2024-2025学年高中数学第四章圆与方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式学案含解析新人教A版必修2

PAGE1-4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式学问导图学法指导1.结合长方体、正棱锥等常见几何体，把握建系的方法，并能写出空间中的点在坐标系中的坐标．2．类比平面上两点间的距离，熟记空间两点间的距离公式．3．体会利用空间直角坐标系解决问题的步骤．高考导航1.空间直角坐标系的应用很少单独命题，一般是在解答题中应用建立空间直角坐标系的方法求解，分值为2～3分．2．通过建立空间直角坐标系，计算两点间的距离公式或确定点的坐标，是常考学问点，常与后面将要学习的立体几何等学问相结合，分值为4～6分.学问点一空间直角坐标系的建立及坐标表示1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某肯定点O引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O­xyz.②相关概念：点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，假如中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，z叫作点M的竖坐标．空间直角坐标系的画法(1)x轴与y轴成135°(或45°)，x轴与z轴成135°(或45°)．(2)y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单位长的eq\f(1,2).学问点二空间两点间的距离公式1．空间中随意一点P(x，y，z)与原点之间的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2＋z2)；2．空间中随意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).1.空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．2．空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点P(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2)，eq\f(z1＋z2,2)).[小试身手]1．推断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标肯定是(0，b，c)的形式．()(2)空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标肯定是(a,0，c)的形式．()(3)空间直角坐标系中，点(1，eq\r(3)，2)关于yOz平面的对称点为(－1，eq\r(3)，2)．()答案：(1)×(2)√(3)√2．在空间直角坐标系中，下列各点中位于yOz平面内的是()A．(3,2,1)B．(2,0,0)C．(5,0,2)D．(0，－1，－3)解析：位于yOz平面内的点，其x坐标为0，其余坐标随意，故(0，－1，－3)在yOz平面内．答案：D3．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A．y轴上B．xOy平面上C．zOx平面上D．第一象限内解析：点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在zOx平面上．答案：C4．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为()A．4eq\r(3)B．2eq\r(3)C．4eq\r(2)D．3eq\r(2)解析：|AB|＝eq\r(－3－12＋－3－12＋－3－12)＝4eq\r(3).答案：A类型一空间中点的坐标的确定例1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝3，|AB|＝5，|AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标．【解析】如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O­xyz.因为长方体的棱长|AD|＝|BC|＝3，|DC|＝|AB|＝5，|DD1|＝|AA1|＝4，明显D(0,0,0)，A在x轴上，所以A(3,0,0)；C在y轴上，所以C(0,5,0)；D1在z轴上，所以D1(0,0,4)；B在xOy平面内，所以B(3,5,0)；A1在xOz平面内，所以A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，所以C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，所以B1的横坐标为3，纵坐标为5，因为B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，所以B1的竖坐标为4，所以B1(3,5,4).(1)建立适当的空间直角坐标系．(2)利用线段长度结合符号写出各点坐标．要留意与坐标轴正向相反的坐标为负．方法归纳(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简洁、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要留意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键．跟踪训练1在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，全部的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．解析：如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，连接BO，OO1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，OO1⊥BO，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝eq\f(1,2)，OB＝eq\f(\r(3),2)，∵点A，B，C均在坐标轴上，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0)).∵点A1，C1在yOz平面内，∴A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，1))，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1)).∵点B1在xOy平面内的射影为点B，且BB1＝1，∴B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，1))，∴各点的坐标分别为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，1))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，1))，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1)).建立空间直角坐标系，求出有关线段的长，再写出各点的坐标．类型二空间直角坐标系中的点的对称点例2在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于x轴对称的点P1的坐标是________；关于xOy平面对称的点P2的坐标是________；关于点A(1,0,2)对称的点P3的坐标是________．【解析】点P关于x轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标和竖坐标均变为原来的相反数，所以点P关于x轴的对称点P1的坐标为(－2，－1，－4)．点P关于xOy平面对称后，它的横坐标和纵坐标均不变，竖坐标变为原来的相反数，所以点P关于xOy平面的对称点P2的坐标为(－2,1，－4)．设点P关于点A的对称点的坐标为P3(x，y，z)，由中点坐标公式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋x,2)＝1，,\f(1＋y,2)＝0，,\f(4＋z,2)＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－1，,z＝0.))