高中数学总复习训练函数问题解决(二)

高考数学总复习训练（历年真题分析+预

测考题）

基本初等函数（I）

化简求值类

1.（2017年北京卷）根据有关资料，围棋状态

空间复杂度的上限"约为3购,而可观测宇宙

中普通物质的原子总数及约为IO'。.贝LI下列各

数中与之最接近的是（）.

（参考数据:lg3Po.48）

A.1033B.1053C.1073

D.1093

【解析】由题意得,lg?二lg黑二lg

80

336Tgio-3611g3-801g

10仁361XO.48-80XI^93.28.

第1页共140页

又1g1033-33,1g1053-53,1g1073-73,1g

1093K3,

故与点最接近的是io93.

故选D.

【答案】D

2.（2015年浙江卷）若Hog,S则

2f.

【解析】

S*a^log43^1og223^1og23^1og2V3z

]—,—]V3

■:2”2-甘切哨声攵-1哨6二^^2og2T-

33

【答案】竺

第2页共140页

3.(2015年山东卷)已知函数

f(x)=H历(aX/W1)的定义域和值域都是

［T,0］则a+b=.

【解析】当a>l时，函数七)已”在11,0］

上为增函数由题意得依+J=T无解

匕。+b=0,

当OQ<1时，函数在［T,0］上为减函

，］(—1

数，由题意得*+b=°，解得"=5’所

U+b=-1,lb=—2,

以a+b=^~.

【答案】-|

乙

比较大小类

4.(2016年全国/卷)若则

),

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A.a<k)B.abc<ba

C.alogbC^blogaCD.logac<log/,c

【解析】：•尸£(0,1)在(0产2上是

增函数，

•:当—170G<1时，目)少，选项A不正

确.

丁产£(-i,o)在(o4间上是减函数

•:当3》6>1,0<。<1,即一1(。一1<0时，

a1彷；即3万)加'，选项B不正确.

Va>b>\,Ziga>lgb)O,/.alga^blg

bX),

a.又：•0G<l,,：lgc<0.

,"g匕

第4页共140页

・

algc/Ige・：31og/e<blogaG选项C正

,lg匕Iga'

确.

同理可证loga"Log〃c,选项D不正确.

【答案】C

5.(2017年天津卷)已知奇函数ZU)在R上是

增函数，虱x)=x/(x).若

a超(Tog25.1),6招(2°)c招(3),则的大

小关系为().

A.a〈b〈cB.c〈b〈a

C.b〈a〈cD.b〈c〈a

【解析】

_

a^(-log25.l)^(-log25.1)•f(log25.l)<og

25.l/[log25.l)^(log25.1).

已知/U)在R上是增函数，可设0<X\<¥2,

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贝(J4^i)<4^2).

从而为/(£)<¥2/(X2),即乩¥1)3E).

所以4X)在(048)上也为增函数.

又log25.1%,严>0,3>0,且

1ogz5.11ogz8=3,2"8。<3,2"&<2』ogz41og2

5.1,

所以3)log25.D2°”),所以c〉a〉b.

故选C.

【答案】C

6.(2017年全国/卷)设x.y.z为正数，且

2、=3，巧测().

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

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【解析】令方幺3巧。

・1’为正数・：山,则户方嗡,

同理沙普，/平!.

Ig3lg5

.：2xTy典当

lg2lg3

」gt(21g3-31g2)jg^jgg^

Ig2xlg3Ig2xlg3'

・：2x)3y.

又•^.巧2二电七一51gt」gt(21g5-51g2)

■lg2lg5Ig2xlg5

Jgt(lg25-lg32)

Ig2xlg5'

・：2x<5z,.：3P<2x<5z.故选D.

【答案】D

考函数应用类

点

第7页共140页

7.(2017年全国年)已知函数

f[x}=^-2x+a^九a)有唯一零点，则

H).

A.-B-C-D.1

232

【解析】

/(04—2x以小卅一巧＜X-1)2甸小M、T)]-L,

令方二x-L,贝[|g[t)=f{t+\)=iz+a(d+e)-1.

f

:,/K-。2%(e-*)-1=g(t),

・：函数虱。为偶函数.

丁应不)有唯一零点，.:虱力也有唯一零

第8页共140页

又：•虱。为偶函数由偶函数的性质知

夙0）4，

•⑵-1或解得层.故选C.

【答案】C

8.（2016年山东卷）已知函数

不）4吁怨皿其中融,若存在

ix2-2mx+4m,x>m,

实数6,使得关于x的方程f（x）=5有三个不同

的根，则m的取值范围是.

