《概率论与数理统计及其MATLAB实现（微课版）》 习题及答案汇 周永卫 第1-10章

PAGEPAGE8概率论与数理统计及其MATLAB实现习题及参考答案习题1.11．写出下列试验的样本空间，并把事件用集合形式表示.（1）掷一颗骰子，出现奇数点.（2）掷二颗骰子，A=“所得点数之和为奇数，且只有一个1点.”B=“所得点数之和为偶数，没有1点出现.”（3）将一枚硬币抛两次，A=“第一次出现正面.”B=“至少有一次出现正面.”C=“两次出现同一面.”【解】（1）（2）（3）2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A（2）AB（3）ABC（4）A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=(5)=(6)(7)BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪(8)AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC3.判断下面等式是否正确，并说明原因.（1）A∪B=（AB）∪B；（2）B=A∪B；（3）∩C=C；（4）（AB）（）=；（5）若AB，则A=AB；（6）若AB=，且CA，则BC=；（7）若AB，则；（8）若BA,则A∪B=A.【解】（1）错（2）错（3）对（4）对（5）对（6）对（7）错（8）对习题1.2从52张牌中任取13张牌，求恰好有5张黑桃，3张红心，2张梅花，3张方块的概率.【解】设A=“所抽取13张牌中恰好有5张黑桃，3张红心，2张梅花，3张方块”，则2.数学学院2023级5名学生组成一创新训练小组，考虑这5名学生的生日，求下列事件的概率（1）5名学生的生日都在星期一；（2）5名学生的生日都不在星期一；（3）5名学生的生日不都在星期一。【解】（1）设A1=“5名学生的生日都在星期一”，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）==（）5（2）设A2=“5名学生的生日都不在星期一”，有利事件数为65，故P（A2）==()5(3)设A3=“5名学生的生日不都在星期一”，P（A3）=1P(A1)=1()5一批产品50件，其中有5件次品，从中任取3件，求有一件次品的概率.【解】设A=“任取3件产品中有一件次品”，则4.从一批由M件正品，件正品组成的产品中任取n件产品，求在下列抽样方法下，所抽取的n件产品中有件正品的概率.（1）一次抽取n件产品；（2）无放回抽样；（3）有放回抽样.【解】（1）设A=“一次抽取n件产品，所抽取的n件产品中有件正品”，则(2)设B=“无放回抽样时，所抽取的n件产品中有件正品”.由于是无放回抽样，可用排列法计算.样本点总数有种，n次抽取中有m次为正品的组合数为种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有种，从NM件次品中取nm件的排列数为种，故P（B）=由于无放回抽样也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P（B）=可以看出，用第二种方法简便得多.（3）设C=“有放回抽样时，所抽取的n件产品中有件正品”.由于是有放回抽样，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，nm次取次品，每次都有NM种取法，共（NM）nm种取法，故此题也可用贝努利概型，共做了n重贝努利试验，每次取得正品的概率为，则取得m件正品的概率为.某地区的电话号码是由8打头的8位数组成，后面7位数从0，1,2，…,9中等可能的取值，任取一电话号码，求该号码的后面4位数全不相同的概率.【解】设A=“所取电话号码的后面4位数全不相同”，则50个乒乓球中有3个旧球，现有10支只队伍比赛，每支队伍随机抽取3个乒乓球，求有一支队伍抽到3个旧球的概率.【解】设A=“一支队伍抽到3个旧球”从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】设A=“至少有两只配成一双”；（法一）=1\*GB3①仅配成一双=2\*GB3②配成两双则（法二）均不配成双是所求事件的逆事件甲乙两名学生约定下午4:00-5:00在图书馆见面，求一人要等待另一人0.5小时以上的概率.题8图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人0.5小时以上”等价于|xy|>30.如图阴影部分所示.9.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1）两个数之和小于的概率；（2）两个数之积小于的概率.【解】设两数为x,y，则0<x,y<1.（1）x+y<.(2)xy=<.题9图10.袋中有5个红球，3个黄球，2个黑球，现任取一球，观察其颜色后放回，如此继续，求在取得黄球之前取得红球的概率。【解】三种情况：“第一次取得黄球”“取得黄球之前取得红球”“取得黄球之前全取黑球”所以11.一层电梯有6名乘客，乘客在2-11层下电梯是等可能的，求（1）指定一层有2名乘客下电梯的概率（2）恰有2位名乘客在同一层离开电梯的概率（3）至少有2名乘客在同一层离开电梯的概率【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1），也可由6重贝努利模型：（2）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有种可能结果；②4人同时离开，有种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有种可能结果，故（3）设C=“至少有2名乘客在同一层离开电梯”，则“6个人在十层中任意六层离开”，故所以12.n个朋友随机地围绕圆桌而坐，（1）求甲、乙两人坐在一起的概率；（2）求甲、乙、丙三人坐在一起的概率；【解】（1）(2)13.在线段内任取两点将其分为三段，求其能构成一三角形的概率.【解】设这三段长分别为x,y,axy.则基本事件集为由0<x<a,0<y<a,0<axy<a所构成的图形，有利事件集为由构成的图形，即题13图如图阴影部分所示，故所求概率为.14.一正方体表面全部涂上红色，先将其等分成1000个小立方体，并从中随机抽取1个小立方体，求其有两个面是红色的概率.