《新高考数学大二轮复习课件》专题五-第2讲-随机变量及其分布

专题五

概率与统计第2讲随机变量及其分布考情分析KAOQINGFENXI离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常相结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.内容索引考点一考点二考点三专题强化练1考点一分布列的性质及应用PARTONE核心提炼离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.(5)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X).例1

(1)(多选)设离散型随机变量X的分布列如表：√√X12345Pm0.10.2n0.3若离散型随机变量Y＝－3X＋1，且E(X)＝3，则A.m＝0.1 B.n＝0.1C.E(Y)＝－8 D.D(Y)＝－7.8解析由E(X)＝1×m＋2×0.1＋3×0.2＋4×n＋5×0.3＝3，得m＋4n＝0.7，又由m＋0.1＋0.2＋n＋0.3＝1，得m＋n＝0.4，从而得m＝0.3，n＝0.1，故A选项错误，B选项正确；E(Y)＝－3E(X)＋1＝－8，故C选项正确；因为D(X)＝0.3×(1－3)2＋0.1×(2－3)2＋0.1×(4－3)2＋0.3×(5－3)2＝2.6，所以D(Y)＝(－3)2D(X)＝23.4，故D选项错误.(2)已知随机变量ξ的分布列如表所示，若E(ξ)＝D(ξ)，则下列结论中不可能成立的是ξkk－1Pa1－a√解析由题意得E(ξ)＝ka＋(k－1)(1－a)＝k－1＋a，D(ξ)＝[k－(k－1＋a)]2·a＋[k－1－(k－1＋a)]2·(1－a)＝a(1－a).因为E(ξ)＝D(ξ)，所以k－1＋a＝a(1－a)，所以k＝1－a2，规律方法分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.跟踪演练1

(1)已知随机变量X，Y的分布列如下：则E(X)·E(Y)的最小值为√(2)(2021·绍兴模拟)设a>0，若随机变量ξ的分布列如下：ξ－102Pa2a3a则下列方差值中最大的是A.D(ξ) B.D(|ξ|)C.D(2ξ－1) D.D(2|ξ|＋1)√其中D(2ξ－1)最大.2考点二随机变量的分布列PARTTWO核心提炼1.超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率P(X＝k)＝

，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.2.二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝

pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.考向1二项分布例2

为了加强食品安全监管，某县市场监管局计划添购一批食品检测仪器，符合这次采购要求的检测仪器只有甲、乙两种型号，下表是该县市场监管局以往使用甲、乙两种型号检测仪器的使用年限及数量统计表.使用年限1年2年3年4年合计甲型号检测仪器数量/台287320乙型号检测仪器数量/台396220以频率估计概率.(1)分别从以往使用的甲、乙两种检测仪器中各随机抽取一台，求甲型号检测仪器的使用年限比乙型号检测仪器的使用年限恰好多1年的概率；解记事件Ai为“从以往使用的甲型号检测仪器中随机抽取一台，使用年限为i年”，事件Bi为“从以往使用的乙型号检测仪器中随机抽取一台，使用年限为i年”，i＝1,2,3,4，事件C为“从以往使用的甲、乙两种型号检测仪器中各随机抽取一台，甲型号检测仪器的使用年限比乙型号检测仪器的使用年限恰好多1年”，则(2)若该县市场监管局购买甲、乙两种型号检测仪器各2台，记2年后仍可使用的检测仪器的台数为ξ，求ξ的分布列与均值.使用年限1年2年3年4年合计甲型号检测仪器数量/台287320乙型号检测仪器数量/台396220设2年后仍可使用的甲型号检测仪器有X台，乙型号检测仪器有Y台，由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，P(ξ＝1)＝P(X＝1，Y＝0)＋P(X＝0，Y＝1)P(ξ＝3)＝P(X＝2，Y＝1)＋P(X＝1，Y＝2)所以ξ的分布列为考向2超几何分布例3

