北师大版九年级数学上册 321 圆内接正多边形（专项练习）

专题3.21圆内接正多边形（专项练习）

一、单选题

知识点一、已知正多边形求角度

I.如图，四边形ABCD内接于€）0,F是CD上一点，且。尸=8。，连接CF并延长交

AD的延长线于点E,连接AC.若NABC=105。，ZBAC=25°,则NE的度数为（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

2.如图，正五边形七内接于。0,P为DE上的一点（点?不与点。重合），则NCPD

的度数为（）

C.60°D.72°

3.如图，四边形ABCD内接于。0,若四边形ABCO是平行四边形，则NADC的大小为（）

A.45°B.50°C.60°D.75°

4.如图，△48C内接于00,ZA=50°.E是边3C的中点，连接OE并延长，交。0于点

。，连接则/。的大小为（）

A.55。B.65。C.60°D.75°

知识点二、求四边形外接圆的直径

5.如图所示，内切于四边形ABCD,AB=IO,BC=7,CD=8,则AD的长度为（）

D

6.如图，四边形ABCD内接于。0,E是BC延长线上一点，下列等式中不一定成立的是

A.Z1=Z2B.Z3=Z5C.ZBAD=ZDCED.Z4=Z6

7.如图，已知OO的半径为2，AABC内接于00,ZACB=135°,则A8=()

A.4B.372C.2A/2D.2V3

8.如图，用一块直径为4的圆桌布平铺在对角线长为4的正方形桌面上，若四周下垂的最

大长度相等，则桌布下垂的最大长度X为（）

A.V2-1B.2-V2C.25/2-lD.V2+1

知识点三、求正多边形的中心角

9.如图为正七边形ABCDEFG,以这个正七边形的顶点A和其它六个顶点中的任两个顶点

画三角形，所画的三角形中，包含正七边形的中心的三角形个数为（）

A.3B.6C.9D.12

10.如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）

A.6及mmB.12mmC.6GmmD.4Gmm

11.若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（）

A.45°B,60°C.72°D.90°

12.如图，以正六边形ABCQEb的对角线C/7为边，再作一个正六边形CR7//MN,若

AB=6则EG的长为（）

A.2B.2&C.3D.273

知识点四、由正多边形中心角求边数

13.如果一个正多边形的中心角为72，那么这个正多边形的边数是（）.

A.4B.5C.6D.7

14.正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为6：2,则这个多边形的内角和为（）

A.720°B.360°C.240°D.180°

15.若正多边形的一个中心角是30。，则该正多边形的边数是（）

A.6B.12C.16D.18

16.正多边形的中心角是30、那么这个正多边形的边数是（）

A.12B.10C.8D.6

知识点五、正多边形和圆

17.已知圆内接正三角形的面积为6,则该I员I的内接正六边形的边心距是（）

A.2B.]C.6D.如

2

18.如图，正六边形4?。。£厂内接于。。，连接4Q.则NC/3Q的度数是（）

19.如图，已知正五边形A3CDE内接于。。，连结8。，则NA4O的度数是（）

A.60°B.70°C.72°D.144°

知识点六、尺规作图-正多边形

20.设边长为。的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为/?、r、R,则下

列结论不氐唧的是（）

A.h=R+rB.R=2rC.r--aD./?=—6/

43

21.下列作图属于尺规作图的是（）

A.利用三角板画45°的角B.用直尺画一条线段48=

C.用宜尺和三角板画平行线D.用圆规在已知直线上截取一条线段等于已

知线段

22.如图，AD为。。直径，作CO的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：

甲；1.作04的中垂线，交圆。于民尸两点；2.作。。的中垂线，交圆。于C石两点；3.顺

次连接A氏CRE/六个点，六边形即为所求;

乙：1.以A为圆心，长为半径作弧，交圆。于8,b两点；2.以。为圆心，04长为

半径作弧，交圆。于CE两点；3.顺次连接A8,C,/）,E,尸六个点，六边形即为所求；

对于甲、乙两人的作法，可判断（）

A

D

A.甲对，乙不对B.甲不对，乙对

C.两人都不对D.两人都对

23.如图，已知。0,求作：。0内接正六边形4BCOM,以下是甲、乙两同学的作业：

甲：①先作直径8E；②作08的垂直平分线交。0于点4、C；③作0E的垂直平分线交

。。于点/）、F；④依次连接Af3fC-Ef/-A,六边形ABODE/即为

所求（如图①）.

