数列解答题讲义-2025届高三数学二轮高频考点专题复习含答案

2025年高三数学二轮高频考点专题复习--数列解答题模拟预测分层精练模拟预测一基础巩固（难度系数0.8）数列解答题是高考数学的重要组成部分，通常具有一定难度，考查多个方面的知识与能力。以下是对其考点的概述：1.数列的通项公式（1）定义法：对于等差等比数列，高考常直接考查利用这些定义求数列通项，如给出数列前几项满足的等差或等比关系，要求写出通项公式。（2）递推公式求通项：①累加法：适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n)要点：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解②累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为eq\f(an＋1,an)＝f(n)要点：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解③构造法：对于不满足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的递推关系，常采用构造法要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解2.数列的求和（1）公式法：等差数列与等比数列求和在高考常直接考查利用这些公式对给定的等差或等比数列进行求和。等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求.（3）裂项相消法：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和．（4）分组求和法：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列；=2\*GB3②通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.3.数列的性质（1）等差数列性质：①在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列,即，…仍是等差数列，公差为．②在等差数列中，若，，，且，则；特殊地，SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中项.③等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即SKIPIF1<0…成等差数列，公差为.④若，是等差数列，则也是等差数列．（2）等比数列性质：①相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为().②若，则，其中.特别地，若，则，其中.③数列，，，,…组成公比为（）的等比数列④若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．4.数列与函数、不等式的综合（1）数列与函数：数列可以看作是定义域为正整数集或其有限子集的特殊函数，所以常利用函数的观点和方法来研究数列。同时，函数的单调性、周期性等性质也可类比到数列中，研究数列的增减性、周期性等。（2）数列与不等式：常考查证明数列相关的不等式，证明方法多样，如利用放缩法，将数列的项进行适当放大或缩小，使其转化为可求和或易比较大小的形式。1．（2025·海南·模拟预测）设数列的前项和为，已知.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.2．（2025·河北邯郸·二模）已知为数列的前n项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.3．（2024·甘肃张掖·一模）已知数列满足．(1)若，求证：为等差数列；(2)求数列的前项和．4．（2024·全国·模拟预测）设等差数列的前项和为，已知．(1)若，求的通项公式；(2)若对于任意，都有，求公差的取值范围．5．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若对于任意正整数，都有，求实数的最小值.6．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）记是公差不为0的等差数列的前项和，，且，，成等比数列.(1)求和；(2)若，求数列的前20项和.7．（2024·陕西榆林·模拟预测）在递增数列中，.(1)求的值；(2)求数列的前项和.8．（2024·吉林·模拟预测）已知数列满足：，，数列为单调递增等比数列，，且，，成等差数列.(1)求数列，的通项公式；(2)设，求数列的前项和.模拟预测二中档达标（难度系数0.5）9．（2025·江西·一模）已知数列满足.(1)若为递增数列，求的取值范围；(2)当时，证明：数列是等比数列，并求数列的前项之积.10．（2024·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为Sn，且分别满足：，.(1)求通项公式；(2)求数列的前项和.11．（2025·江苏泰州·模拟预测）设等差数列的公差，且，记为数列的前项和.(1)若成等比数列，且的等差中项为，求数列的通项公式；(2)若且，比较的大小.12．