【解析】

作出的图象如图所示.当x〉m

时-2以户4勿<才-勿）2/4勿-勿：,：要使方程

第9页共140页

Wx）多有三个不同的根，则有4/Z7-/Z72S即

/2-3加0.又加0,解得力）3.

【答案】（3产8）

浙三※—球一汕三出郎」命・•研1三—――

高频考点:二次函数、指数函数、对数函

数的图象和性质及其应用，关于指数函数、对

数函数的复合函数，特别是涉及指数函数、对

数函数、幕函数有关知识的大小关系的比

较.

命题特点:以选择题、填空题的形式考查,

题目注重基础.

第10页共140页

§3.1二次函数与幕函数

一汨汕痣茫然总东公*/必备知识I机名叫三三痣泞

-二次函数

1.二次函数解析式的三种形式

一般式:/（X）7（aw0）.

顶点式:短。-力）2*60）,顶点坐标

为•

两根式（交点

式）：f（x）=a（x-Xi）（X-泾）（aW0）,X1,莅分别为

人才）力的两个实根.（函数对应的方程有实根

的情况）

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2.二次函数的图象与性质

函y=ax+bx+

y=ax+bx+c〈a〈6

数心刈

图

象

定

义R

域

值4ac-b24ac-b2

4a什-oo-----------------

域'4a

单:b］在3，吟］上单调递增，在［卷+8）上

调

I'2右单调递减

性上单调

第12页共140页

递减在

-_L+8)

L2a)

上单调

递增

对

称函数的图象关于直线尸一4对称

2a

性

二幕函数

1.定义:形如(Q£R)的函数称

为幕函数其中x是自变量,a是常数.

第13页共140页

2.五种常见幕函数的图象

曲左学右考

［判断下列结论是否正确，正确的在括号内

画“J”，错误的画“X”.

⑴二次函数y=ax域广。(x£R)不可能是偶函

数.()

⑵二次函数y=ax+bx+c(xR其句)的最值

日4a。匕2

定ZE-7T-)

4a

第14页共140页

⑶幕函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0).

()

⑷当口3时,幕函数片(在(048)上是增函

数()

g已知幕函数Wx)口’的图象过点(4,2),若

大")=3,则实数m的值为.

g函数y二的大致图象是().

1已知函数七)电*上5的图象在X轴上方,

则a的取值范围是.

第15页共140页

目幕函数产”2-4m（〃ez）的图象如图所示,

则m的值为.

知识清单

一、1.ax+bx+c（力㈤

二、1.y=x

基础训练

1•【解析】⑴错误，当时，二次函数

y=axR）是偶函数.

⑵错误，因为不可44所以该函数的最值也

可能在端点处取得.

第16页共140页

⑶错误，当a<0时，尸/的图象不经过点

(0,0).

⑷正确，当aX时,幕函数尸T在(048)上

是增函数.

【答案】⑴X⑵X⑶X⑷J

2•【解析】由已知得2+,则所以

1

f(力)7n5=3,解得力可.

【答案】9

1

3•【解析】取值验证可知，函数尸好的大致

图象是选项B中的图象.

【答案】B

4.【解析】因为44+x均的图象在X轴

上方，所以/=1-20d<0且3为,解得3二.

第17页共140页

【答案】(M)

5•【解析】次―-4m(勿£Z)的图象与坐标

轴没有交点•:加2-4勿＜0,即。血a

又丁该函数的图象关于y轴对称，且

力£2,・：/2—4勿为偶数.：上2.

【答案】2

懑出诳说旧旧三三三三任旧任/关■能力I刀涧二出二三三彩

题

型二次函数的图象与性质

【例1]已知函数

=

f[x}x+2ax+3,x£[-4Z6].

第18页共⑷页

⑴若尸Wx）在14,6］上是单调函数求实

数》的取值范围；

⑵当a-1时，求/（的单调区间.

【解析】⑴函数户3的图象

的对称轴为直线x二,-a,

：VU）在14,6］上为单调函数,：yW-4

或-女26,解得女三4或aW-6.

故实数a的取值范围是

（-与⑹u［4/8）.

⑵当a=T肘1lx""21xl埒

_'%2+2x+3=(x+I)2+2,x<0,

X2-2X+3=(x-1)2+2,x>0,

第19页共140页

其图象如图所小.

又rx£[-4,6],,：W/x/)的单调递减区间

是[WT)和[0,1),单调递增区间是[T,0)和

[1,6].

点，

解决二次函数的图象与性质的问题，关

键是充分利用图象的对称轴及图象与坐标

轴的交点.

【变式训练1]函数f(x)=ax^a-3)xA

在1148)上单调递减,则实数a的取值范围

是()•

A.[-3z0)B.(-8,—3]C.[-2,0]

D.[-3,0]

第20页共140页

【解析】当<9-0时,小）=-3户1,它在

[-148）上单调递减，满足题意；

当B0时,/U）图象的对称轴为直线

3—a

由/（X）在[T48）上单调递减，知

（a<0,

13-aq解得-3Wa<0.