乙：①CO上任取点A，以点A为圆心，0A为半径画弧，交。。于点B；②以点8为圆

心，04为半径画弧交0。于点C；③同上述作图方法逆时针作出点。、E、F；④依次

连接AfBfCfOf石一歹-A,多边形即为正六边形（如图②）.

对于两人的作业，卜.列说法正确的是（

A.两人都不对B.甲对，乙不对

C.两人都对D.甲不而，乙对

24.如图，以。为圆心,长为半径画弧别交OM、ON”、8两点，再分别以A、B

为圆心，以OA长为半径画弧，两弧交干点C分别连接4。、RC,则四i力形。4c8一定

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

一、填空题

知识点一、已知正多边形求角度

25.如图，PA、PB是。。的切线，A、B为切点，点C、D在。0上.若NP=102。，则NA

26.如图，四边形ABCO内接于（DO,ZC=130°,则NB。。的度数是

27.如图：四边形ABCD内接于。0,E为BC延长线上一点，若NA=n。，则/DCE二

28.如图，四边形ABCO内接于。O,AB是。。的直径，过点。作。。的切线交的延

长线十点P，若NP=40。，则NADC=

知识点二、求四边形外接圆的直径

29.如图，。。是等边△ABC的外接圆，已知。是。0上一动点，连接A。、CD,若员|的

半径r=2,则以A、B、C、。为顶点的四边形的最大面积为.

30.如图，在aABC中，ZC=45°,NB=60。，BC为6+T,点P为边AB上一动点、,过点

P作PO_L3C于点。，于点£,则。七的最小值为.

31.如图，在圆内接四边形A8CO中，AB=AD,AC=1,NACO=60，则四边形的

面积为________

32.如图，己知1.0为四边形ABCO的外接圆，。为圆心，若/BCD=120°,AB=AD=2cm,

则0。的半径长为cm.

知识点三、求正多边形的中心角

33.正八边形的中心角为____度.

34.如图，正五边形ABCOE内接于。O,点、F在DE上，则/。尸。=____度.

35.如图，A、B、。、0为一个外角为40的正多边形的顶点.若。为正多边形的中心,

则NO4O=_.

36.如图，在。0的内接四边形A8CD中，AB=AD,ZC=120°,点E在弧AO上.若

AE恰好为。。的内接正十边形的一边，弧OE的度数为.

D

B

知识点四、由正多边形中心角求边数

37.如图，AC是。。的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是。0的内接正十

边形的一边，若AB是。。的内接正n边形的一边，则n=.

38.如果正n边形的中心角是40。，那么n=.

39.如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40。，那么n=

40.如图,A、B、C、D为一个正多边形的相邻四个顶点,O为正多边形的中心，若NADB=I2。,

则这个正多边形的边数为

知识点五、正多边形和圆

41.如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点E则NAFE的度数为

A

B

D

42.一个正多边形的一个外角为30。，则它的内角和为

43.如图，正六边形ABCDEF内接于OO,00的半径为6,则这个正六边形的边心距OM

的长为

44.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是。O的内接多边形，则NBOM=.

知识点六、尺规作图-正多边形

45.如图，正八边形ABCDEFGH内接于OO,点P是GH上的任意一点，则NCPE的度数

为.

46.如图，以正六边形A8CQE尸的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、尸在工

轴上，顶点A的坐标为（1,6），则顶点。的坐标为

47.如图为4x4的网格(每个小正方形的边长均为1),请画两个格点正方形(顶点在小正

方形顶点处)要求：其中一个边长是有理数，另一个边长是大于3的无理数，并写出其边长,

・•・边长为.，边长为

——•-------r•••••••

——~1

1:

1

■■■■■■——[■■■■■■

•

1

|

•

i|

一―一,—-------------------

48.如图，4、B、C是0。上顺次三点，若AC、45、8C分别是。。内接正三角形、

正方形、正〃边形的一边，则〃二.

二、解答题

知识点一、已知正多边形求角度

49.如图，。。是△回(7的外接圆，为直径，D是。。上一点，且弧CB=MCD,CELDA

文DA的延长线丁点E.

(1)求证：ZCAB=ZCAE；

(2)求证：CE是。。的切线；

(3)若AE=1,5。=4,求。O的半径长.

