江苏省常州市田家炳高级中学2024-2025学年高二上学期期中阶段性调研测试数学试题

第1页/共1页阶段性调研测试高二数学试题2024.11注意事项1．请将本试卷答案写在答题卡相应位置上；2．考试时间为120分钟，试卷总分为150分．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由抛物线的标准方程可求解.【详解】由，可知抛物线的焦点在的正半轴上，又，所以，所以抛物线的准线方程为.故选：B.2.经过两点的直线的倾斜角为，则（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】由已知可得，求解即可.【详解】因为经过两点的直线的倾斜角为，所以，解得.故选：C.3.双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出双曲线的标准方程即可求解.【详解】双曲线的实轴长为4，所以，解得，所以双曲线的标准方程为，所以双曲线的渐近线方程为，即.故选：D．4.圆和圆的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】C【解析】【分析】根据两圆圆心距与两圆的半径差、半径和的大小关系即可判断.【详解】圆的圆心为,半径，圆的圆心为,半径，因为，，所以，所以两圆的位置关系为相交.故选：C5.平行直线与之间的距离为（）A.1 B. C.32 D.3【答案】C【解析】【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可.【详解】由，得，又，所以两平行线间的距离.故选：C.6.与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A.椭圆上 B.双曲线的一支上C.抛物线上 D.圆上【答案】B【解析】【分析】求得动圆的圆心所满足的几何条件，由双曲线的定义可求解.【详解】设动圆的圆心为，半径为，由，可得圆心，半径，由，可得圆心为，半径由题意可得，消去可得，所以动圆的圆心是双曲线靠近的一支曲线.故选：B.7.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】将曲线方程化为，利用直线与曲线位置关系，结合图形即可求解.【详解】依题意，曲线的方程可化为：它表示以原点为圆心，2为半径的右半圆，如图：直线过定点，直线与相切时，可得，解得，直线过点时，，根据图形，结合对称性可得，直线与曲线有两个交点时，实数的取值范围是.故选：D.8.我们称与向量平行的非零向量为直线的法向量.已知直线与圆相交，则下列向量不可能是直线的法向量的为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用直线与圆相交，可得，求解可得结论.【详解】由，可得圆心，半径为，因为直线与圆相交，所以，解得，根据法向量的定义可得直线的法向量为，且，所以A，B，C均可作为直线的法向量，D不能作为直线的法向量.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．9.下列四个命题中真命题有（）A.直线在轴上截距为B.经过定点的直线都可以用方程表示C.直线过定点D.点关于直线的对称点是【答案】ACD【解析】【分析】令可求直线在轴上的截距判断A；分斜率存在与不存在两种情况可判断B；求得的定点可判断C；由点关于直线的对称点可判断D.【详解】对于A，令，可得，所以直线在轴上的截距为，故A正确；对于B，经过定点的直线斜率存在时可以用方程表示，当直线斜率不存在时，直线方程为，故经过定点的直线方程为或，故B错误；对于C，由，方程过直线与直线的交点的直线，由，解得，所以直线过定点，故C正确；对于D，点关于直线的对称点是，故D正确.故选：ACD.10.已知过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点，则（）A.B.的最大值为C.面积的最大值为D.点到直线的距离小于【答案】ABD【解析】【分析】判断出点在圆外，计算出的最小值，可判断A选项；当直线过圆心时，取最大值，可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；分析直线与垂直时，直线与圆的位置关系，可判断D选项.【详解】圆的圆心为，半径为，因为，则点在圆外，对于A选项，，则，A对；对于B选项，当直线过圆心时，取最大值，且最大值为，B对；对于C选项，当且仅当时，等号成立，即面积的最大值为，C错；对于D选项，因为，当时，则直线的斜率为，此时，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，此时，直线与圆相离，且此时，原点到直线的最大距离为，由于直线与圆相交，故原点到直线的距离小于，D对.故选：ABD.11.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为椭圆上异于的动点，则下列说法正确的是（）A.B.的最大值为20C.的外接圆圆心到x轴的距离的最小值为D.直线的斜率之差可能为1【答案】AC【解析】【分析】得用已知椭圆求得，再结合每个选项的条件逐项计算可判断结论.【详解】由椭圆C：的方程可知，，解得，所以，即，故A正确；因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误；由的外接圆的圆心在的垂直平分线上，可得圆心在轴上，由，所以为锐角，且在短轴的端点处时，最大，由外接圆的半径为可知，越大，半径越小，此时外心到x轴的距离最小，设外心为，取在上顶点时，所以，解得，故C正确；设，由，得，所以，不妨取，则，，，当且仅当时取等号，所以直线的斜率之差不可能为1，故D不正确.