【解】设A=“小立方体有两面是红色”在1000个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面红色的，这样的小立方体共有12×8=96个.故所求概率为.15.3个乒乓球随机放入4个袋子中，求袋子中乒乓球的最大个数分别为1，2，3的概率.【解】设=“袋子中乒乓球的最大个数为i”，i=1,2,3.将3个乒乓球随机放入4个袋子中，全部可能放法有43种，袋子中球的最大个数为1时，每个袋子中最多放一球，故而袋子中球的最大个数为3，即三个球全放入一个袋子中，故因此或16.某景区有辆观光车，名游客随机乘坐观光车，求每一辆观光车上都有游客的概率.【解】设Ai=“第i辆观光车没有游客”，（i=1,…,n）,则其中i1,i2,…,in1是1，2，…，n中的任n1个.显然n辆观光车全空的概率是零，于是故所求概率为习题1.31.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,(A-B)=0.3，求P（）.【解】P（）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)]=1[0.70.3]=0.62.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.3.为三个随机事件，，，，，求为三事件中至少发生一个的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=++=袋中有4个红球，3个白球，从中任取3个，求至少有2个红球的概率.【解】设Ai=“恰有i个红球”（i=2,3），显然A2与A3互斥.故5.郑州市某天刮风的概率为0.3,下雨的概率为0.5，既刮风又下雨的概率为0.1，求：（1）在下雨条件下刮风的概率；（2）这天下雨或刮风的概率.【解】设A=“下雨”，B=“刮风”.（1）（2）6.某家庭有3个孩子，已知有一个女孩，求这个家庭至多有2个女孩的概率.【解】设A=“其中一个为女孩”，B=“至多有2个女孩”，样本点总数为23=8，故或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.7.设,P(B)=0.4,，求.【解】证明“确定的原则”（Surething）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|)≥P(B|)，则P（A）≥P(B).【证】由P（A|C）≥P(B|C),得即有同理由得故对任意的随机事件A，B，C，试证.【证】习题1.4统计结果表明，男性中约5%是色盲患者，女性中0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机抽取一人，此人恰好是色盲患者，求此人是女性概率.【解】设A={此人是女人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式2.袋中有15个乒乓球，其中有9个新球，使用时任取3球，用后放回.求第二次使用时所取3球均为新球的概率【解】设Ai=“第一次取出的3个球中有i个新球”，i=0,1,2,3.B=“第二次取出的3球均为新球”由全概率公式，有3.统计结果表明，学习认真的学生中90%的可能通过四级考试，学习不认真的学生中90%的可能通不过四级考试，已知80%的学生学习是认真的，求(1)通过四级考试的学生是不认真学习的学生的概率(2)未通过四级考试的学生是认真学习的学生的概率【解】设A=“被调查学生是认真学习的”，则=“被调查学生是不认真学习的”.由题意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又设B=“被调查学生通过四级考试”，由题意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）即通过四级考试的学生中不认真学习的仅占2.702%(2)即未通过四级考试的学生中认真学习的学生占30.77%.某人有n把外形完全一样的钥匙，但只有一把能把门打开，他逐一试开，求他第k次才能成功的概率.【解】习题1.51.甲乙两名射手命中率分别为0.8和0.7，两人各射击一次，求（1）都射中的概率；（2）至少有一人射中的概率；（3）恰有一人射中的概率.【解】设A1=“甲射中目标”；A2=“乙射中目标”；(1)(2)(3)2.投掷一枚硬币，第三次出现正面试验停止.求（1）正好在第6次停止的概率；（2）已知试验第6次停止，求第5次出现的也是正面的概率.【解】（1）(2)3.甲乙两名射手命中率分别为0.7和0.6，两人各射击3次，求二人命中目标次数相等的概率.【解】设Ai=“甲命中i次”，Bi=“乙命中i次”,i=0,1,2,3,则=0.320764.某零件需要4道独立加工工序，四道工序合格品率分别为0.98,0.97,0.95,0.97，求零件的合格品率.【解】设Ai=“第i道工序合格”，（i=1,2,3,4）.试验成功的概率为0.2，至少需多少次独立试验才能使至少成功一次的概率不小于0.9【解】设至少需进行n次独立试验.即为故n≥11至少需进行11次独立试验证明：若P（A｜B)=P(A｜)，则A，B相互独立.【证】即亦即因此故A与B相互独立.三名科研人员独立地攻克一技术难题，他们能成功的概率分别为，求此难题被攻克的概率.【解】设Ai=“第i名科研人员攻克难题”（i=1,2,3），则掷一颗骰子两次，考虑事件“第一次掷得点数2或5”，“两次点数之和至少为7”，求，，并问，是否独立.【解】显然，，所以，相互独立.9.某种疾病的治愈率为25%，现有一种新药物，为测试其治疗效果是否有效，现把该药物分给10名患者服用，若10名患者中至少有4人治愈，则认为有效，求（1）该药有效，若治愈率为35%，试验认为无效的概率.（2）该药无效，但试验认为有效的概率.【解】（1）(2)10.投掷一硬币2n次，求正面朝上次数大于反面朝上次数的概率.【解】掷2n次硬币，可能出现：A=“正面次数多于反面次数”，B=“正面次数少于反面次数”，C=“正面次数等于反面次数”，A，B，C两两互斥.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以由2n重贝努利试验中正面出现n次的概率为故甲乙两名射手命中率均为0.5，甲射击n+1次，乙射击n次，求甲命中次数多于乙命中次数的概率.【解】令甲中=甲命中次数，甲不中=甲没有命中次数.乙中=乙命中次数，乙不中=乙没有命中次数.