,

AAG2=AF»AC.

3.(2024•杭州)如图，在锐角三角形ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，AG

_LBC于点G,AF_LDE于点F,ZEAF=ZGAC.

(1)求证：△ADEs^ABC；

(2)若AD=3,AB=5,求建的值.

【解答】解：(1)VAG1BC,AF1DE,

AZAFE=ZAGC=90°,

VZEAF=ZGAC,

AZAED=ZACB,

VZEAD=ZBAC,

/.△ADE^AABC,

(2)由(1)可知：△ADES^ABC,

・AD二纯一3

**AB^AC-?

由(1)可知：ZAFE=ZAGC=90°,

AZEAF=ZGAC,

Z.AEAF^ACAG,

...迎1

・・豆k

・AF,3

**AG-?

4.（2024•眉山）如图：点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE,

过顶点B作BF_LDE,垂足为F,BF分别交AC于H,交CD于G.

（1）求证：BG=DE；

（2）若点G为CD的中点，求理的值.

GF

【解答】解：(1)VBF1DE,

.e.ZGFD=90°,

VZBCG=90°,ZBGC=ZDGF,

.\ZCBG=ZCDE,

在ABCG与4DCE中，

[ZCBG=ZCDE

IBC=CD

lZBCG=ZDCE

AABCG^ADCE(ASA),

/.BG=DE,

(2)设CG=1,

•・・G为CD的中点，

.\GD=CG=1,

由(1)可知:ABCG^ADCE(ASA),

.*.CG=CE=1,

・•・由勾股定理可知：DE二BG二决，

,.,sinNCDE;冬雪

DEGD

JGF二返，

5

VAB/7CG,

.'.△ABH^ACGH,

■•.AB—BH.一_■2I,

CG-GH1

・・.BH=~？V^GH=1V5,

33

・HG_5

**GF-7

5.(2024•河池)(1)如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，

AE_LBF于点M,求证：AE=BF；

(2)如图2,将(1)中的正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=2,BC=3,AE1BF

于点M,探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论.

【解答】(1)证明：I四边形ABCD是正方形,

AZABC=ZC,AB=BC.

VAE±BF,

・•・ZAMB=ZBAM+ZABM=90°,

VZABM4-ZCBF=9O°,

AZBAM=ZCBF.

在4ABE和aBCF中，

'NBAE:NCBF

<AB=CB，

ZABE=ZBCF

AAABE^ABCF(ASA),

AAE=BF；

(2)解：AE=2BF,

3

理由：・・•四边形ABCD是矩形，

・•・ZABC=ZC,

VAE±BF,

/.ZAMB=ZBAM+ZABM=90°,

VZABM+ZCBF=90°,

AZBAM=ZCBF,

/.△ABE^ABCF,

・酗二必2,

・・.AE=2BF.

3

6.(2024•泰安)如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD,AC平分/BAD,点P是

AC延长线上一点，且PD_LAD.

(1)证明：ZBDC=ZPDC；

(2)若AC与BD相交于点E,AB=1,CE：CP=2：3,求AE的长.

【解答】（1）证明：VAB=AD,AC平分NBAD,

AAC1BD,

AZACD+ZBDC=90°,

VAC=AD,

AZACD=ZADC,

ZADC+ZBDC=90°,

VPD±AD,

/.ZADC+ZPDC=90°,

AZBDC=ZPDC；

(2)解：过点C作CM_LPD于点M,

VZBDC=ZPDC,

ACE=CM,

VZCMP=ZADP=90°,ZP=ZP,

AACPM^AAPD,

.CM-PC

**ATTPA，

设CM=CE=x,

VCE：CP=2：3,

.・.PCW,

2

VAB=AD=AC=1,

3

o

解得：X=l,

3

故AE=1-1=2.

33

7.（2024•天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZEDF=90°,

△DEF的顶点E与aABC的斜边BC的中点重合，将ADEF绕点E旋转，旋转过程

中，线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP二AQ时，求证：△BPEgZXCQE；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPEs^CEQ；并求当

BP=2,CQ=9时BC的长.

