三元一次方程组的解法课件人教版七年级数学下册

二元一次方程组三元一次方程组的解法10情境导入

请大家看下面这一问题，小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元、2元、5元纸币各多少张.1元的张数2元的张数3元的张数x张y张z张三个未知数(元)

求三个小动物的年龄三元一次方程（组）的概念探索新知三个小动物年龄之和为26岁流氓兔比加菲猫大1岁流氓兔年龄的2倍加上米老鼠的年龄之和比加菲猫大18岁x岁y岁z岁问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？未知量：流氓兔的年龄加菲猫的年龄米老鼠的年龄每一个未知量都用一个字母表示三个未知数（元）探索新知等量关系：(1)流氓兔的年龄+加菲猫的年龄+米老鼠的年龄=26(2)流氓兔的年龄-加菲猫的年龄=1(3)2×流氓兔的年龄+米老鼠的年龄=加菲猫的年龄+18用方程表示等量关系.x+y+z=26.

x=y-1.

2x+z=y+18.

问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？探索新知x+y+z=26，

2x+z=y+18.

x=y-1，

在这个方程组中，含有三个未知数，每个方程中所含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.练一练：下列方程组不是三元一次方程组的是()A.B.C.D.D[注意]组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每

一个一次方程都含有三个未知数．探索新知三元一次方程组的解类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.探索新知怎样解三元一次方程组呢？能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？所以原方程的解是x=9y=8z=6例1：解方程组典例精析解：由方程②得x=y+1④把④分别代入①③得2y+z=22⑤3y-z=18⑥解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得z=6y=8,把y=8代入④，得x=9解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行

，把

转化为

，使解三元一次方程组转化为解

，进而再转化为解

.消元“三元”“二元”二元一次方程组一元一次方程总结归纳三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程组消元消元例2：在等式y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.求a,b,c的值.解:根据题意，得三元一次方程组②－①，得a＋b=1④③－①，得4a＋b=10⑤④与⑤组成二元一次方程组典例精析①a－b＋c=0，②4a＋2b＋c=3，③25a＋5b＋c=60.a＋b=1，4a＋b=10.b=-2.解这个方程组，得a=3，把代入①，得a=3，b=-2c=-5所以原方程组的解为a=3，b=-2，c=-5.答：a=3，b=-2，c=-5.三元一次方程组的应用例3

幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）食物铁钙维生素A5205B51015C10105探索新知

（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列出方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求.

（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.解：(1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，探索新知食物铁钙维生素A5205B51015C10105得方程组⑤④答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.探索新知

整理得解：(2)②-①得②×3-③得④和⑤组成方程组④⑤解得x=2，z=2x=2，z=2把代入①得y=1所以原方程组的解为x=2，z=2.y=1，解三元一次方程组的基本思路：三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程消元“代入”或“加减”消元“代入”或“加减”例1解三元一次方程组3x+4z=72x+3y+z=95x-9y+7z=8①②③+3y-9y解：②×3+③，得11x+10z=35.④①与④组成方程组3x+4z=711x+10z=35解这个方程组，得x=5z=-2把x=5，z=-2代入②，得2×5+3y-2=9，所以因此，这个三元一次方程组的解为z=-2x=5还有其他解法吗？解：由①，得.④把④分别代入②③，得到关于y，z的二元一次方程组9y-5z=13z-27y=-11整理，得z=-2z=-2代入④，得x=5因此，这个三元一次方程组的解为z=-2x=5解这个方程组，得加减法比代入法更简单.1.下列是三元一次方程组的是

（

）2x=5x2+y=7x+y+z=6A.x-2y+z=9x+y+z=6B.x+y-z=7xyz=1x-3y=4C.x+y=2y+z=1x+z=9D.D判断关键：①整式方程；②共含三个未知数；③含有未知数的项的系数都是1.对应练习2.解方程组2x-y+3z=33x+y-2z=-1x+y+z=5（1）若先消去x，得到关于y、z的方程组是_______________；（2）若先消去y，得到关于x、z的方程组是_______________；（3）若先消去z，得到关于x、y的方程组是____________.-3y+z=-72y+5z=165x+z=23x+4z=8x+4y=125x+3y=9（答案均不唯一）3.解下列三元一次方程组：x-2y=-9，y-z=3，2z+x=47；x=2z=1y=3（1）3x-y+z=4，2x+3y-z=12，x+y+z=6.（2）x=22【选自教材P106练习第1题】例2在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值.将

a，b，c看作未知数将

x、y代入原式a-b+c=04a+2b+c=325a+5b+c=60①②③a-b+c=04a+2b+c=325a+5b+c=60①②③解：根据题意，得三元一次方程组②-①，得a+b=1，④③-①，得4a+b=10，⑤④与⑤组成二元一次方程组a+b=14a+b=10④⑤解这个方程组，得a=3b=-2，把

代入①，得c=-5，因此a=3b=-2a=3b=-2c=-5即a，b，c的值分别为3，-2，-5.因此课堂练习x＋y－z＝11，y＋z－x＝5，z＋x－y＝1.1.解方程组①②③解：①+②得②+③得把代入①得所以原方程组的解为2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（）A.2B.3C.4D.5D课堂练习解析:通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.是否能把x、y、z解出来？3.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．课堂练习解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.可得方程组解得课堂练习4.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.答：原三位数是368.由题意，得解得课堂小结1.已知2ax+y-zb5cx+z-y与2a11by+z-xc是同类型，则可列方程组x+y-z=11y+z-x=5x+z-y=1，解这个方程组，得________________________.x=6y=8z=3巩固练习2.今年小新一家三口的岁数总和是80岁，爸爸比妈妈大3岁，妈妈的岁数恰好是小新岁数的5倍.问：今年爸爸、妈妈和小新分别几岁？等量关系:(1)爸爸年龄+妈妈年龄+小新年龄=80；(2)爸爸年龄=妈妈年龄+3；(3)妈妈年龄=小新年龄×5.解：设爸爸年龄

x

岁、妈妈年龄

y

岁、小新年龄

z岁.

由题意，得将③代入②，得

x=5z+3④将③④代入①，得

z=7；①x+y+z=80y=5zx=y+3②③将

z=

7代入③④得x=38y=35z=73.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的

，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．解：

设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为

x、y、z.由题意，得

解得

答：原三位数是368.x+y=z+1100z+10y+x=100x+10y+z+495x=3y=6z=84.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的

等于丙数的.求这三个数.x+y+z=35