显然有=（甲中≤乙中）=（n+1甲不中≤n乙不中）=（甲不中≥1+乙不中）=（甲不中>乙不中）由对称性知P（甲中>乙中）=P（甲不中>乙不中）因此P(甲中>乙中)=试验中事件发生概率为，试证：无论如何小，只要试验次数充分多，最终必会发生.【证】在前n次试验中，A至少出现一次的概率为求在n次独立重复试验中事件A出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中A出现的概率为p.则由以上两式相减得所求概率为若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得.习题1.6设有50个人去看电影，只有30张电影票，于是进行抽签决定谁去，利用MATLAB软件求第21个抽签者抽到电影票的概率.【解】设事件A为“21个抽签者抽到电影票”，则由古典概型知.MATLAB程序：clcN=input('请输入一个正整数：');sum=0;fori=1:NA=[ones(1,30)zeros(1,20)];randIndex_A=randperm(50);B=A(randIndex_A);sum=sum+B(21);endP=sum/N运行结果如下表：N1001000500010000100000P0.65000.62600.60720.59420.5979一个盒子中有100件电子元件，其中70件正品，30件次品，从中不放回地抽取4次，每次1件，利用MATLAB求第一、二次取得次品且第三、四次取得正品的概率.【解】程序代码clc;n=100;%袋子中球的总数n1=70;%袋子中白球的总数n2=30;%袋子中黑球的总数k=4;%取出球的总数k1=2;%取出白球的总数k2=2;%取出黑球的总数p=(factorial(n1)/factorial(n1-k1)*factorial(n2)/factorial(n2-k2))/(factorial(n)/factorial(n-k))%计算概率输出结果：p=0.0447一质点从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向随机游走，每次游走的距离为1.利用MATLAB软件计算经过2n次游走后，质点回到出发点的概率；经过2n次游走后，质点的坐标为（X=i，Y=j）(i≥0,j≥0)的概率.【解】（1）样本空间S中有个样本点，设事件A为“质点经过2n次游走后，质点回到出发点”，A发生，说明向左和向右的游走次数相等、向上和向下的游走次数相等，设事件表示“质点上下游走各k次、左右游走各n-k次”，则中包含的样本点数为，于是，可得.(2)设为“经过2n次游走后，质点的坐标为（X=i，Y=j）”(i≥0,j≥0)，因此i与j同为奇数或同为偶数.设质点向左游走k次、向下游走t次，则向右游走i+k次、向上游走j+t次，且有i+j+2(k+t)=2n,从而有，设事件为“质点向左游走k次、向下游走次，则向右游走i+k次、向上游走次”，则.MATLAB程序代码clcn=input('请输入游走次数n：');i=input('请输入质点的横坐标i：');j=input('请输入质点的纵坐标j：');P=0;N=4^(2*n);M=factorial(2*n);fork=0:n-(i+j)/2P=P+M/(N*factorial(k)*factorial(i+k)*factorial(n-k-(i+j)/2)*factorial(n-k+(j-i)/2));endP结果：(1)n=10,P(A)=0.0310;n=20,P(A)=0.0157.n=10,i=1,j=3,P(H)=0.0192;n=20,i=4,j=6,P(H)=0.0044.第1章考研真题1.随机地向半圆0<y<(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少？（1991研考）【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为πa2.阴影部分面积为故所求概率为2.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.（1993研考）【解】设A=“两件中至少有一件是不合格品”，B=“另一件也是不合格品”3.设A，B是任意两个随机事件，求P{（+B）（A+B）（+）（A+）}的值.（1997研考）【解】因为（A∪B）∩（∪）=A∪B（∪B）∩（A∪）=AB∪所求故所求值为0.4.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.（1）求先抽到的一份是女生表的概率p；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.（1998研考）【解】设Ai=“报名表是取自第i区的考生”，i=1,2,3.Bj=“第j次取出的是女生表”，j=1,2.则(1)(2)而故设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.（1999研考）【解】由故或,按题设P（A）<,故P（A）=.6.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）.（2000研考）【解】①②故故③由A,B的独立性，及①、③式有故故或（舍去）即.7.设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小.(2006研考)【解】因为所以.8.设是随机事件，互不相容，,,则________。(2012研考)【解】因为互不相容，所以.9.设随机事件与相互独立，且，，则()(A)(B)(C)(D)(2014研考)【解】所以，选B10.若A,B为任意两个随机事件，则()(A)(B)(C)(D)(2015研考)【解】因为，所以，选C11.设为随机概率，若,,则的充分必要条件是（）(A)(B)(C)(D)(2017研考)【解】由得，，即等价于由得，，即等价于.选A12.设随机事件独立，独立，若,,则________。(2018研考)【解】由得，，所以.得13.若A,B为任意两个随机事件，则的充分必要条件是()(A)(B)(C)(D)(2019研考)【解】，.则的充分必要条件是.即，选C14.设随机事件，若,,则中恰有一个事件发生的概率为（）(A)(B)(C)(D)(2020研考)【解】则中恰有一个事件发生的概率为，选D15.