I右-T

综上可知，实数a的取值范围是13,0],故

选D.

【答案】D

题

型二次函数最值的求法

第21页共140页

【例2】已知/GR,函数

f{x}=~x^（3-2勿）x+2+m.

⑴若o求/&）/在上的最大

值侵力）;

⑵对任意的"£（0」］,若在［0,勿］上的

最大值为力（幼，求h（面.

【解析】（1）函数/U）图象的对称轴为直

线

丁06号,・：号三1.・：期力）Fax{//（

乙乙乙

-1）/z/f（l）/}』ax{/3勿-2/,/4-勿/}fax{2-3典4

-勿}.又：＜4-勿）~（2-3/Z?）=2+2勿X,.：g［而N-m.

⑵函数WM图象的对称轴为直线

工¥，且函数图象开口向下.

乙

第22页共140页

.：当上尹勉即।就wi

时,方（劝="兰乎）4-2勿耳；

当亨三典即o〃w|

时，力（"）=/（勿）=-3序掰/+2.

fm2-2m+—,-<m<1,

・：h（m444

I-3m27+4m+2,0<m<-3.

点，

解决二次函数最值问题的关键是抓住

“三点一轴”，其中“三点”是指区间的两

个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合

配方法，根据函数的单调性及分类讨论思想

即可解题.

第23页共140页

【变式训练2】已知函数

&)二寸心户"在［0,1］上的最大值为2,求

a的值.

【解析】函数f{x}=-{x-a}'+a-a的图

象的对称轴为直线x超且开口向下，分三种

情况讨论：

当aCO时，函数1-女在［0,1］

上是减函数，.：/(x)max=/(0)=1-2由1-<3?得

a--l；

当0Q<1时，函数f［x)=~x地ax+\-a在

。司上是增函数，在［a,1］上是减函

数，.：f(x)max=艮a}=a-a+\,

由4—“I3,解得女三匹或女工手，

乙乙

第24页共140页

70Q<1,.：两个值都不满足,舍去;

当女三1时，函数f{x}=-x+2ax<L-a在[0,1]

上是增函数，,：/（才埼=/（1）二功.：

综上可知/二T或at.

题

型寻函数的图象和性质

【例3】已知幕函数p=x*（,金N）的图

象关于P轴对称，且在（0产8）上函数值随着x

__mm

的增大而减小,则满足（"1尸<（3-2a）-石的实

数a的取值范围为.

第25页共140页

【解析】由题意可知该幕函数在(0产8)

上单调递减，因此3/Z7-9<0,即勿<3,又旌N*,故

m二1或解2

由函数;-/囚的图象关于y轴对称，得

11

3/Z/-9为偶数，所以勿二1,故3》43-2a)瓦

1

因为函数户寸三在(048)和(一8,())上单

调递减，

所以a+l>3-2a>0或3-2a<a+l<0或

22解得或a<-l.

32

【答案】G|)u(-8,-1)

点，

若幕函数尸内在Z)是偶函数则a必为

偶数.若幕函数尸/在(O,—)上单调递墙则

第26页共140页

ax；若幕函数尸4在（048）上单调递减，则

a<0.

【变式训练3】已知幕函数

f[x}={n/2〃-2）%九2-311（刀金Z）在（0,+8）上是减

函数则〃的值为（）.

A.-3B.1C.2D.1或2

【解析】因为Wx）为幕函数，所以

刀2+2/7-2=1,解得〃=1或n=T.

当n=Y时,/（幻=才2整，它在（018）上是减

*

函数.

当〃二-3时,/（才）安：它在（018）上是增函

数.

所以〃二1符合题意，故选B.

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【答案】B

方

法利用待定系数法求二次函数的解析式

根据已知条件确定二次函数的解析式，

一般用待定系数法，但所给条件不同,选取的

求解方法也不同，选择规律如下：

/（三个点的坐标卜（宜选用一般式）

/1顶点坐标卜、

但而K（对称轴卜）->｛宜选用顶点式）

\\（最大（小）值/

、与工轴相交的两个交点的坐标—（宜选用交点式）

【突破训练D已知二次函数满足

烟二-1,且WM的最大值是8,试确

定此二次函数的解析式.

第28页共140页

【解析】设艮同二薮+bx+c(a7O\

4。+2b+c=-1,

a-b+c=T解得

4ac-b2门

{丁:&

a=—4,

b=4,

c=7.

故所求二次函数的解析式为

+4x4.