E

O\B

D

知识点二、求四边形外接圆的直径

50.已知关于x的一元二次方程x2-5x+2m=0有实数根.

(1)求m的取值范围；

(2)当m=2时,方程的两个根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的百杼.

知识点三、求正多边形的中心角

51.在下列正多边形中，。是中心，定义：AO3C为相应正多边形的基本三角形.如图1,

△O8C是正三角形ABC的基本三角形；如图2,AOAC是正方形A8CD的基本三角形；

如图3,AO3C为正〃边形43coM…的基本三角形,将基本AOBC绕点。逆时针旋转

a角度得△05'。'.

(1)若线段3c与线段B'C'相交点0',则:

图1中a的取值范围是

图3中a的取值范围是

(2)在图1中，求证

(3)在图2中，正方形边长为4,a=135°,边8c上的一点P旋转后的对应点为严，若

87+0P'有最小值时，求出该最小值及此时5P的长度：

(4)如图3,当EC_LOC时，直接写出a的值.

知识点四、由正多边形中心角求边数

52.如图，已知正三角形ABC内接于0。，AD是。0的内接正十二边形的一条边长，连

接CD,若CD=6在cm，求的半径.

知识点五、正多边形和圆

53.正方形ABCD的四个顶点都在。0上，E是00上的一点.

(1)如图①，若点E在A8上，F是DE上的一点，DF=BE.求证：△ADF且ZXABE；

(2)在(1)的条件下，小E月还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE二&AE.请

说明理由；

(3)如图②，若点E在A8上.连接DE,CE,已知BC=5,BE=1,求DE及CE的长.

图①图②

参考答案

I.B

【分析】先根据圆内接四边形的性质求出NADC的度数，再由圆周角定理得出NDCE的度

数，根据三角形外角的性质即可得出结论.

【详解】

,/四边形ABCD内接于CO,ZABC=105",

.*.ZADC=180°-ZABC=I80°-1O5°=75°.

,:DF=BC，NBAC=25。,

.,.ZDCE=ZBAC=25°,

・•・ZE=ZADC-ZDCE=75°-25°=5O°.

【点拨】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆

中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或

等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

2.B

【分析】根据圆周角的性质即可求解.

【详解】

连接CO、DO,正五边形内心与相邻两点的夹角为72。，即/COD=72。，

同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，

i%ZCPD=72°xl=36°,

2

故选B.

【点拨】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.

3.C

【分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案.

【详解】

根据平行四边形的性质可如NB=NAOC,

根据圆内接四边形的对角互补可知NB+ND=180。，

根据圆周角定理可知ZAOC,

因此NB+ND=NAOC+，ZAOC=I80°,

2

解得/AOC=120。，

因此NADC=60。.

故选C

【点拨】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用.

4.B

【分析】连接C。，根据圆内接四边形的性质得到/85=180。-/人=130。，根据垂径定理

得至|JOO_L/3C,求得吁8,根据等腰三角形的性质即可得到结论.

【详解】

解：连接CQ,

•・•乙4=50。，

/.ZCDB=180°-ZA=130°,

•••E是边8c的中点，

：.OD±BC,

:,BD=CD,

/./ODB=ZODC=—ZBDC=65°,

2

故选：B.

【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识.正确理解

题意是解题的关键.

5.D

【详解】

•・・。0内切于四边形ABC。，

：.AD+BC=AB+CD,

BC=7,CD=8,

工40+7=10+8,

解得：AD=11.

故选D.

6.D

【解析】

【分析】根据在同圆中，同弧所对的圆周角相等可得A、B选项中的结论正确，D选项错误，

根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角可得C选项中的结论正确.

【详解】

•••四边形ABCD内接于GO.

AZ1=Z2,Z3=Z5,ZBAD+ZBCD=180°,

VZBCD+ZDCE=180°,

AZBAD=ZDCE,

则A、B、C选项结论都成立，

•・•四边形ABCD内接于GO,

AZ4-ZACD,但是不一定等于N6,

故D选项结论错误，

故选D.

【点拨】此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆周角定理，以及圆内接四边形检任意

一个外角等于它的内对角.

7.C

【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得NAOB

的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长.

【详解】

解：设点D为优弧AB上一点，连接AD、BD、OA、0B,如图所示，

•・・。0的半径为2,△ABC内接于。O,ZACB=135°,

/.ZADB=45°,

・•・ZAOB=90°,

VOA=OB=2,

・・・AB=2>/L

故答案为：C.

