北师大版九年级数学上册 318 切线长定理（专项练习1）

专题3.18切线长定理（专项练习1）

一、单选题

知识点一、切线的定义

।.下列命题是真命题的是（）

A.顶点在圆上的角叫圆周角

B.三点确定一个圆

C.圆的切线垂直于半径

D.三角形的内心到三角形三边的距离相等

2.下列命题中的真命题是（）

①相等的角是对顶角②矩形的对角线互相平分且相等③垂直于半径的直线是圆的切线

④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形.

A.①②B.②③C.③④D.®®

3.如图，在四边形ABCD中，NBAD=25，NADC=115，。为AB的中点，以点。

为圆心、A0长为半径作圆，恰好点口在（O上，连接OD,若NEAD=25，下列说法

中不正确的是（）

A.D是劣弧BE的中点B.CD是。0的切线

C.AE//0DD.ZDOB=ZEAD

4.平面内，。。的半径为5,点夕到圆心。的距离为3,过点。可作。。的切线条数（）

A.（）条B.1条C.2条D.无数条

知识点二、构成切线的条件

5.已知（DO的半径为5,直线EF经过。O上一点P（点E,F在点P的两旁），下列

条件能判定直线EF与。O相切的是（）

及

。・

A.OP=5B.OE=OF

C.O到直线EF的距离是4D.0P1.EF

6.如图，..A6c是。。的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切

于点A的条件是（)

A.4=90。B.EFLAC

C.AC是OO直径D.N8=90。且Eb_LAC

7.在RtZ\A8C中，NC=90。，AB=10,AC=S,以C为圆心作0C与AB相切,

则CC的半径长为（）

A.8B.4C.9.6D.4.8

8.如图，AB是。O的直径，BC交。O于点D,DEJ_AC于点E,要使DE是。O的切线,

还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（）

A.DE=DOB.AB=AC

C.CD=DBD.AC/7OD

知识点三、圆的切线判断

9.如图，工3是W。的直径，RT是W。的切线，若二4TB=45°,.<3=2,则阴影部

分的面积是（）

A.2B.———KC.1D.———衣

2424

10.已知。O及。O外一点P,过点P作出。O的一条切线（只有圆规和三角板这两种工具）,

以下是甲、乙两同学的作业:

Xf

甲：①连接OP,作OP的垂直平分线1，交OP于点A；

②以点A为圆心、OA为半径画弧、交。0于点M；

③作直线PM,则直线PM即为所求（如图1）.

乙：①让直角三角板的一条直角边始终经过点P；

②调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心0,直角顶点落在OO上，记这时直

角顶点的位置为点M；

③作直线PM,则直线PM即为所求（如图2）.

对于两人的作业，下列说法正确的是（）

A.甲乙都对B.甲乙都不对

C.甲对，乙不对D.甲不对，己对

11.如图，AB是（DO的直径，下列条件中不能判定直线AT是。0的切线的是（）

A.AB=4,AT=3,BT=5B.ZB=45°,AB=AT

C.ZB=55°,ZTAC=55°D.ZATC=ZB

12.如图，将直角三角板的直角顶点8放在CO上，直角边A3经过圆心0,则另一直角

边8C与。。的位置关系为（）

A.相交B.相切

C.相离D.无法确定

知识点四、切线的性质

13.如图，AB是。0的弦，AC与。。相切于点A,连接04,0B,若NO=130。，则/BAC

14.如图，Q4.依分别与0。相切于A.3两点，点。为。。上一点，连接AC.8C,若

ZP=50°,则44cB的度数为（）.