若A,B为任意两个随机事件，且，则下列命题中不成立的是()(A)若，则(B)若，则(C)若，则(D)若，则(2021研考)【解】由可得，所以A,B独立.从而由可得从而由可得，整理得.所以选D16.设随机事件满足互不相容，互不相容，独立，若,则.(2022研考)【解】显然.习题2.11.试用随机变量描述下列试验.（1）某城市110呼叫中心每天收到的呼叫次数；（2）某公交汽车站，每隔10分钟有一辆114路公交车通过，观察乘客等车时间.【解】（1）X表示“呼叫次数”，则X=i表示“呼叫i次”，i=0,1,2,…；（2）X表示“乘客等车时间”，则X取值于[0,10]上所有实数.2.盒中装有大小相同的10个球，编号分别为0，1，…，9，从中任取一个球，观察其号码.用随机变量表示事件“号码小于5”，“号码等于5”，“号码大于5”，并求其概率.【解】设随机变量X表示取到球的号码，则X的所有可能取值为0，1，…，9.X<5表示“号码小于5”，且；X=5表示“号码等于5”，且；X>5表示“号码大于5”，且.习题2.21.袋中有5只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，5.在袋中任取3只球，设X表示3只球中的最大号码，试求X的分布律.【解】随机变量X的可能取值为3,4,5，且故X的分布律为X345P0.10.30.62.设每次同时抛掷两枚骰子，直到有一枚骰子出现6点为止，设抛掷次数为X，试求X的分布律.【解】设Ai={第i枚骰子出现6点},（i=1,2），P(Ai)=.且A1与A2相互独立，再设C=“每次抛掷出现6点”.则故抛掷次数X服从参数为的几何分布.3.（1）设随机变量X的分布律为P{X=k}=，其中k=0,1,2,…,λ＞0为常数，试确定常数a.（2）设随机变量X的分布律为P{X=k}=a/N，k=1，2，…，N，试确定常数a.【解】（1）由，则.（2）由，则.4.设某停车场每天有200辆车在此停车，为方便车主充电，该停车场计划配备充电桩.设每天某一时刻每辆车在此充电的概率为0.02，且各辆车是否充电相互独立.试问该停车场需配备多少个充电桩，才能保证某一时刻每辆车需充电而没有空余充电桩的概率小于0.01？【解】设X为某一时刻需要充电的汽车数，则X~b(200,0.02)，设该停车场需配备N个充电桩，则有，即，利用泊松近似，则，查表得N≥9，故至少应配备9个充电桩.5.设每天有大量汽车通过一个十字路口，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001.在某天的该时段内有1000辆汽车通过这个路口，试利用泊松定理计算出事故的次数不小于2的概率.【解】设X表示出事故的次数，则X~b(1000，0.0001)，由泊松定理可知，X近似服从P(0.1).则6.设独立重复进行5次试验，事件A发生的次数为X.若，试求概率.【解】设在每次试验中成功的概率为p，则，故.则.7.设抽检产品时，每次抽取一件产品进行检验.设每次抽检取到不合格品的概率为0.3，当取到不合品不少于3次时，机器暂停运行.（1）抽检5次产品，试求机器暂停运行的概率；（2）抽检7次产品，试求机器暂停运行的概率.【解】（1）设X表示抽检5次产品时取到次品的次数，有X~b(5,0.3)，则.（2）设Y表示抽检75次产品时取到次品的次数，有Y~b(7,0.3)，则.8.设某市110指挥中心在时长t小时的时间间隔内，收到的报警次数X服从P(t/2)，而与时间间隔起点无关.（1）求某日12:00~15:00没收到报警的概率；（2）求某日12:00~17:00至少收到1次报警的概率.【解】（1）t=3时，X~P(3/2)，则.（2）t=5时，X~P(5/2)，则.9.设随机变量X，Y的概率分布分别为P{X=k}=,k=0,1,2,P{Y=m}=,m=0,1,2,3,4.如果已知，试求.【解】由，则从而10.某杂志出版发行2000册，每册出现装订错误的概率为0.001.试求这2000册杂志中恰有5册出现装订错误的概率.【解】令X为2000册杂志中出现装订错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算，，得.11.某运动员练习投篮，每次投中的概率为3/4，以X表示他首次投中时的投篮次数，试求X的分布律，并计算X取偶数的概率.【解】X取偶数的概率为.12.某中学有2500名学生购买了某保险公司的学平险，每名学生每年的保费为120元，在一年中每名学生在校发生意外的概率为0.002，而发生意外时学生家属可从保险公司领取2万元赔偿金.试求针对该校学平险这项业务：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10万元、20万元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1）保险公司在该校学平险总收入为2500×120=300000元，设1年内发生意外的学生数为X，则X~b(2500,0.002)，由n很大，p很小，λ=np=5，由泊松定理X近似服从P(5)，则.（2）保险公司获利不少于10万元的概率为.保险公司获利不少于200元的概率为.习题2.31.设随机变量X的分布函数如下：试在(1),(2),(3)处填上合适的数.【解】由知②填1；由右连续性，可知，故①为0，从而③亦为0.即2.已知则F(x)是________随机变量的分布函数.离散型(B)连续型(C)非连续亦非离散型【解】因为F(x)在(∞,+∞)上单调不减右连续，且，，所以F(x)是一个分布函数.由F(x)在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F(x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数.选(C).3.在区间[0,a]内随机投掷一个质点，该质点落在[0,a]中任意子区间内的概率与该子区间的长度成正比例，设质点的坐标为X，试求X的分布函数.【解】任取区间，由题意可知，其中k为比例系数.令，则有，故由，则当x<0时，F(x)=0；当x>a时，F(x)=1；当0≤x≤a时，；即4.设一批同型号的零件共有15个，其中有2只零件为次品，每次在这批零件中任取1只，共取3次，取后不放回.设X表示取出的次品个数，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函数并作图；（3），，，.【解】（1）X的可能取值为0,1,2.