【点拨】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件，利用数形结合的总想解答.

8.B

【详解】

如解图，正方形48co是圆内接正方形，8£>=4,点。是圆心，也是正方形的对角线的

交点，则03=2,又二3。。是等腰直角三角形，作。F_L8C,垂足为“，由垂径定理知

点E是BC的中点，,。/=O8sin450=&，・・・工=所二。七一。尸=2—0・

9.B

【详解】

分析：由题意可知分别以顶点A和其它六个顶点中的任两个顶点画三角形，要包含正七边

形的中心，只能与顶点相对应的两个顶点构成.

详解：如图：

B、

c.

故答案：B.

点睛：本题考查了多边形的对角线.

10.C

【详解】

设正多边形的中心是O,其一边是人以

：・OA=OB=AB=OC=BC,

，四边形A8co是菱形，

•••48=6"〃兀408=60。，

AM

・・cosZBAC=----，

AB

••・4M=6x乎=36("〃〃)，

V0A=0C,且NA0B=N50C,

：,AM=MC=—AC

2t

.\AC=2AM=6>/3(mm).

故选C.

11.B

【分析】利用正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形，然后根据正多边形的中

心角定义求解.

【详解】

解：因为正多边形的边长与半径相等，所以正多边形为正六边形，因此这个正多边形的中心

角为60。.

故选B.

【点拨】本题主要考查的是正多边形的中心角的概念，正确的理解正多边形的边长与半径相

等得到正多边形为正六边形是解决问题的关键.

12.C

【分析】连接CE,根据六边形是正六边形，得到。。二力七，

ZD=/FED=120。，求得ZFEC=90°.再利用六边形CFGHMN是正六边形得到

ZCFE=60°,求出NGFE=NCFE=60。，证得AGEl&ACEF,得到EG=C石，再

利用勾股定理求得答案即可.

【详解】

如解图，连接CE.

,：六边形ABCDEF是正六边形，

ADC=DE,/D=/FED=120。,CF=2AB=2g，CF平分NAFE,

:./DEC=NDCE=30。.

・•・ZFEC=90°.

•・•六边形CFGHMN是正六边形，

•••ZCFG=120°.

•・•ZCFE=60°,

・•・ZGFE=ZCFE=6OQ.

乂•：GF=CF,FE=FE,

・•・AGEF/ACEF.

•••EG=CE.

,:CF=2AB=26

・•・EG=CE=y]CF2-EF2=7(2>/3)2-(>/3)2=3.

故选：C.

【点拨】此题考查正六边形的性质，三角形全等的判定及性质，此题的连线是解题的关键，

由此证得AGEF咨ACEF,将求线段EG转化为求全等的对应线段CE.

错因分析较难题.失分的原因是：没有掌握正六边形的基本性质.

13.B

【解析】

试题分析：根据正多边形的中心角与边数的关系，其边数为360+72=5.

考点：正多i力形的中心角定义及求法.

14.A

【分析】设AB是正多边形的一边，OC_LAB,在直角^AOC中，利用三角函数求得NAOC

的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以口心角的度数，求出边数，根据内角

和公式即可求出多边形的内角和.

【详解】

如图：

•・•正多边形的内切圆与外接圆的周氏之比为百：2，

・•・半径之比为6:2，

设AB是正多边形的一边，OC_LAB,OC=V3k,OA=OB=2k，

在直角aAOC中，cos4Aoe=5-=2，

AO2

.・•ZAOC=30°,

/.ZAOB=60°,

360°

则正多边形边数是：--二6,

60°

，多边形的内角和为:（6-2）xl80°=720°,

故选：A.

【点拨】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化成

半径，边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算.

15.B

【解析】

（分析】根据正n边形的中心角的度数为360%n进行计算即可得到答案.

【详解】

360°+30°=12.

故这个正多动形的i力数为12.

故选:B.

【点拨】本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题

的关键.

16.A

【解析】

分析：根据正多边形的中心角和为360。与正多边形的中心角相等，列式计算即可.

详解：•・,正多边形的中心角和为360。，正多边形的中心角是30。，

・•・这个正多边形的边数=符-二12.

故选：A.