方

分类讨论思想在求解含参数的二次函数的最值

法

问题中的应用

二次函数在某个区间上的最值问题的

处理，常常要利用数形结合思想和分类讨论

思想，若二次函数的表达式中含有参数或所

第29页共140页

给区间是变化的则需要观察二次函数的图

象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关

系)抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合

函数的单调性进行分类讨论.

【突破训练2】已知函数

+mx埒,xR[T,5],求/(x)的最小值.

【解析】函数

y)2对4依口间)的图象关于直线尸3

对称.

当即"三2时,G)在上为

增函数，

•:-/(-1)-1一勿+3N-m.

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当—1TW5,即T0W〃＜2

2

时灰)3)=3与

当子)5,即勿＜40时,七)在［T,5］上为减

函数，

・：f(x)min=/(5)之5为力+3^28巧切.

综上可知，当"三2时,f(x)minN-外

2

当T0W勿＜20^,4Ain^3^-；

4

当勿(T0时,f(x)minN8巧切.

1.(江西赣州厚德外国语学校2018届检测)

已知二次函数y=x+2(a-2)"5在(4产8)上是

增函数则3的取值范围是(),

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A.aW_2B.a》_2C.aW-6

D.a三~6

【解析】由已知得该函数图象的对称轴

为直线产2-。：该函数在（4产间上是增函

数,：2-W4,可得心-2,故选B.

【答案】B

2.（2017山东青岛模拟）若函数/U）是幕函数,

且满足W4）=3/（2）,则fg）的值为（）.

【解析】设

三V：泣4）=3/（2）,,：4三3X2。解得

a—log23z

【答案】A

第32页共140页

3.(教材改编)已知函数y=ax+bx+c若a>b>c

且己必九成则它的图象可能是().

【解析】由a+b+c$,a>b>c^aX),c<0,

排除A,C.又因为f(0)=c<0,所以排除B,故选

D.

【答案】D

4.(2017浙江湖州模拟)如果函数

f[x}+bx+c对任意的实数x,者隋

片1我)寸一力那么().

A.f(-2)<X0)<X2)

B.40)<4-2)<42)

c.42)<X0)<X-2)D.40)<y(2)<X-2)

第33页共140页

【解析】由Ala）寸-X）知WM的图象

关于直线X』对称.又因为抛物线尸开口

乙

向上,所以结合图象（图略）可

知,知）＜42）的-2）.

【答案】D

5.（山东临沂一中2018届月考）若函数

/（才）41-1）（/力x~5）的图象关于直线x=0对

称厕的最大值是（）.

A.-4B.4C.4或-4D.-5

【解析】依题意，函数是偶函数，则

厂/+ax与是偶函数，故a-0.因此

-/）（寸-5）=~x~5=-（才2-3）2/4,当

*二3时,«¥）取得最大值4.

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【答案】B

6.（广东茂名2018届五大联盟联考）已知幕

函数的图象过点（3彳）,则函数

夙x）＜2xT）f（x）在9］上的最小值是（）.

A—B.0C.-2D,-

【解析】由题意知3，三,解得女二-1,故

*_z

虱它在悖,2］上单调递增，则

当月时屈x）取得最小值，最小值是

令".

【答案】B

7.（2017北京昌平区模拟）已知二次函数f［同

满足/（23=/（2-切,且小）在［0,2］上是增函

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数，若W旬三WO),则实数a的取值范围是

().

A.[018)B.(-8,0]

C.[0,4]D.(-8,O]U[4,+8)

【解析】由应2打)寸2—牙)可矢口，函数f(x)

的图象的对称轴为直线xt.又因为函数f[x}

在[0,2]上是增函数,所以由旬三f(0)可得

0WaW4,故选C.

【答案】C

8.(2017湖北八校联考)已知二次函数的图象

与x轴只有一个交点,对称轴为直线x=3,且与

P轴交于点。3),则它的解析式

为.

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【解析】由题意可设二次函数的解析式

为y-aU-3）2.因为其图象与p轴交于点（0,3）,

所以3。,得a耳,所以©（广3）24*-2k3.

KJKJ

【答案】用V-2户3

9.（2017河北保定期末）设四,若函数《当

㈣2旬时,p的取值范围为恪2],则a的值

为（）.

A.2B.4C.6D.8

勺=2,

【解析】由题意知&=士解得

2a-4'

【答案】B

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10.（2017广东揭阳第二次月考）若函数

f{x}=x3/太/力（不£1?）在[3,+8）和[—2,-[]上

均为增函数,则实数a的取值范围是（）.

A.曰旬B.[-6z-4]

__

C.[3Z2V2]D.[-4,-3]

【解析】•#4-X}=x+a/x/+a=f{x）,.：f[x}

在R上是偶函数.由函数Wx）在[3产2和

上均为增函数可知外）在[1,2]上是减

函数，.:只需手£[2,3]，解得与WaW4故选

乙

B.