故X的分布律为X012P（2）当x<0时，F(x)=P{X≤x}=0；当0≤x<1时，F(x)=P{X≤x}=P(X=0)=；当1≤x<2时，F(x)=P{X≤x}=P(X=0)+P(X=1)=；当x≥2时，F(x)=P{X≤x}=1.故X的分布函数为5.某射手练习射击时，向同一目标独立射击3次，设每次击中目标的概率为0.8.试求3次射击中，（1）击中目标的次数X的分布律；（2）X的分布函数；（2）3次射击中至少击中2次的概率.【解】（1）设X表示击中目标的次数，则X的可能取值为0，1，2，3.故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512（2）X的分布函数为（3）习题2.41.设随机变量X的概率密度为则区间[a,b]等于________.[0,π/2](B)[0,π](C)[,0](D)[0,]【解】在上sinx≥0，且，故f(x)是概率密度.在上，故f(x)不是概率密度.在上，故f(x)不是概率密度.在上，当时，sinx<0，f(x)也不是概率密度.故选(A).2.已知随机变量X的密度函数为,求：（1）A值；（2）P{0<X<1}；（3）F(x).【解】（1）由得，故.（2），（3）当x<0时，；当x≥0时，.故3.设随机变量X分布函数为（1）求常数A,B；（2）求P{X≤2},P{X＞3}；（3）求X的概率密度f(x).【解】（1）由得（2），.（3）4.设随机变量X的概率密度为求X的分布函数F(x)，并画出f(x)及F(x).【解】由，当x<0时，F(x)=0；当0≤x<1时，当1≤x<2时，；当x≥2时，.即5.设随机变量X的密度函数为（1）；（2）f(x)=试确定常数a,b,并求其分布函数F(x).【解】（1）由知，故.即概率密度为由，故当x≤0时，；当x>0时，.即（2）由，得b=1.即X的概率密度为由，故当x≤0时，F(x)=0；当0<x<1时，；当1≤x<2时，；当x≥2时，F(x)=1.即6.设某种通讯仪器内安装有3只同型号的电子管，该型号电子管使用寿命X（单位：小时）的密度函数为试求：（1）在开始仪器开始使用的150小时内无电子管损坏的概率；（2）在这段时间内只有1只电子管损坏的概率；（3）X的分布函数F(x).【解】（1），设开始150小时内，3只电子管中损坏的电子管数为Y，则Y~b(3,1/3).则.（2）.（3）当x<100时，F(x)=0当x≥100时，.故7.设随机变量.对X进行3次独立观测，求至少有两次的X观测值大于3的概率.【解】由X~U[2,5]，有则.设三次观测中，观测值大于3的次数为Y，则Y~b(3,2/3)，则.8.设某时间段内，车主在某加油站等待加油的时间X（单位：分钟）服从参数为1/5的指数分布.某人在该加油站等待加油，若超过10分钟就离开.若他一个月要加油5次，以Y表示一个月内未等到加油而离开加油站的次数，试求Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】由，其概率密度为车主未等到加油而离开的概率为.则，其分布律为得9.某人从家出发打车去火车站，有两条路可走.第一条路程交通拥挤但路程较短，所需时间（单位：分钟）服从；第二条路阻塞少但路程较长，所需时间服从.（1）若在火车发车前1小时出发，走哪条路赶上火车的把握大些？（2）若在火车发车前45分钟出发，走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1）若走第一条路，X~N(40，102)，则；若走第二条路，X~N(50，42)，则.故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若X~N(40，102)，则；若X~N(50，42)，则.故走第一条路乘上火车的把握大些.10.设随机变量X~N(3,4)，（1）求，，，；（2）确定c使.【解】（1）；；；.由，，得，即，故c=3.11.某工厂生产的零件长度X（单位：cm）服从正态分布，设零件长度在10.05±0.12内为合格品，求该厂生产的零件的不合格率.【解】12.设随机变量X服从正态分布，若P{120＜X≤200}≥0.8，则σ最大为多少？【解】由，则，由的单调性，可得，故.13.设随机变量，则当σ取何值时，概率最大？【解】因为，令，由，得,即.又，故为极大值点且惟一.故当时X落入区间(1，3)的概率最大.14.求标准正态分布的上α分位点，（1）α=0.01，求zα;（2）α=0.003，求zα，zα/2.【解】（1）由，有，得，故.（2）由，有，得，故.,，故.α=0.003时，，故习题2.51.设随机变量X的分布律如表2-10所示表2-10X的概率分布表X-2-1013pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值为0，1，4，9.Y0149Pk1/57/301/511/30即2.设P{X=k}=(1/2)k,k=1,2,…,令求随机变量X的函数Y的分布律.【解】，即Y-11Pk2/31/33.设X~N(0,1),试求（1）Y=eX的概率密度；（2）Y=2X2+1的概率密度；（3）的概率密度.【解】由X~N(0,1)，则由函数y=g(x)=ex单调递增，其反函数为x=h(y)=lny,则，=0，，则（2）由，则当y≤1时，；当y>1时，，故（3）由，则当y≤0时，；当y>0时，.故4.设随机变量X~U(0,1)，试求：（1）Y=eX的分布函数及概率密度；（2）的分布函数及概率密度.【解】由X~U(0,1)，有（1）由，则当时，；当1<y<e时，；当y≥e时，.即故Y的密度函数为（2）由，则当z≤0时，；当z>0时，.即故Z的概率密度为5.设随机变量X的概率密度为试求Y=sinX的密度函数.【解】由，则当y≤0时，；当0<y<1时，；当y≥1时，.故Y的密度函数为6.设在一段时间内某品牌手机店的顾客人数X服从泊松分布P(λ)，每位顾客购买手机的概率为p，且顾客是否购买手机是相互独立的，求该段时间购买手机的顾客数Y的分布律.【解】设购买手机的人数为Y，在进入手机店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即.由全概率公式有可知，进入手机店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买手机的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp.习题2.6一工厂生产的电子元件的寿命X（单位：小时）服从参数，的正态分布，若要求，利用MATLAB软件求允许最大为多少？【解】；，可得，MATLAB程序：Sigma=40/norminv(0.9,0,1)结果：Sigma=31.2122.设随机变量X服从于区间[1,5]上的均匀分布，对X进行30次独立观测，利用MATLAB软件求(1)至少有10次观察值大于4的概率;(2)观察值大于4的次数在5至15次的概率.【解】MALAB程序：p=1-unifcdf(4,1,5);P1=binocdf(10,30,p)P2=binocdf(15,30,p)-binocdf(4,30,p)输出结果：p=0.25,P1=0.8943,P2=0.9013.第2章考研真题1.设随机变量.试证在区间(0,1)上服从均匀分布.（1995研考）【证】X的密度函数为由在（0,+∞）上单调递增，其反函数为，则，=0，，则即Y~U(0,1).2.设随机变量X的分布函数为F(x)=求X的概率分布.（1991研考）【解】X的概率分布为X113P0.40.40.23.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A在一次试验中出现的概率.（1988研考）【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P(A)=p，则X~b(3,p).由P{X≥1}=，则P{X=0}=(1p)3=，故p=.4.若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？（1989研考）【解】5.若随机变量X~N(2,σ2)，且P{2<X<4}=0.3，则P{X<0}=.（1991研考）【解】由，得.故.6.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求（1）全部能出厂的概率α；（2）其中恰好有两台不能出厂的概率β；（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ.（1995研考）【解】设A=“需进一步调试”，B=“仪器能出厂”，则=“能直接出厂”，AB=“经调试后能出厂”.由题意知B=∪AB，且,.设X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~b(n,0.94).则7.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.（1990研考）【解】设X为考生的外语成绩，则X~N(72,σ2)，由，得，查表知，得σ=12.从而X~N(72,122)，则.8.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N(220,252)）.试求：（1）该电子元件损坏的概率α;（2）该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β.（1991研考）【解】设A1=“电压不超过200V”，A2=“电压在200~240V”，A3=“电压超过240V”，B=“元件损坏”.由X~N(220,252)，则；；.由全概率公式有,由贝叶斯公式有9.设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).（1988研考）【解】由在（1,2）上单调递增，其反函数为，则，=e2，，则10.设随机变量X的密度函数为fX(x)=试求随机变量Y=eX的密度函数fY(y).（1995研考）【解】由在x>0上单调递增，其反函数为，则，=1，，则11.设随机变量X的密度函数为fX(x)=,试求的密度函数fY(y).（1988研考）【解】由在上单调递减，其反函数为，则.，，则12.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的泊松分布.（1）求相继两次故障之间时间间隔为T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993研考）【解】（1）当t<0时，；当t≥0时，事件T>t与N(t)=0等价，有，即所以间隔时间T服从参数为λ的指数分布.（2）.13.随机变量X的绝对值不大于1，，.在事件出现的条件下，X在内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数F(x).（1997研考）【解】由X的绝对值不大于1，显然当x<1时，F(x)=P{X≤x}=0；而x≥1时F(x)=P{X≤x}=1；由题知，故当1<x<1时，，此时；当x=1时，.即X的分布函数为14.设随机变量X服从正态分布N(μ1,σ12)，Y服从正态分布N(μ2,σ22)，且，试比较σ1与σ2的大小.（2006研考）【解】依题意，，则，.又由，则，故，即.15.设随机变量X的分布函数则.0(B)(C)(D)（2010研考）【解】应选(C).16.设为标准正态分布的概率密度，为上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则a，b应满足_______.2a+3b=4(B)3a+2b=4(C)a+b=1(D)a+b=2（2010研考）【解】由为概率密度，有，则，得2a+3b=4，应选(A).17.设为两个分布函数，且连续函数为相应的概率密度，则必为概率密度的是________.(A)(B)(C)(D)（2011研考）【解】由，得，再由，得，又，故为某个随机变量的概率密度，应选(D).18.设随机变量，，，，则_______.(A)(B)(C)(D)（2013研考）【解】由，得.由，得，于是.由，得，于是.由，得，应选(A).19.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则P{Y≤a+1|Y＞a}=_____.（2013研考）【解】由，得Y的概率密度为于是20.设随机变量X的概率密度为令随机变量求Y的分布函数.（2013研考）【解】由，则当y<1时，；当y≥2时，；当1≤y<2时，即21.设随机变量X的概率密度为对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数.求Y的概率分布.（2015研考）【解】令，Y的可能取值为2,3,…,Y的分布律为22.设随机变量，记，则_______.