点睛：本题考查了正多边形和圆的知识点，掌握正多边形的中心角和为36（）。与正多边形的

中心角相等，是解答本题的关键.

17.B

【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可.

【详解】

因为圆内接正三角形的面积为G，

所以圆的半径为空，

3

所以该圆的内接正六边形的边心距—xsin60°=巫XY3=1,

332

故选B.

【点拨】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距.

18.A

【分析】根据正六边形的内角和求得NBCD,然后根据等腰三角形的性质即可得到结论.

【详解】

•••在正六边形中，^BCD=(6-2)X18°=120°,BC=CD,

6

/.ZCBD=—(180°-120°)=30°,

2

故选人.

【点拨】本题考查的是止多边形和I员I、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的

内角和是解题的关键.

19.C

【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出/ABC、CD=CB,根据等腰三角形

的性质求出NCBD,计算即可.

【详解】

•••五边形为正五边形

・•・ZABC=ZC=1(5-2)xl80°=108°

•：CD=CB

・•・ZCBD=；(18()。-108°)=36°

・•・AABD=ZABC-/CBD=72°

故选c.

【点拨】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多

边形内角和等于(n-2)xl80。是解题的关键.

20.C

【分析】将图形标记各点，即可从图中看出长度关系证明A正确，再由构造的直角三角形和30。

特殊角证明B正确，利用勾股定理求出，•和R,即可判断C、D.

【详解】

A

如图所示，标上各点，AO为R,0B为r，AB为人，

从图象可以得出AB=AO+OB,即〃=R+r,A正确；

•••三角形为等边三角形，

二ZCAO=30°,

根据垂径定理可知NACO=90。，

AA0=20C,即R=2r,B正确：

在RtaACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2,即+厂2,

由B中关系可得：+/，解得r二—a，则R二旦，

'，（2J63

所以C错误，D正确；

故选：C.

【点拨】本题考查圆与正三角形的性质结合，关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形.

21.D

【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图.只使用圆规和直尺，并且只准许使用

有限次，来解决不同的平面几何作图题.

【详解】

A、利用三角板画45。的用不符合尺规作图的定义，错误；

B、用宜尺画线段不符合尺规作图的定义，错误；

C、用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义，错误；

D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义，正确.

故选：D.

【点拨】本题考查了尺规作图的定义，理解定义是解决问题的关键.

22.D

【分析】

甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，

乙的做法根据等边三角的内角是60。，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等

【详解】

•••BF是中垂线

，四边形OCDE是菱形

•••△OCD,△OED都是等边三角形，

同理可得^OAB,△OAF也是等边三角形

，ZBOC=ZEOF=60°

・•・AOBC,△OEF也是等边三角形

・••内接六边形各边相等，各角相等都是120。

・•・圆内接六边形ABCDEF是正六边形

・•・△OAB,△OAF都是等边三角形，

同理可得仆OCD,△OED也是等边三角形

・•・ZBOC=ZEOF=60°

:.AOBC,△OEF也是等边三角形

，内接六边形各边相等，各角相等都是120。

・•・圆内接六边形ABCDEF是正六边形

故选D

【点拨】

本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等

23.C

【详解】

由甲同学的作业可知，OF=OE=EF,同理可知七户=A歹=A4=3C=C£>=D石，，

六边形ABC力石厂是正六边形，即甲同学的作业正确.由乙同学的作业可知=依次

画弧易证BC=CD=ED=EF=AF=AB.：,六边形ABCDEF为正六边形.

24.B

【详解】

由题意可得：0A=OB=AC=6C，则四边形。4c4是菱形.

25.219

【分析】连接AB,根据切线的性质得到PA=PB,根据等腰三角形的性质得到NPAB=NPBA

=-(180°-102°)=39°,由圆内接四边形的性质得到NDAB+NC=180。，于是得到结论.

2

【详解】

解：连接AB,

VPA.PB是。。的切线，

，PA=PB,

VZP=102°,

AZPAB=ZPBA=-(180°-102°)=39°,

2

VZDAB+ZC=180°,

.,.ZPAD+ZC=ZPAB+ZDAB+ZC=180o+39o=219°,

故答案为219。.

C

B

【点拨】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅

助线是解题的关键.

26.100°.

【分析】先根据圆内接四边形的性质求出NA的度数，再根据圆周角定理进行求解即可.