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列是公差大于0的等差数列，数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)设.（i）试写出，，的值；（ii）求数列的前20项和.13．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列中，(1)证明：数列为等比数列；(2)求的通项公式；(3)令，证明:．14．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列的公差，且成等比数列，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)设，求数列的前项和.15．（2024·广东·二模）在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为.(1)求，，，；(2)求数列的通项公式；(3)是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.16．（2024高三上·山东济南·专题练习）已知数列的前n项和为，，(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和.模拟预测三拓展提升（难度系数0.2）17．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知给定数列，从第二项起后项与前项作差，得到新数列，定义这个新数列为数列的阶差数列，记为，继续上述操作，得到新数列，称为的阶差数列，记为，一般地，对任意，称数列为数列的阶差数列．(1)写出数列的阶差数列；(2)若数列的首项阶差数列，求的通项公式；(3)若数列的首项，且，求数列的最小值．18．（2024·甘肃定西·一模）在个数码1，2，…，（，）构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，(1)计算；(2)设数列满足，，求的通项公式；(3)设排列（，）满足（），（），，求，19．（2024·甘肃·模拟预测）已知数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，以此类推．记数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“类比数”．(1)将该数列的“类比数”从小到大排列，直接写出前3个“类比数”；(2)试判断50是否为“类比数”，并说明理由；(3)①求满足的最小的“类比数”；②证明：该数列的“类比数”有无数个．20．（2025·湖南邵阳·一模）已知正项数列（）的前项和为，且.当时，将进行重新排列，构成新数列，使其满足：或（其中，）.(1)当时，写出所有满足的数列；(2)试判断数列是否为等差数列，并加以证明；(3)当时，数列满足：是公差为且（且）的等差数列，求公差.21．（2025·广西柳州·模拟预测）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中；(1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列？请说明理由.(2)正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值；(3)设为数列的一阶差分数列，令，其中，证明：.22．（24-25高三上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，.(1)求数列和的通项公式；(2)对任意的正整数，设，求；(3)若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求.23．（2025·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以（为正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比．(1)已知双曲线的方程为，伸缩比，求关于原点伸缩变换后所得双曲线的方程；(2)已知椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆分别交于两点A、B，且，求椭圆的方程；(3)已知抛物线作“伸缩变换”，得到﹐对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，其中，若，求数列的通项公式．24．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且.(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前项和：(3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围.25．（2024·河南·模拟预测）若项数为m（，）的数列满足：①单调递增且；②对任意的正整数，都存在正整数，使得或，则称数列具有性质P.(1)若，，分别判断数列，是否具有性质P，并说明理由；(2)若数列具有性质P，证明：且（且）；(3)若数列具有性质P且，，求数列的通项公式.26．（2024·江西·模拟预测）对于数列，，其中，对任意正整数，都有，则称数列为数列的“-接近数列”.