【答案】B

11.（2017江西九江一中期中）函数

-%T）•%4徵9-m5一1是幕函数,对任意

的x,x£（0,+8）且为wX2满足""DE）X）,若

x2为1-％2

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£R,且a班助＜0厕Wa)虫5)的值

().

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.无法判断

【解析】由题意知函数在(018)上

是增函数.为八%-1)/徵9行-1是幕函

数.：m-m-1=1,解得/2或m=-1.

当"时才旨数4X2'-25-1N015X,满足

题意；

当片T时指数4X(-1)Y-Ip-1=46,

不满足题意.

・：/U)=f,：幕函数七)口刈5是定义

在R上的奇函数,且是增函数.

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又：Z5£R，且a+bM.：a〉-b.

又助<0,不妨设5<0,则

A5X,・：f(句

又

艮-0二-f｛功，•二4目)一彳坊,・：f(司小功%.

故选A.

【答案】A

12.(河南南阳一中2018届月考)已知

f(x)=l+2x-1,则虱x)=f(Wx))().

A.在(-2,1)上单调递增B.在(0,2)上单调

递增

C.在(T,l)上单调递增D.在(1,2)上单调

递增

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【解析】令方文才),则虱才)土方).

当居(-2,1)时,fU)田-2,1)上单调递

增,境(-7,2),此时4。在(-7,1)上单调递增，在

(1,2)上单调递减所以式x)在(-2,1)上不是单

调函数,A错误；

当(0,2)时，方£(1,2)且f(x)在(0,1)上

单调递增，在(1,2)上单调递减,4。在(1,2)上

单调递减，所以4M在(0,2)上不是单调函数,B

错误；

当一(T,l)时,《x)在(T,l)上单调递

增,出(-2,2),此时4力在(-2,1)上单调递增，在

(1,2)上单调递减，所以4M在(！1)上不是单

调函数,C错误；

第41页共140页

当xR(1,2)时,te(1,2)且*x)在(1,2)上

单调递减H0在(1,2)上也单调递减，所以夙x)

在(1,2)上单调递增,D正确.

【答案】D

13.(保定市深水中学2018届第一次调研)若

函数为偶函数，则

42)-.

【解析】因为函数(户3)是偶

函数，

所以Vx£R,f(-x)=f(x),

BP(-x-a](-jr^3)玉-旬(x+3),

即不比女⑹为^女寸伞⑹王—?^，解得〃=3,

所以彳2)<2-3)X(2/3)=5.

第42页共140页

【答案】~5

14.(2017江苏南京模拟)直线l\x+y-3^与x

轴、P轴的交点分别为44幕函数尸

的图象经过点⑵4),若点〃在尸的图象上,

且△/外的面积等于3,则所有满足要求的点

〃的横坐标的和为.

【解析】由已知得点次3,0),凤0,3),则

/AB/^>42.

设幕函数f[x}=x,

将点⑵4)代入上式得f.f(x)=总

设点H%*),则点P到直线1的距离

2

d-%+%-3|

・：S丛ABP=X3V2

第43页共140页

/.x/才-3=2"2,即x或x+x-LO.

由方程可知这样的点尸有四个,其横坐

标的和为TT=-2.

【答案】-2

§3.2指数与指数函数

油―—涧三—J必备如税I壬上测期泌除

-分数指数幕

1.规定:正数的正分数指数幕的意义是

m__

西二VMgx,典〃£N+,且〃月）；正数的负分数

m1

指数幕的意义是H五人弱（a0,力，〃金N+,且

第44页共140页

冷1);0的正分数指数幕等于;0的负

分数指数幕.

2.有理数指数幕的运算性质

(1)aa=(aX,乙s£Q)；

(2)(a)s^(<3>0,T,S£Q)；

(3)(a6)7-(aX),6>0,r£Q).

二指数函数的图象与性质

定义

第45页共140页

域

值域________

过定点，即

当王工）

性质

在R上

在R上是

是

增函数

惭左学右考

第46页共140页

I判断下列结论是否正确，正确的在括号内

画“J”，错误的画“X”.

⑴近7阪)』.()

21

⑵f5.()

⑶函数尸十是R上的增函数.()

g已知函数久吐地的图象恒过定点4则

点4的坐标为().

A.(0,1)B.(2,3)C.(3,2)

D.⑵2)

25

g设二3次力之为管/乡.，则的大小关

系是().

A.a〉c〉bB.c〉a〉bC.a〉b〉cD.b〉a>c

第47页共140页

3计

g若指数函数户(2-*在定义域内是减函数,

则a的取值范围是.

g设户/二$则*奴-2的值为.