图①图②

【解答】（1）证明：:△ABC是等腰直角三角形,

AZB=ZC=45°,AB=AC,

VAP=AQ,

・•・BP=CQ,

・・・E是BC的中点，

ABE=CE,

在4BPE和aCQE中，

fBE=CE

•・・NB二NC，

IBP=CQ

/.△BPE^ACQE(SAS)；

(2)解：:△ABC和aDEF是两个全等的等腰直角三角形,

AZB=ZC=ZDEF=45°,

VZBEQ=ZEQC+ZC,

即NBEP+NDEF=NEQC+NC,

・・.NBEP+45°=NEQC+45°,

.•.ZBEP=ZEQC,

AABPE^ACEQ,

•BP_BE

•'CECQ'

VBP=2,CQ=9,BE=CE,

.\BE2=18,

ABE=CE=3A/2»

・•・BC=6道.

8.(2024•绥化)如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分NDEB,F

为CE的中点，连接AF,BF,过点E作EH〃BC分别交AF,CD于G,H两点.

(1)求证：DE=DC;

(2)求证：AF1BF；

(3)当AF・GF=28时，请干脆写出CE的长.

【解答】解：（1）•・,四边形ABCD是矩形,

・・・AB〃CD,

AZDCE=ZCEB,

VEC平分/DEB,

/.ZDEC=ZCEB,

AZDCE=ZDEC,

ADE=DC；

(2)如图，连接DF,

,•'DE=DC,F为CE的中点，

/.DF1EC,

AZDFC=90°,

在矩形ABCD中，AB=DC,ZABC=90°,

・・.BF=CF=EF」EC,

2

AZABF=ZCEB,

VZDCE=ZCEB,

/.ZABF=ZDCF,

在aABF>FIIADCF中,

BF=CF

NABF=NDCF，

AB二DC

.,.△ABF^ADCF(SAS),

AZAFB=ZDFC=90°,

/.AF±BF；

(3)CE=4诉

理由如下：VAF1BF,

AZBAF+ZABF=90°,

YEH〃BC,ZABC=90°,

AZBEH=90°,

/.ZFEH+ZCEB=90°,

VZABF=ZCEB,

AZBAF=ZFEH,

VZEFG=ZAFE,

AAEFG^AAFE,

.・.更二巫,即EF2=AF.GF)

EFAF

VAF»GF=28,

.•.EF=2A/7，

ACE=2EF=4V7.

9.(2024•雨城区校级自主招生)在RtZ^ABC中，ZBAC=90°,过点B的直线MN

〃AC,D为BC边上一点，连接AD,作DE_LAD交MN于点E,连接AE.

(1)如图1,当NABC=45。时，求证：AD=DE；

(2)如图2,当NABC=30。时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由.

【解答】(1)证明：如图1,过点D作DF_LBC,交AB于点F,

贝|JNBDE+NFDE=9O°,

VDE1AD,

AZFDE+ZADF=90°,

AZBDE=ZADF,

VZBAC=90°,ZABC=45°,

.•.ZC=45°,

VMN//AC,

.e.ZEBD=180°-ZC=135°,

VZBFD=45°,DF_LBC,

.'.ZBFD=45°,BD=DF,

AZAFD=135°,

AZEBD=ZAFD,

在4BDE和4FDA中

'/EBD二NAFD

<BD=DF，

ZBDE=ZADF

.•.△BDE^AFDA(ASA),

AAD=DE；

(2)解：DE=^AD,

理由：如图2,过点D作DG_LBC,交AB于点G,

则NBDE+NGDE=90°,

VDE1AD,

AZGDE+ZADG=90°,

AZBDE=ZADG,

VZBAC=90°,ZABC=30°,

AZC=60°,

VMN//AC,

AZEBD=180°-ZC=120°,

VZABC=30°,DG1BC,

AZBGD=60°,

.*.ZAGD=120°,

AZEBD=ZAGD,

AABDE^AGDA,

•AD_DG

"DEBD'

在RtABDG中，豆tan30°二退,

BD3

ADE=V3AD.