15.如图，A8为。。的切线，切点为A,连接AO、BO,8。与。0交于点C,延长8。

与OO交于点。，连接/U）,若NABO=36，则NADC的度数为（）

A.54°B.36°C.32°D.27°

16.如图，内接于圆，NACB=90。，过点。的切线交A8的延长线于点

P,/P=28。.则NC4B=（）

A.62°B.31°C.28°D.56°

知识点五、切线的性质与判定综合

17.如图，A8是00的弦，点C在过点8的切线上，0C10A,0C交于点儿若

ZBPC=70°,则ZABC的度数等于（）

A.75°B.70°C.65°D.60°

18.如图，AB是。O的弦，AC是。O的切线，A为切点，BC经过圆心O.若NB=20。，则

ZC的大小等十（）

19.如图，等边三角形A8C的边长为8,以上一点0为圆心的圆分别与边AB,AC相

切，则00的半径为（）

A.2A/3B.3C.4D.4—6

20.如图，四边形ABCD是。。的外切四边形，且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的

周长为（）

D

C.46D.47

知识点六、用切线长定理求解

21.如图，△ABC的内切圆OO与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD=2.BC

C.12D.10

22.如图，等腰MBC的内切圆。。与AB，BC,C4分别相切于点。，E，/，且

AB=AC=5,BC=6,则短E的长是（）

6石

-V

23.如图，4/3是。。的直径，点。为。。外一点，CA、C。是。。的切线，A、。为切点,

连接8。、AD.若NACO=48。，则/力B4的大小是（）

48°C.60°D.66°

24.如图，。0中，AC为直径，MA,MB分别切。0于点A,B,ZBAC=25°,则NAMB

的大小为（)

C

C.45°D.50°

二、填空题

知识点一、切线的定义

25.当点P在。O上时，经过点P能作条直线与。O相切.若过点P能作。O的两

条切线，则点P必在。O（填“上"或“外“或“内）

26.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的.

27.如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=4,/CBA=30。，点D在AO上运动，点E

与点D关于AC对称，DF_LDE于点D,并交EC的延长线于点F,下列结论：

①CE=CF；②线段EF的最小值为逐；③当AD=1时，EF与半圆相切；

④当点D从点A运动到点O时，线段EF扫过的面积是4G•其中正确的序号是一

28.已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3,4），"是抛物线

），=⑪2+b:+2（。=（））对称轴上的一个动点.小明经探究发现：当的值确定时，抛物线

a

的对称轴上能使一AQM为直角三角形的点M的个数也随之确定.若抛物线

），=6'+版+2（。=0）的对称轴上存在3个不同的点M，使AAQM为直角三角形，则2

a

的值是—.

知识点二、构成切线的条件

29.如图，△ABC内接于。O,要使过点A的直线EF与。O相切于A点，则图中的用应

满足的条件是________（只填一个即可）.

30.如图，A、B是CO上的两点，AC是过A点的一条直线，如果NAOB=12()，那

么当/CAB的度数等于度时，AC才能成为OO的切线.

31.如图，己知NABO30。,以O为圆心、2cm为半径作。O,使圆心O在BC边上

移动，则当OB二cm时，0O与AB相切

32.如图，A3是0。的直径，OO交BC于D,DELAC,垂足为£请你添加一个条

件，使。石是C。的切线，你所添加的条件是.

知识点三、证明直线为圆的切线

33.在数学课上，老师请同学思考如下问题:

已知：在A43C中，N/-90°.

求作：OP,使律点尸库边4c上，ROP马AB,

sc*：切切.

小轩的主要作法如下:

加困，

(1)作NA3C的平分被5尸，当AC文于点P;

(2)以点P为学心，dP长为*径作0P.

所以O尸印为所求.

老师说：“小轩的作法正确.”

请回答：(DPVBC相切的依据是

34.如图，00的半径为4cm,BC是直径，若AB=IQcm,则AC=cm时，AC是

35.如图，。。的半径为4cm,BC是直径，若AB=lQcm,则AC=cm时，AC

是。0的切线

36.如图，在RSABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,点D是AB的中点，以CD为直

径作。O,。。分别与AC.BC交干点E,F,过点F作。O的切线FG,交AB干点G,则

FG的长为.

37.如图，0。与正五边形A8CDE的边A8、。£分别相切于点8、。，则劣弧80所对的

圆心角NBOD的大小为度.

38.如图，。0分别切NBAC的两边AB,AC于点E,F,点P在优弧EDF上.若NBAC

=66°,则/EPF等于度.

D

P

•o

A£B

39.如图，已知AB是CO的直径，AC是。。的切线，连接。。交CO于点O，连接3。.若

NC=40。，则D4的度数是_________。.

40.如图，正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM,

以点P为圆心,PM长为半径作0P.当CP与正方形ABCD的边相切时•，BP的长为.

知识点五、切线的性质与判定综合

41.如图，。。切△A8C的3。于。，切A3、AC的延长线于£、F,△A灰？的周长为18,

则AE=.

42.如图，R2ABC中，NABC=RlN,点D是BC边上一点，以BD为直径的半圆与边

AC相切于点E.若AB=3,BC=4,则BD=.