(2021·房山模拟)单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩.现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如下表：分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立.(1)从上表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70解设“该站运动员甲的成绩高于该站运动员乙的成绩”为事件A，运动员甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为86.20,92.80,87.50,89.50,86.00，运动员乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为88.40,88.60,89.10,88.20,87.70，其中第2站和第4站甲的成绩高于乙的成绩，(2)从下表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和均值；分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70解X可能取的值为0,1,2，则∴X的分布列为(3)假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由.解推荐乙.规律方法求随机变量X的均值与方差的方法及步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值对应的概率，写出随机变量X的分布列；(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率；解设事件A表示“甲被企业M正式录取”，事件B表示“乙被企业M正式录取”，事件C表示“丙被企业M正式录取”，设事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被企业M正式录取”，(2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业M决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：参与环节笔试面试补贴(元)100200记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和均值.解X的所有可能取值为300,500,700,900，所以X的分布列为3考点三正态分布PARTTHREE核心提炼解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x＝μ.(2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.例4

(1)(2021·枣庄模拟)医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质(普通卫生纱布或无纺布)，中层为隔离过滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层)，外层为特殊材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层).根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x～N(0.9372，0.01392).若x～N(μ，σ2)(σ>0)，则P(μ－2σ<x≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<x≤μ＋3σ)≈0.9973，0.9772550≈0.3164.有如下命题：甲：P(x≤0.9)<0.5；乙：P(x<0.4)>P(x>1.5)；丙：P(x>0.9789)≈0.00135；丁：假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ＋2σ的数量，则P(X≥1)≈0.6.其中假命题是A.甲

B.乙

C.丙

D.丁√解析由题意可知，正态分布中μ＝0.9372，σ＝0.0139；因为0.9<μ，所以P(x≤0.9)<P(x≤μ)＝0.5，故甲正确；因为|μ－0.4|<|1.5－μ|,0.4<μ<1.5，所以P(x<0.4)>P(x>1.5)，故乙正确；因为P(x>0.9789)＝P(x>μ＋3σ)，且P(μ－3σ<x≤μ＋3σ)≈0.9973，又因为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.9772550≈0.6836，故丁错误.(2)(2021·常州模拟)设随机变量ξ～N(μ，1)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(0<ξ≤1)等于(附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545)A.0.1587 B.0.1359C.0.2718 D.0.3413√解析∵函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点，即一元二次方程x2＋2x－ξ＝0无实根，∴Δ＝4＋4ξ<0，∴ξ<－1，又∵f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，∴P(ξ<－1)＝0.5，由正态曲线的对称性知μ＝－1，∴ξ～N(－1,1)，∴μ－σ＝－2，μ＋σ＝0，μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝1，∴P(－2<ξ<0)≈0.6827，P(－3<ξ<1)≈0.9545，规律方法利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的活用：(1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).(2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0).(3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a).跟踪演练3

(1)一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1000,52).现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011Ω和982Ω，可以认为A.甲、乙两箱电阻均可出厂B.甲、乙两箱电阻均不可出厂C.甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂D.甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂√解析因为X～N(1000,52)，所以μ＝1000，σ＝5，所以μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015.因为1011∈[985,1015]，982∉[985,1015]，所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂.(2)(2021·丹东模拟)2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2021年清明节前后车辆通行数量之后，发现该站近几天每天通行车辆的数量ξ服从正态分布N(1000，σ2)，若P(ξ>1200)＝a，P(800<ξ<1200)＝b，则

的最小值为_____.8解析ξ服从正态分布N(1000，σ2)，则P(ξ>1200)＝a＝P(ξ<800)，4专题强化练PARTFOUR1.设随机变量X，Y满足Y＝3X－1，X～B(2，p)，若P(X≥1)＝

，则D(Y)等于A.4

B.5

C.6

D.7一、单项选择题1234567891011121314√12345678910111213142.(2021·沈阳模拟)某工厂生产了10000根钢管，其钢管内径(单位：mm)近似服从正态分布N(20，σ2)(σ>0)，工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于20.05mm的占钢管总数的