【详解】

•・•四边形ABCD是的内接四边形，

/.ZA+ZC=180°,

ZC=I3O°,

ZA=50°,

.e.ZBOD=2ZA=100°,

故答案为100。.

【点拨】本题考杳了圆内接四动形的性质,圆周角定理等,熟练掌握圆内接四边形的对角百

补是解题的关键.

27.n

【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解.

【详解】

•・•四边形ABCD是。O的内接四边形，

/.ZA+ZDCB=180°,

XVZDCE+ZDCB=180°

/.ZDCE=ZA=n°

故答案为n

【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质.解决本题的关键是掌握：圆内接四边形的对角互

补.

28.1150

【分析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，ZP=40°,可以求得NOCP和NOBC

的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得ND的度数，本题得以解决.

【详解】

D

/匕/N解:连接OC,如右图所示，

■"V7

由题意可得，ZOCP=90°:ZP=40°,

工ZCOB=50°,

VOC=OB,

AZOCB=ZOBC=65°,

•••四边形ABCD是圆内接四边形，

.*.ZD+ZABC=180°,

/.ZD=115°,

故答案为：115。.

【点拨】本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的美键是明确题意，找出所求问题需要

的条件.

29.4G.

【分析】连接BO并延长交AC于E,交A。于D,根捱垂径定理得到点D到AC的距离最

大，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案.

【详解】

连接BO并延长交AC于E,交4c于D,连接AD、CD,

:△ABC为等边三角形,

/.AB=BC,

•••AB=BC，

・・・OE_LAC,点D为AC的中点，

此时点D到AC的距离最大,

•••△ADC的面积最大，即以A、B、C、D为顶点的四边形的面积最大，

在RSBAD中，ZABD=30°,

/.AD=—BD=2,

2

由勾股定理得，AB=JBD?-AD?=26，

・••以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积=gx2x2jjx2=4j5，

故答案为：4百.

【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，掌握垂径定理、等边三

角形的性质是解题的关键.

30瓜+3五

~7~

【分析】当CPJ_AB时，线段DE的值最小，利用四点共圆的判定可得：C、D、P、E四点

共圆，且直径为CP,由/8=60。，8c为JJ+1,求出PC,从而得出半径OD的长度，然后

由NACB=45。，得到NEOD=90。，利用等腰直角三角形的性质，可求出DE的值.

【详解】

解：当CP_LAB时，线段DE的值最小（因为四边形C、D、P、E四点共圆，PC是直径，

BC=6+1和NB=60。是足值，所以直径CP最小时，/DCE所对的弦DE最小）；如图：

•••PD_LBC于D,PEJ_AC于E,

ZCDP=ZAEP=90°,

:.ZCDP+ZAEP=180°,

AC.D、P、E四点共圆，且直径为CP,

VZB=60°,CP_LAB,BC=6+1，

,,PC=场

V3+1

•••PC=2^12

2

.cn八G+3

••OD=O1rE-.....，

4

•・•ZACB=45°,

・•・ZEOD=90°,

•••△OED是等腰直角三角形，

，DE=4iOE=6x^^~=G3尬;

44

，DE的最小值为：『

布+3五

故答案为:

—

【点拨】本题考查了四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形,

正确的判断当AP1BC时，线段DE的值最小是解题的关键.

31.正

4

【解析】

【分析】过A作AE_LBC于E,AF_LCD于F,证△AEBg^AFD,推出AE二AF,证

RtAAEC^RtAAFC,推出四边形ABCD的面积是2sMCF，求出AACF的面积即可.

【详解】

如图，过A作AE_LBC丁E,AF_LCD丁F.

*/ZADF+ZABC=180°,ZABE+ZABC=180°,

ZADF=ZABE.

VZABE=ZADF,AB=AD,ZAEB=ZAFD,

.,.△AEB^AAFD,

・•・四边形ABCD的面积=四边形AECF的面积，AE=AF.

又•.•NE=NAHJ=9。"，AC=AC,

/.RtAAEC=R(AAFC.

ZACD=60°,ZAFC=90c,

，NCAF=30。，

1

.\CF=-,AF=62^-,

22

，四边形ABCD的面积=2SAACF=2X1CFXAF=走

24

故答案为".

4

【点拨】本题主要考查对含30。角的直角三角形，三角形的面积，圆内接三角形的性质，全

等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解

此题的关键.