故选：AC.【点睛】方法点睛：根据点在椭圆上，可求得为定值，进而可利用基本不等式判断直线斜率之差是否可能为1.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为______【答案】【解析】【分析】根据双曲线可得抛物线的焦点为，即可得方程.【详解】由双曲线方程可知，且焦点在x轴上，可知双曲线的右焦点为，即抛物线的焦点为，所以抛物线的标准方程为.故答案为：.13.若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则______【答案】【解析】【分析】求出反射光线所在直线的方程，利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式可求出正数的值.【详解】点关于轴的对称点为，，直线的方程为，即，由题意可知，反射光线即为直线，则直线与圆相切，且圆心为，半径为，可得，由于，解得.故答案为：.14.已知曲线是平面内到定点与到定直线的距离之和为3的点的轨迹，圆与曲线有两个交点，则的值为______【答案】2或【解析】【分析】设，可得，分类讨论化简，与圆的方程联立可求得的值.【详解】设，由题意可得：.当或时，，所以无轨迹；当时，，由关于轴对称，圆与有公共点时，在有解，可得，当时，，圆与有公共点时，则在有解，当时，，由对称性可知圆与曲线有两个交点，则的值只能有唯一的值与之对应，所以只有或符合题意，所以圆与曲线有两个交点，则的值为或.故答案为：或.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点，直线，且点均在直线上，，（1）求点的坐标：（2）若，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设，由题意列方程组，即可求得.（2）设，由题意可得，可求得点的坐标，可求直线的方程.【小问1详解】设，由题意可得：，解得：，所以点的坐标为.【小问2详解】设，由（1）知点的坐标为.根据题意可得，解得或，所以点的坐标为或，当点为时，直线的方程为，即，当点为时，直线的方程为，即，综上所述：直线的方程为或.16.设为实数，直线与圆相交于两点.（1）若弦的中点坐标为，求的取值范围及直线的方程；（2）若直线，，求圆的半径.【答案】（1）的取值范围为,直线的方程为（2）【解析】【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，利用半径为正、点在圆内得到的取值范围，再利用和点斜式方程得到直线的方程即可.（2）利用圆中的弦长公式可求得圆心到直线的距离，进而可得，求解即可.【小问1详解】将化为，即该圆的圆心为，半径为，因为弦的中点为，所以在圆的内部，即，解得，又，所以；因为，且，所以，所以直线的方程为，即；【小问2详解】由（1）可得圆的圆心为，半径为，由，可得圆心到直线的距离，所以圆心到直线的距离，解得，所以圆的半径为..17.已知椭圆与直线交于点，点为中点，为坐标原点.（1）若过椭圆的一个顶点和一个焦点．①求椭圆的方程；②求的坐标.（2）若椭圆的离心率为，以为直径的圆过原点，求椭圆的方程.【答案】（1）①椭圆的方程为；②的坐标为（2）椭圆的方程为【解析】【分析】（1）①求得直线与坐标轴交点，可求椭圆的方程；②联立方程组，利用根与系数的关系可求中点的坐标；（2）由已知可得椭圆的方程可变为，与直线联立结合韦达定理，由已知可得，进而代入计算可得椭圆的方程.【小问1详解】①因为直线与坐标轴交于，又椭圆的焦点在轴上，所以，所以,所以椭圆的方程为；②联立，消去得，解得或，所以的坐标为，所以的坐标为.【小问2详解】若椭圆的离心率为，则，解得，所以，所以椭圆的方程可变为，联立，消去得，设的坐标为，因为直线与椭圆有两个交点，所以，则，以为直径的圆过原点，所以，所以，所以，所以，所以，解得，符合，所以椭圆的方程为.18.已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到的距离为3．（1）求抛物线的方程；（2）过点F的直线l交抛物线于两点，分别以为直径作圆①证明：圆与轴相切；②若直线的斜率为1，求与圆都相切的直线方程.【答案】（1）（2）①证明见解析；②或y=-1或x=0【解析】【分析】（1）利用焦半径公式可得，求解即可；（2）①利用焦半径公式可求得线段中点到轴的距离可得结论；②由平面几何知识可得所求切线可能是内公切线与也可能是外公切线，分情况讨论可求与圆相切的直线方程.【小问1详解】由抛物线的方程得焦点，又抛物线上的点到的距离为3，所以，解得，所以抛物线的方程为【小问2详解】①设，由焦半径公式可得，所以的中点，点到轴的距离为，所以以为直径作圆与轴相切；②由①可知圆与轴也相切，且两圆的圆心在同一直线上，又，可得圆相外切于点，所以与圆相切的直线有三条，一条内公切线，两条外公切线，因为两圆与轴相切，故直线与两圆相切，因圆相外切于点，故过点与垂直的直线与两圆相切，又直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即；两外公切线关于直线对称，直线的斜率为1，又直线是一条外公切线，故另一条外公切线的斜率为0，又的方程为，即，与直线交于点，故所求的另一条外公切线方程为，所以所求切线方程为或或.19.已知中，，的角平分线交于点．（1）若，求的值；（2）若点在曲线上，求：①的取值范围；②直线与曲线的交点个数.【答案】（1）12（2）①取值范围为；②直线与曲线的交点个数为1个【解析】【分析】（1）求得直线，的方程，利用角平分线的性质得到，求解即可；（2）①设，求得直线，的方程，利用角平分线的性质得到，化简可得，可得的取值范围；②求得直线的直线方程为与双曲线方程联立方程，判断方程组的解的个数可得结论.【小问1详解】因为，又，所