43.如图，AB是。0的弦，点C在过点B的切线上，且0C_L04,OC交AB于点P,已知

ZOAB=22°,则N0C8=.

知识点六、用切线长定理求解

44.如图，在Rf中，08=2百,乙4=30。3O的半径为1,点夕是A3边上的动点,

过点尸作0。的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为一.

45.如图，。0是△ABC的内切圆，。0切BC于点D,BD=3,CD=2,△ABC的周长为

14,MAB=_.

46.如图，一圆内切于四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为

R

47.如图，RfAABC中,ZC=90°,AC=6,8c=8,则AABC的内切圆半径为

B

48.如图：PA、PB切。O于A、B,过点C的切线交PA、PB于D、E,PA=8cm,则APDE

的周长为一cm.

三、解答题

知识点一、构成切线的条件

49.如图，在「A3c中，AB=AC,NB4C=120。，点。在8c边上，经过点A和

点8且与BC边相交于点E.

⑴求证：4c是O。的切线；

(2)若CE=2由.求0力的半径.

知识点二、证明直线为圆的切线

50.如图，。。的直径AB为10cm,弦BC为5cm,D、E分别是NACB的平分线与OO,

AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE.

(1)求AC、AD的长；

(2)试判断直线PC与。O的位置关系，并说明理由.

知识点三、切线的性质

51.如图，已知。。为RtAABC的内切圆，切点分别为D,E,F,且NC=90。，AB=13,

BC=12.

(1)求BF的长;

(2)求。O的半径r.

知识点四、切线的性质与判定综合

52.已知：如图，PA、是OO的切线，切点分别是A、B,Q为AB上一点,过。点

作0O的切线，交24、PB于E、F点,已知PA=12cm,求乙尸£户的周长.

知识点五、用切线长定理求解

53.如图，在RSABC中，ZACB=90°,以AC为直径的。0与AB边交于点D,过点D

作。。的切线.交BC于点E.

(1)求证：BE=EC

(2)填空：①若NB=30。，AC=2g,则DE=:

②当NB二度时，以O,D,E,C为顶点的四边形是正方形.

CEB

参考答案

1.D

【分析】根据圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，分别进

行判断，即可得到答案.

【详解】

解.：A、顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫圆周角，故A错误：

B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故B错误；

C、圆的切线垂直于过切点的半径，故C错误；

D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故D正确；

故选：D.

【点拨】本题考查了判断命题的真假，圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三

角形内心的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行判断.

2.D

【分析】根据对顶角、矩形的性质、切线的判定、中点四边形有知识逐一进行判断即可

得.

【详解】

①相等的角不一定是对顶角，故①错误；

②矩形的对角线互相平分且相等，故②正确；

③经过半径外端并且垂直于半径的直线是网的切线，故③错误；

④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，故④正确，

所以正确的是②④，

故选D.

【点拨】本题考查了真命题与假命题，熟练掌握切线判定、矩形的性质、中点四边形等

相关知识是解决此题的关键.

3.D

【解析】

【分析】直接利用圆周角定理以及结合圆心角、弧、弦的关系、切线的判定方法、平行

线的判定方法分别分析得出答案.

【详解】

A、VZBAD=25°,ZEAD=25°,

/.ZDAB=ZEAD,

•**DE=BD'故此选项正确，不合题意；

B、VZBAD=25°,

AZADO=25°,

VZADC=115°,

・•・NODC=90。，

・・・CD是。。的切线，故此选项正确，不合题意：

C、VZEAD=ZADO,

/.AE//DO,故此选项正确，不合题意；

D、无法得出NDOB=50。，ZEAD=25°,故此选项错误，符合题意.

故选D.

【点拨】此题主要考查了切线的判定以及圆心角、弧、弦的关系、切线的判定方法、平

行线的判定方法等知识，正确掌握相关判定方法是解题关键.

4.A

【分析】先确定点与员I的位置关系，再根据切线的定义即可得到答案.

【详解】

。。的半径为5,点尸到圆心。的距离为3,

•••点P与。。的位置关系是：点户在。。的内部，

••・过点夕可以作。。的。条切线.

故选：A.

【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，切线的定义，切线是圆与直线有且只有一个公

共点的直线，正确的理解定义是解题的关键.

5.D

【解析】

【分析】根据切线的证明方法进行求解，即可得到答案.

