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定积分应用题第1页1.抛物线y2=4x及直线x=3围成图形绕x轴旋转一周而成立体体积V=[].(A)18;(B)18

;(C)243/8;(D)243/8.2.半径为R半球形水池装满了水，现将水全部抽出，需要做功W=[](A)(B)(C)(D)3.曲线上弧长L为[].(A)(B)(C)(D)BCA一.选择题第2页5.曲线与x轴所围成图形绕x轴旋转所成旋转体体积为[].(A);(B);(C);(D).6.矩形闸门宽am，高hm，将其垂直放入水中，上沿与水面平齐，则闸门一侧所受压力P[].(A);(B);(C);(D).4.曲线y=x(x-1)(x-2)与x轴所围成图形面积

为[].(A)(B)(C)(D)CBA第3页二、填空题3.若f(x)有一个原函数tanx,则4.若f(x)为[0，+∝]上连续函数，且第4页6.由抛物线y=x2与直线y=2所围成图形面积A=7.曲线xy=1与直线x=1,x=2,y=0所围成图形绕y轴旋转一周立体体积V=8.曲线弧y=x2介于x=0,x=1之间长度定积分表示式s=第5页二、经典例题例1解由对称性,有第6页由对称性,有第7页由对称性,有第8页例2

求由摆线一拱与x

轴所围平面图形面积.解:第9页解利用对称性知第10页例4.求心形线全长解由对称性第11页例5.计算心形线与圆所围图形面积.解:利用对称性,所求面积第12页例6.求抛物线在(0,1)内一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形面积最小.解:设抛物线上切点为则该点处切线方程为它与x,y轴交点分别为所指面积第13页且为最小点.故所求切线为得[0,1]上唯一驻点第14页例7.设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)a为何值时,所围图形绕x轴一周所得旋转体解:(1)由方程得面积为2,体积最小?即故得第15页又(2)旋转体体积又为唯一极小点,所以时V取最小值.第16页例8.半径为R,密度为球沉入深为H(H>2R)水池底,

水密度多少功?解:建立坐标系如图.则对应上球薄片提到水面上微功为提出水面后微功为现将其从水池中取出,需做微元体积所受重力上升高度第17页所以微功元素为球从水中提出所做功为“偶倍奇零”第18页例9解如图所表示建立坐标系.于是对半圆上任一点,有第19页第20页故所求速度为第21页故将满池水全部提升到池沿高度所需功为第22页例10解如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为第23页第24页例12.

设有半径为R半球形容器如图.(1)以每秒a升速度向空容器中注水,求水深为为h(0<h<R)时水面上升速度.(2)设容器中已注满水,求将其全部抽出所做功最少应为多少?解:过球心纵截面建立坐标系如图.则半圆方程为设经过t秒容器内水深为h,第25页(

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