故点P关于点A(1,0,2)对称的点P3的坐标为(4，－1,0)．【答案】(－2，－1，－4)(－2,1，－4)(4，－1,0)利用对称规律解决关于坐标轴、坐标平面的对称问题，利用中点坐标公式解决点关于点的对称问题．方法归纳在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有：①点P关于原点的对称点是P1(－x，－y，－z)②点P关于横轴(x轴)的对称点是P2(x，－y，－z)③点P关于纵轴(y轴)的对称点是P3(－x，y，－z)④点P关于竖轴(z轴)的对称点是P4(－x，－y，z)⑤点P关于xOy坐标平面的对称点是P5(x，y，－z)⑥点P关于yOz坐标平面的对称点是P6(－x，y，z)⑦点P关于xOz坐标平面的对称点是P7(x，－y，z)．跟踪训练2已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M关于x轴、y轴对称的点M3，M4.解析：由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3).方法归纳求对称点的坐标问题一般依据“关于谁对称谁不变，其余均变更”来解决．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．要特殊留意：点关于点的对称要用中点坐标公式解决．类型三空间两点间的距离,,例3如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．【解析】由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2)))，O′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，a)).因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，\f(3,4)a，a)).依据空间两点间的距离公式，可得|MN|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(3a,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－a))2)＝eq\f(\r(6),4)a.建立空间直角坐标系，先确定相关点的坐标，然后依据两点间的距离公式求解．方法归纳求空间两点间的距离时，一般运用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视详细题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的学问确定．跟踪训练3求A(0,1,3)，B(2,0,1)两点之间的距离．解析：|AB|＝eq\r(0－22＋1－02＋3－12)＝3.解答本题可干脆利用空间两点间的距离公式.[基础巩固](20分钟，40分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．点M(0,3,0)在空间直角坐标系中的位置是在()A．x轴上B．y轴上C．z轴上D．xOz平面上解析：因为点M(0,3,0)的横坐标、竖坐标均为0，纵坐标不为0，所以点M在y轴上．答案：B2．点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是()A．(4,2,2)B．(2，－1,2)C．(2,1,1)D．(4，－1,2)解析：设点P与点Q的中点坐标为(x，y，z)，则x＝eq\f(1＋3,2)＝2，y＝eq\f(4－2,2)＝1，z＝eq\f(－3＋5,2)＝1.答案：C3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，eq\r(2)，eq\r(3))，过P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为()A．(0，eq\r(2)，0)B．(0，eq\r(2)，eq\r(3))C．(1,0，eq\r(3))D．(1，eq\r(2)，0)解析：依据空间直角坐标系的概念知，yOz平面上点Q的x坐标为0，y坐标、z坐标与点P的y坐标eq\r(2)，z坐标eq\r(3)分别相等，∴Q(0，eq\r(2)，eq\r(3))．答案：B4．已知M(4,3，－1)，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则()A．a>b>cB．c>b>aC．c>a>bD．b>c>a解析：借助长方体来思索，a、b、c分别是三条面对角线的长度．∴a＝eq\r(10)，b＝eq\r(17)，c＝5.答案：B5．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为()A．(0,0,6)B．(6,0,1)C．(6,0,0)D．(0,6,0)解析：设P(x,0,0)，|PA|＝eq\r(x－12＋1＋1)，|PB|＝eq\r(x－32＋9＋9)，由|PA|＝|PB|，得x＝6.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，所以点B1的坐标为(a，b，c)．答案：(a，b，c)7．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________．解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．答案：(－4,1，－2)8．点P(－1,2,0)与点Q(2，－1,0)的距离为________．解析：∵P(－1,2,0)，Q(2，－1,0)，∴|PQ|＝eq\r(－1－22＋[2－－1]2＋02)＝3eq\r(2).答案：3eq\r(2)三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，|AB|＝|AC|＝|AA1|＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|.解析：如右图，以A为原点，射线AB，AC，AA1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)，C1(0,4,4)，A1(0,0,4)，B1(4,0,4)，因为M为BC1的中点，N为A1B1的中点，所以由空间直角坐标系的中点坐标公式得M(eq\f(4＋0,2)，eq\f(0＋4,2)，eq\f(0＋4,2))，N(eq\f(0＋4,2)，eq\f(0＋0,2)，eq\f(4＋4,2))，即M(2,2,2)，N(2,0,4)．所以由两点间的距离公式得|MN|＝eq\r(2－22＋2－02＋2－42)＝2eq\r(2).10．已知点P(2,3，－1)，求：(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标；(2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标；(3)点P关于坐标原点对称的点的坐标．解析：(1)设点P关于xOy坐标平面的对称点为P′，则点P′的横坐标、纵坐标与点P的横坐标、纵坐标相同，点P′的竖坐标与点P的竖坐标互为相反数．所以点P关于xOy坐标平面的对称点P′的坐标为(2,3,1)．同理，点P关于yOz，xOz坐标平面的对称点的坐标分别为(－2,3，－1)，(2，－3，－1)．(2)设点P关于x轴的对称点为Q，则点Q的横坐标与点P的横坐标相同，点Q的纵坐标、竖坐标与点P的纵坐标、竖坐标互为相反数．所以点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2，－3,1)．同理，点P关于y轴，z轴的对称点的坐标分别为(－2,3,1)，(－2，－3，－1)．(3)点P(2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1)．[实力提升](20分钟，40分)11．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为()A．(4,0,6)B．(－4,7，－6)C．(－4,0，－6)D．(－4,7,0)解析：点M关于y轴对称的点是M′(－4,7，－6)，点M′在xOz平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．答案：C12．已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,2)，z))到线段AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，