32.也

3

【解析】

【分析】连接BD,作OE_LAD,连接OD,先由圆内接四边形的性质求出NBAD的度数,

再由AD=AB川一得出△ABD是等边三角形，贝IJDE='AD,ZODE=-ZADB=30°,根据锐

22

角三角函数的定义即可得出结论.

【详解】

连接BD,作OE_LAD,连接OD,

B

D

C

•・・。0为四边形ABCD的外接圆，ZBCD=120°,

/.ZBAD=60°.

VAD=AB=2,

•••△ABD是等边三角形.

ADE=-AD=1,ZODE=-ZADB=30°,

22

,■,°D=26.

—

故答案为丈.

3

【点拨】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键.

33.45°

360°

【分析】运用正n边形的中心角的计算公式——计算即可.

n

【详解】

360°

解：由正n边形的中心角的计算公式可得其中心角为一g一=45°,

故答案为45。.

【点拨】本题考查了正n边形中心角的计算.

34.36.

【分析】连接OC,OD.求出NC。。的度数，再根据圆周角定理即可解决问题.

【详解】

如图，连接。C,OD

,/五边形ABCDE是正五边形,

360°

:./COD=------=72°,

5

，ZCFD=-ZCOD=36°,

9

故答案为：36.

【点拨】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.

35.30°

【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360，正多边形的每个外角相等即可求出多边形

的边数，再根据正多边形的中心角的概念求出NAOD的度数，再由正多边形的半径OA=OD,

根据等腰三角形的性质求解即可.

【详解】

多边形的每个外角相等，且其和为360，

据此可得多边形的边数为：—=9,

40

.360°

Z.ZAOD=3x-------=120°,

9

VOA=OD,

18()。-12()。

，ZOAD=ZODA=二30。,

2

故答案为30°.

【点拨】本题考查了正多边形的外角，正多边形的中心角、半径，等边对等角等知识，熟练

掌握相关知识是解题的关健.

36.84°

【解析】

连接50，OArOE,OD,

•・•四边形A8co是圆的内接四边形,

・•・ZBAD+ZC=180°,

•・•ZC=120°,

J44。=60。，

AB=AD,

•••八4瓦)是正三角形，

・•・ZABD=60°，ZAOD=2ZABD=120°,

•・•AE恰好是。的内接正十边形的一边，

・•・NAOE=^^=36。，

10

.,.ZDOE=120°-36o=84°,

•••DE的度数为84。.

D

B

37.15.

【分析】连接OB,先求得NAOB的度数，然后利用360。除以NAOB度数，根据所得的结

果进行分析即可得.

【详解】

连接OB,•・•AC是。O的内接正六边形的一边,

・•・ZAOC=360°v6=60°,

VBC是。O的内接正十边形的一边,

/.ZBOC=360%10=36o,

:.ZAOB=60°-36°=24°,

BP360°-?n=24°,An=l5,

【点拨】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意

把圆周等分，然后顺次连接各个分点就会得到正多边形.

38.9

【分析】利用360度除以中心角的度数即可求得.

【详解】

360八

解：n=-----=9

40

故答案是：9.

【点拨】本题考查了多边形的计算，正多边形的中心角村等，理解中心角的度数和正多边形

的边数之间的关系是关键.

39.9

【分析】利用360度除以中心角的度数即可求得.

【详解】

360°

•正n边形的中心角=----=40°,

n

360°

n=------=9.

40°

故答案为9.

【点拨】本题考杳了多边形的计算，正多边形的中心角於等，理解中心角的度数和正多边形

的边数之间的关系是关键.

40.15

【分析】连接AO,BO,根据圆周角定理得到NAOB=24。，根据中心角的定义即可求解.

【详解】

如图，连接AO,BO,

AZA0B=2ZADB=24o

360°

••・这个正多边形的边数为b=15

24°

故答案为：15.

【点拨】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理.

41.72°

【分析】首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE,ZABC=ZBAE=108°,然后利用三角

形内角和定理得NBAONBCA:NABE=NAEB=(180°-108°)"=36。，最后利用三角形的

外知的性质得到NAFE=/BAC+NABE=72。.

【详解】

•・•五边形ABCDE为正五边形，

.*.AB=BC=AE,ZABC=ZBAE=108°,

/.ZBAC=ZBCA=ZABE=ZAEB=(I80°-l()8°):2=36。,

ZAFE=ZBAC+ZABE=72°,

故答案为72。.