------------------------v-----------------------

知识清单

一、L0没有意义

2.(1)"抬(2)4，(3)H方

二R(048)(0,1)1减函数

基础训练

第48页共140页

1•【解析】（1）错误，当刀是偶数时结论不成

立.

21

⑵错误，应为（T/=15=L

⑶错误，当a>l时,函数尸I是R上的减函数.

【答案】⑴X⑵X⑶X

2•【解析】由产0得凭z:所以函数

（y=1+2,（y—，

Wx）的图象恒过定点血2,3）.

【答案】B

25

3.【解析】因为3r6r2.<1,

所以a>b>c.

【答案】c

11

4•【解析】原式《|户2《|1幺

第49页共140页

【答案】2

5•【解析】因为产（2-4在定义域内是减函

数，所以OC-a<l,解得1Q⑵

【答案】（1,2）

6.【解析】因为户广二3,所以

*,/<广『）2—2=7.

【答案】7

三三三三三三三三三三三三三三三E三三三三三三三汕工过关■能力I刀三壬三三汕三工二三三过三三三三

（W^€>

题

型指数塞的运算

第50页共140页

【例1】化简下列各式:

12

(l)[(0.0645)-25]i-

41

a3-8a3b

⑷--2

4b3+2Vab+a3

【解析】⑴原式

53

-L上三-14).

22

⑵原式

1111121

a3[(a3)3-(2Z?3)3].a3-2b3Q・aW”ii

^3(^3-

~~n?

(a3)2+a3-2Z73+(2Z73)2(a2-a3)5

5

Cl612

2疝♦占-2

—^C13a,CL3=a.

a3-2i)3(26

►点:

第51页共140页

指数幕的运算首先将根式、分数指数幕

统一为分数指数幕然后根据法则计算，注意

运算顺序.

【变式训练1】化简下列各式:

r1121

(2)-di•b2•(-3a56，-^-(4^3y3)2.

【解析】⑴原式

11

g*击）\*符号工*号吟

⑵原式

r521C513

=如:(4港/)万b?>^(2a3b-2)--

5sVab

一a2b2――_._____

44b2

第52页共140页

题

型指数函数的图象及其应用

【例2】⑴已知实数满足等式

2017^^018。给出下列五个关系

式：S<b<d②a<bQ，@<a〈b,④b<aQ；⑤a=b.

其中不可能成立的关系式有（）.

A.1个B.2个C.3个

D.4个

（2）已知函数fU）=/2'-11,a〈b〈c旦

小）项。））也），则下列结论中,一定成立的是

（）.

A.a<0,6<0,c<0B.a<0,6—0,c>0

C.2~a<2cD.2a幺<2

第53页共140页

【解析】(1)

如图，观察易知。力的关系为a<b<0或

0<b<a或3=54),不可能成立的关系式的个

数是2,故选B.

(2)作出函数fU)=/2'-1/的图象，如

图.

•「a〈b〈c且结合图象

知,06(旬<l,a<O,OG<l.

第54页共140页

・：4包=/2口1/=1—2：/(c)=/2Jl/-2C-1.

又:Na))/(c),,：1—2D2’—1,・：2a针<2,故选D.

【答案】（1）B（2）D

点1

对有关指数型函数的图象问题,一般是

从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、

伸缩、对称变换而得到.

【变式训练2】

--1oi^r%

函数的图象如图所示，其中a力为常

数，则下列结论正确的是（）.

A.a>l,b<0

B.

第55页共140页

C.0Q<!,"0

D.OQ<1,5<0

【解析】由图象可得函数/U)二十'在定

义域上单调递减，所以OQ<1.函数^=ab

的图象是由函数/U)=H的图象向左平移得

到的，所以b〈0.

【答案】D

题

型指数函数的性质及其应用

\ax2-4x+3

【例3】已知函数七)毛).

⑴若f(x)有最大值3,求a的值；

第56页共140页

⑵若ZU）的值域是（048）,求不等式

f（x）<3--+2x的解集.

【解析】令虱X）=ay—4x+3,贝!]

⑴因为/U）有最大值3,所以奴工）应有最

小值-1,

ra>0,

因此必有卜小41解得即当个）

L=T

有最大值3时毋的值为1.

⑵由指数函数的性质知，要使

⑺的值域为（04间,应使

^）W-4^3的值域为R,因此只能己才（因为

若局0,则为二次函数，其值域不可能为

R）.

第57页共140页

z-i\-4%+3

所以原不等式化为（J<3--+Q2x,即

*-2x《-4户3,解得-3<¥<1.

故所求不等式的解集为{x/-3。<1}.