【详解】

•・•点P在。。上，，••只需要0P上EF即可，故选：D.

【点拨】本题考查切线的证明，解题的关键是掌握切线的证明方法.

6.D

【分析】根据切线的判定定理对各个选项进行判断即可.

【详解】

解：A.当NB=90。，则AC为OO的在径，但EF不一定垂直AC,所以不能判断EF

直线EF与一O相切；

B.AC不•定是OO的直径，所以不能判断EF直线EF与。0相切；

C.AC为QO的直径，但EF不一定垂直AC,所以不能判断EF直线EF相切：

D.当N3=90。，则AC为。0的直径，且EE_LAC,所以EF直线EF与。0相切.

故选D.

【点拨】本题主要考查切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是

圆的切线.

7.D

【分析】过点C作CDJ_AB丁点D,先利用勾股定理求得BC的长，再利用三角形的

面积公式求得CD的长即可.

【详解】

解：如图，过点C作CD_LAB于点D,

VZC=90%AB=10,4c=8,

・•・5。=”夕+。。2=6,

SAABC=—AC,BC——CD,AB.

22

ACBC人文

AB

则以C为圆心CD为半径作。。与AB相切.

故选D.

【点拨】本题主要考查切线的判定，勾股定理，三角形的面积公式，解此题的关键在于

熟练掌握其知识点.

8.A

【详解】

：根据AB=AC,连接AD,利用圆周角定理可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC

的中位线，0D〃AC,然后由DEJ_AC,得到NODE=90。，可以证明DE是。。的切线.

根据CD=BD,AO=BO,得到OD是^ABC的中位线,同上可以证明DE是。O的切线.

根据AC〃OD,ACIDE,得到NEDO=90。，可以证明DE是0O的切线.故选A.

9.C

【详解】

试题分析：根据BT是W。的切线，可知NABT=9()。，则△ABT是等腰直角三角形，然

后根据直径做对圆周角是直角，可利用割补法可知阴影部分的面积为^ABT面积的一半，

因此可知阴影部分的面积为＜2x2=1.

■■

故选C

A

考点：1、圆的切线，2、圆周角定理，3、等腰直隹三角形

10.A

【分析】（1）连接。昧OA,连接OP,作OP的垂直平分线/可得O4=MA=AP,进而

得到NO=NAM。，NAM尸二NM%,所以NOMA+NAM片NO+NM布=90。，得出MP是。。

的切线，（2）直角三角板的一条直角边始终经过点P,它的另一条直角边过圆心O,直角顶

点落在。。上，所以N0M片90。，得到M尸是。。的切线.

【详解】

证明：（1）如图1,连接OM,OA.

•・•连接0P，作。。的垂直平分线/,交。。于点A,・・・OA=AP.

♦・•以点A为圆心、OA为半径画弧、交。。于点M；

：.OA=MA=AP,：,ZO=ZAMO,，/OM4+NAM尸=N0+NM必=90°,

・•・0MtMP,JM尸是。。的切线；

（2）加图2.

•・•直角三角板的一条直角边始终经过点P,它的另一条直角边过圆心0,直角顶点落在

。。上，・・・NOMP=90。，・・・MP是。。的切线.

故两位同学的作法都正确.

故选A.

【点拨】本题考查了豆杂的作图，重点是运用切线的判定来说明作法的正确性.

11.D

【分析】分别利用切线的判定进而得出/847=90。，得出答案即可.

【详解】

A.

222

V/W=4,4六3,BT=5,：.AB+AT=BTt.•.△BAT是直角三角形，・・・NB4T=90。，・••直

线47是。。的切线，故此选项错误；

B.VZB=45°,AB=AT,・・・NT=45°,・・・NB47^90。，J直线AT是€）0的切线,故此选

项错误:

C.•••/W为直径，・・・N8/1C=9()。.

•••/B=55。，：.ZBAC=35°.

%C=55。，・・・NC47=90。，，直线AT是。。的切线，故此选项错误;

D./ATC=/B,无法得出直线AT是。0的切线，故此选项正确.

故选D.

【点拨】本题考查了切线的判定，正确把握判定方法得出N8AT=90。是解题的关键.

12.B

【分析】根据圆的切线的判定定理即可得到BC与。。相切.

