江苏省泰州市2024-2025学年高二上学期期末数学试题【含答案解析】

2024~2025学年度第一学期高二期末调研测试数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）命题人：倪伟刘祥云邹勇泉李建新审题人：鲁彬吴春胜一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.圆的圆心为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将圆的方程化为标准式，即可得圆心.【详解】由的标准式为，故圆心为.故选：A2.双曲线的焦距为（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】根据双曲线方程可得，即可得焦距.【详解】由双曲线，则，可得，所以焦距为.故选：D3.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对函数求导，再代入自变量求导数值即可.【详解】由题设，则.故选：C4.已知椭圆的两个焦点分别为，过点作斜率不为0的直线l，直l与椭圆C交于两点，则的周长为（）A.8 B.12 C.16 D.20【答案】C【解析】【分析】由椭圆方程及椭圆的定义求焦点相关三角形的周长即可.【详解】由题意，所以的周长为16.故选：C5.已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值并列不等式求参数范围.【详解】由题设，令，则，当或时，，则在和上单调递增，当时，，则在上单调递减，，且时趋向，时趋向，要使函数既有极大值又有极小值，即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点，所以.故选：A6.若，则称表达式为n阶有限连分数，通常记为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题设有限连分数定义求对应值即可.【详解】由题设.故选：B7.点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为（）A. B.4 C. D.8【答案】B【解析】【分析】令且，进而求得，应用两点距离公式并整理得，应用换元法、二次函数性质求最值即可.详解】令且，则，联立抛物线准线，可得，令，故，故，所以，令，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增，所以的最小值为.故选：B8.图1是一款多功能无人机，该机的机架采用对称排列结构，机架的俯视图可看成曲线（其中为正数）的一部分（图2）．若是曲线上的一点，且，过点P的两条互相垂直的直线与曲线的另外两个交点分别为，其中一条直线的斜率为1．若，则的值为（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】由整理可得，所以曲线可由双曲线和双曲线组成，分别将过点斜率为和的直线与双曲线方程联立，解出点坐标，再根据两点的距离公式求解即可.【详解】由整理可得，所以，所以曲线可由双曲线和双曲线组成，且这两个双曲线的渐近线斜率均为，因为是曲线上的一点，且，所以点在第一或第三象限，根据对称性，不妨设点在双曲线上，且在第一象限，此时，因为过点P的两条互相垂直的直线与曲线的另外两个交点分别为，其中一条直线的斜率为1，所以另一条直线的斜率为，点在双曲线上，不妨令，，过点斜率为的直线方程为，与联立得，解得，将代入整理得，所以，即，过点斜率为的直线方程为，与联立得，解得，将代入整理得，所以，即，所以，解得，所以，故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是将曲线转换成熟悉的双曲线方程，再根据点坐标和斜率设出直线方程与双曲线方程联立，解出坐标，进而即可求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.我们称离心率相同的二次曲线相似．则二次曲线相似的为（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】AB【解析】【分析】根据各项给定的曲线方程求离心率，并判断是否相等即可答案.【详解】对于有，则，对于有，则，对于有，则，对于有，则，对于有，则，对于有，则，综上，A、B中曲线相似，C、D不相似.故选：AB10.已知数列满足，且是公比为的等比数列，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据题意写出前7项，观察归纳得到，，再应用数学归纳法证明判断A、B；应用裂项相消法、放缩法证明不等式判断C、D.【详解】由，且是公比为的等比数列，所以为，为，为，，由上观察归纳有，，显然时，满足，若时，成立，又是公比为的等比数列，则，，所以，有，满足归纳结论，综上，，，A错，B对；由，则，C对；由，D对.故选：BCD11.已知函数，若，则下列说法正确的有（）A.若，则成等比数列 B.若，则成等比数列C.若，则 D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】设当时，成等比数列，利用等比中项可知，代入解得，验证和时是否满足题意验证AB，利用作商法画出的大致图象，可看作对应函数与交点对应的横坐标，利用图象判断CD即可.【详解】设当时，成等比数列，则，即，由得，所以，所以，解得，经检验，当时，满足，当时，，此时，不满足题意，故A正确，B错误；因为在恒成立，在恒成立，所以，在恒成立，又，所以当时，，即，当时，，即，所以的大致函数图象如图所示，由图象可知当时，由可得，当时，由可得，CD正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：选项CD的关键是将可看作对应函数与交点对应的横坐标，利用函数图象判断，数形结合.