点1

在利用指数函数的性质解决相关问题

时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要

时进行分类讨论.

【变式训练3】（1）下列大小关系正

确的是（）.

A.1.72-5>1.73B.0.64>0,62

C.O.8^^1.250,2D.1.703<0.931

第58页共140页

⑵已知函数/(X)是定义在R上的奇函数,

当XX时2)则不等式f(x)<4的解集

乙

是•

【解析】⑴选项B中,因为以).6,是减

函数，所以0.6Tx.62.

⑵由1-2,得2飞即..

因为/U)是定义在R上的奇函数，所以

&)<4的解集是(-8,-1).

【答案】⑴B(2)(---1)

方

法利用换元法解决有关指数函数的问题

第59页共140页

【突破训练1】函数6)'到在

［-3,2］上的值域是.

【解析】令方岩)：则日则，故

尸另

当马时,Kin,当t=8时,％ax与7.

故所求函数的值域为［|,57］.

【答案】［|,5力

方

法数形结合思想在解题中的应用

第60页共140页

【突破训练2］已知/-a<|（a>0且后1）

对任意的（-1,1）恒成立，求实数a的取值

范围.

【解析】由已知得*乙对任意的

（-1,1）恒成立，令%二十一,%二H,在同一个平

面直角坐标系中画出它们的图象（如图）.

当a>\时在上,要使用4的图象落

在归2［的图象的上方，则T芸，解得

乙乙

aW2,・：lQW2.

当0。<1时，在（T』）上，要使用二H的图象

落在%4一的图象的上方则

<32一,•：—W<3<1.

22

第61页共140页

综上可知，实数a的取值范围是

11)U(12].

-乙/Z

——练―n

1.(2017河北八所重点中学一模)设dX,将

2

表示成分数指数幕的形式，其结果是

().

157

A.02B.tZ6C.(16

3

D.02

2117

【解析】故选C.

Ja-Va2

【答案】C

第62页共140页

2.(教材改编)已知函数=3s(2WxW4/

为常数)的图象经过点⑵1),则/U)的值域为

().

A.[9,81]B.[3Z9]C.[lz9]D.口产河

【解析】由/U)的图象经过点(2,1)可知

5N,因为七)二3『2在[2,4]上是增函数所以

/(X)min=/[2)=l,f(X)max=/(4)K.故«¥)的值域为

[1,9].

【答案】c

3.(2017徐汇区校级模拟)已知函数

/«二力火且彳1)=3,则应0)〃(1)出2)的值是

().

A.14B.13C.12D.11

第63页共140页

【解析】因为E)电号二3,所以

2

f(2)4七+J-2=7,40)=1所以

f(0)%1)虫2)*3+7=12,故选C.

【答案】C

4.(2017湖南益阳六中模拟)若0金<1,5>0,且

则等于().

A.V6B.-2或2C.-2D.2

【解析】

:•音+a1'&JA.・・赤+a2bA-2=6,/.(a-aby=ab+

<3口—2N.10Q<1,5X,,：/<ab,.\a二—2,故

选C.

【答案】C

第64页共140页

5.（2017河南南阳、信阳等六市一模）设xY,

且103,则（）.

A.G〈b〈aCB.OQ"<1

C.\<b<aD.1Q"

【解析】

>1.Vx>Ql.'.^>\l/.a>bl.'A<b<a,

【答案】C

6.（2018届河北省保定市深水县波峰中学第

421

一次调研）已知。多斤3E,cN5可则（）.

A.b〈a<cB.a<b〈c

C.b〈c〈aD.c〈a〈b

【解析】

42212

•「a有工可b普ic^253.\b<a<c.

第65页共140页

【答案】A

7.(2017石家庄模拟)函数f(x)方QX,且

61)是指数函数若以人为,/(%)),优劣2,/(莅))

为端点的线段的中点在y轴上，则

王1)小2月).

A.1B.aC.2D.a

【解析】由题意得

x\+x^.Vf[x]=a,/.f{x^f[x^=aX19aX2=

q%l+%2=.何,故选A.

【答案】A

8.(2016四川宜宾一诊)已知函数

4J•/£(0,4),当户3时,/(x)取得最

X+1

小值力则函数爪X)二/也的大致图象为

)•

第66页共140页

【解析】:%£（0,4）,,：m1乂,

.Sf［x}-x-4=--5三2

x+lx+1

］之,3+1）七=1,当且仅当尸2时取等号.

/.a=2,b=\,

（2%+i,x>一1,

［止匕函数的

it）-L

'2%,x>0,

图象可以看成由函数P4A0/八的图象

向左平移1个单位长度所得,结合指数函数

的图象及选项可知A正确.