【详解】

解：相切，

•・・A8,8C是直角三角板的两条直角边，

：.ABVBC,

•・・/W经过圆心0,

:.OBLBC,

•・•点B在。。上，

・・・8C与。。相切，

故选：B.

【点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握圆的切线的判定定理是解决问

题的关键.

13.B

【分析】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出/0AC及NQ48即可解决问题.

【详解】

解：・・・4C与。。相切于点A,

••・NQ4C=90°,

*：OA=OB,

：・NOAB=NOBA.

VZ0=130°,

JZOAB=I8。一/°=25°,

2

JNBAC=ZOAC-/OAB=90°-25°=65°.

故选：B.

【点拨】本题考查的是切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握以

上知识是解题的关键.

14.D

【分析】连接OA.OB,由切线的性质可知NOA尸=/。8尸=90。，由四边形内角和

可求出/AO8的度数，根据圆周角定理（一条弧所对的圈周角等于它所对的圆心角的一半）

可知NAC4的度数.

【详解】

解：连接OA.OB.

vPA.PB分别与CO相切于A.5两点,

/.OAA.PA,OBLPB,

二ZOAP=ZOBP=^°,

・•・ZAO3=180。一NP=180°-50°=130°，

・•.ZACB=-ZAOB=1x130°=65°.

22

【点拨】本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理

是解题的关键.

15.D

【分析】由切线性质得到NAOB,再由等腰三角形性质得到NOAO=NODA,然后

用三角形外角性质得出ZADC

【详解】

切线性质得到NBAO=90。

.•./404=90。-36'=54”

QOD=OA

：.ZOAD=ZODA

QZAOB=AOAD+NODA

：.ZADC=ZADO=2JO

故选D

【点拨】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键

16.B

【分析】连接0C,根据切线的性质得出NOCP=90。，再由NP=28。得出NCOP,最后根

据外角的性质得出NCAB.

【详解】

解：连接OC,

•••CP与圆O相切，

A0C1CP,

VZACB=90°,

AAB为直径，

VZP=28°,

:.ZCOP=180o-900-28o=62o,

而OC=OA,

:.ZOCA=ZOAC=2ZCAB=ZCOP,

即,CAB-31%

故选B.

【点拨】本题考查了切线的性质，二角形内角和，外角，解题的关键是根据切线的性质

得出NCOP.

17.B

【分析】根据题意可求出NAPO、/A的度数，进•步可得NA8。度数，从而推出答案.

【详解】

•・•ZBPC=70°，

・•・ZAPO=70°,

•・•OCIOA,

・・・NAOP=90。，AZA=20°,

又,：OA=OB,

：,NABO=20。，

又•・•点C在过点8的切线上，

・•・N08090。，

r.ZABC=ZOBC-ZAB0900-20°=70°,

故答案为：B.

【点拨】本题考查的是圆切线的运用，熟练掌握运算方法是关键.

18.D

【详解】

如图，连接OA,

2AC是。0的切线,

・•・ZOAC-90n,

VOA=OB,

/.ZB=ZOAB=20°,

；・ZAOC=40°,

:.ZC=50°.

故选D.

考点：切线的性质.

19.A

【分析】连接AO,OE1，根据等边三角形的性质及含30。的直角三角形的性质即可求

【详解】

设。。与AC的切点为E，

连接A。，OE,

•・•等边三角形ABC的边长为8,

・・・AC=8，ZC=Z^4C=60°,

•・•圆分别与边AB，AC相切，

/BAO=NCA。=-NBAC=30°,

2

••・ZAOC=90°，

・•・OC=-AC=4

2f

•・・QE_LAC，

・•・OE=—OC=2y/3^

2

・•・。。的半径为2石，

故选A.

【点拨】此题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.

20.A

【分析】根据圆的切线的性质求解即可.

【详解】

解：：四边形ABCD是。O的外切四边形，

AD+BC=AB+CD=22，

，四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=44,

故选：A.

【点拨】本题考查了圆的外切四边形的周长问题，掌握圆的切线的性质是解题的关健.

21.B

【分析】根据切线长定理进行求解即可.

【详解】

•••△ABC的内切圆CO与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,

AAF=AD=2,BD=BE,CE=CF,

VBE+CE=BC=5,

・・・BD+CF=BC=5,

/.△ABC的周长=2+2+5+5=14,

故选B.

【点拨】本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关

键.