(A)随着的增加而增加(B)随着的增加而增加(C)随着的增加而减少(D)随着的增加而减少（2016研考）【解】由，得，则随着的增加而增加，应选(B).23.设随机变量X的概率密度f(x)满足且，则P{X<0}=_____.0.2(B)0.3(C)0.4(D)0.5（2018研考）【解】由可知f(x)关于x=1对称，由，得.再由，有，得.从而，应选(A).24.设某原件的使用寿命T的分布函数为其中为参数且大于零，求概率与，其中（2020研考）【解】由，则；25.设随机试验每次成功的概率为p，现进行3次独立重复试验，在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为，则p=_______.（2024研考）【解】设三次试验中试验成功的次数为X，则.，解得.习题3.11.设二维随机变量的联合分布函数为，试用表示下面事件的概率.(1)(2)(3)(4).【解】(1)；(2)；(3);(4).2.已知二维随机变量的联合分布函数为(1)求的值；(2)求概率，，.【解】(1)(2)；；.3.一个盒中放有同样的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任意取2次，每次取1球.令在放回和不放回两种情况下，求的联合概率分布律.【解】（1）放回情况，，.（2）不放回情况，，.4.设二维随机变量的联合概率分布律如下表所示.表3-6的联合概率分布律YX12010.5000.5（1）求的联合分布函数；（2）求.【解】略.5.设二维随机变量的联合分布函数为.求(1)；(2),其中区域有围成（见下图）；(3).【解】(1)于是，；(2).第5题区域D(3第5题区域D.6.设二维随机变量的联合分布函数为.求(1)；(2).【解】(1)；(2).习题3.21.设二维离散随机变量的联合概率分布律如下表所示.表3-11的联合概率分布律YX123-110.050.250.1000.200.40求的边缘概率分布律.【解】先求的边缘概率分布律,.再求的边缘概率分布律,,.2.设二维离散随机变量的联合概率分布律如下表所示.表3-12的联合概率分布律YX-11/21-10301/121/31/6005/1200求的边缘概率分布律.【解】先求的边缘概率分布律,,.再求的边缘概率分布律,,.3.设二维随机变量的联合分布函数为求的边缘分布函数.【解】4.设二维随机变量的联合概率密度函数为求的边缘概率密度函数.【解】5.设二维随机变量的联合概率密度函数为求的边缘概率密度函数.【解】6.设为二维正态随机变量，即，求的边缘概率密度函数.【解】略.习题3.31.设二维离散随机变量的联合概率分布律如下表所示.表3-16的联合概率分布律YX012-10301/61/61/61/601/61/60(1)求在的条件下，的概率分布律；(2)求在的条件下，的概率分布律；【解】首先求出的边缘概率分布律,,.,,.(1)，，.(2)，,.2.设二维随机变量的联合概率密度函数为求条件概率密度函数.【解】于是，当时，当时，3.设二维随机变量的联合概率密度函数为求条件概率密度函数.【解】于是，当时，当时，习题3.41.设二维随机变量的联合概率分布律如表3-19所示.表3-19的联合概率分布律XY2580.40.80.150.300.350.050.120.03判断随机变量X与Y的独立性.【解】的边缘概率分布律为,,.的边缘概率分布律为,.由于，故随机变量X与Y不相互独立.2.设二维随机变量的联合概率分布律如表3-20所示.表3-20的联合概率分布律XY123121/61/91/181/3ab已知随机变量X与Y相互独立，求a,b的值.【解】略.3.设二维随机变量的联合概率密度函数为判断随机变量是否相互独立.【解】验证可知，故不相互独立.4.设二维随机变量的联合概率密度函数为判断随机变量是否相互独立.【解】验证可知，故不相互独立.5.设和是两个相互独立的随机变量，在上服从均匀分布，的概率密度为（1）求和的联合概率密度函数；（2）设含有的二次方程为，试求方程有实根的概率.【解】(1)由可知，的概率密度函数为再由和是相互独立的随机变量可得，和的联合概率密度函数为(2)方程有实根等价于事件，于是方程有实根的概率为.习题3.51.设二维随机变量的联合概率分布律如表3-27所示.表3-27的联合概率分布律YX0121201/31/31/601/6(1)求概率分布律；(2)求概率分布律.【解】p(i,j)01/31/31/601/6(X,Y)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)Z1=X+Y123234Z2=max{X,Y}112222于是，概率分布律为Z11234pz1(xi)01/21/31/6概率分布律为Z212pz2(xi)1/32/32.设随机变量相互独立，且均服从参数的指数分布，求随机变量的概率密度函数.【解】由于随机变量且相互独立，故于是，随机变量的概率密度函数为.3.设二维随机变量的联合概率密度函数为求随机变量的概率密度函数.【解】随机变量的概率密度函数为.由的联合概率密度函数可知，使的区域为（见下图）.于是第3题.第3题4.设随机变量均服从指数分布且相互独立，记随机变量.求的联合概率密度函数.【解】由于均服从指数分布，于是的概率密度函数分别为考虑到相互独立，故的联合概率密度函数为函数存在唯一的反函数，且反函数的一阶偏导数存在且连续.同时，由于，得到.此时雅可比行列式为.于是的联合概率密度函数为.习题3.6设随机变量(X,Y)的联合概率分布见下表表3-29的联合概率分布律（X,Y）-201234500.020.010.050.010.020.040.0110.010.10.050.0200.010.0230.030.010.040.010.020.030.0150.040.080.050.020.070.07060.020.030.050.020.010.010.01利用MATLAB软件计算(1)X和Y的边缘分布律；(2)P{2<X+sin(Y)<3.6}.