图2

10.（2024•深圳模拟）如图1,边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一

点，且AE二AB,点P从点D动身，以每秒1个单位长度沿D玲（:玲B向终点B运

动，直线EP交AD于点F,过点F作直线FG_LDE于点G,交AB于点R.

（1）求证：AF=AR；

(2)设点P运动的时间为3

①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？

②如图2,连接PB.请干脆写出访△PRB是等腰三角形时t的值.

图1图2

【解答】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，AD=AB=2,

VAE=AB,

AAD=AE,

AZAED=ZADE=45°,

又・.・FG_LDE,

・••在RtZ\EGR中，ZGER=ZGRE=45°,

・••在RtZXARF中,ZFRA=ZAFR=45°,

AZFRA=ZRFA=45°,

.-.AF=AR；

(2)解：①如图，当四边形PRBC是矩形时,

则有PR/7BC,

AAF//PR,

/.△EAF^AERP,

嚼第即:AF_2由（1）得AF=AR,

~=2+AR

.AR2_

**T=2+AR，

解得：AR=T+加或AR=T-立(不合题意，舍去),

/.DP=AR--1+遥,

•・•点P从点D动身，以每秒1个单位长度沿D玲C玲B向终点B运动,

；・(秒);

②若PR=PB,

过点P作PK_LAB于K,

设FA=x,贝ljRK=1BR=-L(2-x),

VAEFA^AEPK,

・FAEA

・・瓦咏，

即：5一—，

4万(2-x)

解得：x=±V17-3(舍去负值);

•・・t=^zL(秒)；

2

若PB=RB,

则AFFAsAFPR.

・EA二纯.1

**EB^BFT

・

•---A--R-—1,

BP2

,・.BP=2AB=2X2=3

333

/.CP=BC-BP=2-&=2,

・・・f（秒）.

3

综上所述，当PR二PB时，t=ET；当PB=RB时,

2

图2

D

11.(2024•江汉区校级模拟)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,

延长CB至点F,使CF二CA,连接AF,NACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,

N,M,连接FO.

(1)已知BD二加，求正方形ABCD的边长；

(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.

【解答】解：(1)・・,四边形ABCD是正方形,

•••△ABD是等腰直角三角形，

A2AB2=BD2,

•.・BD=V2»

AAB=1,

・•・正方形ABCD的边长为1：

(2)CN=2EM

证明方法一、理由：・・•西边形ABCD是正方形,

.\AC1BD,OA=OC

VCF=CA,CE是NACF的平分线,

ACE1AF,AE=FE

AEO为AAFC的中位线

EO/7BC

.OE=EM

**BC^CM

・••在RtZXAEN中，OA=OC

EO=OC=1AC,

2

OC二EM二1

而二CM二&

ACM=V2EM

VCE平分NACF,

/./OCM=/RCN,

VZNBC=ZCOM=90°,

AACBN^ACOM,

J.CM,C二1,

•・丽任二后

ACN=V2CM,

即CN=2EM.

证明方法二、・・•四边形ABCD是正方形，

/.ZBAC=45°=ZDBC,

由(1)知，在RtZXACE中，EO=-^AC=CO,

2

.•.ZOEC=ZOCE,

VCE平分NACF,

AZOCE=ZECB=ZOEC,

・・.EO〃BC,

AZEOM=ZDBC=45°,

VZOEM=ZOCE

AAEOM^ACAN,

.・EM二卬一」

**CN^CA^2

ACN=2CM.

12.（2024•济宁二模）将两块全等的三角板如图1摆放，其中NAiCB产NACB=90。,

ZAi=ZA=30°.

（1）将图1中△AiBiC绕点C顺时包旋转45c得图2,点Pi是AiC与AB的交点，

点Q是AiBi与BC的交点，求证：CPi=CQ：

（2）在图2中，若AP尸a,则CQ等于多少？

（3）将图2+AA1B1C绕点C顺时针旋转到AAzB2c（如图3）,点P2是A2c与

APi的交点.当旋转角为多少度时，有△APiCs/scPiPz?这时线段CPi与PH之

间存在一个怎样的数量关系？.