已知为数列的“-接近数列”，且，.(1)当时，若，求，的值；(2)当时，若，是否存在正整数，使得？如果存在，请求出的最小值；如果不存在，请说明理由；(3)当时，若为无穷等差数列，公差为，证明：“数列为等差数列”的充要条件是“”.27．（2024·吉林·三模）已知项数为m（，）的数列为递增数列，且满足，若，且，则称为的“伴随数列”.(1)数列4，10，16，19是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由；(2)若为的“伴随数列”，证明：；(3)已知数列存在“伴随数列”，且，，求m的最大值.参考答案1．(1)(2)【分析】（1）根据探索数列的特点，再求其通项公式.（2）求数列的通项公式，再利用分组求和的方法求其前项和.【详解】（1）当时，，得.当时，，所以.所以是以4为首项，4为公比的等比数列，故.（2）由已知得，所以.2．(1)(2)【分析】（1）令求得，当时，由退位相减得到，再由等比数列的通项公式求解即可；（2）求得,利用错位相减法即可求解.【详解】（1）由题知，，当时，，解得，当时，，则有，即，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，所以.（2）由（1）知，，所以，，所以，所以.3．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取倒数，即可根据等差数列的定义求证，（2）利用裂项相消法求和即可得解.【详解】（1）证明：因为，所以，即因为，所以．又因为，所以是以2为首项，2为公差的等差数列（2）由（1）得，所以，所以．所以4．(1)(2)【分析】（1）根据等差数列性质计算可得，可求通项公式；（2）依题意可得，，再由得出不等式可求得公差的取值范围．【详解】（1）易知，所以．因为，所以公差．得．（2）因为对任意，都有，所以，，得，．由（1）知，所以，，解得；即公差的取值范围为.5．(1)(2)【分析】(1)求出给定的等差数列通项公式，再利用前项和求通项公式的方法求解作答即可；(2)运用裂项相消法求和，化简整理，判断数列的最值，再由恒成立思想，即可得到所求实数的最小值.【详解】（1）数列是以1为公差的等差数列，且，，，当时，；经检验，当时，满足上式.（2）由，则，而，所以，即的最小值为.6．(1)，；(2).【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项的性质可求出，再根据等差数列的通项公式和前项和公式即可求解；（2）结合题意，由（1）的结论可得，利用裂项相消法即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，由成等比数列，得，则，即，而，解得，所以，.（2）由（1）知，又，则，因此，所以.7．(1)；(2).【分析】（1）根据递推式依次求出对应项，结合单调性确定最终值；（2）由题设得，应用等比数列前n项和求.【详解】（1）因为，所以，解得，同理得或，或5，又是递增数列，所以；（2）因为，所以，所以或，又是递增数列，所以，故，所以.8．(1)，；(2)【分析】（1）根据得到为公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式求出，再设的公比为，列出方程，求出，得到通项公式；（2）化简得到，故为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案.【详解】（1）因为，故为公差为2的等差数列，所以，又，，成等差数列，故，设的公比为，其中，则，解得或，当时，，此时，为递增数列，满足要求，当时，，此时，为递减数列，舍去，综上，，；（2），则，故为公差为3的等差数列，故.9．(1)；(2)证明见解析，.【分析】（1）由题设，恒成立，利用二次函数性质求右侧最大值，即可得参数范围；（2）根据已知可得，结合等比数列定义证明结论，进而可得，应用等比数列的前n项和公式求.【详解】（1）由题设，即，恒成立，而在上单调递减，则，所以；（2）由题设，则，又，所以是首项为，公比为2的等比数列，故，所以，则，所以.10．(1)，；(2)【分析】（1）利用的关系先求得的递推公式，根据构造法求出，再由的关系求，然后可得；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）令得，当时，由得：，两式相减得：，整理得，即，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，得，当时，，时，上式也成立，所以，所以，即.（2）记，其前项和为，则，，两式相减得所以11．(1)(2)【分析】（1）由等比中项和等差中项的性质计算即可；（2）由等差数列的求和公式结合基本不等式计算即可；【详解】（1）由已知得，即，化简得，，，又，即，所以，故；（2）易知等差数列的首项，不妨设，，，又，所以，，，，，.12．(1)(2)（i）；（ii）408【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可根据通项公式求解，（2）根据题意可得则，，即可利用分组求和，结合等差和等比数列的求和公式求解.【详解】（1）设的公差为，令，得，故即，令，得，故，即，由于，则解得，故，（2）（i）当，故，时，，所以，（ii）由题意可知：，当时，，则，当，，则，，当，，则，，所以,因此13．