【答案】A

第67页共140页

9.（教材改编）函数七）二]（1丫-2的定义域

是•

【解析】要使函数/U）提了二的解析

式有意义启变量x应满足-2三0,解得

x<-1,故函数-2的定义域为

（-8,-1].

【答案】（-乃-1]

10.（教材改编）已知Wx）专力，且找包二3,则

3人

W-旬的值为.

【解析】:Nx）=3m,

3人3人

函数/（X）的定义域为R,.：对任意的

R,W-x）=3=3一㈢孔3-x-3兄,・：44^4-M

第68页共140页

《T/DGYE)N,.：@%-a)-2,.：

~3)N-/(a)^=2_3--1.

【答案】-1

11.(衡阳三中2018届月考)当代(-8,川时,

不等式(加2一劝•4、-2'<0恒成立，则实数力的取

值范围是().

A.(-2,1)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(-1,2)

【解析】

:‘V(-8,-1],(加2_勿).4"一2'<0,.：V(-

8,T],/-勿)<Q).:V(x)毛)在(-8,-1]上

单调递减,•:当xW-1时,/(x)三2.

,：/2-勿<2,解得-1<77<2.

第69页共140页

【答案】D

12.(山东潍坊2018届第二次月考)对于函数

f[x)=^x-m•2"：若存在实数苞,使

㈤厕实数"的取值范围是().

A-(血，卵相+8)

C.(-8,-1]D.[1/8)

【解析】

x+1X

S-^o)\4-%0-m,2'°=~4°+m•

2%o+i即2%=2%。+2-、。—---.

24+2-久0

令方二2蒐。V。(方三2),贝[J2加二力q.

丁力⑺二产在[2产叼上单调递

增,•：h(Z)min??(2)=1.

根据题意,2加三1,解得勿耳故选B.

第70页共140页

【答案】B

13.（2017安徽江淮十校三模）函数

f{x}=x-bx+c满足日）寸1-才）且/（0）=3厕

下列关于X好和f（力的大小关系的判断中,

正确的是（）.

A.gWRC

B.g?

C.

D.大小关系随x的不同而不同

【解析】丁41我）二/（1-。・：/（才）图象的

对称轴为直线户1,,"N又：/。）=3,・：c=3.

•:在（-乃1）上单调递减，在（1产河上

单调递增.

第71页共140页

若x20,则3、》1,,：22/(2)

若则阳2)

综上可得,43，)三f(2)

【答案】A

14.(山东罗庄一中2018届第二次质检)设函

\10-(2%1

数毛)4为常数且43)§

⑴求a的值;

⑵求使三4的x的取值范围；

⑶设函数4x)二一广典对任意的王£⑶4],不

等式ZU)AM恒成立，求实数力的取值范围.

【解析】

⑴：N3)5,G)W，.：10-3a=l,解得

a-3.

第72页共140页

⑵由已知得

汽/I\-2

(9三4毛)，.：10-3届-2,

解得x24,故心)，4的x的取值范围为

［4,2).

(3)外.)阳切在［3,4］上恒成立，

\10—3%1

即G))垓才加在⑶4］上恒成立，

/1\10—3%1

即"G)5在［3,4］上恒成立.

、10—3%1

设力⑶七)+0

则当X®［3,4］时，勿＜7?(x)min.

、10—3X1

丁函数片Q)与其x在⑶4］上都是

增函数，

・"(x)在［3,4］上为增函数,

第73页共140页

•:当在[3,4]

时，力(x)min??(3)亏?.:"<2.

乙乙

故实数"的取值范围为(-8,2).

§3.3对数与对数函数

三―汕三汕在三壬^J必备刻恨人过阳阳小三m

-对数的概念

般地，如果z=A(aO,且aWl),那么数x

叫作以a为底N的对数，记作，其中_

叫作对数的底数,叫作真数.

第74页共140页

二对数的运算

1.对数的运算性质

如果aX,且那么：

⑴10ga(〃・；

⑵kg,-；

(3)1og<M=(77£R).

2.对数的换底公式

logabf°gcb)1(女为且aWl；cX,且

logcalogba

cWl；5X,且5W1).

三对数函数的图象与性质

第75页共140页

尸logaMa〉l

尸10gaHO<a<l)

)

定

义

域

值

R

域

过定点，即当

性

时，尸__________

质

在（0产8）上在。+8）上是

第76页共140页

是_______

四反函数

指数函数广引与对数函数y=log/互为

反函数，它们的图象关于直线对

称.

左学右考

i判断下列结论是否正确，正确的在括号内

画“J”，错误的画“X”.

第77页共140页

⑴lOgaXT0gay=10ga(x+D.()

⑵对数函数产logRaX且aWl)的图象过

定点(