【解答】(1)证明:VZBiCB=45°,ZBiCAi=90°,

AZBiCQ=ZBCPi=45°；

又BiC=BC,ZBi=ZB,

AABiCQ^ABCPi(ASA)

・・・CQ=CPi；

(2)解：如图：作PiD_LAC丁D,

VZA=30°,

・,.PID」API；

2

VZPiCD=45°,

二返，

CP,2

・・・CPMPID;0Pl；

又APi=a,CQ=CPi,

・,.CQ二返a；

2

(3)解：当NPICP2=/PIAC=30°时，由于NCPIP2=NAPIC,则△APiCs/XcPH，

所以将图2中4AiBiC绕点C顺时针旋转30。到aAzB2c时，有△APiCs/ScPiP2.

这时Pl々.CP］二返,

CPjAPi2

13.(2024•惠阳区模拟)把RMABC和RtZXDEF按如图(1)摆放(点C与E重

合)，点B、C(E)、F在同一条直线上.已知：ZACB=ZEDF=90°,ZDEF=45°,

AC=8cm,BC=6cm,EF=10cm.如图(2),ZXDEF从图(1)的位置动身，以lcm/s

的速度沿CB向4ABC匀速移动，在4DEF移动的同时，点P从4ABC的顶点A

动身，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止

移动，4DEF也随之停止移动.DE与AC交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s).

(1)用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；

(2)连接PE,设四边形APEQ的面积为y(cm2),摸索究y的最大值；

(3)当t为何值时，△APQ是等腰三角形.

A

【解答】(1)解:AP=2t

VZEDF=90°,NDEF=45°,

.,.ZCQE=45°=ZDEF,

.*.CQ=CE=t,

/.AQ=8-t,

t的取值范围是：0WtW5；

(2)过点P作PGJLx轴于G,可求得AB=10,SinB=l,PB=10-2t,EB=6-t,

5

APG=PBSinB=-l(10-2t)

5

Y=SAABC-SAPBE-SA

、心余6乂8总（63）4（102）多2=4^2啥广告代噌）2+要

若AP二PQ,如图①：过点P作PH_LAC,则AH=QH;,PH/7BC

2

/.△APH^AABC,

・APAB

••市W

即2t___10

即8-t-8'

2

解得：(s)

21

若AQ=PQ,如图②：过点Q作QI_LAB,则Al=PI=L\P=t

2

,/ZAIQ=ZACB=90°ZA=ZA,

.,.△AQI^AABC

・••红1即t=8,

AQ-AB8-t~10

解得：（S）

9

综上所述，当弋/■或9或丝时，△APQ是等腰三角形.

3219

14.（2024•庐阳区一模）△ABC,NA、NB、ZC的对边分别是a、b、c,一条

直线DE与边AC相交于点D,与边AB相交于点E.

（1）如图①，若DE将aABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用

a、b、c表示）

（2）如图②，若AC=3,AB=5,BC=4.DE将4ABC分成周长、面积相等的两部

分，求AD；

（3）如图③，若DE将aABC分成周长、面积相等的两部分，且DE〃BC,则a、

b、c满意什么关系?

【解答】解：（1）;DE将4ABC分成周长相等的两部分,

•'.AD+AE=CD+BC+BE」（AB+AC+BC）=工（a+b+c）；

22

(2)设AD=x,AE=6-x,

VSAADE=-^AD«AE*sinA=3,

2

即：_Lx(6-x)*—3,

25

解得：Xi二处返(舍去)，X2二殳近,

22

・・.AD=^2Zi；

2

(3)・.・DE〃BC,

AAADE^AABC,

.・,他二延

・・而万

・・SAADE_1

•-------，

,△ABC2

.\AD=^b,AE=^c,

22

/.^f^c=—(a+b+c),

2^22

•*--^-=72-1.

b+c

15.(2024•嘉兴模拟)已知：如图，四边形ABCD是正方形，NPAQ=45。，将/

PAQ围着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角NEBC和NFDC

的平分线分别交于点M和N,连接MN.