(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明；（2）由（1）求得数列的通项公式，再求即得；（3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性即可得证.【详解】（1）由得，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）得,解得：.（3）令，，因为在上单调递增，则所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且，故得.14．(1)(2)(3)【分析】（1）利用等比数列和等差数列的性质可求得公差，即可得到数列的通项公式.（2）根据（1）可得，利用裂项相消法可求.（3）利用错位相减法可求.【详解】（1）∵成等比数列，∴，∵数列为等差数列，，∴，解得或（舍），∴，∴.（2）由（1）得，∴.（3）由题意得，，∴，，得，∴，∴.15．(1)3；5；9；13(2)(3)存在，【分析】（1）根据，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4求解即可；（2）由题意，，再分与两种情况求解即可；（3）根据等比中项的性质，结合通项公式求解即可.【详解】（1）由题意，，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4.则，，，.（2）由题意，.当，时，，且满足上式，所以当为奇数时，.当时，.所以（3）存在时，使得，，，成等比数列证明如下：由（2）可得，，，假设，，成等比数列，则，化简得，所以，即，此时，所以当时，，，，成等比数列.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据条件，得到当，时，，且有，由等比数列的定义即可证明结果；（2）由（1）及条件可得，，再利用等比等差数列前项和公式分组求和，即可求解．【详解】（1）证明：因为，所以当，时，，即又时，，所以数列为首项为1，公比为3的等比数列．（2）由（1）知，所以，又由，可得，所以17．(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据阶差数列的定义，写出已知数列的阶差数列；（2）根据已知得，应用累加法求通项公式即可；（3）由已知得，累加法求数列的通项公式，令，则并确定单调性，进而求数列的最小值.【详解】（1）由题意，得，；，所以2阶数列为．（2）因为，又，所以，所以，累加得，即，所以．（3）因为，及，得，又，所以，两边同除，得，当时，，所以，时也满足，所以，令，则，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增而，所以，即时，取得最小值为．【点睛】关键点点睛：第二问，根据定义得到为关键，第三问，根据已知条件和定义得，再应用累加求通项公式为关键.18．(1)5(2)(3)【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列中的逆序个数，从而得解；（2）利用逆序数的定义得到，从而利用构造法推得是等比数列，从而得解；（3）利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到，再利用裂项相消法即可得解.【详解】（1）在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，所以.（2）由（1）中的方法，同理可得，又，所以，设，得，所以，解得，则，因为，所以数列是首项为1，公比为5的等比数列，所以，则.（3）因为（），所以，所以，所以.【点睛】知识点点睛：新定义题型，弄清题意是关键.第二问考查了构造等比数列求数列的通项公式，第三问考查了裂项相消法.19．(1)前3个“类比数”为2，4，13；(2)不是“类比数”，理由见解析；(3)①1836；②证明见解析.【分析】（1）根据“类比数”的定义直接求出该数列的前3个“类比数”即可.（2）首先根据规律求出，再根据定义看是否存在正整数p使得.（3）求出前组的和为，进而求出，让，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以1不是该数列的“类比数”．因为，，，所以该数列的前3个“类比数”为2，4，13.（2）由题意可得数列如下：第1组：1；第2组：1，2；第3组：1，2，4；…第组：．所以该数列的前项的和为，（*）当时，，则，由于，，，故50不是“类比数”．（3）①在（*）式中，要使，有，，易知出现在第44组之后，又第组的和为，前组的和为，第组前项的和为，．因为，所以．所以，则，当时，，所以对应满足条件的最小“类比数”．②证明：由①知，．当，且取任意整数时，可得“类比数”，所以该数列的“类比数”有无数个．【点睛】方法点睛：解答数列新定义的基本步骤审题：仔细阅读材料，认真理解题意；建模：将已知的条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求通项还是前项和；求解：求出该问题的数学解；还原：将所求结果还原到原问题中.20．(1)2，4，1，3，5和2，5，3，1，4.(2)不可能是等差数列，证明见解析(3).【分析】（1）需要根据已知条件求出的表达式，再根据以及和或的条件来确定数列.