，则这批钢管中，内径在19.95mm到20mm之间的钢管数约为A.4200根

B.4500根C.4800根

D.5200根√123456789101112131412345678910111213143.(2021·遂宁模拟)“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为√1234567891011121314解析记抽到自己准备的书的学生数为X，则X可能取值为0,1,2,4，12345678910111213144.某校高三学生小李每天早晨7点下课后，从教室到学校餐厅吃早餐，步行4分钟，打饭所需时间Z(单位：分钟)服从正态分布N(5,1)，吃饭需要15分钟，而后步行4分钟返回教室.已知学校要求学生7：30开始在教室内上自习，则小李上自习不迟到的概率约为(保留至小数点后四位小数)参考数据：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)≈0.9973.A.0.1657 B.0.8344C.0.9773 D.0.9987√1234567891011121314解析由题意可知，小李打饭时间不超过30－4－15－4＝7(分钟)，所以小李上自习不迟到的概率即为P(Z<7)，因为打饭所需时间Z(单位：分钟)服从正态分布N(5,1)，所以μ＝5，σ＝1，μ＋2σ＝5＋2×1＝7，1234567891011121314√1234567891011121314在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；12345678910111213146.(2021·杭州模拟)已知0<k<1,0<x<1，随机变量X的分布列如下：当E(X)取最大值时，D(X)等于√12345678910111213141234567891011121314二、多项选择题7.袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则√√√1234567891011121314解析从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的次数，1234567891011121314√√√123456789101112131412345678910111213141234567891011121314三、填空题0.169.(2021·南昌模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，P(ξ≤6)＝0.84，则P(ξ≤0)＝______.解析因为随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，所以P(ξ≤0)＝P(ξ≥6)，又P(ξ≤6)＝0.84，所以P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤6)＝1－0.84＝0.16.123456789101112131410.(2021·曲靖模拟)已知随机变量ξ的分布列为(4,9]1234567891011121314解析由随机变量ξ的分布列知，ξ2的所有可能取值为0,1,4,9，∴实数x的取值范围是4<x≤9.123456789101112131411.甲、乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛无平局.根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以3∶2获胜的概率为______.0.18解析由题意知，甲队以3∶2获胜，则甲队第五场必胜，前四场“主客主主”中胜两局，有两种情况：一种为三个主场胜两场，一种为客场胜一场主场胜一场，123456789101112131432解析根据正态曲线的对称性知，要使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.9545，1234567891011121314四、解答题13.《健康中国行动(2019－2030年)》包括15个专项行动，其中全民健身行动提出鼓励公众每周进行3次以上、每次30分钟以上中等强度运动，或者累计150分钟中等强度或75分钟高强度身体活动，日常生活中要尽量多动，达到每天6千步～10千步的身体活动量，某高校从该校教职工中随机抽取了若干名，统计他们的日均步行数(均在2千步～14千步之间)，得到的数据如下表：日均步行数/千步[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14]人数1224a24b9频率0.080.160.40.16c0.061234567891011121314(1)求a，b，c的值；日均步行数/千步[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14]人数1224a24b9频率0.080.160.40.16c0.06c＝1－0.08－0.16－0.4－0.16－0.06＝0.14.(2)“每天运动一小时，健康工作五十年”，学校为了鼓励教职工积极参与锻炼，决定对日均步行数不低于m千步的教职工进行奖励，为了使全校30%的教职工得到奖励，试估计m的值；1234567891011121314解由题意知，日均步行数在[10,14]内的频率为0.14＋0.06＝0.2，日均步行数在[8,14]内的频率为0.16＋0.14＋0.06＝0.36，解得m＝8.75.所以当m＝8.75时，全校30%的教职工能够得到奖励.(3)在第(2)问的条件下，以频率作为概率，从该校得到奖励的教职工中随机抽取3人，设这3人中日均步行数不低于10千步的人数为X，求X的分布列和均值.1234567891011121314解由题意知，该校得到奖励的教职工在全校教职工中所占的比例为0.3，1234567891011121314所以X的分布列为14.(2021·南通模拟)2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，1234567891011121314它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9：20～9：40记作[20,40)，9：40～10：00记作[40,60)，10：00～10：20记作[60,80)，10：20