22.D

【分析】如图，连接OA、OE、OB，OB交.DE于H,先证明点A、0、E共线，

即从而可得BE=CE=3,在R/A48E中，利用勾股定理求出AE长，再由切

线长定理求得BD长，进而得AD长，设。。的半径为厂，则==AO=4-r,

在心中，利用勾股定理求得r=一，在RfMOE中,求得03=也，再证明

22

0B垂直平分OE，利用而枳法可得!”E-OB=1OE4E,求得HE长即可求得答案.

22

【详解】

连接OA、OE、OB,0B交DE于H,如图，

•••等腰AABC的内切圆。。与AB，BC,C4分别相切于点Q，E，F

.•.0A平分N8AC,OE1BC,OD.LAB,BE=BD,

•.AB=AC^

AOIBC,

•••点A、0、E共线，

即AE上BC,

BE=CE=3,

在RfMBE中，AE=V52-32=4，

BD=BE=3,

:.AD=2,

设。。的半径为八则OD=OE=〃，A0=4-r,

在用AA。。中，r2+22=(4-r)2,解得r二,，

在RfABOE中,08=业+(|)2=手,

BE=BD，OE=OD,

.••。8垂直平分DE，

:.DH=EH,OBLDE,

\-HEOB=-OEBE,

22

3x3r~

，阳匹匹二二二述,

OB3&5

F

，DE=2EH等

故选D.

【点拨】本题考查了三角形的内切圆，三角形的内心，等

腰三角形的性质，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.

23.D

【分析】根据切线长定理可知CA=CD,求出NCAD,再证明NDBA二NCAD即可解决

问题.

【详解】

解：・・・CA、CD是。。的切线,

/.CA=CD,

VZACD=48°,

/.ZCAD=ZCDA=66°,

VCA1AB,AB是直径，

/.ZADB=ZCAB=90°,

AZDBA+ZDAB=90°,ZCAD+ZDAB=90°,

AZDBA=ZCAD=66°,

故选D.

【点拨】本题考查切线长定理和切线的性质、等腰三角形的性质、直径所对的圆周角是

直角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

24.D

【解析】

【分析】由AM与圆0相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC,可得出NMAC为

直角，再由NBAC的度数，用/MAC-NBAC求出NMAB的度数，又MA,MB为圆O

的切线，根据切线长定理得到MA=MB,利用等边对等侑可得出NMAB=NMBA,由底角

的度数，利用三角形的内角和定理即可求出/AMB的度数.

【详解】

解：TMA切。。于点A,AC为直径，

AZMAC=90°,又NBAC=25°,

AZMAB=ZMAC-ZBAC=65°,

「MA、MB分别切OO于点A、B,

AMA=MB,

.\ZMAB=ZMBA=65°,

/.ZAMB=180n-(ZMAB+ZMBA)=50n,

故选：D.

【点拨】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，切线长定理

以及三角形内角和定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.

25.-外

【解析】

【分析】根据切线的定义求解即可.

【详解】

如图，

仪

当点夕在。。上时，经过点P能作一条直线与。。相切.若过点P能作。。的两条切线,

则点P必在。。外.

故答案为：一；外.

【点拨】本题考杳了切线的定义，经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线，

熟练掌握切线的定义是解答本题的关键.

26.切线.

【分析】根据圆的切线判定定理内容即可判断.

【详解】

经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

故答案为：切线.

【点拨】本题直接考查圆的切线判定定理内容，理解定理满足的条件是解答此题的关键.

27.①③

【详解】

试题分析：

①连接CD,如图1所示.

•・•点E与点D关于AC对称，

.\CE=CD.

/.ZE-ZCDE.

VDF1DE,

，ZEDF=90°.

AZE+ZF=90°,ZCDE+ZCDF=90°.

.\ZF=ZCDF.

ACD=CF,

/.CE=CD=CF.故①正确.

②当CDJ_AB时，如图所示.

•••AB是半圆的直径，

r.ZACB=90°.

VAB=4,ZCBA=30\

AZCAB=60°,AC=2,BC=26.

VCD±AB,ZCBA=30",

.\CD=-BC=J3.

2

根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：

点D在线段AB上运动时，CD的最小值为

VCE=CD=CF,

/.EF=2CD.

・♦•线段EF的最小值为26.故②错误.

③当AD=1时，连接0C,如图所示.

VOA=OC,ZCAB=60°,

/.△OAC是等边三角形.