【点拨】本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键

42.18000

【详解】

360。

试题分析：这个正多边形的边数为==12,

30°

所以这个正多边形的内角和为(12-2)XI80°=1800°.

故答案为1800。.

考点：多边形内角与外角.

43.3G

【详解】

连接OB,

360°

•・•六边形ABCDEF是。0内接正六边形，・・・NBOM=——=30°,

6x2

/.OM=OB*cosZBOM=6x2^=36,

2

故答案为3JJ.

A

44.48c

【分析】连接OA,分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算

即可.

【详解】

连接OA,

•・•五边形ABCDE是正五边形,

•「△AMN是正三角形，

360°

AZAOM=-------=120°,

3

/.ZBOM=ZAOM-ZAOB=48°,

故答案为48。.

点睛：本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的

关键.

45.45°.

【分析】连接ODQCQE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角NCOE,根据圆心角

与圆周角的关系定理计算即可.

【评解】

连接OD.OC.OE.

•・•八边形ABCDEFGH是正八边形,

360°

,ZCOD=ZDOE=-------=45°,

8

ZCOE=450+45°=90°,

，ZCPE=—ZCOE

2

=45°.

故答案为：45。.

【点拨】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角

是解题的关键.

46.（-1，-G）

【分析】根据图形，利用对称的性质计算即可求出D的坐标.

【详解】

解：根据题意，点D与点A关于原点对称，

:点A的坐标为：（1,G）,

・••点D的坐标为：（一1，-73）;

故答案为：（一1，-6）；

【点拨】此题考直了止多边形和I员I，以及坐标与图形性质，熟练掌握对称的性质是解本题的

关键.

47.2；亚

【分析】利用勾股定理分别画出边长为无理数和有理数的正方形即可.

【详解】

如图所示：

边长为2,边长为巧手=而，

故答案为：2；、后.

【点拨】此题考查作图-复杂作图，正方形的判定和性质，勾股定理，无理数，解题的关键

是理解题意灵活运用所学知识解决问题.

48.12

【分析】如图，连接UA、OC、OB,根据角的转换求H」中心角/笈OC即可解决问题.

【详解】

如图，连接OA、OC、0B.

•・•若AC、AB分别是OO内接正三角形、正方形的一边，

ZAOC=]20°,ZAOB=90。，

••・ZBOC=ZAOC-ZXOB=30。，

360°

由题意得：30°=——，

n

：,n=12,

故答案为：12.

【点拨】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，一次连

接各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这人圆叫做这个正多边形的外接圆，熟

练的掌握正多边形的有关概念是解答本题的关键.

49.（1）见解析；（2）见解析；（3）

2

【解析】

【分析】（1）连接8D,根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得NC4B=

ZCAE；

（2）连接。C,由题意可得NAC8=9（r=N4EC,即可证N8CO=NACE=NA8C,可得

ZECO=ZACB=90°t则可证CE是。。的切线；

（3）过点C作于点F,由角平分线的性质可得CE=CF,可证△CEO且△C/B,

可得。E=BF,根据勾股定理可求。。的半径长.

【详解】

证明：（1）连接B。

;弧CB二弧CD,

：.ZCDB=ZCBD,CD=BC

•・•四边形ACBD是圆内接四边形

：・NCAE=NCBD,且NCW=NCOB,

：.ZCAB=ZCAE；

(2)连接。C

TAB为直径，

•••NACB=90°=NAEC,

又•••NCA8=NC4E,

/.ZABC=ZACE,

•：OB=OC,

：・4BC0=/CB0,

：,ZBCO=ZACEt

：.ZECO=ZACE+ZACO=/BCO+NACO=NAC/3=9O°,

：.EC±OC,

•・・OC是G)O的半径，

・・・CE是(DO的切线.

(3)过点。作。凡LAB于点忆

又CELDAt

：.AE=AF,

在4。上。和4CFB中，

VZDEC=ZBFC=90°,

ZEDC=ZBFC,

CD=BC,

:.△CED9XCFB(AXS),

:・ED=FB,

设AB=x,则AD=x-2,

在△44。中，由勾股定理得，『=(x-2)2+42,

解得，x=5,

的半径的长为2.

2

【点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确

识别图形是解题的关键.

25「

50.(1)m<—；(2)717

8

【分析】(1)根据方程有实数根可得AN