(1)求证：ZXABMsaNDA；

(2)连接BD,当NBAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以记明.

jBE

【解答】(1)证明：•・•四边形ABCD是正方形,

ZABC=ZADC=ZBAD=90°,

・・・BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，

ZABM=ZADN=135°,

VZMAN=45°,

AZBAM=ZAND=450-ZDAN,

.,.△ABM^ANDA；

(2)解：当NBAM=22.5。时，四边形BMND为矩形；理由如下：

VZBAM=22.5°,ZEBM=45°,

.\ZAMB=22.5°,

AZBAM=ZAMB,

同理AD=DN,

VAB=AD,ABM=DN,

•・,四边形ABCD是正方形

AZABD=ZADB=45°,

AZBDN=ZDBM=90°

AZBDN+ZDBM=180°,

・・・BM〃DN

・・・四边形BMND为平行四边形，

,/ZBDN=90°,

J四边形BMND为矩形.

16.(2024•肥城市三模)如图，在锐角^ABC中，D,E分别为AB,BC中点，F

为AC上一点，且NAFE=NA,DM〃EF交AC于点M.

(1)点G在BE上，且NBDG二NC,求证：DG«CF=DM»EG；

(2)在图中，取CE上一点H,使NCFH=NB,若BG=1,求EH的长.

A

/\M

DK\

BE

【解答】(1)证明：如图1所示,

AD,E分别为AB,BC中点，

・・・DE〃AC

VDM^EF,

・•・四边形DEFM是平行四边形，

/.DM=EF,

如图2所示，

•・・D、E分别是AB、BC的中点,

・・・DE〃AC,

AZBDE=ZA,ZDEG=ZC,

VZAFE=ZA,

/RDF=/AFF,

JNBDG+NGDE=NC+/FEC,

VZBDG=ZC,

AZGDE=ZFEC,

/.△DEG^AECF；

・DGEG

•・而刊

•DGEG

••丽干

・DGDM

・♦前行，

DG*CF=DM*EG；

(2)解：如图3所示，

VZBDG=ZC=ZDEB,ZB=ZB,

AABDG^ABED,

・BDBG

•♦而丽

ABD2=BG»BE,

VZAFE=ZA,ZCFH=ZB,

/.ZC=180°-ZA-ZB=180°-ZAFE-ZCFH=ZEFH,

X'.'ZFEH=ZCEF,

AAEFH^AECF,

■..EH—_IEF>

EFEC

AEF2=EH*EC,

VDE//AC,DM〃EF,

・・・四边形DEFM是平行四边形,

AEF=DM=DA=BD,

/.BG»BE=EH*EC,

VBE=EC,

AEH=BG=1.

图2

17.（2024•肥城市模抵）ZXABC中，AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC上,

ZEDF=ZB.

（1）如图1,求证：DE・CD=DF・BE

（2）D为BC中点如图2,连接EF.

①求证：ED平分NBEF；

②若四边形AEDF为菱形，求NBAC的度数及延的值.

AB

【解答】(1)证明：:△ABC中,AB=AC,

/.ZB=ZC.

VZB+ZBDE+ZDEB=180°,ZBDE+ZEDF+ZFDC=180°,ZEDF=ZB,

/.ZFDC=ZDEB,

AABDE^ACFD,

.DEBE

••市F

即DE*CD=DF»BE；

(2)解：①由(1)证得△BDEs/\CFD,

.BEJE

・0寸

・；D为BC中点，

・・・BD=CD,

.BE-DE

**BD-DF，

VZB=ZEDF,

.•.△BDE〜△DFE,

AZBED=ZDEF,

AED平分NBEF；

②•・•四边形AEDF为菱形，

/.ZAEF=ZDEF,

VZBED=ZDEF,

AZAEF=60°,

VAE=AF,

AZBAC=60°,

VZBAC=60°,

•••△ABC是等边三角形,

AZB=60°,

ABED是等边三