.\CA=CO,ZACO=60°.

VAO=2,AD=I,

/.DO=I.

AAD=DO,

AZACD=ZOCD=30°,

•・•点E与点D关于AC对称，

AZECA=ZDCA,

・•・ZECA=30°,

；・ZECO=90°,

/.OC1EF,

VEF经过半径OC的外端，且OC_LEF,

・・・EF与半圆相切.故③正确.

E

ADOB

④♦・•点D与点E关于AC对称，

点D与点F关于BC对称，

，当点D从点A运动到点O时，

点E的运动路径AM与AO关于AC对•称，

点F的运动路径NG与AO关于BC对称.

・・・EF扫过的图形就是图中阴影部分.

AS的影=2SAAOC=2X-!-ACXBC=25/3.故④错误.

故答案为①③.

考点：等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切

线的判定、轴对称的性质

28.2或一8

【分析】分NAOM=90。，NQ4M=90。和NQM4=90。确定点M的运动范围，结合

抛物线的对称轴。4，6,。尸共有三个不同的交点，确定对称轴的位置即可得出结论.

【详解】

解：由题意得：O(0,0),4(3,4)

为直角三角形，则行：

①当NAQM=90。时，OALOM

，点M在与垂直的直线4上运动（不含点0）；如图,

・••点M在与04垂直的直线4上运动（不含点A）;

③当NOM4=90。时：OMJL4W,

・••点M在与。4为直径的圆上运动，圆心为点P,

・••点尸为0A的中点.

3

・•・丐2）

・•・半径AO=1=*

222

*/抛物线y=cue2bx+2（aw0）的对称轴与x轴垂直

由题意得，抛物线的对称轴与4，，2，OP共有三个不同的交点，

・•・抛物线的对称轴为OP的两条切线，

而点尸到切线，3，。的距离〃=，.=］，

又p（*2）

3535

・•・直线4的解析式为：x=---=-l；直线。的解析式为：x=-+-=4；

：.-=2或-8

a

故答案为：2或-8

【点拨】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有圆的切线的判定，直角三

角形的判定，综合性较强，有一定难度.运用数形结合、分类讨论是解题的关键.

29.NBAE=/C或/CAF=NB

【解析】

所填写的条件只需要使EF垂直于过点A的半径即可.

故答案为NBAE=ZC或NCAF=ZB.

30.60

【解析】

【分析】由己知可求得NOAB的度数，因为OA_LAC,AC才能成为（DO的切线，从

而可求得NCAB的度数.

【详解】

二•△AOB中，OA=OB,ZAOB=120°,

AZOAB=30°,

・••当NCAB的度数等于60。时，OA_LAC,AC才能成为。。的切线.

故答案为：60

【点拨】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定定理是解答此题的关键.

31.1

【解析】试题解析：如图，设切点为M,连接OM,

V0M=2,N5=30。，.【点拨】本题主要考查切线的性质、含30

度角的直角三角形，关键在于根据题意画出图形，然后作出辅助线OM.

32.BD=CD或AB=AC

【详解】

结合OE_LAC,只需OD"AC,根据。是A8的中点，只需3。=。。即可；或要

使=则连接A。，只需AB=4C,根据等腰三角形的三线合•即可.

J),

B\

33.经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【解析】

作PD_LBC,如图所示：

•；BF平分NABC,ZA=90°

.'.PA=PD,

・・.PD是。P的半径，

・・・D在。P上，

・・・BC是OP的切线.

故答案是：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【点拨】复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何

图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了切线

的判定.

34.6

【解析】

【分析】根据切线的列定定理当N3C4=90。时,AC是。。的切线，然后根据勾股定理计算

AC.

【详解】

•••。0的半径为4cm,

BC=8cm,

•・・8C是直径，

・•・N3cA=90。时/C是。0的切线，

・•・AC=y/AB^BC2=V102-82=6cm•

故答案为6.

【点拨】本题考查了切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的性质为圆的切线.也考查

了勾股定理.

35.6

【解析】

【分析】若AC是是©。的切线，则NC=90。，然后根据勾股定理即可求出4c的长.

【详解】

:。。的半径为4cm,

.\BC=10cm,

若AC是是。。的切线，则NC=90。，

•••AC=>]AB2-BC2=V102-82=6-

故答案为：6.