【解】clc;clear;closeall;Xvalue=[01356];Yvalue=[-2012345];Pvalue=[0.020.010.050.010.020.040.01;0.010.100.050.020.000.010.02;0.030.010.040.010.020.030.01;0.040.080.050.020.070.070.00;0.020.030.050.020.010.010.01;]PX=[Xvalue;sum(Pvalue,2)']%X的边缘概率PY=[Yvalue;sum(Pvalue)]%Y的边缘概率P=0;fori=1:5forj=1:7ifXvalue(i)+sin(Yvalue(j))<3.6ifXvalue(i)+sin(Yvalue(j))>2P=P+Pvalue(i,j);[Xvalue(i)Yvalue(j)]endendendendP运行结果：(1)X01356pi0.160.210.150.330.15Y-2012345pj0.120.230.240.080.120.160.05(2)P{2<X+sin(Y)<3.6}=0.10设具有联合概率密度函数为：利用MATLAB软件计算(1)；(2)边缘概率密度和；(3)的概率密度.【解】(1)输入程序symsxyzfxy=2-x-y;P=int(int(fxy,y,0,x/2),x,0,1)运行结果：P=7/24.(2)输入程序symsxyzfxy=2-x-y;fxz=2-z;fx=int(fxy,y,0,1)fy=int(fxy,x,0,1)运行结果：,.(3)输入程序symsxyzfxz=2-z;fz1=int(fxz,x,0,z)fz2=int(fxz,x,z-1,1)运行结果：第3章考研真题1.设平面区域由曲线及直线所围成，二维随机变量在区域上服从均匀分布，求关于的边缘概率密度在处的值为多少？（1998研考）【解】区域的面积为，于是的联合概率密度函数为.的边缘概率密度函数为，所以有.2.设随机变量相互独立，下表列出了二维随机变量联合分布律及关于的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.（1998研考）表3-30的联合概率分布律YXy1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】略.3.设某班车起点站上客人数服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为，且中途下车与否相互独立，以表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有个乘客的条件下，中途有人下车的概率；（2）二维随机变量的概率分布.（2001研考）【解】(1)显然，这是求条件下，的概率，即求.由于车上的每位乘客是否下车是相互独立的，故的条件分布是一个二项分布，于是有(2)4.设随机变量和相互独立，其中的概率分布为，而的概率密度为，求随机变量的概率密度函数.(2002研考)【解】设的分布函数为，的分布函数为，则由全概率公式可知于是，随机变量的概率密度函数为.5.设随机变量和相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则（）(2012研考)【解】由于随机变量和分别服从参数为1与参数为4的指数分布，故有，.考虑到随机变量和相互独立，因此，于是.6.设随机变量和相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求.(2006研考)【解】已知随机变量和相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，故有以及.于是，.7.设随机变量的概率密度函数为令随机变量(1)求的分布函数；(2)求概率.(2013研考)【解】，故而.(1)由随机变量可知，的取值范围为，于是当时，；当时，；当时，.(2).8.设二维随机变量服从正态分布，则(2015研考)【解】由可知，与的相关系数，于是有与相互独立，且，.所以.9.设二维随机变量在区域上服从均匀分布，令(1)写出的概率密度；(2)问与是否相互独立？并说明理由；(3)求的分布函数.(2016研考)【解】(1)区域的面积为，故而的联合概率密度函数为.(2),..，，.显然，，即与不相互独立.(3)先求出.当时，；当时，；当时，.即.再求出.于是，当，即时，；当，即时，；当，即时，.即.由以上可计算出.10.设二维随机变量的联合概率密度函数为，求常数及条件概率密度函数.(2010研考)【解】注意到，则有于是，.又.故有.11.设随机变量和相互独立，且的概率分布为，的概率密度函数为(1)求；(2)求的概率密度函数.(2017研考)【解】(1)..(2)先求.为此，由求出的分布函数为.于是，当时，；当时，；当时，.再求出.于是，当，即时，；当，即时，；当，即时，.由以上可计算出所以.12.设随机变量和相互独立，且均服从正态分布，则()(A)与无关，而与有关；(B)与有关，而与无关；(C)与,都有关；(D)与,都无关.(2019研考)【解】已知随机变量和相互独立，且均服从正态分布，故有，于是.所以，与无关，而与有关.13.设随机变量和相互独立，服从参数为1的指数分布，的概率分布为,.令.(1)求出的概率密度；(2)为何值时，和不相关；(3)与是否相互独立？(2019研考)【解】注意解题过程中要使用全概率公式.(1).于是，(2)当时，，则和不相关.已知服从参数为1的指数分布，故.已知的概率分布，故.由随机变量和相互独立可知，和相互独立，于是.所以，当，即时，和不相关.(3).而，，故有，即与不相互独立.14.设随机变量相互独立，其中均服从标准正态分布，的概率分布为，.(1)求二维随机变量的分布函数，结果用标准正态分布函数表示；(2)证明随机变量服从标准正态分布.(2020研考)【解】(1)当时，当时，于是，(2).即随机变量服从标准正态分布.15.设随机变量和相互独立，且，则(2023研考)【解】.16.设二维随机变量的联合概率密度函数为(1)求与的方差；(2)判断与是否相互独立；(3)求的概率密度函数.(2023研考)【解】(1)(2)由于，所以与不相互独立.(3)当时，；当时，；当时，；所以，的分布函数，概率密度函数为.17.设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，令则下列随机变量与同分布的是()(A)；(B)；(C)；(D).(2024研考)【解】由可知，的取值范围为.于是，当时，；当时，.所以，.显然，与同分布的是随机变量.习题4.11.设随机变量的分布律如表4-15所示，表4-15-10121/81/21/81/4求【解】(1)(2)(3).2.随机变量的概率分布为：已知，求常数【解】由于从而又因所以3.设随机变量的分布律为X101Pp1p2p3且已知,求.【解】因……①,又……②,……③由①②③联立解得4.气体分子