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为_______．【答案】【解析】【分析】两圆方程相减可得公共弦的方程，再利用直线的倾斜角求出斜率即可求解.【详解】因为圆，即与圆相交于两点，所以两圆方程相减可得公共弦的方程，即，因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，解得，故答案：13.过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程_______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入解出切点坐标，即可得切线方程.详解】由可得，设过点作曲线的切线的切点为，则，则该切线方程为，将点代入切线得，解得或，所以切点为或，所以切线方程为或.故答案为：（答案不唯一）14.设数列的前n项和为，若数列为各项均为正数的等差数列，成等比数列，其中m为正整数，则______．【答案】96【解析】【分析】令的公差为，由等差数列片段和的性质及已知可得，再应用等比中项的性质得求得，，最后应用等差数列前n项和公式求.【详解】令的公差为，由题设，且为等差数列且公差为，则，由成等比数列，则，所以且m为正整数，，可得，，则，所以.故答案为：96四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直线：（a为实数），与相交于点M．（1）若过点M，求a的值；（2）设直线过定点N，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）联立直线求得交点，代入求参数值即可；（2）根据直线确定直线过定点，再应用两点距离公式求.【小问1详解】由，得，即，因为过点，所以，即．【小问2详解】因为，所以直线过定点，所以.16.已知为数列的前项和，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，可得数列是以为首项，以2为公比的等比数列，从而得到数列的通项公式；（2）由（1）知，，利用分组求和法得到结果.【详解】解：（1）∵，∴当时，，故，得.当时，，故，∴当时，，∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，∴.（2）由（1）知，，∴，，.【点睛】本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．17.已知点的坐标为，且以点为圆心的圆与y轴相切．（1）过点作圆的切线l，求l的方程；（2）圆上是否存在点P，使得点P到距离之比为．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）或；（2）不存在点P，理由见解析.【解析】【分析】（1）由题设圆的方程为、，讨论直线斜率的存在性，结合点线距离公式求直线方程；（2）根据已知及两点距离公式得点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆N，进而得到圆内含于圆N，即可得结论.【小问1详解】因为，且以点为圆心的圆与y轴相切，所以圆的方程为．因为，当直线l的斜率不存在时，l的方程为，设l的方程为，则到l的距离为，所以，故，所以l的方程为，综上，l的方程为或．【小问2详解】设，由点P到距离之比为，得，即，所以点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆N，由，则圆内含于圆N，所以不存在点P，使得点P到距离之比为.18.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，，求a的取值范围；（3）证明：．【答案】（1）增区间为，无减区间；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数研究的单调区间；（2）对函数求导，讨论、、，结合恒成立求参数范围；（3）根据（2）结论有得，令，则，即可证结论.【小问1详解】当时，，所以，设，则，当时，有，所以在区间上单调递减，当时，有，所以在区间上单调递增，所以，即，所以的增区间为，无减区间．【小问2详解】，（i）当时，有，与矛盾；（ii）当时，有，所以，所以在单调递增，故，满足题意；（iii）当时，设，则，当时，由得，所以在上单调递减，则，即，所以在单调递增，故，满足题意；当时，若，则，所以在上单调递，所以，即，所以在单调递减，故，与矛盾；综上所述：a的取值范围为．【小问3详解】由（2）知当时，，其中a的取值范围为，令得，，即令，则，所以．19.已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为．（1）求直线在y轴上的截距之和；（2）若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值；（3）若成等比数列，射线分别交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围．【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）设两条平行线的方程分别为，，联立椭圆并应用韦达定理及弦长公式得，进而可得，即得结果；（2）根据已知有，由（1）知点A与点C、点B与点D关于原点对称，结合韦达公式得，进而有，再应用平行线的距离公式证明结论；（3）由等比中项的性质得，设直线的方程为并联立得到、，再根据四边形的面积、求面积的范围.【小问1详解】设两条平行线的方程分别为，，由，得，所以，即，又．所以，同理，．由平行四边形得，所以，因为，所以，即，所以两条平行线在y轴上