【点拨】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有•个公共点，这时直线与圆的

位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂

直于这条半径的直线是圆的切线.

12

36.—.

5

【分析】先利用勾股定理求出AB=10,进而求出CD=BD=5,再求出CF=4,进而求出

DF=3,再判断出FG_LBD,利用面积即可得出结论.

【详解】

如图，

，点D是AB中点,

/.CD=BD=—AB=5，

2

连接DF,

:CD是€)0的直径，

/.ZCFD=90°,

ABF=CF=—BCM,

2

・・・DF;尸=3,

连接OF,

VOC=OD,CF=BF,

・・・OF〃AB,

AZOFC=ZB,

・・・FG是。O的切线，

・•・ZOFG=90°,

・•・ZOFC+ZBFG=90\

.\ZBFG+ZB=90°,

AFG1AB,

ASABDF=—DFxBF=—BDxFG,

22

。尸xB尸3x412

AFG=

BD

故答案为一.

5

【点拨】此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线

定理，三角形的面积公式，判断出FG_LAB是解本题的关键.

37.144

【分析】根据止多边形内角和公式可求出NE、NO,根据切线的性质可求出/必笈、

NOCD，从而可求出NAOC,然后根据圆弧长公式即可解决问题.

【详解】

解：•・•五边形A8CQE是正五边形，

52)X18

AZE=ZAJ-°\108-.

5

：AB、DE与00相切,

/.NOBA=NODE=90'，

?./BOD=(5-2)x180°-9(/-108°-108-90,=144°,

故答案为144.

【点拨】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练学

握切线的性质是解决本题的关键.

38.57

【分析】连接OE,OF,由切线的性质可得OE_LAB,OF1AC,由四边形内角和定理

可求NEOF=114。，即可求NEPF的度数.

【详解】

解：连接OE,OF,

•・・。。分别切NBAC的两边AB,AC于点E,F

AOE±AB,OF±AC

又・・・NBAC=66。

r.ZEOF=114°

VZEOF=2ZEPF

AZEPF=57°

故答案为57.

【点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练运用切线的性

质是本题的关键.

39.25

【分析】先由切线的性质可得NOAC=9()。，再根据三角形的内角和定理可求出

ZAOD=50°,最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出NB的度数.

【洋角军】

解：「AC是OO的切线,

，ZOAC=90°

•・•ZC=40%

・•・ZAOD=50°,

AZB=—ZAOD=25°

2

故答案为：25.

【点拨】本题考查了切线的性质和圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键.

40.3或

【分析】分两种情况：0P与直线CD相切、OP与直线AD相切，分别画出图形进行求解

即可得.

解：如图1中，当OP与直线CD相切时，设PC=PM=m，

在Rt二PBM中，•••PM2=BM2+PB2,

/.x2=42+(8-x)2,

..PC=5,BP=BC-PC=8-5=3；

如图2中当0P与直线AD相切时，设切点为K,连接PK,则PK_LAD,四边

形PKDC是矩形

,-.PM=PK=CD=2BM,

「.BM=4,PM=8,

在RJPBM中，PB=V82-42=4X/3»

综上所述，BP的长为3或4百.

【点拨】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论

的思想思考问题，会利用参数构建方程解决问题是关键.

41.9.

【分析】根据切线的性质得出DC=CF,进而解答即可.

【详解】

解：切△ABC的于Z),切A8、AC的延长线于E、F,

:,BE=BD,DC=CF,AF=AE,

••.△ABC的周长为18,

即AC+BC+AB=AB+DB+DC+AC=AB+BE+AC+CF=18,

：.AE+AF=\S,

：.AE=9,

故答案为：9.

【点拨】本题考杳的知识点是切线的性质，根据切线的性质得出BE=8D,DC=CF,

”=AE是解此题的关键.

42.3

【分析】根据勾股定理求得AC=5,证得AB是切线，根据切线长定理得出AE=AB

=3,即可求得EC=2,然后根据切割线定理即可求得CD,进而求得BD.

【详解】

VRtAABC+，NABC=RtN,AB=3,BC=4,

.,.AC=7AB2+BC2=5»

二•BD为直径，BD±AB,

JAB是圆的切线，

AE=AB=3,

ACE=2,

VCE2=CD*BC,即22=CD・4,

ACD=1,

r.BD=3,

故答案为3.

【点拨】本题考查了切线的性质，勾