（2）根据等差数列的定义判断数列是否为等差数列.（3）利用已知条件对分类讨论，设，求出范围，再根据是公差为的等差数列，求出，得到满足题意的.【详解】（1），①当时，，即，.当时，，②由①－②得：，即.，，，即.数列是以1为首项，1为公差的等差数列..由题意可得当且的数列为：2，4，1，3，5和2，5，3，1，4.（2）数列不可能为等差数列，证明如下：假设是等差数列，公差为，当时，由题意知，或3，此时，.不是等差数列中的项，与题意不符.不可能是等差数列；当时，由题意，或.此时，.不是等差数列的项，与题意不符.不可能是等差数列.综上所述，不可能是等差数列.（3）由题意，，当时，，，与题意不符；当时，记，当时，，，记表示集合中元素的最小值，则.，与题意不符；当时，取此时数列满足题意.综上所述，.【点睛】知识点点睛：本题考查了由与的关系式求，考查了等差数列的证明方法和基本量的计算，考查了分析问题，逻辑推理，分类讨论方法，属于较难题.21．(1)不是，是，理由见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据数列的通项公式求出的通项公式，利用等差数列的定义，结合特例法判断即可.（2）由存在，使得，可得，由，可得，分类讨论可求的值；（3）由一阶差分数列的定义可得，则，先证明中，利用分组求和，结合等比数列的求和公式求解即可.【详解】（1）所以不是等差数列，则所以是首项为6，公差为6的等差数列（2）由题意又即，则若，即，解得（舍去）即当时，当时，则，对，不存在综上所述，（3）所以，从而从而，所以【点睛】方法点睛：关于新定义问题的常见思路为：（1）理解新定义，明确新定义中的条件、原理、方法与结论等；（2）新定义问题要与平时所学知识相结合运用，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.22．(1)，；(2)；(3)2170.【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再借助等差数列前项和公式求出公比，进而求出通项公式.（2）由（1）的结论，分奇偶求出的通项，并结合裂项相消法及错位相减求出对应前项和，再利用分组求和法求解.（3）根据给定条件，求出数列的前2025项中数列的项及1的个数，再分组求和即得.【详解】（1）在等差数列中，，而，解得，公差，则；设等比数列的公比为，，由，得，即，解得，，所以数列和的通项公式分别为，.（2）由（1）得，当为奇数时，，则；当为偶数时，，，，则，两式相减得，因此，所以.（3）依题意，数列：项为前的总项数为，数列是递增的，当时，，当时，，因此数列的前项中，有数列的前10项，有个，所以.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：①对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；②对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；③对于结构，利用分组求和法；④对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.23．(1)(2)或；(3).【分析】（1）由伸缩变换的定义计算即可；（2）先由伸缩变换求得方程，分别与射线联立方程求A、B坐标，根据两点距离公式解方程即可；（3）由伸缩变换的定义计算，结合条件及累乘法，等差数列求和公式计算即可.【详解】（1）由条件得，整理得，所以的方程为；（2）因为，关于原点“伸缩变换”，对作变换，得，联立，解得点的坐标为，联立，解得点的坐标为，所以，所以或，所以或；因此椭圆的方程为或；（3）对作变换，得抛物线，得，又因为，所以，即，当时，，得，适用上式，所以数列的通项公式.【点睛】思路点睛：结合题目给的数学情景，运用到新的数学问题中，学会将已经学习过的知识方法迁移到新的问题中.24．(1)，(2)(3)【分析】（1）根据等差数列与等比数列的基本量求解首项、公比即可得和的通项公式；（2）根据数列的通项，奇数项部分通项进行裂项，偶数项部分错位相减法求和，然后分奇偶项求和即可得数列的前项和；（3）根据等差数列的性质可得，利用含参不等式分离参数可得对恒成立，令，判断其单调性得最值即可得实数的取值范围．【详解】（1）由题可知数列是公差为的等差数列，且，则，解得，所以，设等比数列的公比为，且，，则，解得，所以，所以和的通项公式为，．（2）由（1）得为，，所以，当为奇数时，则，因为当为偶数时，设①，则②，①—②：，所以，所以求数列的前项和为，故；（3）由题意可得，由，得，所以对恒成立，令，则当时，，当时，，当时，，所以最大，所以．【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.25．(1)不具有，数列具有性质P，理由见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用性质P的定义分别判断两个数列；（2）根据数列具有性质P，得到，且又，于是，，…，，，再求和即可；（3）根据数列具有性质P，判断数列是等差数列，求其通项公式即可.【详解】（1），即，，，所以单调递增且，因为不存在正整数，使得或，所以数列不具有性质P；，即，，，，所以单调递增且.因为或的结果有：，，，，，，，，，，都存在正整数，使得等于以上值，所以数列具有性质P.（2）因为数列